MODELOWANIE CHARAKTERYSTYKI PRACY SIŁOWNIKA PIEZOELEKTRYCZNEGO
ZASTOSOWANEGO DO KONSTRUKCJI ELIMINATORA DRGAŃ
MIROSŁAW PAJOR
ARKADIUSZ PARUS
MARCIN HOFFMANN
Instytut Technologii Mechanicznej, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie e-mail: miroslaw.pajor@zut.edu.pl
e-mail: arkadiusz.parus@zut.edu.pl e-mail: marcin.hoffmann@zut.edu.pl
Streszczenie. Materiały piezoelektryczne mają szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach nauki i techniki. Wykorzystywane są m.in. jako odbiorniki dźwięku, mikrofony, transformatory, serwomechanizmy i aktuatory. W artykule zaprezentowano metody modelowania charakterystyki pracy siłownika piezoelektrycznego. W pracy takiego aktuatora występuje zjawisko histerezy.
Przedstawiono trzy modele teoretyczne opisujące zjawiska histerezy.
Zaproponowano adaptację modelu siły tarcia (model Dahla) do odwzorowania histerezy. Przedstawiono ideę budowy modelu opracowaną przez Preisacha i jej rozszerzenie dla przypadku siłownika piezoelektrycznego. Jako trzeci model zaproponowano funkcję wielomianową opisującą histerezę. Prezentowane modele zostały poddane identyfikacji na podstawie badań doświadczalnych.
1. WSTĘP
Podstawową cechą materiałów piezoelektrycznych jest przetwarzanie energii elektrycznej w mechaniczną i odwrotnie. Odkształcenia sprężyste kryształu piezoelektrycznego wywołuje w nim powstanie wewnętrznego pola elektrycznego (efekt piezoelektryczny prosty) lub umieszczenie materiału w polu elektrycznym prowadzi do zmiany jego wymiarów (efekt piezoelektryczny odwrotny).
Odwrotny efekt piezoelektryczny wykorzystywany jest w siłownikach piezoelektrycznych.
Tego typu siłownik zastosowano w sterowalnym eliminatorze drgań samowzbudnych opracowanym w Instytucie Technologii Mechanicznej ZUT [6]. Dużą zaletą aktuatorów piezoelektrycznych jest ich wysoka częstotliwość pracy. Wadą natomiast jest występowanie zjawiska histerezy podczas pracy piezoelementu. W niniejszej pracy przedstawiono trzy modele opisujące zjawisko histerezy: model Dahla [1], model Preisacha [3] oraz model wielomianowy [2], które zostały wykorzystane do budowy modelu siłownika piezoelektrycznego.
2. ELIMINATOR DRGAŃ
Istnieje wiele metod eliminacji drgań samowzbudnych, można tu wyróżnić m.in. narzędzia z aktywną eliminację drgań, zmiana przesunięcia fazowego pomiędzy modulację zewnętrzną i wewnętrzną w zjawisku regeneracji śladu oraz zmiana własności dynamicznych układu O-PS poprzez zastosowanie eliminatorów drgań. W tej pracy przedstawiono koncepcję i budowę eliminatora drgań z wykorzystaniem słownika piezoelektrycznego.
Zwykle słabym ogniwem (elementem o dużej podatności) w systemie OUPN (obrabiarka, uchwyt, przedmiot obrabiany, narzędzie) bywa przedmiot obrabiany. Mimo dużej sztywności samej obrabiarki, obróbka podatnego przedmiotu wywoła niekorzystne zjawisko drgań samowzbudnych. W związku z tym dla potrzeb badań doświadczalnych nad eliminatorem drgań zaprojektowano specjalny element montowany na stole obrabiarki (rys.1a), łączący cechy przedmiotu obrabianego o dużej podatności na jednym kierunku, umożliwiający zmiany jego właściwości w możliwie szerokim zakresie.
Sterując wysokością płaskich sprężyn, uzyskuje się zmienną sztywność „słabego ogniwa”.
Między płytą dolną i górną znajduje się miejsce na zamocowanie eliminatora drgań.
W konstrukcji eliminatora wykorzystano siłownik piezoelektryczny PST-1000-16-150-vs2 firmy Piezomechanik GmbH [4,5], który zamontowano u spodu górnej płyty (rys.1b).
Masa eliminatora podwieszona jest pod górną płytą na czterech płaskich sprężynach.
Siłownik oraz masa eliminatora połączone są za pomocą specjalnej klamry.
Zastosowany aktuator piezoelektryczny ma następujące parametry: maksymalne wydłużenie: 150 μm; długość: 147 mm; sztywność: 50 N/mm; maksymalna generowana siła:
15 kN.
a) b)
Rys. 1. a) Element montowany na stole obrabiarki symulujący podatność przedmiotu obrabianego; b) budowa eliminatora drgań
Rys.2. Model fenomenologiczny eliminatora drgań
Model fenomenologiczny eliminatora drgań, w którym wykorzystano siłownik piezoelektryczny, przedstawiono na rys.2b. Jest to układ o dwu stopniach swobody. Jedną masę stanowi przedmiot obrabiany wraz z górną płytą podatnego elementu, drugą masa jest masa eliminatora. Równanie (1) opisuje ruch tego układu:
(1)
) ( ) ( ) ( )
(t x t x t t
x H K F
M&& + & + =
gdzie:
(2)
Siła generowana przez aktuator piezoelektryczny jest określona równaniem:
(3) gdzie:
- kp jest sztywnością piezoelementu wraz z układem jego mocowania - x3 przemieszczeniem piezoelementu
Przemieszczenie siłownika jest wywołane przez podanie na kryształy piezoelektryczne odpowiedniego napięcia elektrycznego. Wstępne badania wykazały, że charakterystyka pracy siłownika jest nieliniowa. Widoczne jest to na przebiegu czasowym przemieszczenie końcówki siłomierza przy wymuszeniu napięciowym w postaci trójkąta (rys.3 a,b). Na rys.3c przedstawiono zależność przemieszczenia od napięcia sterującego, na którym widoczna jest pętla histerezy. Jest to efekt tarcia wewnętrznego i rozpraszania energii na skutek zmiany wymiarów kryształów piezoelektrycznych w siłowniku.
a) b)
c) d)
Rys.3. Wyniki wstępne pomiarów pracy siłownika piezoelektrycznego, a) przebieg czasowy wymuszenia napięciowego (trójkąt), b) przebieg czasowy odpowiedzi siłownika, c) zależność przemieszczenia końcówki siłownika od napięcia sterującego (pętla histerezy),
d) wymuszenie napięciowe siłownika podczas badań doświadczalnych (a – amplituda, U – poziom odniesienia, T – okres)
W układzie sterowania eliminatorem drgań należy uwzględnić model opisujący nieliniowy charakter pracy aktuatora piezoelektrycznego. W niniejszym artykule zaproponowano trzy modele opisujące nieliniowe zachowanie siłownika: model Dahla, Preisacha i model wielomianowy. W celu identyfikacji paramentów poszczególnych modeli przeprowadzono serię badań doświadczalnych w celu identyfikacji parametrów poszczególnych modeli.
) 3
(t kpx
p =
F ) , (
) ( ) ) (
( ú
û ê ù
ë é
- +
= -
t F
t F t t F
p p
F skr ú
û ê ù ë
=é ) (
) ) (
(
2 1
t x
t t x x 0 ,
0
2
1 ú
û ê ù ë
=é m
M m ,
2 2
2 2
1 ú
û ê ù
ë é
- -
= +
c c
c c
H c ú
û ê ù
ë é
+ -
-
- - +
= +
p p
p p
k k k k
k k k k k
2 2
2 2
K 1
3. BADANIA DOŚWIADCZALNE
Stanowisko pomiarowe składało się z siłownika piezoelektrycznego oraz stelaża, do którego zamontowano siłownik (rys.4). Badania doświadczalne przeprowadzono w dwóch seriach. Pierwszą serię pomiarów wykonano przy swobodnej końcówce siłownika (rys.4b).
Mierzono przemieszczenia końcówki siłownika za pomocą czujnika indukcyjnego oraz jej prędkość z wykorzystaniem wibormetru laserowego PSV-400 3D (rys.4a). W drugiej serii badań siłownik wraz z siłomierzem kabłąkowym zamontowano pomiędzy dwie podpory (rys.4c). Rejestrację pomiarów przemieszczenia, prędkości oraz siły dokonano z wykorzystaniem sytemu dSPACE.
Pomiary przeprowadzono w szerokim zakresie zmienności sygnału napięciowego.
Zastosowano wymuszenie w postaci „trójkąta” (rys.3a) o maksymalnej wartości napięcia od 100 do 1000V oraz wymuszenie sinusoidalne o zmiennej amplitudzie, napięciu odniesienia oraz częstotliwości (rys.3d).
a)
b) c)
Rys.4. Fotografie wybranych elementów stanowiska pomiarowego, a) schemat stanowiska pomiarowego, b) stanowisko pomiarowe przy pomiarach dla swobodnej końcówce siłownika,
c) stanowisko pomiarowe z wykorzystaniem siłomierza kabłąkowego
4. IDENTYFIKACJA I WERYFIKACJA PARAMETRÓW MODELI 4.1. Model Dahla
Model opracowny został przez P. Dahla w 1968 roku. Pierwotnie model ten wykorzystano do opisu zjawiska tarcia pomiędzy ciałami stałymi [1]. Model opisuje zależność siły tarcia od przemieszczenia. Jest to prosty model dynamiczny uwzględniający zjawisko histerezy, który jest wygodny w symulacjach numerycznych. Model ten zaadaptowano do opisu przemieszczenia końcówki siłownika w funkcji napięcia sterującego w celu odwzorowania nieliniowej charakterystyki pracy siłownika piezoelektrycznego. Model opisany jest
równaniem (4). Wykres zależności przemieszczenia końcówki siłownika od napięcia sterującego przedstawiono na rys. 5. Model symulacyjny zbudowano w programie Matlab- SIMULINK.
(4)
gdzie:
x(u) – przemieszczenie u(t) – napięcie
du(t)/dt – prędkość zmiany napięcia xc – max. przemieszczenie
U – amplituda napięcia
σ0 = xc/U – „sztywność” układu [mm/V]
α – parametr kształtu
a) b)
Rys.5. a) wymuszenie napięciowe liniowe w postaci trójkąta, b) przebieg zależności przemieszczenie – napięcia dla wyników pomiarowych (linia przerywana)
z dopasowanym modelem Dahla (linia ciągła)
Na rys. 5 przedstawiono przebieg czasowy wymuszenie napięciowego w postaci trójkąta oraz zależność przemieszczenia końcówki siłownika w funkcji napięcia elektrycznego z widoczną pętlą histerezy. Na rys. 5b przedstawiono dopasowanie modelu Dahla (linia ciągła) do wyników pomiaru (linia przerywana). Na rys. 6 zaprezentowano odpowiedź siłownika piezoelektrycznego na wymuszenie napięciowe w postaci sinusa o amplitudzie 180V, średnim napięciu 500V i częstotliwości 5Hz. Z powyższych wykresów wynika, że model Dahla bardzo dobrze odwzorowuje charakterystykę pracy siłownika piezoelektrycznego.
a) b)
Rys.6. a) wymuszenie napięciowe sinusoidalne, b) przebieg zależności przemieszczenie – napięcia dla wyników pomiarowych (linia przerywana)
z dopasowanym modelem Dahla (linia ciągła)
( ) ( )
s( )
÷÷aø çç ö
è æ -
=
×
= u
x x dt
t du du dx dt
u dx
c
&
sgn 1
4.2. Model Preisacha
Model opisany został przez P. Preisacha w 1938 roku. Początkowo główne zastosowanie znalazł w opisie histerezy pola magnetycznego ,jednak obecnie wykorzystuje się go również w fizyce, matematyce, tektonice i ekonomii [3]. W modelu Preisacha wykorzystano funkcję, która opisuje najprostszy przypadek histerezy (rys.7a). Funkcję tę oznaczono jako Ra,b (5) i przyjmuje ona wartości 0 bądź 1, które zmienia, gdy odcięta x przyjmuje wartości a lub b.
(5)
a) b)
Rys.7. a) Przebieg funkcji Ra,b opisującej prosty model histerezy, b) schemat modelu Preisacha (suma funkcji Ra,b)
Model Preisacha złożony jest z sumy funkcji składowych Rai,bi, które zdefiniowane są dla równych wartości parametrów a i b wg określonego algorytmu (rys.7b). W zależności od liczby użytych funkcji składowych w modelu otrzymuje się odpowiednio dokładne odwzorowanie. Na rys.8a przedstawiono trzy przebiegi modelu Preisacha opisujące pętle histerezy, w których wykorzystano różną liczbę funkcji Ra,b. Przy większej liczbie funkcji Ra,b odwzorowanie jest dokładniejsze.
a) b)
Rys.8. a) Dokładność opisu histerezy modelem Preisach’a w zależności od liczby funkcji Ra,b, b) przebieg zależności przemieszczenie – napięcia dla wyników pomiarowych (linia ciągła)
z dopasowanym modelem Preisach’a (linia przerywana)
Na rys. 8b pokazano odwzorowanie pętli histerezy charakterystyki siłownika piezoelektrykcznego za pomocą modelu Preisacha zbudowanego za pomocą 10, 30 i 500 funkcji składowych Rai,bi.
b a
a b
b a
<
<
£
³ ïî
ïí ì
=
x x x dla dla dla k
R 0
1
,
4.1. Model wielomianowy
W literaturze [2] zaproponowano model, w którym charakterystykę siłownika piezoelektrycznego odwzorowano za pomocą dwóch funkcji. W obszarze wyższych częstotliwości wymuszenia zaobserwowano, że układ wymuszany jest opóźniony w fazie.
Stąd dla poprawy dokładności modelowania dla wysokich częstotliwości histerezę opisano modelem przedstawionym na rys.9a. W prezentowanym modelu częstotliwości powyżej 1 Hz są traktowane jako częstotliwości wysokie. W przedstawionym na rys.9a schemacie blokowym G(s) reprezentuje funkcję przejścia systemu, funkcje fl i fh opisują nieliniowość statyczną dla niskich oraz wysokich częstotliwości. Funkcja fh jest aktywowana, jeżeli częstotliwość wymuszenia jest większa od 1 Hz. Poszczególne funkcje opisujące model są zdefiniowane następująco:
(6)
(7)
(8)
gdzie: a1, a2, a3 – współczynniki wielomianu fl, zmienne i zależne od kierunku zmian sygnału wejściowego,
l i β – parametry dla funkcji fh proporcjonalne do częstotliwości sygnału wejściowego,
a i b – parametry funkcji przejścia systemu.
Za odwzorowanie przemieszczenia, przy wzroście (fw) i spadku napięcia sterującego (fs), odpowiadają dwa wielomiany 3. stopnia o postaci:
(9) (10) gdzie:
a) b)
Rys.9. a) Model strukturalny siłownika piezoelektrycznego, b) przebieg zależności przemieszczenie – napięcia dla wyników pomiarowych (kropki)
z dopasowanym modelem Preisacha (linia ciągła)
3 2
3 2 1 0
3 2
3 2 1 0
w w w w
s s s s
fw a v a v a v a fs a v a v a v a
= + + +
= + + +
3 2 1 0
3 2 1 0
-4.712e-008, 0.000135, 0.08247, -1.281 4.458e-012, -5.983e-005, 0.2274, 2.611
w w w w
s s s s
a a a a
a a a a
= = = =
= = = =
( )
v a3v3 a2v2 a1v1 a0fh = + + +
( )
vl v le
f = -b
( )
s b s bG = +
Przykładowe wyniki pomiaru oraz wyniki uzyskanych dla modelu symulacyjnego przedstawione zostały na rys.9b.
5. WNIOSKI
Przedstawione modele wykazały bardzo dobre dopasowanie do wyników doświadczalnych. Modele te zostaną wykorzystane do syntezy układów sterowania, idea dokładnego modelowania pracy aktuatora piezoelektrycznego jest jak najbardziej słuszna, ponieważ pozwala na symulacyjną weryfikację zachowania układu. Model Preisacha jest modelem iteracyjnym i nie jest on opisany wygodnym do użycia równaniem, które można uwzględnić w układzie sterowania. Ponadto dokładność odwzorowania histerezy zależy od liczby przyjętych funkcji składowych. W modelu wielomianowym konieczne jest zastosowanie dodatkowego mechanizmu wykrywającego wzrost i spadek napięcia sterującego. Z kolei model Dahla opisany jest równaniem w postaci jawnej, które łatwo posłuży do syntezy układu sterowania. Jest on jednak skuteczny przy wymuszeniu sygnałem harmonicznym, przy wymuszeniu losowym model ten wykazuje błędy. Wymaga również zamodelowania funkcji przejścia dla amplitudy oraz częstotliwości.
LITERATURA
1. Dahl Philip R.: Solid friction damping of mechanical vibrations. “AIAA Journal” 1976, Vol.14, No. 12, p.1675-1682.
2. Ming J.J., Chieh-Li C., Jie-Ren L.: Modeling and control of a piezoelectric actuator driven system with asymmetric hysteresis. IEEE International Conference On Systems & Signals, 2005.
3. Yeh T.-J., Shin-Wen L., Ting-Ying W.: Modeling and identification of hysteresis in
piezoelectric actuators. “ Journal of Dynamic System, Measurement, and Control” 2006, Vol.128,p.189-196
4. Piezomechanic GmbH. Piezo-mechanical and electrostrictive stack and ring actuators:
product range and technical data. Katalog 2006.
5. Piezomechanic GmbH. Piezo-mechanics: An introduction. Katalog 2006.
6. Badanie skuteczności metod aktywnej eliminacji drgań samowzbudnych
w procesie skrawania - projektu badawczego. Nr 4 T07D016 29, Politechnika Szczecińska : Szczecin, 2008.
MODELLING THE CHARACTERISTICS OF PIEZOELECTRIC ACTUATOR
FOR VIBRATION SUPPRESSION
Summary. Piezoelectric materials have a wide use in many fields of sciences and techniques. They are used as sound receivers, microphones, transformers, serwomachins and actuators. This article presents methods of modelling of piezoelectric actuator characteristics. Piezoelectric elements exhibit hysteresis behavior. Three models describing phenomenon of hysteresis are introduced. To describe the hysteresis a friction model (Dahl model) was used. The model worked out by Preisach is also introduced as well as its application for modelling the piezo actuator. Third model is a polynomial function which is used to describe the hysteresis. Models were identified on the basis of experimental data.
