Oscylator harmoniczny i drgania tłumione

Oscylator harmoniczny i drgania tłumione

I.

Cel ćwiczenia: pomiar siły i wychylenia ciężarka z położenia równowagi w funkcji czasu, pomiar okresu i częstotliwości drgań własnych układu, zbadanie zależno- ści siły F w funkcji wychylenia x ciężarka.

II.

Przyrządy: interfejs (konsola) CoachLab II+, ultradźwiękowy detektor ruchu, czujnik siły Force Sensor II, sprężyna, ciężarek, kartka sztywnego papieru.

III.

Literatura: 1. B. Jaworski, A. Dietłaf i inni, Mechanika. Podstawy fizyki cząstecz- kowej i termodynamiki, PWN, 1972

2. Instrukcja pracowniana, Drgania harmoniczne, 2008, 3. Coach 5 − Zeszyt ćwiczeń.

IV. Wstęp

IV.1 Oscylator harmoniczny

Ruch harmoniczny to taki ruch zmienny, w którym siła działająca na drgający obiekt jest wprost proporcjonalna do wychylenia z położenia równowagi i zwrócona w stronę położenia rów- nowagi. Jest to przykład ruchu idealnego charakteryzującego się powtarzalnością w czasie i nie- zmiennością maksymalnego wychylenia z położenia równowagi. Przykładem oscylatora harmo- nicznego może być ciężarek zawieszony na sprężynie, której drugi koniec jest unieruchomiony.

Aby wychylić ciężarek z położenia równowagi należy rozciągnąć (lub ścisnąć) sprężynę działając na nią zewnętrzną siłą F_z.

Równowaga sił zostaje zachowana przez zwiększenie się siły sprężystości sprężyny do wartościF . _s^' Gdy puścimy ciężarek F_z znika i wypadkowa siła powodująca ruch wynosi

P F F

F_w = = _s^' − (1)

Rys.1 a) Sprężyna nienaprężona, b) sprężyna obciążona masą m, c) sprężyna obciążona masą m i wyprowadzona z położenia równowagi przez przyłożenie zewnętrznej siły Fz, d) sprężyna i masa m po puszczeniu ciężarka.

a)

F_s

P = mg b)

m

F′ s

P d)

m x

x Fz P

c)

m F′ s

Gdyby na rys.1d) dorysować oś x układu współrzędnych o początku w położeniu równowagi masy i zwrocie do góry, to dla dodatnich x współrzędna siły byłaby ujemna, a dla ujemnych − dodatnia.

Siła ta dąży do sprowadzenia ciężarka do położenia równowagi i niekiedy nazywa się ją siłą zwrot- ną. Ponieważ wartość tej siły jest wprost proporcjonalna do wychylenia z położenia równowagi, to może zostać opisana zależnością

kx

F=− (2)

gdzie: F − wypadkowa siła działająca na ciężarek, x – wychylenie z położenia równowagi, k – stała charakteryzująca sprężynę.

Znak minus uwzględnia przeciwną wartość siły i wychylenia z położenia równowagi.

Zgodnie z drugą zasadą dynamiki

a m

F = (3)

gdzie m – masa zawieszonego ciężarka a – przyspieszenie masy m Stąd

kx

ma=− lub x 0

m k dt

x d

2 2

=

+ (4)

Rozwiązanie tego równania (różniczkowego) daje zależność wychylenia z położenia równowagi w funkcji czasu i ma postać

) t Asin(

x= ω +ϕ (5)

gdzie A − maksymalne wychylenie z położenia równowagi − amplituda,

ω − częstość kołowa określona równaniem ω = 2π/T, w którym T jest okresem drgań, ϕ − kąt fazowy określający położenie oscylatora w chwili t = 0 (faza początkowa).

Dla ciężarka zawieszonego na sprężynie okres drgań harmonicznych dany jest wzorem

k 2 m

T= π (6)

Prędkość v (dx/dt) i przyspieszenie a (d²x/dt²) w ruchu harmonicznym określają równania:

Rys.2 Wykresy: a) wychylenia x w funkcji czasu, b) prędkości v w funkcji czasu, c) przyspie- szenia a w funkcji czasu w ruchu harmonicz- nym

vv vv

a

2) t

sin(

v ) t cos(

v ) t cos(

A

v _{max max} π

+ ϕ + ω

= ϕ + ω

= ϕ + ω ω

= (7)

) t

sin(

) t sin(

) t sin(

Aω² ω +ϕ =− _max ω +ϕ = _max ω +ϕ+π

−

= a a

a (8)

Obserwacja ruchu harmonicznego i analiza zależności od czasu wielkości charakteryzujących ruch harmoniczny pozwala zauważyć następujące cechy tego ruchu:

• jest to ruch okresowy,

• prędkość ciała ulega zmianie, zmienia się jej wartość i zwrot,

• w położeniach maksymalnego wychylenia prędkość ciała drgającego jest równa zeru,

• podczas przechodzenia przez położenie równowagi ciało ma maksymalną prędkość,

• ciało zbliża się do położenia równowagi ruchem przyspieszonym, a oddala od niego ruchem opóźnionym.

IV.2 Drgania tłumione

Najczęściej występującym odstępstwem od drgania harmonicznego jest drganie tłumione. Bar- dzo częstą przyczyną tłumienia drgań mechanicznych jest siła oporu ośrodka. Można uważać w pierwszym przybliżeniu, że przy niewielkich prędkościach siła ta ma wartość wprost proporcjonal- ną do wartości prędkości poruszającego się ciała

F_oporu =− γv (9)

gdzie γ − współczynnik oporu, v – prędkość ruchu.

Znak minus wskazuje, że siła tarcia jest zawsze skierowana przeciwnie do kierunku ruchu.

Druga zasada Newtona dla drgań tłumionych ciężarka zawieszonego na sprężynie (wahadło sprę- żynowe) ma postać

v kx

ma=− −γ (10)

Stąd otrzymujemy równanie

0 dt kx

dx dt

x md ₂

2

= + γ

+ (11)

Jeśli γ/2m≤ k/m , to wynikiem rozwiązania tego równania (różniczkowego) jest następująca zależność wychylenia od czasu

) t sin(

e A

x= _o ^2mt ω +ϕ

− γ

(12) Wyrażenie

mt 2 oe A A

− γ

= (13)

nazywamy amplitudą drgań tłumionych (gasnących), A_o – amplituda początkowa (dla t = 0).

Amplituda drgań tłumionych zmniejsza się z biegiem czasu. Dla niewielkiego tłumienia częstotli- wość f drgań tłumionych (a więc i okres T) jest prawie taka sama jak nietłumionych. Przy dużym tłumieniu amplituda szybko się zmniejsza i powiększa się okres drgań.

Stosunek wielkości amplitud drgań tłumionych w momentach czasu t i t + T, gdzie T jest okresem drgań wynosi

T T m 2 ) T t m( 2 o

mt 2 o

1 n

n e e

e A

e A A

A ^γ _β

γ +

−

− γ

+

=

=

= (14)

gdzie β = γ/2m nosi nazwę współczynnika tłumienia.

V. Układ pomiarowy

Układ pomiarowy (rys.3) do obserwacji i badania drgań harmonicznych składa się ze statywu o wysokości ok. 1 m., sprężyny, uchwytu na ciężarek, czujnika siły z dwoma zakresami z zestawu CoachLab II⁺, czujnika ruchu, konsoli pomiarowej, komputera z programem Coach 5 PL.

Jeśli układ pomiarowy wymaga samodzielnego zmontowania postępujemy w sposób następują- cy:

a) do tylnego gniazda konsoli pomiarowej dołączamy przewód od zasilacza a zasilacz umieszcza- my w gnieździe sieciowym,

b) podłączamy konsolę pomiarową do komputera (do gniazda USB),

c) na statywie montujemy czujnik siły Force Sensor II i podłączamy go przewodem z wejściem 1 lub 2 konsoli. Przełącznik zakresu czujnika ustawiamy w położeniu 5N. Zawieszamy sprężynę nr 1 z uchwytem, magnesem i ciężarkiem (o masie m₁) na haczyku czujnika siły, tak by ciężarek mógł wykonywać drgania swobodne

d) umieszczamy czujnik ruchu pod sprężyną. Podłączamy go do wejścia cyfrowego konsoli Co- achLabII+, które znajduje się z tyłu tej konsoli.

x

t [s]

t oe A ^−β obwiednia

Rys.2 Zależność wychylenia od czasu w ruchu drgającym tłumionym.

do konsoli pomiarowej czujnik siły

sprężyna

uchwyt na ciężarek

czujnik ruchu Rys.3 Układ pomiarowy do obserwacji i badania drgań harmonicznych.

ok. 60 cm

VI. Pomiary i obliczenia.

VI.1 Konfigurowanie parametrów układu.

1. Uruchom program Coach 5 PL. Ekran monitora może wyglądać jak ten na rysunku 4

Rys 4.

2. Wybierz z biblioteki czujnik siły (z dwoma zakresami) (0362bt) (CMA) (-5..5N).

W tym celu kliknij prawym przyciskiem myszki pusty kwadrat z lewej strony ekranu w oknie konsoli. W otwartym okienku wybierz Dodaj z biblioteki. Z otwartego okna Wybór czujnika dla aktualnej konsoli wybierz właściwy czujnik (wymieniony wyżej), klikając lewym przyci- skiem myszki (rys.5). Zatwierdź wybór klikając OK.

Rys. 5

Dodaj z biblioteki Nowy

………..

Pomoc

↑↑

↑↑ ikona nastawienia pomiaru

↑

↑↑

↑ Ikona startu pomiaru

Okno konsoli

Ikony gotowych do

←

←

←← wykorzystania czujników

↑

↑↑

↑

Ikona młotka

W pustym kwadracie pojawi się ikona wybranego czujnika siły.

Uwaga. Z lewej strony ekranu w jednym z kwadratów może już znajdować się ikona czujnika siły, ale nie ma pewności czy jest to właściwy czujnik (czujniki siły mogą być różne, a tylko umieszczenie właściwej ikony czujnika na konsoli daje poprawne wyniki pomia- rów).

3. Przeciągnij ikonę czujnika siły do wybranego wejścia konsoli np. do oznaczonego cyfrą „1”.

Kliknij lewym przyciskiem myszki ikonę i przytrzymując lewy przycisk w trakcie przeciągania umieść ją na wejściu „1” konsoli. Mierzona przez czujnik wartość siły jest wyświetlana na iko- nie.

4. Wybierz sposób prezentacji danych pomiarowych na ekranie dla czujnika siły (miernik, wykres, wartość, tabela). W tym celu:

− kursorem myszki najedź na ikonę czujnika na konsoli i kliknij ją prawym przyciskiem myszki – otworzy się okno z opcjami do wyboru (rys.6),

− wybierz jedną z pozycji: Prezentuj miernik, wykres, wartość lub tabelę, klikając lewym przyciskiem myszki,

Rys 6

− przesuń zmieniony kursor nad np. prawe górne okno, w którym zamierzasz umieścić wybrany element (np. wykres) i kliknij w tym oknie lewym przyciskiem myszki. W oknie pojawią się osie wykresu.

Klikając myszką w ikonę młotka (lub w wy- kres F = F(t) wybierz funkcję Prezentacja wykresu W otwartym oknie (rys. obok) wy- bierz znacznik: Duża kropka, kolor znaczni- ka, rodzaj wykresu: Brak (chodzi o linię), za- znacz opcję
Pokaż siatkę.

5. Ustaw czas trwania pomiaru i liczbę punktów pomiarowych w jednostce cza- su czyli częstotliwość:

− kliknij w ikonę Nastawienie pomiaru (znajdującą się na pasku narzędzi)–

otworzy się okienko (rys.7), w którym w odpowiednich polach wpisz żądany czas i częstotliwość. Na początek mogą to być wartości jak na rys.7, czyli 5 se- kund i 50 Hz.

− kliknij OK.

Prezentuj miernik Prezentuj wartość Prezentuj wykres Prezentuj tabelę Użyj jako licznik Inne czujniki Dodaj Własności Usuń Pomoc

CMA Hardware help

Rys.7

6. Wyzeruj wskazanie początkowe czujnika siły (obciążenie sprężyny stanowi uchwyt z magnesem i masa m1). Chcemy, by czujnik pokazywał tę część siły sprężystej (siłę zwrotną), która pojawia się po wychyleniu z położenia równowagi:

−

−−

− wskaż kursorem myszy ikonę czujnika znajdującą się na rysunku konsoli (jeśli została tam uprzednio umieszczona) i kliknij prawym przyciskiem myszy. Otworzy się ramka z opcjami, a wśród nich Własności (rys.6).

−−−

− wybierz kursorem myszy Własności i kliknij lewym przyciskiem myszy – otworzy się okien- ko jak na rys.8.

− wybierz opcję Kalibracja  Liniowa i oznacz kwadrat
Przesunięcie (pojawią się dwa puste pola: x i x ,

− wpisz w pierwsze pole (czyli x) wartość wyświetlaną w polu Analogowe z prawej strony sek- cji kalibracji; w drugie puste pole wpisz cyfrę 0.

− kliknij OK.

7. Sprawdź czy na wejściu 5 lub 6 obrazu konsoli (w zależności od podłączenia wtyczki detektora ruchu do konsoli) pojawiła się ikona detektora ruchu i czy jest na niej wyświetlana wartość d (odległość ciężarka od detektora).

Wybierz sposób prezentacji danych na ekranie dla detektora ruchu podczas pomiaru wychylenia w funkcji czasu (miernik, wykres, wartość, tabela) tak jak opisano to w punkcie 4 dla czujnika siły. Umieść wykres (polecany) w lewym górnym oknie ekranu (pierwszy wykres F(t) został umieszczony w prawym górnym oknie).

Wybierz opcję Tworzenie/ Edycja wykresu (kliknij myszką w ikonę młotka nad wykresem d = d(t) lub prawym przyciskiem myszki w

obszar wykresu). Otworzy się okienko jak na rys. obok z podświetlonym polem Zbiór da- nych: C1

− zaznacz Zbiór danych: C2 (klikając le- wym przyciskiem myszy),

− w polu Wielkość wpisz d (albo inny symbol odległości),

− w polu Jednostka wpisz m .

− wybierz znacznik: Duża kropka, kolor znacznika, rodzaj wykresu: Brak (chodzi o linię), zaznacz opcję
Pokaż siatkę.

Rys.8

VI.2 Wykonanie i opracowanie pomiarów

1. Wyznacz masy ciężarków m1, m₂, m₃ i uchwytu z magnesem wykorzystywanych do obciążania sprężyny (można to zrobić na końcu ćwiczenia).

2. Zanotuj wartość odległości d_o ciężarka od detektora ruchu (położenie równowagi) wyświetlaną na ikonie detektora.

3. Dla sprężyny „1” i ciężarka o masie m₁ dokonaj pomiaru siły F i położenia d ciężarka w funkcji czasu t:

− wyprowadź ciężarek z położenia równowagi,

− kliknij lewym przyciskiem myszy zieloną ikonę Start pomiaru na ekranie monitora (rys.4).

Rozpocznie się pomiar a w oknach wykresów pojawią się wybrane wizualizacje pomiarów.

Jeśli otrzymane pomiary nie są zadowalające, powtórz je wykonując następną serię. Przedtem należy usunąć poprzednie wartości, klikając myszką w ikonę młotka (lub prawym przyciskiem myszki w obszar wykresu) i wybierając opcję Usuń wszystkie wartości.

4. Dostosuj skalę do wielkości wykresów i umieść na wykresach linie siatki (jeśli ich nie ma):

– kliknij myszką w ikonę młotka (lub prawym przyciskiem myszki w obszar wykresu) i wybierz opcję Dopasuj skalę. Można też to uczynić zakreślając interesujący nas obszar wykresu kurso- rem myszki przy wciśniętym lewym przycisku myszy (ma postać lupy z symbolem +),

− jeżeli chcesz zmienić sposób prezentacji wykresu, kliknij obszar danego wykresu (lub odpo- wiednią ikonę młotka) i wybierz Prezentacja wykresu i dokonaj zmian.

5. Odczytaj wartość okresu drgań T np. z wykresu F = F(t) i oblicz częstotliwość f drgań swobod- nych układu. W tym celu:

− kliknij myszką w ikonę młotka (lub prawym przyciskiem myszki w obszar wykresu) i wybierz opcję Odczytuj wartości. Odczytaj czas 3÷4 okresów i oblicz okres T a następnie częstotli- wość f = 1/T drgań.

− wykorzystując opcję Dodanie adnotacji (po kliknięciu prawym przyciskiem myszki w obszar wykresu) umieść w okienku edycji adnotacji informacje o okresie T i częstotliwości f.

− zapisz wyniki w programie Coach 5 w katalogu (projekcie) Pomiary w fizyce. Pozwoli to wracać wielokrotnie do tych danych w celu wykonania ich analizy. W tym celu:

• najedź kursorem myszy na ikonę zapisu wyników (lewa strona górnej części ekranu − rys. 4) i kliknij lewym przyciskiem myszy. Otworzy się okno Zapisz wyniki jako.

• w polu opis umieść swoją nazwę pliku danych np. Oscylator_JW1,

− zapisz również wykresy z ekranu w pliku Word’a lub Excel’a (po kliknięciu prawym przyci- skiem myszki w każdy wykres wybierz Kopiuj do schowka) z informacją o zmierzonym okresie i częstotliwości drgań.

6. Zmień masę ciężarka na m2 i dokonaj pomiaru siły działającej na ciężarek w funkcji czasu (bez rejestracji wychylenia d):

−

−−

− odsuń detektor ruchu spod sprężyny (bez odłączania od konsoli),

−

−−

− zamknij wykres d = d(t),

−−−− umieść dolny odcinek sprężyny z odważnikiem (o najmniejszej masie m2) w prowadnicy z pleksi (ograniczy to drgania poprzeczne),

− ustaw liczbę punktów pomiarowych w jednostce czasu czyli częstotliwość na 100 Hz,

−−−

− wyzeruj ponownie wskazanie początkowe czujnika siły wg wskazówek zamieszczonych w punkcie VI.1.6 (chcemy, by czujnik pokazywał tę część siły sprężystej (siłę zwrotną), która pojawia się po wychyleniu z położenia równowagi)

− wyprowadź ciężarek z położenia równowagi,

− kliknij lewym przyciskiem myszy zieloną ikonę Start pomiaru na ekranie monitora (rys.4).

Rozpocznie się pomiar a w oknie wykresu pojawi się wybrana wizualizacja pomiarów.

Jeśli otrzymane pomiary nie są zadowalające, powtórz je wykonując następną serię. Przedtem usuń poprzednie wartości, klikając myszką w ikonę młotka (lub prawym przyciskiem myszki w obszar wykresu) i wybierając opcję Usuń wszystkie wartości.

−

−−

− dalej postępuj tak jak opisano w punktach VI.2.4 i VI.2.5 z uwzględnieniem tego, by wyniki przeznaczone do zapisania w programie Coach 5 zapisać pod nazwą np. Oscylator_JW2.

7. Dokonaj pomiaru siły działającej na ciężarek w funkcji czasu przy wystąpieniu tłumienia (sprę- żyna „1”, masa m1):

− umocuj kartkę papieru do spodniej części uchwytu (kartkę przytrzymuje od dołu magnes),

− ustaw czas pomiaru na 10 ÷ 15 sekund, częstotliwości 100 Hz (patrz punkt VI.1.5),

− wyzeruj wskazanie początkowe czujnika siły wg wskazówek zamieszczonych w punkcie VI.1.6,

− wychyl ciężarek z położenia równowagi i uruchom pomiar naciskając zielony przycisk Start,

− dostosuj skalę do wielkości wykresów i umieść na wykresach linie siatki (patrz punkt VI.1.4),

− wykorzystując opcję Dodanie adnotacji opisz wykres,

− zapisz wyniki w programie Coach 5 (pod nazwą np. Oscylator_JW3) oraz w pliku Word’a lub Excel’a poprzez kopiowanie do schowka.

Wychylenie x ciężarka z położenia równowagi ustalimy pośrednio rejestrując zależność siły sprężystej od czasu. Tak jest wygodniej i bezpieczniej dla detektora ruchu a można bez więk- szych problemów ustalić zależność x(t) = F(t)/k (k można wyznaczyć na podstawie wcześniej- szych pomiarów).

W zależności od ilości posiadanego czasu możesz jeszcze wykonać następujące pomiary:

8. Usuń kartkę papieru, umieść ciężarek o masie m3 w uchwycie. Zmierz zależność F(t) dla tej masy i sprężyny „1”, postępując wg podpunktów VI.2.6 (z pominięciem trzech pierwszych).

Wyniki zapisz tak jak zaproponowano w punkcie VI.2.5 ale pod nazwą np. Oscylator_JW4 a wykresy w pliku Word’a lub Excel’a.

9. Zmień sprężynę na inną (z nr 2) i obciąż ją odważnikiem o masie m1 (tak jak sprężynę nr 1) a następnie:

−

−−

− wyzeruj ponownie wskazanie początkowe czujnika siły wg wskazówek zamieszczonych w punkcie VI.1.6.

− pod sprężyną umieść ponownie detektor ruchu,

− otwórz drugie okno do prezentacji wykresu wychylenia od czasu d = d(t).

− dokonaj pomiaru siły F i położenia d ciężarka w funkcji czasu tak jak opisano to w punktach VI.2.2 ÷ VI.2.5.

Wyniki zapisz w programie Coach 5 tak jak zaproponowano w punkcie 5 ale tym razem pod nazwą np. Oscylator_JW5 . Wykresy zapisz w pliku Word’a lub Excel’a.

VI.3Analiza otrzymanych wyników

1. Na podstawie pomiarów z punktów VI.2.5, VI.2.6 określ jak okres wahań T zależy od masy drgającej.

2222.... Wczytaj wyniki zapisane wcześniej pod przykładową nazwą Oscylator_JW1 (twoja nazwa mo- że być inna):

− − − − najedź kursorem myszy na ikonę wczytywania wyników (lewa strona górnej części ekranu − rys. 4) i kliknij ją lewym przyciskiem myszy. Otworzy się okno Otwórz wyniki tego ćwicze- nia,

− − − − wybierz nazwę pod jaką wcześniej zapisałeś wyniki ćwiczenia i kliknij OK.

3. Przedstaw na wykresie zależność wychylenia x ciężarka z położenia równowagi w funkcji czasu t wykorzystując wykres odległości d ciężarka od detektora ruchu.

Wybierz opcję Tworzenie/ Edycja wykresu (kliknij myszką w ikonę młotka nad wykresem d = d(t) lub prawym przyciskiem myszki w obszar twojego wykresu). Otworzy się okienko jak na rys. 9a, z podświetlonym polem Zbiór danych: C1

• zaznacz następnie Zbiór danych: C2. Możesz wybrać/zmienić dla tego zbioru znacznik (najlepiej Duża kropka), kolor, rodzaj wykresu (Brak), linie siatki wykresu (jeśli jest taka potrzeba)

• zaznacz następnie Zbiór danych: C3 i rozwiń pole Źródło danych (rys. 9b). Wybierz z tego pola Wzór. Okno przyjmie postać jak na rys 10a,

• kliknij ikonę kapelusza znajdującą się z prawej strony tego okienka. W otwartym oknie edy- tora wzoru wpisz wzór: d – wartość d_o (położenie ciężarka w położeniu równowagi, odczy- tane na początku pomiarów), kliknij OK.

• po powrocie do poprzedniego okienka w polu Wielkość wpisz x (wychylenie z położenia równowagi), w polu Jednostka: m .

Wybierz również Dziesiętne: 3, Znacznik: Duża kropka , kolor, Rodzaj (wykresu): Brak (brak linii, rys.10b). Zatwierdź kliknięciem OK. Nastąpi powrót do ekranu z wykresami,

Rys.9a Rys.9b

Rys.10a Rys.10b

• kliknij wykres d = d(t) prawym przyciskiem myszy (lub kliknij ikonę młotka nad tym wykre- sem. Z otwartej ramki wybierz opcję Dopasuj skalę a następnie ogranicz obszar wykresu do funkcji x(t) (zaznaczając odpowiedni obszar kursorem myszki),

• wykorzystując opcję Dodanie adnotacji opisz wykres,

• zapisz wyniki w programie Coach 5 pod nazwą np. Oscylator_ JW1_1 oraz wykres x(t) do swojego pliku Word’a lub Excel’a.

4. Utwórz wykres zależności siły F w funkcji wychylenia x ciężarka z położenia równowagi.

Oblicz współczynnik sprężystości sprężyny k.

− skorzystaj z opcji Przetwarzanie>Selekcja danych (dostępna z otwartej ramki po kliknięciu prawym przyciskiem myszki w wykres x(t))

• w polu Metoda wybierz Zakres ,

• w polu Kolumna wybierz x ,

•••• ogranicz zakres punktów pomiarowych w zależności x(t) do ok. 2 okresów (rys.11),

• zaznacz  Wybierz i kliknij OK,

− dla wykresu F(t) wybierz Tworzenie/Edycja wykresu (kliknij prawym przyciskiem myszki wykres F(t)). W otwartym oknie, przy podświetlonym zbiorze danych C1 rozwiń pole Źródło danych i wybierz Wzór: x , kliknij OK,

− do otrzymanego wykresu wybierz opcję Dopasuj skalę,

− wybierz opcję Analiza>Dopasowanie funkcji. Znajdź funkcję najlepszego dopasowania do danych eksperymentalnych – wybierz zależność liniową i uruchom polecenie Auto (dopaso- wanie automatyczne). Zapisz wyświetlone wartości parametrów a i b (rys.12). Kliknij OK.

Współczynnik sprężystości sprężyny k jest równy współczynnikowi nachylenia a prostej czyli k = a .

Uwaga: obliczenia parametrów a i b zależności liniowej można również dokonać w Excel’u, przesyłając tam dane w postaci zdefiniowanej tabeli danych x, F (kliknąć ikonę Pre- zentuj tabelę),

− wykorzystując opcję Dodanie adnotacji opisz wykres (tytuł, postać funkcji),

− zapisz poprzez schowek wykres F = F(x) do swojego pliku Word’a lub Excel’a (nie zapomnij dopisać informacji o współczynnikach a i b).

5. Porównaj otrzymaną wartość współczynnika k z wartością otrzymaną ze wzoru:

₂

2

T m k 4π

=

6. Wczytaj wyniki pomiarów ruchu drgającego tłumionego zapisanego wcześniej (VI.2 punkt 7), tutaj pod przykładową nazwą Oscylator_JW3). Z wykresu F(t) można otrzymać wykres x(t), ponieważ F i x są do siebie wprost proporcjonalne. Z uwagi na tę proporcjonalność dalszą anali-

Rys. 11 Rys. 12

zę ruchu tłumionego można przeprowadzić bezpośrednio w oparciu o wykres F(t) (lub w opar- ciu o wykres x(t), który można uzyskać tak jak to opisano w Uzupełnieniu).

Zmianę maksymalnego wychylenia masy drgającej (lub maksymalnej wartości siły) w czasie będącą efektem tłumienia można scharakteryzować za pomocą krzywej, która przechodzi przez wszystkie maksima (lub minima) zależności wychylenia od czasu (patrz rys.2). Do otrzymanych punktów można dopasować funkcję.

a) Selekcja danych.

Wybierz opcję Przetwarzanie>Selekcja danych. Otworzy się okno Wybór/Usuwanie da- nych:

• w polu Metoda zaznacz Punkty , • w polu Kolumna zaznacz F ,

• kursorem myszki wybierz punkty odpowiadające maksimom,

• zaznacz pole  Wybierz i kliknij OK. Po potwierdzeniu operacji na ekranie pozostaną je- dynie wybrane punkty.

b) Dopasowanie funkcji.

Wybierz opcję Analiza>Dopasowanie funkcji. Otworzy się okno Dopasowanie funkcji:

• w polu Funkcja wybierz funkcję postaci a⋅⋅⋅⋅exp(bx) + c , • w polu Kolumna wybierz F ,

• kliknij Auto i zapisz uzyskaną postać funkcji (współczynniki a, b, c), • zaznacz  Dodaj wykres (jeśli nie jest zaznaczony) i kliknij OK.

• wykorzystując opcję Dodanie adnotacji opisz wykres (tytuł, postać funkcji dopasowania), Zapisz wykres do swojego pliku Word’a lub Excel’a.

c) Podaj wartość współczynnika tłumienia β patrz wzór (13) lub (14).

7. Porównaj wyniki wychylenia masy drgającej od czasu z funkcją matematyczną opisującą ruch harmoniczny.

W tym celu wczytaj dane z Twojego ćwiczenia Oscylator_JW1_1 i zrealizuj poniższe punkty a), b) i c):

a) Selekcja danych.

Wybierz opcję Przetwarzanie>Selekcja danych) dla wykresu x(t). Otworzy się okno Wy- bór/Usuwanie danych:

• w polu Metoda zaznacz Zakres , • w polu Kolumna wybierz x , • wybierz przedział ok. 2 ÷ 3 okresów,

• zaznacz  Wybierz i kliknij OK b) Filtrowanie.

Wybierz opcję Przetwarzanie>Filtrowanie dla wykresu x(t). Otworzy się okno Filtrowa- nie wykresu (rys. 13 − wygładzanie krzywej przez uśrednianie wartości):

• w polu Kolumna wybierz x ,

• w polu Interwał wpisz 2 ,

• w polu Wielkość zmień nazwę na krótszą np. na filt. x ,

• kliknij Start,

• zaznacz  Nowy wykres i OK,

Rys.13

• najedź ruchomą ikoną wykresu na wykres x(t) i kliknij,

• ręcznie (myszką) dopasuj wielkość wykresu tak, by krzywa w pionie wypełniała całe pole wykresu i by mogły zmieściły się wzdłuż osi x ok.4 okresy (najlepiej z dokładnością do dzie- siątych części sekundy np. 2,5 s),

• wykorzystując opcję Prezentacja wykresu wybierz znacznik: Duża kropka, kolor znaczni- ka, rodzaj wykresu: Brak (chodzi o linię), zaznacz opcję
Pokaż siatkę.

c) Dopasowanie funkcji.

Wybierz opcję Analiza>Dopasowanie funkcji dla wykresu filt. x. Otworzy się okno Dopaso- wanie funkcji (rys 14):

• w polu Funkcja wybierz funkcję asin(bx+c)+d ,

• w polu Kolumna wybierz filt. x ,

• kliknij Auto (czasem w celu dopasowania funkcji trzeba skorzystać ze wspomagania ręcznego – przesuwanie pinezki i przesuwa- nie wykresu myszą),

• zanotuj współczynniki a, b, c, d, czyli po- stać analityczną funkcji dopasowania x(t),

• zaznacz opcję  Dodaj wykres i OK,

• wykorzystując opcję Dodanie adnotacji opisz wykres (tytuł, postać funkcji dopaso- wania),

• zapisz wykres w swoim pliku Word’a lub Excel’a.

Otwórz dwa dodatkowe okna wykresów:

• z pola menu okna programu Coach 5 PL (górny pasek) wybierz i kliknij myszką Opcje

• w otwartym okienku uczyń nieaktywnym okno konsoli (standardowo okno to jest aktywne).

Zamiast niego pojawią się 2 dodatkowe okna wykresów.

8. Prędkość v – różniczkowanie funkcji x(t), filtrowanie i dopasowanie dla zależności v(t).

a) Różniczkowanie.

Wybierz opcję Przetwarzanie>Różniczkowanie dla wykresu filt x. Otworzy się okno Róż- niczkowanie – rys.15:

• w polu Kolumna wybierz filt. x ,

• w polu Wielkość zmień nazwę na v ,

• pole Jednostka bez zmian,

• kliknij Start,

• zaznacz  Nowy wykres i OK,

• najedź ruchomą ikoną wykresu na puste miejsce w dolnej części ekranu i kliknij myszką.

Rys. 15 Rys.14

b) Filtrowanie.

Wybierz opcję Przetwarzanie>Filtrowanie dla wykresu v(t). Otworzy się okno Filtrowanie wykresu (rys.13):

• w polu Kolumna wybierz v ,

• w polu Interwał wpisz 2 ,

• pole Wielkość zmień na filt. v ,

• kliknij Start,

• zaznacz  Nowy wykres i OK,

• najedź ruchomą ikoną wykresu na wykres v(t) i kliknij,

• z opcji Prezentacja wykresu wybierz znacznik: Duża kropka, rodzaj wykresu: Brak (cho- dzi o linię), zaznacz opcję
Pokaż siatkę.

c) Dopasowanie funkcji.

Wybierz opcję Analiza>Dopasowanie funkcji dla wykresu v(t). Otworzy się okno Dopaso- wanie funkcji:

• w polu Funkcja wybierz funkcję asin(bx+c)+d ,

• w polu Kolumna: filt. v ,

• kliknij Auto (czasem w celu dopasowania funkcji trzeba skorzystać ze wspomagania ręczne- go – przesuwanie pinezki i przesuwanie wykresu myszą),

• zanotuj współczynniki a, b, c, d, czyli postać analityczną funkcji dopasowania v(t),

• zaznacz opcję  Dodaj wykres i OK,

• ogranicz oś czasu wykresu do dokładnie tej samej wartości co w punkcie VI.3.7b czyli przy- kładowe 2,5s),

•wykorzystując opcję Dodanie adnotacji opisz wykres (tytuł, postać funkcji dopasowania),

• zapisz wykres w swoim pliku Word’a lub Excel’a.

9. Przyspieszenie a – różniczkowanie zależności v(t), filtrowanie i dopasowanie funkcji do a(t).

a) Różniczkowanie.

Wybierz opcję Przetwarzanie>Różniczkowanie dla wykresu filt. v. Otworzy się okno Róż- niczkowanie (rys.15):

• w polu Kolumna wybierz filt. v ,

• w polu Wielkość wpisz a (przyspieszenie),

• pole Jednostka bez zmian,

• kliknij Start,

• zaznacz  Nowy wykres i OK,

• najedź ruchomą ikoną wykresu na puste miejsce w dolnej części ekranu i kliknij myszką.

b) Filtrowanie.

Wybierz opcję Przetwarzanie>Filtrowanie dla wykresu a(t). Otworzy się okno Filtrowanie wykresu (rys.13):

• w polu Kolumna wybierz a ,

• w polu Interwał wpisz 2 ,

• pole Wielkość zmień na filt. a ,

• kliknij Start,

• zaznacz  Nowy wykres i OK,

• najedź ruchomą ikoną wykresu na wykres a(t) i kliknij,

• z opcji Prezentacja wykresu wybierz znacznik: Duża kropka, rodzaj wykresu: Brak (cho- dzi o linię), zaznacz opcję
Pokaż siatkę.

c) Dopasowanie funkcji.

Wybierz opcję Analiza>Dopasowanie funkcji dla wykresu a(t). Otworzy się okno Dopaso- wanie funkcji (rys. 14):

• w polu Funkcja wybierz funkcję asin(bx+c)+d ,

• w polu Kolumna filt. a ,

• kliknij Auto (czasem w celu dopasowania funkcji trzeba skorzystać ze wspomagania ręczne- go – przesuwanie pinezki i przesuwanie wykresu myszą),

• zanotuj współczynniki a, b, c, d, czyli postać analityczną funkcji dopasowania v(t),

• zaznacz opcję  Dodaj wykres i OK,

• ogranicz oś czasu wykresu do dokładnie tej samej wartości co w punkcie VI.3.7b i VI.3.8b czyli przykładowe 2,5s),

•wykorzystując opcję Dodanie adnotacji opisz wykres (tytuł, postać funkcji dopasowania),

• zapisz wykres w swoim pliku Word’a lub Excel’a.

10. Porównaj wyniki z funkcją matematyczną teoretycznie opisującą ruch harmoniczny – na ile zależności wygładzone, v(t), a(t) różnią się od ich funkcji dopasowania znalezionych w punk- tach VI.3.8c i VI.3.9c.

Czy różnice faz funkcji dopasowania x(t), v(t), a(t) zgadzają się z teoretycznymi – funkcje da- ne zależnościami (5), (7), (8)?

Podaj wartości amplitudy prędkości v_max i przyspieszenia a_max oraz częstości kątowej ω wyni- kające ze znalezionych funkcji dopasowania. Porównaj tą częstość kątową ω z częstością wy- nikającą z bezpośredniego pomiaru.

Jeśli wykonano pomiary z punktów VI.2.8 i VI.2.9

11. Odczytaj z wykresu okres drgań T i oblicz częstotliwość dla masy m3 i sprężyny „1” (po wczy- taniu pliku Oscylator_JW4).

12. Wczytaj wyniki dotyczące drugiej sprężyny „2” i masy m₁ zapisane pod przykładową nazwą Oscylator_JW5 (twoja nazwa może być inna).

Utwórz wykres zależności siły F w funkcji wychylenia x ciężarka z położenia równowagi dla tej sprężyny. Oblicz współczynnik sprężystości sprężyny k.

Postępuj zgodnie z punktami VI.3.3 ÷ VI.3.4 (wychylenie z położenia równowagi oznacz teraz przez x1).

Porównaj otrzymaną wartość współczynnika k dla tej sprężyny z wartością otrzymaną ze wzo- ru:

₂

2

T m k 4π

=

Uzupełnienie

Tworzenie wykresu x(t) z pomiarów F(t) w programie Coach 5, gdy znany jest współczynnik sprężystości sprężyny k.

1) wczytaj wykres zawierający pomiary siły w funkcji czasu F(t) (w instrukcji był to np. plik pod nazwą Oscylator_JW3).

2) otwórz okno Tworzenie/Edycja wykresu (opcja dostępna po kliknięciu w ikonę młotka nad wykresem F = F(t) lub prawym przyciskiem myszki w obszar wykresu).

3) w polu Zbiór danych zaznacz C3,

4) rozwiń pole Źródło danych i wybierz Wzór, 5), kliknij ikonę kapelusza i wpisz wzór

F/wartość k i zatwierdź przez kliknięcie OK, 6) zaznacz Oś:  Druga pionowa, w polu

Wielkość wpisz x1 , w polu Jednostka : m , Dziesiętne 3 , Znacznik:

Duża kropka , Rodzaj: Brak . Zamknij okno klikając OK. Na wykresie F(t) pojawi się wykres x(t). Jeśli użyjesz opcji Dopasuj skalę wówczas punkty wykresu F(t) są punk- tami wykresu x(t), dla którego odpowiednio została dobrana skala osi z prawej strony wykresu.

7) Jeżeli chcesz otrzymać wykres w oddzielnym oknie i zachować górne wykresy musisz otworzyć dwa dodatkowe okna dla wykresów:

• z pola menu okna programu Coach 5 PL (górny pasek) wybierz i kliknij myszką Opcje ,

• w otwartym okienku uczyń nieaktywnym okno konsoli (standardowo okno to jest aktywne).

Zamiast niego pojawią się 2 dodatkowe okna wykresów.

Dalej postępuj następująco:

• kliknij ikonę wykresu na pasku u góry ekranu nad wykresem F(t),

• w otwartym okienku Wybór wykresu kliknij Nowy wykres. Otworzy się okno Tworze- nie/Edycja wykresu.

• w polu Nazwa nadaj swój tytuł wykresowi np. Drgania tłumione,

• w polu Zbiór danych zaznacz C1 (z reguły jest to zaznaczenie wejściowe),

• w polu Źródło danych wybierz Zegar,

• zaznacz zbór danych C2,

• dla tego zbioru danych wybierz Wzór: x1 ,

• zaznacz
Pokaż siatkę, kliknij OK,

8) po powrocie do okna Wybór wykresu zaznacz nazwę utworzonego wykresu – np. Drgania tłu- mione i kliknij OK,

9) ikoną wykresu kliknij wolny obszar ekranu, 10) dopasuj wykres do skali.