CIŚNIENIE W PŁASKIM ŁOŻYSKU ŚLIZGOWYM PRZY NIESTACJONARNYM LAMINARNYM SMAROWANIU

33, s. 101-106, Gliwice 2007

CIŚNIENIE W PŁASKIM ŁOŻYSKU ŚLIZGOWYM

PRZY NIESTACJONARNYM LAMINARNYM SMAROWANIU

PAWEŁ KRASOWSKI

Katedra Podstaw Techniki , Akademia Morska e-mail: pawkras@am.gdynia.pl

Streszczenie: W artykule analizowano łożysko płaskie o liniowo zbieżnej wysokości szczeliny smarnej. Uwzględniono niestacjonarne zaburzenia prędkości przepływu oleju na powierzchni bieżni i suwaka łożyska. Uzyskano rozwiązania w postaci zmian ciśnienia dla izotermicznego modelu łożyska o nieskończonej szerokości smarowanego olejem o lepkości dynamicznej zależnej od ciśnienia.

Periodyczne zaburzenia prędkości wzdłuż szczeliny smarnej mogą być spowodowane drganiami wzdłużnymi elementów łożyska: bieżni i suwaka.

1. WSTĘP

Przedstawiona tematyka dotyczy niestacjonarnych przepływów laminarnych, [1,4,5] dla których zmodyfikowana liczba Reynoldsa Re^* jest mniejsza lub równa 2. W artykule analizowano zmianę zaburzeń prędkości oleju smarującego w kierunku wzdłużnym na płaszczyznach suwaka i bieżni poprzecznego łożyska ślizgowego. Łożysko płaskie może być modelem pracy łożyskowego węzła tarcia w parach kinematycznych o ruchu postępowym występujących w mechanizmach maszyn i urządzeń. Przykładem może być łożysko wodzikowe okrętowego wolnoobrotowego silnika spalinowego napędu głównego statku. Układ równań Reynoldsa dla niestacjonarnego, laminarnego przepływu oleju w poprzecznym łożysku walcowym przedstawiono w pracy [1], a w łożysku płaskim przedstawiono w [3]. Zaburzenia prędkości przepływu oleju smarującego na suwaku mogą wynikać z drgań wzdłużnych, podczas ruchu posuwisto zwrotnego suwaka, spowodowanych drganiami skrętnymi wału korbowego. Zaburzenia prędkości przepływu oleju w kierunku wzdłużnym na bieżni łożyska mogą być spowodowane drganiami wzdłużnymi bieżni pochodzącymi od drgań pionowych silnika. Izotermiczny model łożyska może być przybliżonym modelem pracy łożyskowego węzła tarcia przy ustalonych warunkach obciążenia cieplnego.

2. ZMODYFIKOWANE RÓWNANIE REYNOLDSA

Szczelinę smarną scharakteryzowano następującymi parametrami geometrycznymi:

maksymalną wysokością szczeliny ho , minimalną wysokością szczeliny he , długością L szczeliny oraz szerokością b (rys.1). W modelu szczeliny założono, że obie powierzchnie współpracujące zachowują identyczne wymiary szczeliny smarnej wzdłuż jej szerokości (brak

przekoszenia). Wysokość szczeliny smarnej po długości opisano w prostokątnym układzie współrzędnych

Rys. 1. Schemat szczeliny smarnej płaskiego łożyska ślizgowego następującą zależnością w postaci bezwymiarowej:

( )

( )

1 x 1x

h =ε− ε− dla 0≤x₁≤1 (1)

Bezwymiarowymi wielkościami [2,3] charakteryzującymi szczelinę smarną są: współrzędna długości x1 , współrzędna wysokości szczeliny h1 oraz współczynnik zbieżności ε szczeliny:

e

e h

h L

x x h

h₁= h ; ₁ = ; ε = ⁰ (2)

W rozpatrywanym modelu przepływu przy założeniu małych zaburzeń niestacjonarnych oraz przy zachowaniu laminarnego charakteru przepływu przyjęto, że prędkości Vi

*

przepływu oleju i ciśnienie p1*

są sumą wielkości zależnych V~_i

; ~p (przepływ niestacjonarny) ₁ i niezależnych V_i; p₁ od czasu (przepływ stacjonarny) [1,5] zgodnie z zależnością:

1 1

1 ~

; 1,2,3

~ i p p p

V V

V_i^∗ = _i+ _i = ^∗= + (3)

Składowe niestacjonarnej części prędkości przepływu V~_i

oraz ciśnienia ^~p₁ założono [4] w postaci następujących szeregów:

1 k

1) 0t 0t k j exp(

1) z 1; y 1; x )( k ( Vi 1)

t 1; z 1; y 1; x i(

V~ ∑∞

= ω

= i=1,2,3

∑∞

= ω

=

1 k

1) 0t 0t k j exp(

1) z 1; x )( k ( p1 t1

1; z 1;

x )

(

~p

1 (4)

gdzie: ω0 – częstość zaburzeń niestacjonarnej części przepływu; j= −1 jednostka urojona.

Lepkość dynamiczną η oleju zależną od ciśnienia przyjęto wg formuły podanej przez Barrusa [5] i przedstawiono [1] w postaci wymiarowej η i bezwymiarowej η1:

( ) ^{; exp}

( )

0 1 0

0e ^{p pa} e ^p αp

η η η η

η

η = ^{α −} ≈ ^α = = (5)

gdzie: ηo- lepkość dynamiczna oleju przy ciśnieniu atmosferycznym p=pa≈0, α – piezowspółczynnik uwzględniający zmiany lepkości od ciśnienia.

Równanie Reynoldsa określające sumaryczne bezwymiarowe ciśnienie p1*

w szczelinie smarnej poprzecznego łożyska płaskiego [3] przy niestacjonarnym, laminarnym izotermicznym

przepływie oleju newtonowskiego przy zaburzeniach prędkości wzdłużnej V10 na powierzchni bieżni i V1h na suwaku oraz zaburzeniach prędkości po szerokości łożyska V30 na bieżni i V3h

na suwaku ma postać:

( ) ( )

( ) ( )

( )

[ ] [ ( ) ]

∑

∞

=

∞

=











 



∂ + ∂

∂

− ∂

∂ + + ∂

∂ +

− ∂

 +









 



 



 +

∂ + ∂



 



 +

∂ + ∂

∂

= ∂

=









 



 





∂

− ∂

∂ −

∂

∂ + ∂











 



 





∂

− ∂

∂ −

∂

∂

∂

1 1 1 2 3 1 1 1 1 3

30 1 1 2 1 1 10 1 1

1 3 1 30

0 3 1 1 2 1 1 1 10

0 3 1 1

* 1 1 1

1 1 1

* 1 1

* 1 1 0

3 1 1 2 1 1 1 1

* 1 1

* 1 1 0

3 1 1

2 1 6 1

Re 1 2 6 1

1

k k h

h h

h

k k Kp h

Kp h

Kp Kp

z B V h L x V h V

V z h V L

V x h

A V

e V h L z

V e V

h n x

x h

z p p p z K p e h L z

x p p p x K p e h x

η ρ η

η η

(6)

dla 0≤x₁ ≤1; 0≤y₁ ≤h₁ ;-1≤z₁≤1; 0≤t₁≤t_k; p₁^∗ =p₁^∗(x₁;z₁;t₁)

Składowe wektora prędkości oleju w kierunku osi układu współrzędnych w postaci wymiarowej Vx , Vy , Vz i bezwymiarowej V1 , V2 , V3 opisano następująco:

L V

V U UV V

UV

V ₃

1 z 2

y 1

x = =ψ = (7)

przy czym: U – prędkość suwaka łożyska; L – długość łożyska; L1 – względna szerokość łożyska; ψ– luz względny (10⁻⁴ ≤ψ≤10⁻³) ; b – szerokość łożyska:

L b L

h_e

=

= ; L1

ψ (8)

Wielkość bezwymiarową ciśnienia p₁ , ciśnienie odniesienia p₀ oraz stałą K charakteryzującą zależność lepkości dynamicznej od ciśnienia, zdefiniowano [2] następująco:

p

K

; U p

; p p

p _{0 1 0 2}⁰ α ₀

ψ

η =

=

= L (9)

Liczba Reynoldsa Re oraz zmodyfikowana liczba Reynoldsa Re^* ma postać [2]:

Re Re

; Re

^*

0

0 ψ

η

ρ =

=U h^e

(10) Pozostałe wielkości bezwymiarowe gęstości ρ1, czasu t1 , współrzędnych y1 , z1 oraz sumy szeregów∑^∞

=1

k A oraz k ∑^∞

=1

k B w równaniu Reynoldsa (6) zdefiniowano w pracach [1,3]. k

W dalszej analizie numerycznej przyjęto czas odniesienia t0 jako okres rozchodzenia się zaburzenia prędkości wzdłużnej oleju smarującego. W przypadku, gdy zaburzenia prędkości przepływu oleju są spowodowane drganiami wymuszonymi silnika spalinowego, to występująca w równaniu (6) liczba n określa krotność częstości zaburzeń ω0 do prędkości kątowej ω wału korbowego silnika.

3. CIŚNIENIE HYDRODYNAMICZNE

Rozwiązanie równania (6) dla łożyska o nieskończonej długości przy założeniu, że prędkości zaburzeń nie zależą od współrzędnej x1, można przedstawić [3] w postaci sumarycznego bezwymiarowego ciśnienia hydrodynamicznego p1*

:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ∑

∑

∑

∞

=

∞

=

∗

∞

=







 



 



 − − + −

+ +

−

−

− + + −

 +

 

 + − +

− + +

− −

−

=

1 1 1 1 1

1 1 10 10

* 1 2

1 2 1

1 1

10 10 1 2 1 1

1 10 10 10 1

1

* 1

2 1 1 1

ln 1 ln 1 1

Re 1

3

1 1 Re 4

1

k k h

k k h

k k h K

A h h

x h

x V Kp V

n K

h A V h

Kp V n B x

V Kp V

p p x p

ε ε ε ε

ρ ε

ε ε ρ

ε (11)

Wielkość p10 jest ciśnieniem w rozpatrywanej szczelinie smarnej przy przepływie stacjonarnym przy stałej lepkości dynamicznej oleju smarującego, natomiast wielkość p1K jest ciśnieniem stacjonarnym dla lepkości zależnej od ciśnienia, przy czym [2]:

2 1 1

1 1

10 ( 1)( x x )

x ) x 1 )(

1 ( p 6

+ ε

− ε + ε

−

−

= ε ; ₁ 1 ln1 ₁₀

K Kp

p_K =− − (12)

10 0 1

lim p_K p

K =

→

Ciśnienie zaburzenia ~p w części niestacjonarnej przepływu można przedstawić jako różnicę ₁ ciśnienia sumarycznego p1*

i ciśnienia stacjonarnego p1K.

W przykładowych obliczeniach numerycznych przyjęto olej o stałej gęstości i założono wartość wyrażenia nρ1Re^* =12, co w przybliżeniu odpowiada wymuszeniu zaburzenia prędkości wzdłużnej w łożysku wodzikowym silnika przy pierwszej częstości wymuszenia od drgań skrętnych wału sześciocylindrowego dwusuwowego silnika spalinowego. Rozkład ciśnienia hydrodynamicznego oraz jego parametry zależą od współczynnika zbieżności ε szczeliny

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

K=0 K=0,25

1a ¹

2a 1b

2 2b

t1

p *₁

Rys.2. Rozkład sumarycznego ciśnienia p1* a) maksymalnego i b) minimalnego wzdłuż szczeliny smarnej o zbieżnościach ε: 1) ε = εopt ; 2) ε=1,4 przy zaburzeniach prędkości

V10=0,05

smarnej [2]. Zbieżność optymalna szczeliny wynosząca εopt =1+ 2 odpowiada maksymalnemu ciśnieniu hydrodynamicznemu. Ciśnienie w danym punkcie szczeliny smarnej jest zmienne w czasie trwania zaburzenia i jego rozkład po długości szczeliny osiąga wartościminimalne (b) i maksymalne (a). Na rys. 2 przedstawiono przykładowy rozkład sumarycznego ciśnienia hydrodynamicznego po długości łożyska o optymalnej zbieżności εopt oraz o zbieżności ε=1,4 oznaczonymi cyframi 1 i 2 przy lepkości stałej (K=0) i zależnej od ciśnienia (K=0,25). Linią przerywaną oznaczono wielkość ciśnienia przy przepływie stacjonarnym. Wykresy przedstawione na rys. 2 dotyczą przepływu z zaburzeniami prędkości wzdłużnej wyłącznie na

bieżni łożyska V10=0,05. W przypadku, gdy lepkość dynamiczna oleju zależy od ciśnienia, to zaburzenia ciśnienia są wyższe niż wówczas gdy olej ma stałą lepkość. Dalszą analizę rozkładu ciśnienia przeprowadzano dla szczeliny o zbieżności optymalnej (ε=εopt).

Analizowano rozkład ciśnienia sumarycznego wzdłuż szczeliny łożyska oraz rozkład ciśnienia zaburzenia w funkcji czasu w wybranym punkcie na powierzchni bieżni. Wyniki obliczeń numerycznych przedstawiono przy następujących zaburzeniach prędkości wzdłużnej na bieżni V10 i na suwaku V1h : 1) V10=0,05 , V1h=0 ; 2) V10=0,05 , V1h=0,025 ; 3) V10=0,05 , V1h=0,05;

3) V10=0,05 , V1h=-0,05.

Ciśnienie niestacjonarne zmienia się w czasie trwania zaburzenia prędkości, przy czym jego

0,13 0,15 0,17 0,19 0,21 0,23 0,25 0,27 0,29 0,31

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

3

1 2

4

K=0 K=0,25 p1*

t1

x =0,5₁

Rys.3. Przebieg ciśnienia p1* w punkcie x1=0,5 bieżni łożyska w funkcji czasu t1

przy zaburzeniach prędkości wzdłużnej 1) V10=0,05, V1h=0; 2) V10=0,05, V1h=0,025; 3) V10=0,05, V1h=0,05; 4) V10=0,05, V1h=-0,05

przebieg jest funkcją czasu i położenia wzdłuż długości łożyska. Jest ono funkcją okresową o okresie trwania zaburzenia prędkości. Przebieg ciśnienia sumarycznego p1* w punkcie leżącym w połowie długości łożyska x1=0,5 na powierzchni bieżni w funkcji bezwymiarowego czasu

^-0,1

-0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

1a

1b 2a

2b

3a 4a

3b

4b p₁

~

K=0 K=0,25

x1

Rys.4 Przebieg maksymalnego (a) i minimalnego (b) ciśnienia zaburzenia~p na długości ₁ łożyska przy zaburzeniach prędkości wzdłużnej 1) V10=0,05, V1h=0; 2) V10=0,05, V1h=0,025; 3) V10=0,05, V1h=0,05; 4) V10=0,05, V1h=-0,05

przedstawiono na rys.3 dla wariantów zaburzeń prędkości. Linią poziomymi oznaczono ciśnienie stacjonarne. Gdy zaburzenia prędkości oleju na bieżni łożyska są zgodne z prędkością

ruchu suwaka, to ciśnienie zaburzenia wzrasta, w przeciwnym wypadku maleje, przy czym spadek jest znaczne większy niż wzrost oraz trwa krócej niż połowa okresu zaburzenia. Czasy trwania wzrostu i spadku ciśnienia są niesymetryczne w przypadku różnych wartości prędkości zaburzeń (rys.3). Wielkości zaburzeń ciśnienia są większe dla wariantów zaburzeń prędkości, gdy lepkość zależy od ciśnienia. Rozkład ciśnienia zaburzenia ~p wzdłuż szczeliny zmienia się ₁ w czasie, dając maksymalne i minimalne ciśnienie w różnych chwilach czasowych . Przebiegi maksymalnych (a) i minimalnych (b) ciśnień zaburzenia po długości łożyska pokazano na rys.4 dla rozpatrywanych przypadków zaburzeń prędkości przepływu oleju.

4. WNIOSKI

Przedstawiony przykład rozwiązania równania Reynoldsa dla przepływu niestacjonarnego laminarnego newtonowskiego czynnika smarującego umożliwia wstępną ocenę rozkładu ciśnienia hydrodynamicznego jako podstawowego parametru eksploatacyjnego łożyska ślizgowego. Niestacjonarne zaburzenia prędkości wzdłużnej na powierzchni bieżni i suwaka wpływają na rozkład ciśnienia hydrodynamicznego w szczelinie smarnej. Zmiany ciśnienia w łożysku mają charakter okresowy równy okresowi trwania zaburzeń prędkości, a wartość tych zmian oraz ich charakter zależą od rodzaju zaburzenia.

LITERATURA

1. Krasowski P.: Laminarne, niestacjonarne smarowanie łożyska ślizgowego w polu magnetycznym dla lepkości oleju zależnej od ciśnienia.”Tribologia” 2002 nr.4 (184), s.1189-1200.

2. Krasowski P.: Ciśnienie hydrodynamiczne i nośność w płaskim łożysku ślizgowym o liniowo zbieżnej szczelinie smarnej. ZN Politechniki Gdańskiej, „Budownictwo Okrętowe”. Gdańsk 2004, Nr 65, s. 105-112.

3. Krasowski P.: Modelowanie niestacjonarnego laminarnego przepływu w płaskim łożysku ślizgowym. Gdynia: Akademia Morska, 2006 (praca niepublikowana).

4. Wierzcholski K.: Mathematical methods in hydrodynamic theory of lubrication, Technical University Press, Szczecin 1993.

5. Wierzcholski K.: Teoria niekonwencjonalnego smarowania łożysk ślizgowych. Szczecin:

Wyd. Pol. Szczecińskiej, 1995.

PRESSURE IN SLIDE JOURNAL PLANE BEARING BY LAMINAR UNSTEADY LUBRICATION

Summary. This paper shows results of numerical solutions an modified Reynolds equations for laminar unsteady oil flow in slide journal plane bearing gap. It shows a preliminary analysis of pressure distribution change in the bearing by velocity per- turbations of oil flow in the longitudinal direction of a bearing. Described effect can be used as an example of modeling the bearing friction node operations in recipro- cating movement during exploitation of engines and machines. Plane crossbar jour- nal bearing occur in ship combustion engine as a crosshead bearing.