NOŚNOŚĆ PŁASKIEGO ŁOśYSKA ŚLIZGOWEGO PRZY LAMINARNYM NIESTACJONARNYM SMAROWANIU

36, s. 201-206, Gliwice 2008

NOŚNOŚĆ PŁASKIEGO ŁOśYSKA ŚLIZGOWEGO PRZY LAMINARNYM NIESTACJONARNYM SMAROWANIU

P

K

Katedra Podstaw Techniki, Akademia Morska w Gdyni e-mail: pawkras@am.gdynia.pl

Streszczenie. W artykule przedstawiono przykładowe wyniki rozwiązania zmo- dyfikowanego równania Reynoldsa opisującego laminarny niestacjonarny prze- pływ oleju smarującego w szczelinie smarnej płaskiego poprzecznego łoŜyska śli- zgowego o liniowo zbieŜnej wysokości szczeliny smarnej. Uwzględniono niesta- cjonarne zaburzenia prędkości przepływu oleju na powierzchni bieŜni i suwaka łoŜyska. Wyniki rozwiązania dotyczą izotermicznego modelu łoŜyska o nieskończonej szerokości smarowanego olejem o lepkości dynamicznej zaleŜnej od ciśnienia. Analizowano zmianę nośności hydrodynamicznej łoŜyska przy róŜ- nych zaburzeniach prędkości przepływu oleju w kierunku wzdłuŜnym łoŜyska.

Wyniki obliczeń przedstawiono w postaci bezwymiarowych charakterystyk zmia- ny siły nośności i jej połoŜenia.

1. WSTĘP

Prezentowana tematyka dotyczy niestacjonarnych przepływów laminarnych, [1],[4],[5], dla których zmodyfikowana liczba Reynoldsa Re^* jest mniejsza lub równa 2. Przepływ laminarny i niestacjonarny oleju smarującego moŜe występować podczas periodycznych lub przypadko- wych nieperiodycznych zaburzeń wartości obciąŜeń łoŜyska względnie zmian geometrii szczeliny w czasie. W prezentowanej pracy analizowano zmianę zaburzeń prędkości oleju w kierunku wzdłuŜnym na płaszczyznach suwaka i bieŜni poprzecznego płaskiego łoŜyska śli- zgowego. ŁoŜysko płaskie moŜe być modelem pracy łoŜyskowego węzła tarcia w parach ki- nematycznych o ruchu postępowym występujących w mechanizmach maszyn i urządzeń.

Przykładem moŜe być łoŜysko wodzikowe okrętowego wolnoobrotowego silnika spalinowego napędu głównego statku. Równanie Reynoldsa dla niestacjonarnego, laminarnego przepływu oleju newtonowskiego w poprzecznym łoŜysku walcowym przedstawiono w pracy [1],[6], a w płaskim łoŜysku w [3]. Stacjonarny model smarowania płaskiego łoŜyska poprzecznego przedstawiono w pracy [2]. Zaburzenia prędkości przepływu czynnika smarującego na suwa- ku mogą być spowodowane drganiami wzdłuŜnymi suwaka, które mogą pochodzić od drgań skrętnych wału korbowego. Zaburzenia prędkości przepływu oleju w kierunku wzdłuŜnym na bieŜni łoŜyska mogą być spowodowane drganiami wzdłuŜnymi bieŜni pochodzącymi od drgań pionowych silnika. Izotermiczny model łoŜyska moŜe być przybliŜeniem pracy łoŜyskowego węzła tarcia przy ustalonych warunkach obciąŜenia cieplnego.

2.RÓWNANIE REYNOLDSA, CIŚNIENIE HYDRODYNAMICZNE

Szczelina smarna scharakteryzowana jest parametrami geometrycznymi: maksymalną wy- sokością h_o , minimalną wysokością h_e , długością L oraz szerokością b (rys.1).

W prezentowanym modelu szczeliny załoŜono, Ŝe obie powierzchnie współpracujące zacho- wują identyczne wymiary szczeliny smarnej wzdłuŜ jej szerokości (brak przekoszenia). Wiel- kościami bezwymiarowymi [2],[3] charakteryzującymi szczelinę są: współrzędna długości x₁ , współrzędna wysokości h₁ oraz współczynnik zbieŜności ε:

e

e h

h L

x x h

h₁= h ; ₁= ; ε = ⁰ (1)

Rys. 1. Schemat szczeliny smarnej płaskiego łoŜyska ślizgowego

Wysokość h₁ szczeliny smarnej po długości łoŜyska opisano w prostokątnym układzie współrzędnych następującą zaleŜnością w postaci bezwymiarowej:

h₁

( )

(

)

przepływu oleju i ciśnienie p₁^* są sumą wielkości zaleŜnych V~_i

; ~p₁ (przepływ niestacjonarny) i niezaleŜnych

; p1

V_i od czasu (przepływ stacjonarny) [1],[5] zgodnie z zaleŜnością:

~ , ~ , i 1,2,3

1 1

1 = + =

+

= ^∗

∗ V V p p p

V_{i i i} (3) Składowe niestacjonarnej części prędkości przepływu V~_i

oraz ciśnienia ^~p₁ załoŜono w postaci szeregów przedstawionych i opisanych w [3]. Składowe wektora prędkości oleju w kierunku osi układu współrzędnych w postaci wymiarowej Vx , Vy , Vz i bezwymiarowej V₁ , V₂ , V₃ przedstawiono:

₃

1 2

1 V

L V U UV

V UV

V_x= _y =ψ _z = (4) gdzie: U – prędkość liniowa suwaka łoŜyska; L – długość łoŜyska; ψ– luz względny łoŜyska (10⁻⁴ ≤ψ≤10⁻³); b – szerokość łoŜyska; L1 – względna szerokość łoŜyska:

L b L

h_e =

= ; L₁

ψ (5)

Równanie Reynoldsa określające sumaryczne bezwymiarowe ciśnienie p₁^* w szczelinie smarnej poprzecznego łoŜyska płaskiego [3] przy niestacjonarnym, laminarnym izotermicz- nym przepływie oleju newtonowskiego i zaburzeniach prędkości wzdłuŜnej V10 na po- wierzchni bieŜni i V_1h na suwaku oraz zaburzeniach prędkości po szerokości łoŜyska V₃₀ na bieŜni i V_3h na suwaku ma postać:

( ) ( )

( ) ( )

( )

[ ] [ ( ) ] ∑

∑

∞

=

∞

=











 





∂ + ∂

∂

− ∂

∂ + + ∂

∂ +

− ∂

 +





 



 



 +

∂ + ∂



 



 +

∂ + ∂

∂

= ∂

=





 



 





∂

− ∂

∂ −

∂

∂ + ∂







 



 





∂

− ∂

∂ −

∂

∂

∂

1 1 1 2 3

1 1 1 1 3

30 1 1 2 1 1 10 1 1

1 3 30 1

3 1 1 2 1 1

10 1

3 1 1

* 1 1 1

1 1 1

* 1 1

* 1 1

3 1 1 2 1 1

1 1

* 1 1

* 1 1

3 1 1

2 1 6 1

Re 1 2 6 1

1

1 1

1 1

k k h

h h

h

k k Kp h

B Kp h

B

Kp B Kp

B

z B V h L x V h V

V z h V L

V x h

A V

e V h z V L

e V h n x

x h

z p p p z K

p e h z L x

p p p x K

p e h x

η ρ η

η η

(6)

dla 0≤x₁≤1; 0≤y₁≤h₁ ;-1≤z₁≤1; 0≤t₁≤t_k; p₁^∗=p₁^∗(x₁;z₁;t₁)

Lepkość dynamiczna η oleju zaleŜy od ciśnienia wg formuły podanej przez Barrusa [5]

i jest opisana [1] w postaci wymiarowej η i bezwymiarowej η1:

^{( )} ; exp

( )

0 1 0

0e ^{p pa} e ^p αp

η η η η

η

η = ^{α −} ≈ ^α = = (7) gdzie: η_o- lepkość dynamiczna oleju przy ciśnieniu atmosferycznym p= p_a≈0 ;

α – piezowspółczynnik uwzględniający zmiany lepkości od ciśnienia.

Dodatkowo przyjęto [2] wielkość bezwymiarową dla gęstości ρ₁, ciśnienia p₁ , czasu t₁ oraz pozostałych współrzędnych y1 oraz z1 wg następującego oznaczenia:

p K , y h y , z b z

t t ,

,

0 1

e 1

1 0 1

0 1

0

α ρ

ρ ρ

=

=

=

=

=

= p p p t

(8)

Gęstość, ciśnienie i czas z indeksem zero są odpowiadającymi tym wielkościom warto- ściami odniesienia. Stała bezwymiarowa K charakteryzuje zaleŜność lepkości dynamicznej od ciśnienia. Liczba Reynoldsa Re oraz zmodyfikowana liczba Reynoldsa Re^* ma postać [2]:

Re Re

; Re

; U

p ^*

0 0 2

0

0 ψ

η ρ ψ

η _{= =}

= U h^e

L (9)

Sumy szeregów∑^∞

=1

k Ak oraz ∑^∞

=1

k Bk w równaniu Reynoldsa (6) zdefiniowano w pracach [1],[3].

W dalszej analizie numerycznej przyjęto czas odniesienia t₀ jako okres rozchodzenia się zaburzenia prędkości wzdłuŜnej oleju smarującego. Wówczas gdy zaburzenia prędkości prze- pływu oleju są spowodowane drganiami wymuszonymi silnika spalinowego, to występująca w równaniu (6) liczba n określa krotność częstości zaburzeń ω0 do prędkości kątowej ω wału korbowego silnika. Rozwiązanie równania (6) dla łoŜyska o nieskończonej szerokości przy załoŜeniu, Ŝe prędkości zaburzeń nie zaleŜą od współrzędnej x_1, moŜna przedstawić [3] w po- staci sumarycznego bezwymiarowego ciśnienia hydrodynamicznego p1*

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ∑

∑

∑

∞

=

∞

=

∞ ∗

=







 



 



 − − + −

+ +

−

−

− + + −

 +







 +

− +

− + +

− −

−

=

1 1 1 1 1

1 1 10 10

* 1 2

1 2 1

1 1

10 10 1 2 1 1

1 10 10 10 1

1

* 1

2 1 1 1

ln 1 ln 1 1

Re 1

3

1 1 Re 4

1

k k h

k k h

k k h K

A h h

x h

x V Kp V

n K

h A V h

Kp V n B x

V Kp V

p p x p

ε ε ε ε

ρ ε

ε ε ρ

ε (10)

Wielkość p10 jest ciśnieniem przy przepływie stacjonarnym przy K=0 a p1K przy K>0 i dla rozpatrywanego kształtu szczeliny smarnej zostały określone w poprzednich pracach [2]:

₂

1 1

1 1

10 ( 1)( x x )

x ) x 1 )(

1 ( p 6

+ ε

− ε + ε

−

−

= ε ; ₁ 1 ln1 ₁₀

K Kp

p_K =− − ; (11)

Analizę ciśnienie zaburzenia ^~p₁ oraz ciśnienia sumarycznego p₁^* przedstawiono w pracy [3].

W przykładowych obliczeniach numerycznych przyjęto stałą gęstość oleju i załoŜono wartość wyraŜenia, nρ₁Re^* =12, co w przybliŜeniu odpowiada wymuszeniu zaburzenia prędkości wzdłuŜnej w łoŜysku wodzikowym silnika przy pierwszej częstości wymuszenia od drgań skrętnych wału spalinowego silnika sześciocylindrowego dwusuwowego [3].

3. NOŚNOŚĆ HYDRODYNAMICZNA

Siłę nośności hydrodynamicznej w łoŜysku otrzyma się z całkowania ciśnienia hydrody- nami-cznego po powierzchni suwaka łoŜyska i przestawia w postaci bezwymiarowej:

= =

_∫

( )

0

1 1

* 1 0

*

*

1 p x dx

W

W W ; W =₀ bLp₀ (12) gdzie: W₀ - charakterystyczna nośność odniesienia

Nośność łoŜyska zmienia się w czasie zaburzenia prędkości. Zmianę nośności W~_1K

oblicza się jako róŜnicę nośności w przepływie niestacjonarnym W i stacjonarnym ₁^* W_1K:

W~_1K =W₁^*−W_1K ; ⁼

∫

( )

0

1 1 1

1 p x dx

W_{K K} (13)

W przypadku przepływu oleju smarującego o stałej lepkości niezaleŜnej od ciśnienia (K=0) nośność łoŜyska przy przepływie stacjonarnym W10 wyznaczamy [2] z zaleŜności:

( )

 





+

− −

= −

1 2 1 1 ln

6

10 2 ε

ε ε

W ε (14)

Obliczenia numeryczne nośności analizowano przy następujących zaburzeniach prędkości wzdłuŜnej: 1) V₁₀=0,05;V_1h=0; 2) V₁₀=0,05; V_1h=0,025; 3) V₁₀=0,05; V_1h=0,05 4) V₁₀=0,05;

V1h= -0,05. Wybór wartości zaburzeń został podyktowany tym, Ŝe rozkład ciśnienia (10), a w związku z tym i nośności, zaleŜy od sumy i róŜnicy wartości zaburzeń prędkości na suwa- ku i bieŜni łoŜyska.

-0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

1 2 3

4

K=0 K=0,25 W1

~

t1

Rys.2 Zmiana nośności hydrodynamicznej ~₁

W w czasie t1 przy zaburzeniach:1)V10=0,05;

V_1h=0; 2) V₁₀=0,05; V_1h=0,025; 3) V₁₀=0,05; V_1h=0,05; 4) V₁₀=0,05; V_1h=-0,05 Na rys. 2 przedstawiono zmianę wielkości nośności hydrodynamicznej łoŜyska w czasie trwa- nia zaburzenia prędkości dla czterech wariantów zaburzenia prędkości przepływu oleju. Spa- dek siły nośności wskutek zaburzeń prędkości jest większy niŜ jej wzrost i zaleŜy to od wa- riantu zaburzenia. Spadek ciśnienia zaburzenia, a zatem i nośności spowodowany jest poja- wieniem się prędkości przepływu w kierunku przeciwnym do przepływu stacjonarnego.

W przypadku, gdy lepkość dynamiczna oleju zaleŜy od ciśnienia, nośność w stanie stacjonar- nym jest większa niŜ przy stałej lepkości. W związku z tym ta własność oleju smarującego powoduje, Ŝe spadek nośności wskutek zaburzenia prędkości daje większy zapas nośności we wszystkich wariantach zaburzeń prędkości. PołoŜenie siły nośności na długości łoŜyska moŜ- na określić współrzędną x1W , jako współrzędną środka jednostkowych sił powierzchniowych ciśnienia hydrodynamicznego. Współrzędna ta zmienia swoje połoŜenie podczas trwania za- burzenia prędkości przepływu oleju. Wykresy zmiany ∆x1W współrzędnej połoŜenia siły no- śności dla obu rozpatrywanych wariantów zaburzeń prędkości przedstawiono na rys.3. Zmiana połoŜenia siły nośności jest symetryczna w czasie, tzn. przechodzi przez połoŜenie stacjonar- ne przy t₁=0,5 mimo iŜ siła nośności nie osiąga wartości przy przepływie

-0,015 -0,01 -0,005 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

4

1

2 3

x1W

∆

K=0 K=0,25

t₁

Rys. 3 Zmiana ∆x1W połoŜenia nośności W1*

w czasie t1przy zaburzeniach prędkości:

1)V₁₀=0,05; 2)V₁₀=0,05;V_1h=0,025; 3)V₁₀=0,05;V_1h=0,05; 4)V₁₀=0,05;V_1h=-0,05

stacjonarnym. Przesuniecie połoŜenia siły nośności jest większe w kierunku końca łoŜyska i następuje to w czasie, gdy maleje nośność łoŜyska w porównaniu do przepływu stacjonarne- go. Współrzędna połoŜenia siły nośności przy przepływie stacjonarnym, jak i jej zmiany w przepływie zaburzonym, jest większa w przypadku, gdy lepkość dynamiczna oleju zaleŜy od ciśnienia. W wariancie 4 siła nośności nie zmienia swojego połoŜenia podczas zaburzeń prędkości.

4. WNIOSKI

Przedstawiony przykład rozwiązania równania Reynoldsa dla przepływu niestacjonarnego laminarnego newtonowskiego czynnika smarującego umoŜliwia wstępną ocenę rozkładu ci- śnienia hydrodynamicznego i nośności jako podstawowego parametru eksploatacyjnego łoŜy- ska ślizgowego. Niestacjonarne zaburzenia prędkości wzdłuŜnej na powierzchni bieŜni i suwaka wpływają na siłę nośności i jej połoŜenie w szczelinie smarnej. Zmiany ciśnienia i nośności w łoŜysku mają charakter okresowy równy okresowi trwania zaburzeń prędkości, a wartość tych zmian oraz ich charakter zaleŜą od rodzaju zaburzenia. Mimo iŜ prezentowany przykład obliczeniowy dotyczy łoŜyska o nieskończonej szerokości, to uzyskane wnioski mo- gą być przydatne do oceny rozkładu ciśnienia i siły nośnej przy laminarnym, niestacjonarnym smarowaniu łoŜysk ślizgowych o skończonej długości.

LITERATURA

1. Krasowski P.: Laminarne, niestacjonarne smarowanie łoŜyska ślizgowego w polu magne- tycznym dla lepkości oleju zaleŜnej od ciśnienia. ”Trybologia” 2002, nr 4 (184).

2. Krasowski P.: Ciśnienie hydrodynamiczne i nośność w płaskim łoŜysku ślizgowym o liniowo zbieŜnej szczelinie smarnej. ZN Politechniki Gdańskiej, Budownictwo Okręto- we Nr 65, Gdańsk 2004.

3. Krasowski P.: Ciśnienie w płaskim łoŜysku ślizgowym przy niestacjonarnym laminarnym smarowaniu. „Modelowanie InŜynierskie” 2007, nr 33, t. 2. s.101-106.

4. Wierzcholski K.: Mathematical methods in hydrodynamic theory of lubrication. Technical University Press, Szczecin 1993

5. Wierzcholski K.: Teoria niekonwencjonalnego smarowania łoŜysk ślizgowych. Szczecin : Wyd. Pol. Szczecińskiej, 1995.

6. Watterstraat A., Teipel I.: The Reynolds equation for lubrication under unsteady condi- tions. Proceedings The IX Canadian Congress of Applied Mechanics, University of Sas- katchewan 1983. (in English)

CAPACITY FORCES IN SLIDE JOURNAL PLANE BEARING BY LAMINAR UNSTEADY LUBRICATION

Summary. This paper shows results of numerical solutions an modified Reynolds equations for laminar unsteady oil flow in slide journal bearing with planar linear gap. This solution example apply to isothermal bearing model with infinity breadth. Lubricating oil used in this model has Newtonian properties and dynamic viscosity in dependence on pressure. It shows a preliminary analysis change of capacity forces in the bearing by laminar, unsteady lubrication caused by velocity perturbations of oil flow in the longitudinal direction of a bearing.