Statystyka i eksploracja danych
Estymatory nieobciążone minimalnej wariancji — teoria
Definicja: Rodzinę rozkładów prawdopodobieństwa{Pθ} nazywamy rodziną wykładniczą, jeżeli każdy z rozkładów ma gęstość, którą można zapisać w postaci
fθ(x) = exp
∑k
j=1
cj(θ)Tj(x)− b(θ)
· h(x),
gdzie T1(x), . . . , Tk(x) są funkcjami liniowo niezależnymi, a (c1(θ), . . . , ck(θ)), θ ∈ Θ tworzą zbiór k-wymiarowy.
Definicja: Estymator nieobciążony nazywamy estymatorem nieobciążonym minimalnej wariancji (ENMW), jeśli jego wariancja (w klasie wszystkich estymatorów nieobciążonych) jest minimalna.
Twierdzenie: Jeżeli X1, . . . , Xn jest próbą z pewnego rozkładu z rodziny wykładniczej, T =
( n
∑
i=1
T1(Xi), . . . ,
∑n i=1
Tk(Xi)
)
i dla danej funkcji g istnieje taka funkcja ˆg, że ˆg(T ) jest nieobciążonym estymatorem parametru g(θ), to ˆg(T ) jest ENMW parametru g(θ).
(Na podstawie: Ryszard Zieliński, Siedem wykładów wprowadzających do statystyki ma- tematycznej, PWN, Warszawa, 1990)