Procesy stochastyczne 2. Martyngały

Procesy stochastyczne

2. Martyngały

Ćw. 2.1 Wykaż, że jeśli X₁, X₂, . . . są niezależnymi zmiennymi losowymi i

1. ∀_i=1,2,... EX_i = 0, to ciąg {(S_n, F_n)}_n∈N, gdzie S_n = X₁ + . . . + X_n, a {F_n}_n∈N jest naturalną filtracją, jest martyngałem;

2. ∀i=1,2,... EXi = 1, to ciąg {(Zn, Fn)}_n∈N, gdzie Zn = X₁ · . . . · Xn, a {Fn}_n∈N jest naturalną filtracją, jest martyngałem.

Wywnioskuj stąd, że jeśli X₁, X₂, . . . są niezależnymi zmiennymi losowymi z wartościami oczekiwanymi odpowiednio a₁, a₂, . . ., to ciągi

U_n=

n

X

i=1

X_i−

n

X

i=1

a_i oraz V_n= X₁· . . . · X_n a₁· . . . · an

są martyngałami.

Ćw. 2.2 (J. S., Zad. 5 str. 236) (Błądzenie losowe) Niech ξ₁, ξ₂, . . . będą niezależnymi zmiennymi losowymi, P (ξi = 1) = p, P (ξi = −1) = q = 1 − p. Niech Fn= σ(ξ1, . . . , ξn) i

Zn= q p

!ξ1+...+ξn

.

Wykaż, że ciąg {(Z_n, F_n)}_n∈N jest martyngałem.

Ćw. 2.3 Wykaż, że jeżeli ciąg {(X_n, F_n)}_n∈N jest martyngałem, to ciąg {(X_n∧ a, F_n)}_n∈N, gdzie a ∈ R, jest nadmartyngałem.

Ćw. 2.4 (Urna Pólya’ego) Urna zawiera 1 kulę czarną i 1 białą. W kolejnych momentach czasu losujemy 1 kulę z urny i zwracamy ją wraz z dodatkową kulą tego samego koloru. Po czasie n mamy w urnie n + 2 kule, z czego Bn+ 1 jest białych. Niech Mn = ^B_n+2ⁿ⁺¹ — proporcja kul białych do całości. Wykaż, że ciąg {M_n}_n∈Njest martyngałem (względem filtracji naturalnej).

Ćw. 2.5 (S. Ex. 5.26 p. 224) Trzej gracze, posiadający odpowiednio a, b i c żetonów, grają w na- stępującą grę. W każdej partii gry losuje się dwóch graczy, a następnie jeden z nich, wybrany znów losowo, daje drugiemu 1 żeton. Gra jest kontynuowana do momentu, gdy jednemu z gra- czy zabraknie żetonów, po czym pozostali dwaj gracze grają do momentu aż jeden z nich zdobędzie wszystkie żetony. Niech Xn, Yn, Znoznaczają liczby żetonów będące w posiadaniu każdego z graczy po n-tej partii. Pokaż, że ciąg

Un= XnYn+ YnZn+ ZnXn+ n

jest martyngałem względem filtracji {F_n}_n∈N, gdzie F_n = σ({X₁, Y₁, Z₁, . . . , X_n, Y_n, Z_n}).

Ćw. 2.6 (B. M. P., Ex.3.3 p. 34) Niech (Ω, F , {Fn}n­0, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną z filtracją. Na przestrzeni tej rozważamy dwa całkowalne w kwadracie martyngały {X_n}_n­0 i {Y_n}_n­0.

1. Udowodnij, że dla m ¬ n mamy E(XmYn | Fm) = XmYm p.n.p.

2. Udowodnij, że E(X_nY_n) − E(X₀Y₀) =^Pn_k=1E((X_k− X_k−1)(Y_k− Y_k−1)).

3. Udowodnij, że V arX_n = V arX₀+^Pn_k=1V ar(X_k− X_k−1).

4. Wykaż, że zmienne losowe X₀, X_k− X_k−1, k ­ 0 (nazywane przyrostami martyngało- wymi ) tworzą układ ortogonalny w przestrzeni L² (czyli są parami nieskorelowane).