NOŚNOŚĆ POPRZECZNEGO ŁOŻYSKA ŚLIZGOWEGO PRZY LAMINARNYM NIESTACJONARNYM SMAROWANIU

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISNN 1896-771X 32, s. 287-294, Gliwice 2006

NOŚNOŚĆ POPRZECZNEGO ŁOŻYSKA ŚLIZGOWEGO PRZY LAMINARNYM NIESTACJONARNYM SMAROWANIU

PAWEŁ KRASOWSKI

Katedra Podstaw Techniki, Akademia Morska

Streszczenie. W artykule przedstawiono wyniki obliczeń siły nośności hydrodynamicznej w poprzecznym cylindrycznym łożysku ślizgowym smarowanym olejem newtonowskim o lepkości dynamicznej zależnej od ciśnienia.

Uwzględniono niestacjonarne zaburzenia prędkości obwodowej przepływu oleju na czopie i na panewce, które mogą być spowodowane drganiami obwodowymi czopa lub panewki wskutek drgań skrętnych wału silnika. Przykładowe rozwiązanie numeryczne dotyczy izotermicznego modelu łożyska o nieskończonej długości.

1. WSTĘP

W prezentowanej pracy analizowano zmianę siły nośności hydrodynamicznej przy niestacjonarnym, laminarnym smarowaniu cylindrycznego poprzecznego łożyska ślizgowego.

Prezentowane rozwiązania dotyczą izotermicznego modelu łożyska o nieskończonej długości.

Rozważano niestacjonarność przepływu spowodowaną zaburzeniami prędkości oleju smarującego w kierunku obwodowym na czopie i na panewce łożyska. Zaburzenia prędkości przepływu czynnika smarującego w kierunku obwodowym na czopie mogą być spowodowane drganiami skrętnymi czopa podczas ruchu obrotowego wału silnika spalinowego, co jest nowością w prezentowanej pracy. Drgania skrętne nakładają się na ruch roboczy wirującego czopa i powodują zaburzenia prędkości oleju na powierzchni czopa łożyska. Wielkości tych zaburzeń są proporcjonalne do amplitudy drgań skrętnych, częstości wymuszenia oraz promienia czopa łożyska. Zaburzenia prędkości oleju w kierunku obwodowym na panewce mogą być spowodowane drganiami skrętnymi lub obwodowymi panewki wraz z obudową łożyska. Izotermiczny model łożyska może być przybliżonym modelem pracy łożyskowego węzła tarcia przy ustalonych warunkach obciążenia cieplnego, np. łożyska w agregatach prądotwórczych na statkach. Prezentowane w pracy równania i rozwiązania są przedstawione w postaci bezwymiarowej, co umożliwia ich uniwersalne wykorzystanie w analizie i praktyce eksploatacyjnej łożysk ślizgowych. W obliczeniach łożysk pracujących przy ciśnieniach rzędu 10 MPa uwzględniono zmianę lepkości dynamicznej od ciśnienia. Lepkość dynamiczna η oleju zależy od ciśnienia wg formuły Barrusa [5] w postaci:

( )

1 0 0

0 η η η

η

η= e^{α p−pa} ≈ e^αp = (1)

gdzie: ηo- lepkość dynamiczna oleju przy ciśnieniu atmosferycznym p= pa≈0, η – lepkość dynamiczna oleju,

α – współczynnik uwzględniający zmiany lepkości od ciśnienia,

η1 – bezwymiarowa lepkość dynamiczna zależna od ciśnienia η1=exp(αp).

W rozpatrywanym modelu przepływu przy założeniu małych zaburzeń niestacjonarnych oraz przy zachowaniu laminarnego charakteru przepływu przyjęto, że prędkości Vi*

przepływu oleju i ciśnienie p1*

są sumą wielkości zależnych V~_i

; ~p₁ (przepływ niestacjonarny) i niezależnych

; p1

V_i od czasu (przepływ stacjonarny) [3],[5] zgodnie z zależnością:

p p p

V V V_{i i i}

~

1,2,3 i

~

1

1 = +

= +

=

∗

∗

(2)

Składowe niestacjonarnej części prędkości przepływu oraz ciśnienia założono w postaci następujących szeregów [4]:

1

1) 0 exp( 0

1) 1;

; )( ) (

;1

; 1

;1

~(

∑∞

= = k

t t k j z

k r Vi t

z i r

V ϕ ϕ ω (3)

∑∞

= = 1

1) 0 exp( 0

1)

; )( ( 1 1

1;

; )

~ (

1

k

t t k j k z

p t

p ϕ z ϕ ω i=1,2,3

gdzie: ω0 – częstość zaburzeń niestacjonarnej części przepływu; j= −1 jednostka urojona.

2. CIŚNIENIE HYDRODYNAMICZNE

Równanie Reynoldsa określające sumaryczne bezwymiarowe ciśnienie p1*

w szczelinie smarnej łożyska cylindrycznego [2] przy niestacjonarnym, laminarnym izotermicznym przepływie oleju newtonowskiego przy zaburzeniach prędkości obwodowej V10 na czopie i V1h

na panewce oraz zaburzeniach prędkości po długości łożyska V30 na czopie i V3h na panewce ma postać:

( ) ( )

( )

[ ] [ ( ) ]

( )

[ ] [ ( ) ]

∑

∞

=

∞

=

∗

∗

∗

∗











 



∂ + ∂

∂

− ∂

∂ + + ∂

∂ +

− ∂

 +





 +

∂ + ∂

∂ + + ∂

∂

= ∂

=









 



 





∂

− ∂

∂ −

∂

∂ + ∂







 



 





∂

− ∂

∂ −

∂

∂

∂

1 1 1 2 3 1 1 1 3

30 1 1 2 1 1 10 1

3 1 30 3 1 1 2 1 1 10 3 1 0 0 1

1 1

1 1 1 1 1

1 1

3 1

1 2 1 1 1 1 1

1 3 1

2 1 6 1

Re 1 2 6 1

) ( 1 )

(

k k

h h

h h

k k

h h

Kp Kp

z B V h L V h

V V z h V L

V h

A V

V z h V L

V h t h Str

z p p p z K p e

h z L p p

p p K e

h

ϕ ϕ

ω ϕ η

ρ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

(4)

przy czym: 0≤ϕ≤ϕe; 0≤r₁≤h_p1 ;-1≤z₁≤1; 0≤t₁≤t_k; p₁^∗=p₁^∗(ϕ;z₁;t₁)

Równanie (4) jest zmodyfikowanym równaniem Reynoldsa [2] dla rozpatrywanego przepływu. W pracy [4] podano jedną z postaci wymiarowych tego równania. W dalszej części pracy analizowano łożysko o nieskończonej długości. We wzorze (4) K jest bezwymiarowym współczynnikiem charakteryzującym zmianę lepkości dynamicznej oleju od ciśnienia.

Bezwymiarowe ciśnienia p1 przyjęto względem ciśnienia odniesienia p0 w postaci:

1;

0p p p=

R p₀ U₂⁰

ψ

= η (5)

gdzie: U - prędkość obwodowa czopa U=ωR, ω – prędkość kątowa wirowania czopa, R – promień czopa,

ψ– promieniowy luz względny (10⁻⁴ ≤ψ≤10⁻³)

Ciśnienie bezwymiarowe w części stacjonarnej przepływu można przedstawić w postaci [1],[3]:

0 K

0 K 1

1 ln ) ) (

( ¹

10 10

0

1 





>

=

= −

= ⁻

K Kp p p

p ϕ pϕ (6)

gdzie: K =α p₀

Pozostałe wielkości bezwymiarowe (indeks dolny 1): lepkości η, gęstości ρ, czasu t, wysokości szczeliny h oraz współrzędnych r oraz z i wielkości odniesienia ( indeks dolny 0) przedstawiono poniżej:

Re , ) r (1 R r , t t

,

, z b z ,

,

0 0 1

1 0

1 1

1 0 1

0

η ψ ψ ρ

ψ ρ

ρ ρ η η η

R t U

h R h

= +

=

=

=

=

=

=

(7)

Prędkości zaburzenia w kierunku obwodowym na czopie U0 i na panewce Uh występują we wzorze (4) w bezwymiarowej postaci V10 oraz V1h zgodnie z zależnością:

; ₁

10

0 UV Uh UVh

U = = (8)

Lepkość dynamiczna oleju jest zależna od ciśnienia i przedstawiamy ją jako sumę wielkości stacjonarnej i niestacjonarnej w postaci bezwymiarowej [1]:

1 1 1 1

1 1

1 η η~ ; η 1; η~ ~η

η^∗ = + =e^Kp =Kp (9)

Sumy szeregów występujące w równaniu (4) mają postać [3]:

( )

3 4

1 ) cos(

1

; 0 t 0

1 t 0 ) 2

sin(

1 2

2 1 0

1 2 0

1 0 0 1

1 1 1

0 0

1

1 0 0 1

≤

 ≤

 

 − −

=

=







=

<

− <

=

=

∑

∑

∑

∑

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

t t

k t t t B k

t t k

t t A k

k

k k

k

k k

ω π ω π

ω ω π

(10)

Bezwymiarowa wysokość szczeliny smarnej h1 przy mimośrodowości względnej łożyska λ jest określona w postaci :

ϕ λ +

= cos

h₁ 1 (11)

Rozkład ciśnienia hydrodynamicznego w poprzecznym łożysku ślizgowym dla omawianego przepływu oraz modelu łożyska o nieskończonej długości będącego rozwiązaniem równania Reynoldsa (4) można przedstawić w postaci ciśnienia zaburzenia:

( ) ( )











 − −



 − −

− +

= ^∗ ∫ ∫ ∑^∞₌₁ 10 10 1 ∑^∞₌₁

0 3 0 10

1 3 1 1

10 1

10

1 Re

2 1 1

~ 1

k k h k k

e

h K p d A p V V B

h h d V

V Kp n

p ρ ϕ ^ϕ ϕ ^ϕ ϕ (12)

dla 0≤ϕ ≤ϕ_e; 0≤t₁ ≤t_k; ~p₁ =~p₁(ϕ;t₁); K≥0

Ciśnienie p10 jest bezwymiarowym ciśnieniem w szczelinie smarnej przy przepływie stacjonarnym (niezaburzonym) o stałej lepkości dynamicznej niezależnej od ciśnienia (K=0):

e e d

h h

p h ϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

≤

− ≤

= ∫ ^dla0

) ( ) 6 (

0 3

1 1 1

10 (13)

Bezwymiarowe ciśnienia w części stacjonarnej i niestacjonarnej przepływu na początku φ=0 i na końcu φ= φe filmu olejowego przyjmują wartości równe ciśnieniu atmosferycznemu. Na końcu filmu olejowego spełniony jest dodatkowo warunek brzegowy zerowania się pierwszej pochodnej ciśnienia po kącie opasania. Przy wyznaczaniu na drodze numerycznej współrzędnej φe określającej położenie końca filmu olejowego wykorzystano równanie (12).

Zmodyfikowana liczba Reynoldsa Re^* jest zdefiniowana Re^*≡ψRe i jej wartość mniejsza lub równa 2 określa [5] przepływ niestacjonarny laminarny w szczelinie smarnej. Liczba n=ω0/ω określa krotność częstości zaburzeń ω0 do prędkości kątowej czopa ω. W przypadku analizowanych w prezentowanej pracy zaburzeń prędkości obwodowej pochodzących od drgań skrętnych czopa łożyska głównego silnika spalinowego liczba n zależy od liczby







=

= =4

2

2 c s

s c

n (14)

cylindrów c silnika spalinowego oraz jego typu: dwusuwowego (s=2) lub czterosuwowego (s=4).

3. SIŁA NOŚNOŚCI HYDRODYNAMICZNEJ

Siłę nośności hydrodynamicznej łożyska W uzyskujemy, całkując rozkład ciśnienia hydrodynamicznego po powierzchni czopa [1]. Składowe Wx oraz Wy siły nośności hydrodynamicznej W przedstawiono schematycznie na rys.1 w prostokątnym układzie współrzędnych związanych z czopem łożyska. Składowe W1x oraz W1y nośności hydrodynamicznej W1 w postaci bezwymiarowej mają następującą postać [1] :

∫

∫ = =−

−

=

= y ^{y k}

k x

x p d

W W W d

W p W W

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

0 1

0 1

0 1

0

1 cos ; sin

(15)

W1 ≡ So

0 2 1 2

1 W

W W W_x+ _y =

=

W0≡^2Rbp0

gdzie: W0 - charakterystyczna wielkość nośności odniesienia So – liczba Sommerfelda łożyska

Ciśnienie w łożysku podczas zaburzenia jest sumą ciśnienia przepływu niezaburzonego i ciśnienia zaburzenia zgodnie z zależnością (2). Wobec powyższego podstawiając ciśnienie przepływu niezaburzonego p1 otrzymamy siłę nośności W1 a podstawiając ciśnienie sumaryczne

*

p 1

Rys.1 Układ współrzędnych i schemat do wyznaczania siły nośności

otrzymamy siłę nośności wynikająca z tego rozkładu W . Zmianę nośności hydrodynamicznej ₁^* łożyska spowodowaną zaburzeniami ciśnienia wyznaczamy z zależności:

1

* 1 1

~ W W

W = − (16)

Położenie siły nośności łożyska jako wypadkowej układu sił zbieżnych jest określone współrzędną kątową φw (rys. 1) wg zależności:

* 1

* 1

x y

w W

arctgW

−

=

−

=π β π

ϕ (17)

4. WYNIKI OBLICZEŃ

W przykładowych obliczeniach numerycznych przyjęto olej o stałej gęstości, co odpowiada wartościom ρ1=1 i czas odniesienia to przyjęto równy okresowi rozchodzenia się zaburzenia prędkości. W prezentowanych przykładach założono wartość wyrażenia nρ1Re^* = 12, co w przybliżeniu odpowiada pierwszej częstości wymuszenia drgań skrętnych wału dwusuwowego silnika sześciocylindrowego przy przepływie laminarnym niestacjonarnym. Obliczenia przeprowadzono dla łożyska o stałej mimośrodowości względnej równej λ= 0,6. Analizowano nośność oraz jej zmiany w czasie trwania zaburzenia dla dwóch wariantów zaburzeń prędkości obwodowej oleju na czopie V10 i na panewce V1h łożyska przy lepkości dynamicznej oleju zależnej od ciśnienia (K>0) i niezależnej od ciśnienia (K=0):

1. zaburzenia prędkości na czopie V10=0,05,

2. zaburzenia prędkości na czopie V10=0,05 i na panewce V1h=0,025,

Nośność hydrodynamiczną W przedstawiono na rys.2 jako funkcję czasu t₁^* 1 dla omawianych wcześniej dwóch wariantów zaburzeń prędkości oznaczonych cyframi 1 i 2.

Przebiegi ciśnień hydrodynamicznych dla tych wariantów zaburzeń przedstawiono w pracy [4].

Na rys. 2 przedstawiono także wyniki obliczenia nośności dla oleju o stałej lepkości (K=0).

Liniami poziomymi kropkowanymi zaznaczono nośność przy przepływie stacjonarnym bez zaburzeń prędkości obwodowej na czopie i panewce dla stałej i zmiennej lepkości dynamicznej oleju. Przebieg zmian

5 7 9 11 13 15

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

1 2

K=0 K=0,1

t1

W1

*

Rys.2 Przebieg bezwymiarowej nośności hydrodynamicznej W₁^* w łożysku w funkcji czasu przy zaburzeniach prędkości obwodowej: 1) V10=0,05;V1h =0;

2) V10=0,05; V1h =0,025

nośności hydrodynamicznej W w czasie jest okresowy o okresie równym okresowi trwania ₁^* zaburzenia prędkości. W przypadku zaburzenia prędkości na czopie łożyska wzrost nośności ponad wartość w stanie stacjonarnym trwa krócej niż połowa okresu zaburzenia i wzrost

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

1 2

K=0 K=0,1

t₁ W~

1

Rys.3 Przebieg bezwymiarowej nośności hydrodynamicznej ~₁

W w łożysku w

funkcji czasu przy zaburzeniach prędkości obwodowej: 1) V10=0,05;V1h =0;

2) V10=0,05; V1h =0,025

nośności jest wyższy niż spadek w pozostałym czasie. Zaburzenie prędkości na czopie w kierunku zgodnym z prędkością obwodową czopa powoduje większy wzrost nośności niż jej spadek. W przypadku zaburzeń prędkości obwodowej oleju na powierzchni panewki jest odwrotnie, ale te wykresy nie są prezentowane w tej pracy. Efekty te są widoczne w przypadku 2 na rys.2 i 3 dla różnych wartości prędkości zaburzenia na czopie i na panewce, gdzie przebiegi nośności w czasie nie są symetryczne. Przedstawiona zmiana nośności

bezwymiarowej W jest także zmianą liczby Sommerfelda So w modelowanym węźle ₁^* łożyskowym. Na rys. 4 przedstawiono kąt φw działania siły nośności hydrodynamicznej łożyska w funkcji bezwymiarowego czasu t1 w rozpatrywanych dwóch wariantach prędkości zaburzeń oznaczonych jak poprzednio. Linią kropkowaną oznaczono kąt φw położenia siły nośności przy przepływie stacjonarnym. Kąt φw określający położenie siły nośnej zmienia się okresowo przy czym okres jest równy okresowi zaburzenia prędkości. W przypadku wszystkich rozpatrywanych wariantach zaburzenia prędkości zmiana kąta φw w czasie jest niewielka i jest praktycznie do czterech stopni. Zmiana kąta położenia siły nośnej dla lepkości zależnej od

123 124 125 126 127 128 129 130 131 132

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

1 2

K=0 K=0,1

φw[ ]^o

t1

Rys.4. Kąt φw działania siły nośności W w funkcji bezwymiarowego czasu t₁^* 1

przy zaburzeniach prędkości obwodowej: 1) V10=0,05; V1h =0; 2) V10=0,05;

V1h =0,025

ciśnienia (K>0) jest nieznaczna w porównaniu ze zmianą dla stałej lepkości (K=0) i wynosi poniżej jednego stopnia kątowego. Zależność lepkości od ciśnienia powoduje wzrost kąta φw dla przepływu stacjonarnego.

5. WNIOSKI

Niestacjonarne zaburzenia prędkości na czopie i na panewce spowodowane drganiami skrętnymi czopa i obwodowymi panewki wpływają na rozkład ciśnienia hydrodynamicznego w szczelinie smarnej, a co za tym idzie, na wartość siły nośnej. Zmiany siły nośnej łożyska mają charakter okresowy związany z okresem trwania zaburzeń prędkości, a wartości tych zmian oraz ich charakter zależą od wielkości i rodzaju zaburzenia. Zależność lepkości od ciśnienia powoduje nie tylko wzrost siły nośnej w przepływie stacjonarnym, ale także wzrost zmiany siły nośnej spowodowanej zaburzeniem prędkości obwodowej. Zmiany nośności pochodzącej od zaburzeń prędkości mają charakter okresowy równy okresowi trwania zaburzenia prędkości.

Łożysko smarowane olejem o lepkości zależnej od ciśnienia (K=0,1) z większym zapasem nośności reaguje na zaburzenia prędkości pomimo większej wartości nośności zaburzenia niż w przypadku smarowania olejem o lepkości niezależnej od ciśnienia (K=0). Ta rezerwa nośności wynika ze wzrostu ciśnienia stacjonarnego przy smarowaniu olejem o zmiennej lepkości zależnej od ciśnienia. Zmiana w czasie kąta położenia siły nośności praktycznie nie zależy od tego od czy lepkość jest stała, czy zależna od ciśnienia, gdyż w rozpatrywanym przypadku są one poniżej jednego stopnia kątowego. Kąt położenia siły nośności jest większy, gdy lepkość zależy od ciśnienia. Uzyskane charakterystyki siły nośności w postaci bezwymiarowej umożliwiają ich uniwersalne wykorzystania w analizie poprzecznych łożysk ślizgowych. Autor zdaje sobie sprawę z szeregu założeń upraszczających zastosowanych

w prezentowanym modelu węzła łożyskowego i dotyczących przyjęcia izotermicznego modelu łożyska, łożyska o nieskończonej długości i newtonowskiego czynnika smarującego o stałej gęstości. Przedstawione rezultaty mogą być przydatne jako wartości porównawcze w przypadku laminarnych, niestacjonarnych przepływów płynów nienewtonowskich w szczelinach smarnych poprzecznych łożysk ślizgowych.

LITERATURA

1. Krasowski P.: Laminarne, niestacjonarne smarowanie łożyska ślizgowego w polu

magnetycznym dla lepkości oleju zależnej od ciśnienia. Tribologia 4/2002 (184), s. 1189- 1200.

2. Krasowski P.: Modelling of laminar unsteady and unsymetrical oil flow in slide journal bearing gap. Tribologia 5/2002, s. 1425-1436.

3. Krasowski P.: Ciśnienie w łożysku ślizgowym przy laminarnym niestacjonarnym

smarowaniu olejem o zmiennej lepkości. X Kongres Eksploatacji Urządzeń Technicznych, Stare Jabłonki, ITE-PIB Radom 2005, s. 269-278.

4. Teipel I., Waterstraat A.: The Reynolds equation for lubrication under unsteady condi- tions

5. Proceedings The IX Canadian Congress of Applied Mechanics, University of Saskatche- wan 1983, s. 497-502.

6. Wierzcholski K.: Mathematical methods in hydrodynamic theory of lubrication, Technical 7. University Press, Szczecin 1993.

8. Wierzcholski K.: Teoria niekonwencjonalnego smarowania łożysk ślizgowych, Wydawnictwo Politechniki Szczecińskiej, Szczecin 1995.

CAPACITY FORCES IN SLIDE JOURNAL BEARING FOR LAMINAR, UNSTEADY LUBRICATION

BY VARIABLE VISCOSITY OIL

Summary. The results of numerical solution of laminar, unsteady lubricated cylin- drical slide bearing. Laminar, unsteady oil flow is performed during periodic and unperiodic perturbations of bearing load or is caused by the changes of gap height in the time. The disturbances related with unsteady velocity oils on the journal and on the sleeve. The solutions apply to infinite length of lubricated with newtonian oil by dynamic viscosity depends on pressure. The numerical results shown on dia- grams of capacity force in dimensionless form in time intervals of displacement du- ration.

Autor składa podziękowania prof. dr. hab. inż. Krzysztofowi Wierzcholskiemu za liczne dyskusje w trakcie opracowania referatu.