PRĘDKOŚĆ PRZEPŁYWU OLEJU W SZCZELINIE ŁOŻYSKA PRZY NIESTACJONARNYM LAMINARNYM SMAROWANIU

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 1896–771X 38, s. 95–102, Gliwice 2009

PRĘDKOŚĆ PRZEPŁYWU OLEJU W SZCZELINIE ŁOŻYSKA PRZY NIESTACJONARNYM LAMINARNYM SMAROWANIU

P^AWEŁ K^RASOWSKI

Katedra Podstaw Techniki, Akademia Morska w Gdyni e–mail: pawkras@am.gdynia.pl

Streszczenie. W pracy przedstawiono wyniki rozwiązania zmodyfikowanego ciągu równań Reynoldsa opisującego laminarny, niestacjonarny przepływ oleju smarującego w szczelinie smarnej poprzecznego cylindrycznego łożyska ślizgowego. Wyniki tych rozwiązań umożliwiają wyznaczenie rozkładu prędkości oleju w kierunku wzdłużnym i poprzecznym łożyska. Uwzględniono niestacjonarne zaburzenia prędkości przepływu oleju na powierzchni czopa i panewki łożyska.

Wyniki rozwiązania dotyczą izotermicznego modelu łożyska o nieskończonej długości, smarowanego olejem o stałej lepkości dynamicznej.

1. WSTĘP

Tematyka badań dotyczy niestacjonarnych przepływów laminarnych [1,4,5], dla których zmodyfikowana liczba Reynoldsa Re^* jest mniejsza lub równa 2. Przepływ laminarny i niestacjonarny oleju smarującego może występować podczas periodycznych lub przypadkowych, nieperiodycznych zaburzeń wartości obciążeń łożyska względnie zmian geometrii szczeliny w czasie. Rozkłady ciśnienia oraz nośność cylindrycznego łożyska przy niestacjonarnym laminarnym smarowaniu analizowano w pracy [2]. W niniejszej pracy analizowano rozkład prędkości przepływu w szczelinie smarnej wskutek zaburzeń prędkości oleju w kierunku obwodowym na panewce i czopie poprzecznego, cylindrycznego łożyska ślizgowego. Nowością oraz rozwinięciem poprzednich prac autora jest uzyskanie w postaci analitycznej i numerycznej funkcji rozkładu prędkości zaburzenia w szczelinie smarnej łożyska o nieskończonej długości. Równanie Reynoldsa dla niestacjonarnego, laminarnego przepływu oleju newtonowskiego w poprzecznym łożysku walcowym przedstawiono w pracy [1].

Zaburzenia prędkości przepływu czynnika smarującego na czopie mogą pochodzić od drgań skrętnych wału korbowego. Zaburzenia prędkości przepływu oleju w kierunku kąta opasania na panewce łożyska mogą być spowodowane drganiami obwodowymi obudowy łożyska pochodzącymi od drgań silnika. Izotermiczny model łożyska może być przybliżonym modelem pracy łożyskowego węzła tarcia przy ustalonych warunkach obciążenia cieplnego.

2. RÓWNANIA REYNOLDSA, CIŚNIENIE HYDRODYNAMICZNE

W pracy rozpatrzono przepływ oleju smarującego w szczelinie smarnej cylindrycznego łożyska ślizgowego. Analizę przeprowadzono w cylindrycznym układzie współrzędnych, przy

czym kierunek 1 jest kierunkiem obwodowym po kącie opasania φ, kierunek 2 to współrzędna promieniowa r, a kierunek 3 definiuje współrzędną po długości łożyska. W rozpatrywanym modelu przepływu założono, że prędkości Vi* przepływu oleju i ciśnienie p1* są sumą wielkości zależnych V~_i; p~₁ (przepływ niestacjonarny) i niezależnych V_i;p₁ od czasu (przepływ stacjonarny) [1], [3], [5] zgodnie z zależnością:

1,2,3 i

, p~

p p , V~ V

V_i^*= _i + _{i 1}^* = ₁+ ₁ = (1) Składowe niestacjonarnej części prędkości przepływu V~_i

oraz ciśnienia ~p₁ założono według [4] w postaci następujących szeregów:

) t t jk exp(

) z , r , ( V ) t , z , r , ( V~

1 0 0 1

1 1 k

) k ( i 1

1 1

i j = å^¥ j w

= i=1, 2, 3

) t t jk exp(

) z , r , ( p ) t , z , r , (

p _{1 1 0 0 1}

1 k

) k ( 1 1

1 1

1 j = å^¥ j w

= (2) gdzie: ω0 – częstość zaburzeń niestacjonarnej części przepływu;

j= -1 jednostka urojona.

Składowe wektora prędkości oleju w kierunku osi układu współrzędnych w postaci wymiarowej Vφ , Vr , Vz i bezwymiarowej V1 , V2 , V3 przedstawiono [1] w postaci :

L V

V U UV V

UV

V ₃

1 z 2

r

1 =y =

j= (3)

gdzie: U – prędkość obwodowa łożyska U=ωR;

ω – prędkość kątowa wału;

R – promień czopa łożyska;

ψ– promieniowy luz względny łożyska (10^-4 £y£10^-3);

2b – długość łożyska;

L1 – względna długość łożyska;

ε – luz promieniowy łożyska:

R L b

;

Re ¹ =

=

y (4)

Dodatkowo przyjęto [1], [4] wielkość bezwymiarową dla gęstości ρ1, ciśnienia p₁ , czasu t1

oraz pozostałych współrzędnych r1 oraz z1 wg następującego oznaczenia:

(

)

r , z b z

t t t , p p p ,

1 1

1

1 1 0

0 1

0

e

= y

+

=

=

=

= r

r

=

r (5)

Gęstość, ciśnienie i czas z indeksem zero są odpowiadającymi tym wielkościom wartościami odniesienia. Liczba Reynoldsa Re oraz zmodyfikowana liczba Reynoldsa Re^*, a także liczba Strouhala St przyjmują postać [1]:

St Ut

; Re Re

; R Re U

; R p U

0

* 0

0 2

0 0

= e y

h = y

= r y

= h (6)

W pracach [1], [3] przedstawiono ogólne związki, które określają składowe bezwymiarowych prędkości obwodowych V₁^(k) oraz prędkości wzdłużnych V₃^(k) w postaci:

( ) [ ( ) ]

( )

( )

[ ] [ ^{( )} ]

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

ïî ïí ì

- -

- + -

- -

- - - + -

ïþ+ ïý ü ïî

ïí ì

+

- - +

¶

¶

=h

k 1 k

1

k 1 k

ih 1 k

1 k

1

k 1 1 k

1 0 1

2 i

k 1

k 1 1 k

1 i

) k 1(

k 1 ) k i(

jA h exp jA

h exp

jA r exp jA

r V exp

jA h exp jA

h exp

jA h r exp jA

h r V exp k

1

jA h exp 1

jA r h exp jA

r 1 exp x p A V j

(7)

gdzie: A k ReSt ₀t₀ k 1;2;3...

1

k 1 w =

h

= r i=1,3 x₁=j; x₃ =z₁ (8)

W powyższych związkach Vi0 , Vih oznaczają bezwymiarową składową zaburzenia prędkości w kierunku obwodowym (i = 1) i wzdłużnym (i = 3) odpowiednio na czopie (r1 = 0) i na panewce łożyska (r1 = h1). Bezwymiarowe składowe prędkości przepływu w części stacjonarnej i niestacjonarnej w kierunku obwodowym (po kącie opasania) dla r1 = 0 na powierzchni czopa oraz dla r1 = h1 na powierzchni panewki spełniają następujące [1] warunki brzegowe:

îí ì

=

= j

=

= j

0 ) z

; h r

; ( V

1 ) z

; 0 r

; ( V

1 1 1 1

1 1

1 ;

ïî ïí ì

g

=

= j

g

=

= j

2 h V 1 1 1 1 1 ) k ( 1

2 V 10 1 ) 1

k 1(

k ) V t

; z

; h r

; ( V

k ) V z

; 0 r

; ( V

(9)

Wielkość γV jest współczynnikiem wagowym prędkości zaburzenia, zależnym od przyjętej postaci wyrazów ciągu prędkości zaburzenia. Prędkości zaburzenia U0 w kierunku kąta opasania φ na powierzchni czopa oraz prędkości zaburzenia Uh w kierunku kąta opasania φ na powierzchni panewki są związane z funkcjami bezwymiarowymi według związków (3), które wynikają z ogólnych zasad wprowadzania wielkości bezwymiarowych:

U V₁₀ ºU⁰ ;

U

V_1h º U^h (10)

Bezwymiarowe składowe prędkości przepływu w części stacjonarnej i niestacjonarnej w kierunku promieniowym przy r1 = 0 spełniają zerowe warunki brzegowe, natomiast przy r1 = h na powierzchni panewki warunki brzegowe przyjmują postać uwzględniającą szybkość ₁^* zmiany wysokości szczeliny smarnej:

îí ì

=

= j

=

= j

*;z ) 0 h

r

; ( V

0 ) z

; 0 r

; ( V

1 1 1 2

1 1

2

ïî ïí ì

¶

= ¶

= j

=

= j

* *

1 1 1 1 1 1 ) k ( 2

1 1 1 ) k ( 2

t ) h t

; z

; h r

; ( V

0 ) t

; z

; 0 r

; ( V

(11)

przy czym:

w g w

w =

= w

¶

¶ ^* ₀

1 0 h

) k 1( 1

1 h

k k j

t jh h

Wielkość h^*1 opisuje uśrednioną wysokością szczeliny w czasie trwania zaburzenia prędkości w kierunku promieniowym [1], a γh jest współczynnikiem wagowym, zależnym od przyjętej postaci wyrazów ciągu prędkości zaburzenia V^(k)2 w kierunku promieniowym. W niniejszej pracy nie rozpatrywano dalej zmiany wysokości szczeliny smarnej w czasie, jednakże przedstawione ogólne równania umożliwiają uwzględnienie tej zmiany. W tym przypadku należy we wszystkich wzorach uwzględnić nową uśrednioną wysokość szczeliny h^*1 obliczoną według zasad przedstawionych w [1].

Bezwymiarowe składowe prędkości przepływu w części stacjonarnej i niestacjonarnej w kierunku szerokości łożyska (po współrzędnej z1) dla r1 = 0 na powierzchni czopa oraz dla r1 = h1 na powierzchni panewki spełniają następujące warunki brzegowe:

îí ì

=

= j

=

= j

0 ) z

; h r

; ( V

0 ) z

; 0 r

; ( V

1 1 1 3

1 1

3

ïî ïí ì

g

=

= j

g

=

= j

2 h V 3 1 1 1 ) 1

k 3(

2 V 30 1 1 1 ) k ( 3

k ) V t

; z

; h r

; ( V

k ) V t

; z

; 0 r

; ( V

(12)

Wielkości V30 i V3h oznaczają bezwymiarowe wartości prędkości zaburzenia Vz0 w kierunku z po długości łożyska na powierzchni czopa, oraz Vzh na powierzchni panewki. Wspomniane bezwymiarowe wartości zaburzeń prędkości przyjmuje się w postaci:

U L V V

1

30 º 0 ;

U L V V

1 h h

3 º . (13) Składowe prędkości zaburzenia przedstawione związkami (7) zawierają pochodne składowych ciśnienia zaburzenia p₁^(k) względem współrzędnych φ i z1. W związku z powyższym pochodne składowych ciśnienia muszą zostać wyznaczone z równań Reynoldsa dla składowych ciśnienia zaburzenia. W pracy [1] zamieszczono zestawienie równań Reynoldsa dla poszczególnych składowych ciśnienia zaburzenia. Zostały one wykorzystane przy wyprowadzaniu równania Reynoldsa dla przepływu niestacjonarnego, laminarnego w pracach [1,3,4]. Równanie Reynoldsa dla poszczególnych składowych p₁^(k) przyjmuje postać:

( )

[ ] [ ( ) ]

( )

[ ]

[ ^{( )} ]

2 1

) 1 cos(

1 2 6

) sin(

12 ) 1 cos(

) cos(

1 0 0 3

30 3 1 1 2 1 1 10 3 2 1

1 0 0 1

1 2 1 1 1 3

30 1 1 2 1 1 10 2 1

1 0 1 0

1 0 0 0 1

) ( 1 1

3 1 1 2 1 1 0 0 )

( 1 1

3 1

t t k V

V h z A V L

V h k A

t t z k

h L V h

V V z h V L

V k h

t t k k

t h t z k

p h z t L

t p k

h

h k

h k

V

h h

h V

h k

k

j w g

j w g j

w w g w h w

j w h j

þý ü îí

ì +

¶ + ¶

¶ + + ¶

þ + ýü îí

ì ÷÷ø

çç ö è æ

¶ + ¶

¶ - ¶

¶ + + ¶

¶ + - ¶

+ -

÷÷ = ø çç ö

è æ

¶

¶

¶ + ¶

÷÷ø çç ö

è æ

¶

¶

¶

¶

(14)

3. PRĘDKOŚĆ PRZEPŁYWU W SZCZELINIE SMARNEJ

W dalszej części pracy dokonano analizy nieskończenie długiego łożyska z zaburzeniami obwodowymi prędkości na czopie V10 i na panewce V1h. Uwzględniono przy tym, że zaburzenia prędkości obwodowej spowodowane są drganiami skrętnymi czopa lub

przemieszczeniami obwodowymi obudowy (panewki). Założono także czas odniesienia t0 jako czas trwania zaburzenia. Wobec powyższego wyrażenia (8) przekształcono do postaci:

Re Re k 1;2;3...

1 0 1 0 1

1 = =

=k St t k ^*n

A_k

h w r

h

r (14)

W przypadku, gdy zaburzenia prędkości przepływu oleju są spowodowane drganiami wymuszonymi silnika spalinowego, to występująca w równaniu (7) liczba n określa krotność częstości zaburzeń ω0 do prędkości kątowej ω wału korbowego silnika. W przypadku zaburzenia prędkości obwodowej pochodzącej od drgań skrętnych czopa łożyska głównego silnika spalinowego liczba n określona jest w zależności od liczby cylindrów c i typu silnika:

dwusuwowy (s = 2) lub czterosuwowy (s = 4):

ïî ïí ì

=

= =

= 4

2

0 2

c ss n c

w

w (15)

Rozwiązanie równania Reynoldsa (14) dla łożyska nieskończenie długiego i warunków brzegowych Reynoldsa na końcu filmu olejowego φ = φe oraz po uwzględnieniu (14), przyjmuje postać:

( ) ( ) ( )

( )

(

)

1 3 1 3 1 1 10 1 *

1 0 3 0

1 1 1 1

21 10 1

0 0 )

( 1

sin 2 Re

6 cos cos

t t h k

h V h

V k n

t t h k

h V h

k V t

t p k

h e V

h e V

k

r w g

w h g

j w

+ - +

- + -

-

¶ =

¶

(16)

gdzie: h1 oraz h1e wysokości szczeliny smarnej

h₁(j)=1+lcosj ; h1e = h1(φe) (17) Po uwzględnieniu (16) prędkość zaburzenia (7) w kierunku obwodowym przyjmie postać:

) t k 2 k cos(

) k ( V B

) t k 2 k cos(

) k ( V A

) t k 2 k sin(

) k ( P h

h )h V V 2 (

) t k 2 k cos(

) k ( P h

h )h V V n ( Re V~ 6

1 1

k 2

h 1 V 1 1

k 2

10 V

1 1

k 2

3 1

3e 3 1 h 1 1 V 10

1 1

k 3

3 1

e 1 h 1

1 10

* V 1 1 1

p g

+ p g

+

+ - p

g + -

+ - p

- r g

= h

å å

å

å

¥

=

¥

=

¥

=

¥

=

(18)

Poszczególne wyrazy szeregów P(k), A(k) i B(k) występujące w (18) są postaci:

) X sh cos(

) X sh cosh(

) X sh sinh(

] X h ) s 1 sin[(

] X h ) s 1 sinh[(

) X sh ) sin(

k ( P

k 1 k

1

k 1 k

1 k

1 k

1

+ - +

= -

) X h 2 cos(

) X h 2 cosh(

) X sh cos(

] X h ) s 2 cosh[(

] X h ) s 2 cos[(

) X sh cosh(

) k ( A

k 1 k

1

k 1 k

1 k

1 k

1

-

- +

-

= - (19)

) X h 2 cos(

) X h 2 cosh(

] X h ) s 1 cos[(

] X h ) s 1 cosh[(

] X h ) s 1 cos[(

] X h ) s 1 cosh[(

) k ( B

k 1 k

1

k 1 k

1 k

1 k

1

-

+ -

- -

= +

1 1

h

s= r ; _V 6₂

= p

g ; Re n

k2 X

1

k 1 *

h

= r k=1,2,3……

Dodatkowo symbolem s oznaczono bezwymiarowy parametr wysokości szczeliny smarnej (0£s£1). Współczynnik wagowy ciągu prędkości zaburzenia γV został określony przy przyjętej postaci wyrazów ciągu (9). W obliczeniach numerycznych przyjęto łożysko walcowe o λ = 0,6 oraz założono stałą gęstość i lepkość dynamiczną oleju smarującego (ρ1=1; η1=1).

Wielkość Re^*n przyjęto równą 12, co odpowiada zaburzeniom prędkości obwodowej pochodzącym od drgań skrętnych dwusuwowego silnika sześciocylindrowego. Przykładem obliczeń numerycznych jest rozkład prędkości obwodowej w szczelinie łożyska przy dwóch zaburzeniach prędkości : 1) V10=0,05 , V1h=0,025, 2) V10=0,05 , V1h= –0,05 .

^-0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0;1

0,1 0,2 0,3 0,4

0,5 0,6

0,7 0,8 0,9

s V~

1

Rys. 1 Rozkład prędkości obwodowej ~₁

V zaburzenia po wysokości szczeliny s w czasie t1 przy zaburzeniach prędkości obwodowej V10 = 0,05, V1h = 0,025

-0,05 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

s 2

5 6 3

1

4 V~

1

Rys. 2 Rozkład prędkości obwodowej V przy zaburzeniach prędkości obwodowej ~₁ V10 = 0,05 ,V1h = -0,05, po wysokości szczeliny s w czasie t1 : 1) 0; 1, 2) 0,1; 0,9 ,

3) 0,2; 0,8 , 4) 0,3; 0,7 , 5) 0,4; 0,6 , 5) 0,5

Wyznaczono rozkład prędkości obwodowej zaburzenia po wysokości szczeliny w przekroju o współrzędnych kąta opasania φ = 160º. Wyniki w przypadku obu wariantów zaburzeń pokazano na rys. 1 i 2 w poszczególnych chwilach czasowych t1 podczas trwania zaburzenia.

Prędkości zaburzeń przyjmują wartości różnego znaku, przeciwnego do prędkości zaburzenia początkowego V10, V1h , przy czym ich wartości bezwzględne są mniejsze.

Z porównania wykresów przedstawionych na rys. 1 i 2 wynika, że w przypadku wykresów z rys. 2 rozkład prędkości jest symetryczny w czasie, a w przypadku rys. 1 taka symetria nie zachodzi względem czasu trwania zaburzenia. Ma to związek z asymetrią zaburzeń ciśnienia w czasie, co pokazano w pracy [2].

Rys. 3 Rozkład prędkości obwodowej ~₁

V zaburzenia po wysokości szczeliny s w czasie t1 przy zaburzeniach prędkości obwodowej a)V10 = 0,05, V1h = 0,025 ;

b) V10 = 0,05, V1h = –0,05

Na rys.3 przedstawiono wykresy przestrzenne rozkładu prędkości zaburzenia V~₁

w poprzednio opisanych wariantach, po wysokości bezwymiarowej szczeliny s (oś pionowa) w czasie t1. Wartości prędkości zaburzenia przedstawiono wzdłuż osi poziomej V1. Dodatkowo na rys. 3 zaznaczono ramką płaszczyznę zerową, w przypadku gdy zaburzenia prędkości są równe zero.

Pozwala to na oszacowanie, kiedy prędkości zmieniają znak na przeciwny w stosunku do zaburzenia początkowego w chwili t1=0. Wartości prędkości są mniejsze niż wartości na początku trwania zaburzenia.

4. ZAKOŃCZENIE

Przedstawiony przykład rozwiązania równania Reynoldsa dla przepływu niestacjonarnego laminarnego newtonowskiego czynnika smarującego umożliwia wstępną ocenę rozkładu ciśnienia hydrodynamicznego oraz prędkości jako podstawowego parametru eksploatacyjnego łożyska ślizgowego. Niestacjonarne zaburzenia prędkości na czopie i na panewce wpływają na rozkład ciśnienia hydrodynamicznego w szczelinie smarnej. Wpływ obu tych zaburzeń jest ilościowo i jakościowo różny. Zmiany ciśnienia w łożysku mają charakter okresowy, równy okresowi trwania zaburzeń prędkości, a wartość tych zmian oraz ich charakter zależą od

rodzaju zaburzenia. Autor zdaje sobie sprawę z szeregu założeń upraszczających zastosowanych w przedstawionym modelu węzła łożyskowego i dotyczących przyjęcia oleju newtonowskiego oraz rozpatrywania izotermicznego modelu łożyska. Przedstawiony rozkład prędkości zaburzenia w postaci analitycznej i numerycznej, w szczelinie łożyska jest niezbędny do wyznaczenia siły tarcia i współczynnika tarcia przy niestacjonarnym laminarnym smarowaniu. Stanowi to dalszy krok w analizie przepływów niestacjonarnych laminarnych w łożyskowych węzłach tarcia. Mimo iż podany w pracy przykład obliczeniowy dotyczy łożyska o nieskończonej długości, to uzyskane wnioski mogą być przydatne do oceny rozkładu ciśnienia, siły nośnej, siły tarcia oraz współczynnika tarcia przy laminarnym, niestacjonarnym smarowaniu cylindrycznych łożysk ślizgowych o skończonej długości. Przedstawione w pracy wyniki mogą posłużyć jako wartości porównawcze w przypadku modelowania numerycznego laminarnych, niestacjonarnych przepływów płynów nienewtonowskich w szczelinach smarnych cylindrycznych poprzecznych łożysk ślizgowych.

LITERATURA

1. Krasowski P.: Modelling of laminar unsteady and unsymetrical oil flow in slide journal bearing gap. “Tribologia” 2002, 5, p. 1425–1436.

2. Krasowski P.: Pressure and capacity forces in slide journal plane bearing by laminar unsteady lubrication. “Journal of Polish CIMAC, Diagnosis, reliability, and safety. Gdansk 2008, Vol.3 No. 2, p. 91 – 98.

3. Teipel I., Waterstraat A.: The Reynolds equation for lubrication under unsteady conditions. Proceedings The IX Canadian Congress of Applied Mechanics. University of Saskatchewan 1983, p. 497–502.

4. Wierzcholski K.: Mathematical methods in hydrodynamic theory of lubrication. Szczecin : Technical University Press, 1995.

5. Wierzcholski K.: Teoria niekonwencjonalnego smarowania łożysk ślizgowych. Szczecin : Wyd. Pol. Szczecińskiej, 1995.

VELOCITY DISTRIBUTION IN SLIDE JOURNAL BEARING GAP BY LAMINAR UNSTEADY LUBRICATION

Summary. This paper shows results of numerical solutions of the modified Reynold’s equations for laminar unsteady oil flow in the slide journal bearing gap.

It shows a preliminary analysis of velocity distributions change in the bearing by laminar, unsteady lubrication caused by velocity perturbations of oil flow in the circumferential direction of a bearing. This solution has been applied to the isothermal bearing model with infinity length lubricated oil with constant dynamic viscosity.