1 2 ----- 2 6 Zagadnienia brzegowe dla równania eliptycznego

A. H

(Warszawa)

Zagadnienia brzegowe dla równania eliptycznego

Wstęp. W pracy [2] W. Pogorzelski badał zagadnienie brzegowe dla równania eliptycznego, którego współczynniki zależą od funkcji nie­

wiadomej. Metoda dowodu opierała się na twierdzeniu J. Schaudera, poczynione założenia były bardzo ogólne. W niniejszej pracy, której temat zawdzięczam W. Pogorzelskiemu, badamy analogiczne zagadnie­

nie przy zastosowaniu metody kolejnych przybliżeń dla dowodu istnie­

nia postawionego zagadnienia. Pociąga to za sobą konieczność wzmoc­

nienia niektórych założeń (4b, 4d, 6). Wyniki niniejszej pracy oparte są na badaniach rozwiązania podstawowego równania eliptycznego prze­

prowadzonych przez W. Pogorzelskiego w pracy [1] oraz na niektórych ocenach z pracy [2].

1. Postawienie zagadnienia. Niech będzie dane równanie o pochod­

nych cząstkowych typu eliptycznego

(1) *Р{и)= У ^ ( 4 ) - ^ ---h Y ' b a( A , u ) - ^ - + c ( A ) u = F ( A , u

OXn (sXa OOCn

du

<*,/?=i

którego współczynniki aap(A), ba{A, u), c{A) i funkcja F ( A , u) są określo­

ne w obszarze domkniętym

(2) A (a)!, x 2, ..., xn) e Q + S , |

|<22,

gdzie Q jest obszarem mierzalnym i ograniczonym przez powierzchnię $ w przestrzeni euklidesowej n wymiarowej ( n > 2), u jest zmienną rze­

czywistą, В stałą dodatnią.

Zagadnienie postawione w niniejszej pracy polega na znalezieniu funkcji u(xu x 2, ..., ccn), która spełnia równanie (1 ) w każdym punk­

cie A wewnątrz obszaru Q, oraz nieliniowy warunek brzegowy

(

3

du(P)

dTP + g ( P ) u ( P ) = G ( P , u P)

w każdym punkcie P e S , gdzie g{P) i G { P , u P) są funkcjami danymi.

Wartość pochodnej transwersalnej (3) jest granicą wyrażenia

jeśli punkt wewnętrzny A obszaru Q dąży do punktu P powierzchni 8.

2. Założenia. Zakładamy:

1. Współczynniki aap(A), ba( A , u ) , c(A) i funkcja F ( A , u ) okreś­

lone w obszarze A e Q + 8, \u\

: B, spełniają warunek Hóldera-Lip- schitza:

gdzie 0 < li < 1; A , A 1e£2~j~8; \u\ < B-, \ux\ < E ; ka, Tcb, Tcc, TcF są sta­

łymi dodatnimi.

2. Forma kwadratowa ^ aapX aX p jest dodatnio określona w ob­

szarze (2).

3. Powierzchnia 8 spełnia warunki Lapunowa z wykładnikiem /г, spełniającym nierówność 0 < [л < 1 ([1], str. 44).

4. Zakłada się, że g{P) i G { P , u ) są funkcjami danymi i ciągłymi w zbiorze

(5) P e S ,

i funkcja G(P, u) spełnia w tej dziedzinie warunek Lipschitza ze wzglę­

du na zmienną u

5. Zagadnienie dla równania eliptycznego P(u) = 0, przy warunku brzegowym jednorodnym ma tylko rozwiązanie zerowe u = 0.

3. Rozwiązanie zagadnienia. Tak jak w pracy [2] przewidujemy rozwiązanie zagadnienia nieliniowego w postaci sumy

(7) u(A) =

= -

f j f r m (A,B)XńI(B)F(B,u{B))dB + J J r fu)(A,Q)<p(Q)aQ, gdzie pierwszy składnik jest potencjałem ładunku przestrzennego, a drugi potencjałem warstwy pojedynczej, o nieznanej, ciągłej i ograniczonej gęsto­

(4a) (4b) (4c) (4d)

\aap(A) ^ I i

Ib a ( A , u ) — b a ( A 1 , u x )I < lcb { \ A A x \h Ą - \ u - u x \),

\ c { A ) - c { A x) \ ^ k c\A^x\\

\ F ( A , u ) - F ( A 1, иг)| < JcjrdAAjf+lu — u^),

П

(6) |ćr(P, u) — G(P, ux)\ < TcG\u— ux\.

ści cp(Q) dla QeS. Г{и)( А , Б ) jest rozwiązaniem podstawowym równania X P{ u) = 0, które wyraża się podanym w pracy [3] na str. 106 wzorem (8) Г(и)( А , В ) = wB( A , B ) + $ J J w M(A, М)фМ(М, B)dM,

a'

gdzie

П

(9) wB( A , B ) = [ у « " ' ( £ ) ( * „ - ' -

а,P—1

а Ф jest rozwiązaniem równania całkowego Fredholma (10) Хп(А)Ф''и)( А , В ) =

= Б ) ] + f f f J 5 > [» K( J , М)]Ф1пНМ, B)dM O'

o postaci podanej w pracy [2], ((16)) (1 1 ) ф М{ А , В ) =

= ę ‘ ( i ) ^ [ # * ( i , i ) ] + / / / щ и)(А,

) ^ [

{

, B ) ] ^ \ M ) d M . Q'

We wzorze (11) przez ^ (M)(JL? M) oznaczono sumę jądra, jąder iterowa- nych i ich kombinacji całkowych z minorem Fredholma, który odpowia­

da pierwszemu jądru iterowanemu ograniczonemu. Przez Xn{B) ozna­

czono

V H) = 2 ( n - 2 ) W n ) n r(n/2)\/det\aap(B)\ ‘

Funkcję (p{Q) w równaniu (7) dobieramy tak, żeby poszukiwane rozwią­

zanie u (A) spełniało nie tylko równanie (1), ale i warunek brzegowy (3), w każdym punkcie powierzchni 8. Wartość graniczna pochodnej trans­

wersalnej potencjału uogólnionego warstwy pojedynczej ([1 ], (100)) wyrazi się w postaci

(12) Hm U L j j r ^ A , Q)<p{Q)dQ^ = s

= - j i n( p )V( P ) + f j ' dr(f f r ’ Q) <p(Q)m s

przy czym

d r {u)( P , Q ) dTP

V * ,лт ⁴

dr{u)( P , Q

2 aap(P)cos(NP, xp) — ---

a, (8 = 1 “

Uwzględniając (7) i (12) w warunku brzegowym (3) otrzymujemy drugie równanie całkowe

(13) - 1 д „ ( Р ) ? . ( Р ) + JJ d r (n)(P, Q)

dTr> + 9(P)r<u)(P> Q) \<p{Q)dQ — , « ) }

Iff d r {u){ P , В)

dTp + д ( Р) Г {и)( Р , В )

К ( В )

dB-\-

/ / f u(B)]dB + J f r (u)( P , Q M Q ) d ę \ .

Q S

Zagadnienie zostało sprowadzone do układu dwóch równań całko­

wych (7) i (13) z dwiema niewiadomymi funkcjami u (A) w obszarze Q i 9o(P) na powierzchni S.

Funkcja Г{и)( А , В ) występująca w równaniach (7) i (13) zależy od funkcji nieznanej u, pośrednio przez współczynnik ba(A, u{A)).

Układ równań (7), (13) rozwiążemy stosując metodę kolejnych przy­

bliżeń.

W tym celu weźmy pod uwagę ciągi funkcyjne (14) (а) {и^>(А)У, (b) {,,<” > (P)}, które są dane przez związki rekurencyjne

(15a) u<-m+l4 A ) = - / / / r iu{m))( A , B ) l - l( B ) F [ B , u™(B)]dB + a

+ Я r {u{mb( A , Q ) ^ m+l>(Q)dQ, s

(15b) - J < p ‘m+1H P ) K ' ( P ) +

+ f / [ — + 9 ( P ) r v0 » )(P, 6 )] <p{""-1)(Q)dQ =

= f f f [ - Г("(” у ^ + 9 ( P ) П.<»>) ( P , £ ) ] P LB , » (m> (B) ] Яп1 (В) dB -f + G [P ,« 1 ” >(P)], gdzie

(15c) uW{P) =

= - f f f Р ,и Ы Р ’ B ) K l ( P ) P l B , u<m>(B)]dB+ J j r {uim))(P, Q)<p™(Q)dQ.

O s

Wykażemy najpierw istnienie ciągów przybliżeń (14). Zakładamy, że wyrazy początkowe są funkcjami ciągłymi, spełniającymi następujące warunki

(16a) |^(0)(A)| < .R ,

(I6b) \qPHP)\ < e,

(16c) | «'°> (A )-«( 0*(A1)| < £144,1* (P eS ; A , A ^ Q + 8 ) , gdzie

są dowolnie obranymi stałymi dodatnimi, 0 <

< 1 .

Udowodnimy istnienie ciągów przez indukcję. Zakładamy, że w-te przybliżenia spełniają następujące nierówności:

(17a) \u{m)(A)\

(17b) \Ćm){ P) \<Q,

(17c) . \u{m)( A ) - u w ( A1)\ <fc|А А г\к.

Aby ocenić całki we wzorach (15a), (15b), (15c) będziemy korzystać z ocen (patrz [2], wzory (23) i (29))

(18a)

(18b)

\l\vkm))(A, Б)| < const

\AB\n~'

d r {и(т)} ( P , Q )

dTT < const

\PQ I

(h* = min(/w, h)).

Zbadajmy warunki przy których nierówności (17a), (17b), (17c) będą spełnione dla (m + 1) przybliżeń poszukiwanych funkcji. Jeżeli równanie jednorodne

(19) - l j U P ) v‘“ +1>(P) +

£

Г Г

[~

J J

+ fir(P)P(,(-))(P ,0 )l <ćm+"(Q)dQ = 0 zgodnie z założeniem ma tylko rozwiązanie zerowe rp(P) = 0 dla każ­

dej funkcji w(m)(A), która spełnia w Q warunek (17a), to równanie Fred- holma

(20) A„(P)ę.<” +1»(PH-

+ + g ( P ) r ^ b ( P , Q ) ^ ' P {m^HQ)dQ = f ( P ) ,

gdzie/(P ) jest funkcją ciągłą, zaś jądro, w myśl pracy [2] (wzór (36)), jest słabo osobliwe

(21) 2 A-X(P)

ma jedyne rozwiązanie postaci:

(22) , < - > ( P ) = f g - + / / % « , I - * » ,

f dP(M (m)} (P, Q) ]

L— dT--- + 0 (P )P (M(m))(P,<2)J <

W l

gdzie & jest stałą dodatnią, h* = m in(h,^).

Funkcja ^ ( M (m))(P, Q) jest sumą jądra rozwiązującego i jąder ite- rowanych, z których pierwsze spełnia nierówność (21). Z równania (22) wynika następująca ocena funkcji ę 9(m+1)(P)

(23) Mm+1)(P)| < MfMx + NmMfMx = (1 + М»)М,МХ, gdzie

Ж* = sup J j |9Z(M(m))(P ,$ )| d$ ; ЖА = sup2A-x(ę ); Mf = sup|/($)|, s

przy czym kresy górne dotyczą zbioru funkcji u {A), spełniających wa­

runki (17a) i (17c). Biorąc pod uwagę funkcję /(P ) w równaniu (15b), stwierdzamy, że

(24) Mt = C*M*F+ M Q1

gdzie

MF = sup|A“ 1(P )P (P , ад)|; = supćr[P, u],

C* d r {u{m))(P, B)

dTP + 9( P) Г(и(т))(Рi В) dB.

Uwzględniając (24) w (23) otrzymamy

(25) l<P(w+1)(-P)l < (1 + M^)M,(C*M*F+ M G).

Nierówność (17b) jest spełniona, jeżeli

(26) (1

< e.

Aby wykazać (17a) weźmy pod uwagę wzór (15a) oraz oceny (18a) i (25). Stąd wynika nierówność

(27)

gdzie C[ i C'2 są stałymi dodatnimi.

Wobec tego nierówność (17a) jest spełniona, jeżeli C 'M + C 'iQ < P .

(28)

Na podstawie pracy [2] (tw. 1, wzór 67) i twierdzenia 8 z pracy [1]

funkcja u('m+l\A ) spełnia nierówność Hóldera postaci (29) |^OT+ 1^ (^ )-w (m+1)(^ 1)| < {GXM*

+ C I

)\AAx^,

gdzie A , A 1eD-\- 8 ; 0 < f r < l ; С*, C* są stałymi dodatnimi niezależ­

nymi od funkcji F i

Nierówność (17c) jest spełniona, jeżeli

(30) CtM%+C*2Q < fc.

Wykazaliśmy, że funkcje u^m)(A) i rp(m\P) istnieją dla dowolnych, m i spełniają nierówności (17a), (17b), (17c), jeżeli stałe zależne od funkcji F i G spełniają nierówności (26), (28), (30). Nierówności te są spełnione, jeżeli kresy górne M%, MG są dostatecznie małe. Wszystkie pozostałe stałe, które nie zależą od kresów górnych, są ustalone.

Przystąpimy teraz do dowodu jednostajnej zbieżności ciągów kolej­

nych przybliżeń. W tym celu wyprowadzimy pomocnicze nierówności.

Dla oszacowania różnicy dwóch kolejnych przybliżeń funkcji korzystamy z oceny ([2], (49))

(31) dwB{A,B)\ ^ const

dxa ' | l A B f 11 ’ oraz wzoru (9) i założenia (4b), otrzymując

(32) \A±>

Biorąc pod uwagę wzór (10) i oznaczenia

N l n ) ( A , U ) = Х - 1 и ) ^ Т [ № м ( Л , M ) - ] ,

К {A, B) = F(U(m)^(A, B) N (M (m-i)^(j4, B)Ą-

+ / / / [ X i„ W )( A , M ) - N (u{m-i))( A , M ) ] 0 < u{“ )>(M, B) dM, 'o'

H( A, B) = Ф{и{т)) ( А , В ) - Ф {и(т~1))( А , В ) (33)

otrzymamy

(34) H ( A , B ) — K ( A , B)-{- J j J N ^ m - i ^ A , M ) H ( M , B ) d M . a>

Jądro równania (34) ma słabą osobliwość ([2], (14)) 3 5 3 6

(35) №i = m i n ( ^ ) )

\AB\

i rozwiązanie równania (34) jest postaci

(36) H ( A , B ) = K ( A , B ) + f f f W ^ m - f y i A , M ) F ( M , B ) d M ,

o'

gdzie ^ (M)(AL, M) jest taką samą funkcją jak w równości (11) i spełnia nierówność (35). Uwzględniając oceny (32) i (35) otrzymamy

(37) \Ф{и(т)){ А , В ) - Ф (и{т ^ ( A , В )I < const • kbsnp \u(m) — u(m x)|

\AB\n~l Z uwagi na wzory (8), (37) oraz nierówność ([3], str. 92)

(38) \wB( A , B) \ < const

\AB\n~2 otrzymamy

(39) \F(u(m)) (A ? B )— r (M(m-l))(J_, B )I < c o n s t - M n p l ^ - w ^ - ^ l

Dla pochodnej transwersalnej, korzystając z (4a), (37) oraz ([3], (269), tom II, str. 109), wyprowadzamy ocenę

(40) d r {u(m^){P, Q) dTP

dP(U(m— i)) (P , Q) dTP

^ const • Jcb sup j — u^m

< \PQ\n- 2- h*

(h* — m in ^ , h)).

Wykazując bezwzględną i jednostajną zbieżność szeregów funk­

cyjnych

00 oo

(41) ] ? [ > t” +1> M )-#< “ )U ) ]; 2 & m+l>(P)-<P(m,(P)]

m=o m= o

dowiedziemy jednostajnej zbieżności ciągów funkcyjnych (14).

Analizując wzór (15a), w oparciu o oceny (39), (4d), (18a), otrzymamy (42) \u^m+1)( A ) - u {m)(A)\ <

< {b1M*F + b2kF+ bsTcbg)sup — u{m~l)\ + &4sup|^m+6_ ę,W| ? gdzie Й !,...,й 4 są stałymi dodatnimi.

Obecnie zajmiemy się równaniem (15b). Jeżeli w równaniu tym wprowadzimy oznaczenia

(43) 2f<“W>(P, Q) = + g ( P ) r {a{mb( P , Q ) ^ 1(B), (44) г(м(т))(р , B) =

= - { / / / B) dB + G { P , u ^ { P p K 1(B^, wówczas przybierze ono postać

<p(m+1)(P) = J J & v{m))(P, Q)(p{m+l\Q)dQ + r{u{m)\ P , B).

Zatem

ę,(™+4(P)_?J<»)(_p) = j j [ Ś ^ ( P , Q ) - Ń ^ m^ ( P , Q ) - i ^ mHQ)dQ +

s

+ j j

[г<“|т)Ч-Р,

B)].

s

Wprowadzając oznaczenia

(45) P<m)(P) = j j [ Ń {u{m))( P , Q ) - - Ń ( uim l)){ P , Q W m){Q)dQ +

8

+ [r<tt(m)>(P, Б) —r(w(m-1))(P,

mamy

(46) <p(m+l){ P ) - q ł m){P) =

= j j Ń<u{n,)>(P,Q)[^m+1> ( Q ) - ^ m>(Q)]dQ + R ^ ( P ) . s

Bównanie jednorodne równania (46) zgodnie z założeniem ma tylko rozwiązanie zerowe i równanie Fredholma (46) ma jedyne rozwiązanie postaci

(47) <р(т+1НР)-<р{Щ(Р) = j j W ^ i P , Q)RW(Q)d<} + B W ( P ) , S

gdzie ^ (u(w))(P, Q) jest sumą jądra rozwiązującego i jąder iterowanych, z których pierwsze spełnia nierówność

(48) 2 К Ч Р ) \ ^ ш ^ — ~ - +9(P)l\umt(P,Q)

i

(l-L

^<

const

\PQ I ⁿ

Stąd wnioskujemy, że jądro 91 jest też ograniczone przez nierówność (48).

Oceny różnic kolejnych przybliżeń wprowadzonych funkcji (43), (44), jak wynika z ocen (4d), (6), (40), (48), są następujące:

(49) (50)

IW(M(w))(P, Q ) - Ń ( u{m 1])(P, Q)| < mVlui ] Ui 1)1

\PQ\n- 2~h2 ’

|r(M(w))(P, P ) - r (M(w_ 1))(P, B )| < &XM*Fsup jw(m) — | -f-

+ dzMд TcFsup \vSm) - 1}| + d3M K 7

sup | ^ (P) - vSm~ 9 (P) |, gdzie

(51) |^w)( P ) - ^ m" 1)(P)| <

< (5 1Ж | . + &2& ^ 4 - &3&&£ )s u p |w (łn) — w(m ^l + ^ s u p lę /”1* — 4 | ?

d1, d2, d2, bu 62, 53, &4 są stałymi dodatnimi.

Uwzględniając (51) w (50) otrzymujemy ocenę (52) |r<*(w\ P , B )| <

< [ ( P i + В г k o ) ( P 3 M * F + P 4 k F ) + P 5 h Л ] s u p |w(m) - vS m ~ x> t +

+

&o sup \(p{m)—(p{m~x) |, gdzie

są dowolnymi stałymi dodatnimi.

Wprowadzając do równania (47) oznaczenie (45), oraz oceny (48), (49) i (52), otrzymujemy

(53) \^m+1)( P ) - ^ m)(B)\ <

<

+

{ D t M l + P I

+

) sup |u™ - 4 n~ x>| + + Di ko sup [ <p(m)—<p{m- x) I oraz

(54) \u^m+1)( A ) - u w (A)\<

< (p ; + p ; ko)(D'3MF + D :kF + D'5kbQ) sup I - u(m- x>| + +

sup | cp{m) — cp{m“ 1}|;

P* i

są dowolnymi stałymi dodatnimi.

Bezwzględną i jednostajną zbieżność szeregów (41) dowodzimy przez wykazanie, że szereg

oo

(55)

m= l

gdzie Sm ="sup |w(m+1)(J.) — u(m)(А)\^- sup |ę?(m+1)(P) — (p{m\P)\ jest zbieżny.

Z nierówności (53) i (54) wynika następująca zależność między są­

siednimi wyrazami szeregu (55)

< [ ( D 1 + D 2 k 0 ) ( D 3 M *F + D i k F + D 5 k b Q ) i - D 6 k o ] <

dla każdego m; Di są stałymi dodatnimi, niezależnymi od funkcji F i O.

Jeżeli stałe zagadnienia

są dostatecznie małe i speł­

niona jest nierówność

(56)

1

oraz nierówności (26), (28) i (30), to szereg (55) i w konsekwencji szeregi (41) i ciągi funkcyjne (14), są jednostajnie zbieżne. Zatem istnieją funkcje ciągłe u*(A), <p*(P), które są granicami ciągów (14)

(57) И т / > ( 1 ) = u* (A)} lim <?(т)(Р) = <р*{Р),

т->оо тп~*оо

przedstawiające rozwiązanie układu równań całkowych (7), (13).

Wykazuje się łatwo, że funkcje (57) są rozwiązaniami układu rów­

nań całkowych (7), (13) oraz że są jedynymi rozwiązaniami. Możemy następnie twierdzić, że funkcje u*(A) i q>*(P) stanowią jedyne rozwią­

zanie układu równań (7), (13) oraz, że funkcja u*(A) jest rozwiązaniem równania (1) i spełnia warunek brzegowy (3). Wobec ciągłości funkcji

<p*(P), funkcja ciągła u*{A), na podstawie własności uogólnionego po­

tencjału warstwy pojedynczej i uogólnionego potencjału ładunku prze­

strzennego (patrz [1], str. 273), spełnia warunek Hóldera w obszarze Q * a Q . Zatem funkcja

— Xnl { B) F [ B, u(B)] spełnia warunek Hóldera w obszarze Q* c Q, co pociąga za sobą istnienie drugich po­

chodnych funkcji u*{A) w każdym punkcie 4 c f i ł , Zatem funkcja u*{A) spełnia równanie (1) wewnątrz obszaru Q. Z równania (15b) wynika, że funkcja u*(A) spełnia warunek brzegowy (3).

Możemy więc sformułować następujące

T

. Jeżeli 1° współczynniki równania (1) i funkcja F { A , u) są określone w obszarze (2) i spełniają warunki (4a), (4b), (4c), (4d),

2° powierzchnia 8 ograniczająca obszar Q spełnia warunki Lapunowa, 3° funkcje g(P), G(P, u) są określone i ciągłe w zbiorze (5) oraz funk­

cja G(P, u) spełnia warunek (6),

4° stałe zagadnienia MF, kF, MG, kG, kb są dostatecznie małe i czynią zadość nierównościom (26), (28), (30) i (56),

5° równanie jednorodne W (u) = 0 przy warunku brzegowym jedno­

rodnym, ma tylko rozwiązanie zerowe,

to istnieje funkcja graniczna u*{A) ciągu {и(т\ А ) } , która spełnia równa­

nie (1) w każdym punkcie wewnętrznym A eQ oraz warunek brzegowy (3) w każdym punkcie P e 8 .

Prace cytowane

[1] W . P o g o r z e ls k i, Etude de la solution fondamentale de Vequation ellip- tique et des problemes aux limites, Ann. Polon. Math. 3 (1957), str. 247-282.

[2] — Problemie aux limites pour Vequation elliptique dont les coefficients de­

pendent de la fonction inconnue, Biuletyn W A T 29 (1957), str. 43- 62.

[3] — Równania całkowe i ich zastosowania, tom II, Warszawa 1958.

A. H^ać (Warszawa)

P R O B LLM E ATJX L IM IT E S PO U R L I Q U A T I O N E L L IP T IQ U E R Ё S U M fi

Dans cet article on etude le ргоЫ ёте aux limites pour l’equation (1), dont les coefficients sont definies dans la region (2), ой Q est un domaine borne limite par la surface fermće 8 dans l’espace & n dimensions ( n > 2).

Le ргоЫёте consiste dans la detśrmination d’une fonction u(xx, . . xn) qui verifie Г equation (1) en tout point interieur X e Q et une condition limite (3).

On fait les Ьуро^ёзез suivantes:

1. les^coefficients verifient les conditions (4a), (4b), (4c), (4d),

2. les fonctions g { P) et G ( P , u ) sont definies et continues dans la region (5), la fonction G ( P , u ) verifie la condition (6),

3. la surface 8 verifie les conditions de Liapounoff.

On cherche la solution sous la forme de la somme (7).

En tenant compte de la condition (3) on obtient le в з л ё т е de deux óquations integro-differentielles к deux fonctions inconnues u{ A) et cp(P).

On se propose de rósoudre се в з л ё т е par l’application de la methode des appro­

ximations successives. On forme les suites infinies (14) definies par les relations de reccurence (15a), (15b) et on demontre que les suites (14) tendent uniformement vers les limites (57) qui fournissent la solution du в з л ё т е des equations integrates (7) et (13).