M
ETODYD
OWODZENIAT
WIERDZE ´NI A
UTOMATYZACJAR
OZUMOWA ´NW YKŁAD 11: A RYTMETYZACJA S KŁADNI
III rok kognitywistyki UAM, 2016–2017
1 Wst˛ep
Przygotowujemy si˛e do przedstawienia kilku wa˙znych twierdze´n metalogicznych (Gödla, Rossera, Tarskiego, Löba).
1. Przypomnimy aksjomatyczn ˛a teori˛e arytmetyki: PA (Arytmetyk˛e Peana pierw- szego rz˛edu).
2. Powiemy, co to znaczy, ˙ze zbiory, relacje i funkcje rekurencyjne s ˛a reprezen- towalnew PA.
3. Poka˙zemy tak˙ze, jak dokonuje si˛e arytmetyzacji składni, czyli jak koduje si˛e w PA poj˛ecia składniowe.
4. Podamy definicj˛e hierarchii arytmetycznej.
2 Przypomnienie: arytmetyka PA
2.1 Składnia
Alfabet symboli:
1. stałe logiczne: ¬, ∧, ∨, →, ≡, ∀, ∃, 2. zmienne indywidualne: x1, x2, . . ., 3. predykat (2-arg.) identyczno´sci: .
=, 4. stała indywidualna (zero): 0,
5. symbol funkcyjny (1-arg.) nast˛epnika: s,
6. symbole funkcyjne (2-arg.) dodawania + oraz mno˙zenia ×,
7. symbole pomocnicze: nawias lewy ( oraz nawias prawy ).
Wyra˙zeniem j˛ezyka PA jest dowolny sko´nczony ci ˛ag symboli alfabetu j˛ezyka PA.
Uwaga. Skorzystamy z mo˙zliwo´sci zast ˛apienia notacji infiksowej przez prefik- sow ˛a.
Zbiór termów jest najmniejszym zbiorem wyra˙ze´n j˛ezyka PA takim, ˙ze:
1. stała 0 jest termem,
2. ka˙zda zmienna indywidualna x1, x2, . . . jest termem, 3. je´sli t jest termem, to s(t) jest termem,
4. je´sli t1i t2s ˛a termami, to (t1+t2) oraz (t1×t2) s ˛a termami.
Ze wzgl˛edów natury psychologicznej piszemy zwykle:
1. (t1+t2) zamiast +(t1, t2) 2. (t1×t2) zamiast ×(t1, t2).
Zbiór formuł jest najmniejszym zbiorem wyra˙ze´n j˛ezyka PA takim, ˙ze:
1. je´sli t1, t2s ˛a termami, to t1 .
= t2jest formuł ˛a,
2. je´sli ψ jest formuł ˛a, a xi zmienn ˛a indywidualn ˛a, to formułami s ˛a te˙z ¬ψ,
∀xiψ, ∃xiψ,
3. je´sli ϕ, ψ s ˛a formułami, to formułami s ˛a tak˙ze: (ϕ ∧ ψ), (ϕ ∨ ψ), (ϕ → ψ), (ϕ ≡ ψ).
Stosujemy konwencje opuszczania nawiasów, znane z elementarnego kursu lo- giki. Dla wygody, opuszczamy te˙z czasem indeks przy zmiennych indywidualnych.
Aksjomatami logicznymi s ˛a wszystkie podstawienia formuł j˛ezyka PA za zmienne zdaniowe w nast˛epuj ˛acych formułach j˛ezyka KRZ:
(1) p → (q → p) (8) (p → q) → ((p → r) → (p → (q ∧ r))) (2) (p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r)) (9) p → (p ∨ q)
(3) (p → q) → (¬q → ¬p) (10) q → (p ∨ q)
(4) ¬¬p → p (11) (p → r) → ((q → r) → ((p ∨ q) → r))
(5) p → ¬¬p (12) (p ≡ q) → (p → q)
(6) (p ∧ q) → p (13) (p ≡ q) → (q → p)
(7) (p ∧ q) → q (14) (p → q) → ((q → p) → (p ≡ q))
Aksjomatami identyczno´sci dla PA s ˛a:
1. x .
= x 2. x .
= y → y .
= x 3. (x .
= y ∧ y .
= z) → x .
= z 4. x .
= y → s(x) .
= s(y) 5. x .
= y → x+z .
= y+z 6. x .
= y → z+x .
= z+y 7. x .
= y → x×z .
= y×z 8. x .
= y → z×x .
= z×y
Aksjomatami specyficznymi PA s ˛a:
1. (A1) s(x) .
= s(y) → x = y 2. (A2) ¬0 .
= s(x) 3. (A3) x+0 .
= x 4. (A4) x+s(y) .
= s(x+y) 5. (A5) x×0 .
= 0 6. (A6) x×s(y) .
= (x×y)+x
7. (A7) (ϕ(0) ∧ ∀x(ϕ(x) → ϕ(s(x)))) → ∀xϕ(x)
(A7) jest schematem (niesko´nczenie wielu) aksjomatów, zwanym schematem indukcji matematycznej.
Regułami wnioskowania s ˛a:
1. reguła podstawiania: ψ(x/t)ψ , o ile term t jest podstawialny za zmienn ˛a x w formule ψ,
2. reguła odrywania: ϕ→ψ ϕψ 3. reguła generalizacji: ∀xψψ 4. reguła (O∀): ϕ→∀xψϕ→ψ
5. reguła (D∀): ϕ→∀xψϕ→ψ , o ile x nie jest zmienn ˛a woln ˛a w ϕ
6. reguła (O∃): ∃xϕ→ψϕ→ψ
7. reguła (D∃): ∃xϕ→ψϕ→ψ , o ile x nie jest zmienn ˛a woln ˛a w ψ.
2.2 Semantyka
Wykorzystujemy semantyk˛e dla teorii pierwszego rz˛edu, podan ˛a w elementarnym kursie logiki.
Spo´sród wszystkich modeli PA (a jest ich bardzo wiele!) wyró˙znia si˛e model standardowy N0, w którym:
1. uniwersum stanowi ˛a wszystkie liczby naturalne {0, 1, 2, 3, . . .}
2. interpretacj ˛a stałej 0 jest liczba zero, 3. interpretacj ˛a predykatu .
= jest relacja równo´sci =, 4. interpretacj ˛a symbolu + jest operacja dodawania +, 5. interpretacj ˛a symbolu × jest operacja mno˙zenia ·,
6. interpretacj ˛a symbolu s jest funkcja nast˛epnika s: s(n) = n + 1.
2.3 Arytmetyka Robinsona
1. Aksjomat indukcji nie mo˙ze zosta´c zast ˛apiony ˙zadnym równowa˙znym mu sko´nczonym zbiorem aksjomatów.
2. Nie mo˙zna zast ˛api´c go tak˙ze ˙zadn ˛a równowa˙zn ˛a (nawet niesko´nczon ˛a) liczb ˛a przypadków szczególnych, tj. aksjomatu indukcji dla formuł o dowolnie z góry ograniczonej liczbie kwantyfikatorów.
System w powy˙zszym j˛ezyku, o aksjomatach pozalogicznych (A1)–(A6) wraz z aksjomatem (A0) ¬x .
= 0→ ∃y(x .
= s(y)) nazywa si˛e Arytmetyk ˛a Robinsonai bywa oznaczany Q.
Q jest istotnie słabszy od PA: mo˙zna w nim dowodzi´c konkretnych prawd aryt- metycznych (np. tego, ˙ze 2 + 2 = 4), ale nie wielu praw ogólnych (np. tego, ˙ze dodawanie jest przemienne).
2.4 Kilka prostych twierdze ´n arytmetycznych Je´sli ψ jest twierdzeniem PA, to piszemy: P A ` ψ.
Wygodnie jest wprowadzi´c pewne zdefiniowane predykaty, np. mniejszo´s´c:
x<y ≡df ∃z(¬z .
= 0 ∧ z+x .
= y).
Wtedy interpretacj ˛a < w N0jest relacja mniejszo´sci <.
Uwaga. Nie myl predykatu < (podkre´slony symbol <) z predykatem nazy- waj ˛acym relacj˛e „mniejsze lub równe”, któr ˛a zapisujemy 6. Odró˙zniaj predykat identyczno´sci .
= od relacji równo´sci =, stał ˛a 0 od liczby 0, symbol funkcyjny s od funkcji nast˛epnika s, itd.
Niektóre proste twierdzenia arytmetyczne s ˛a potrzebne w dowodach twierdze´n o reprezentowalno´sci oraz twierdze´n dotycz ˛acych arytmetyzacji składni. Podamy wybrane z nich.
Odró˙znili´smy (poprzez kształt stosowanych symboli) stałe pozalogiczne aryt- metyki od ich semantycznych interpretacji.
Dla pełnej (pedantycznej) poprawno´sci trzeba byłoby równie˙z np. u˙zywa´c in- nych oznacze´n na stałe logiczne w j˛ezyku przedmiotowym, a inne w tej roli w metaj˛ezyku.
Podobnie, kształt zmiennych j˛ezyka przedmiotowego powinien by´c ró˙zny od zmiennych metaj˛ezykowych (przebiegaj ˛acych, w naszym przypadku, liczby natu- ralne).
Nie robimy tego. Ufamy. Ufamy, ˙ze kontekst u˙zycia symbolu pozwala na unik- ni˛ecie nieporozumie´n w rozumieniu, co w tek´scie porabia ten symbol, jaki jest jego status, itd.
W PA mo˙zna udowodni´c:
1. ł ˛aczno´s´c i przemienno´s´c dodawania i mno˙zenia, 2. rozdzielno´s´c mno˙zenia wzgl˛edem dodawania, 3. prawa skracania dla dodawania i mno˙zenia, 4. zgodno´s´c porz ˛adku z operacjami arytmetycznymi.
1. P A ` ¬x<0.
2. P A ` x<s(y) ≡ (x<y ∨ x .
= y).
3. P A ` x<y ∨ x .
= y ∨ y<x.
Niech formuła ϕ0powstaje z formuły ϕ poprzez zast ˛apienie niektórych wyst ˛a- pie´n formuł ψ1, . . . , ψnodpowiednio formułami ψ01, . . . , ψ0ni załó˙zmy, ˙ze: P A ` ψ1 ≡ ψ10, . . . , P A ` ψn≡ ψn0. Wtedy: P A ` ϕ ≡ ϕ0.
Niech term t powstaje z termu t0 poprzez (poprawne!) zast ˛apienie niektórych wyst ˛apie´n termów t1, . . . , tn odpowiednio termami t01, . . . , t0n, a formuła ϕ0 po- wstaje z formuły ϕ poprzez takie samo zast ˛apienie wymienionych termów. Za- łó˙zmy, ˙ze: P A ` t1 .
= t01, . . . , P A ` tn .
= βn0. Wtedy: P A ` t .
= t0 oraz P A ` ϕ ≡ ϕ0.
Powy˙zsze twierdzenia zachodz ˛a nie tylko dla PA, lecz tak˙ze dla dowolnej teorii pierwszego rz˛edu.
3 Reprezentowalno´s´c w PA
3.1 Liczebniki
Definicja liczebników.
1. Term 0 jest liczebnikiem.
2. Je´sli term α jest liczebnikiem, to term s(α) jest liczebnikiem.
3. Liczebnikami s ˛a tylko termy opisane w powy˙zszy sposób.
Oznaczmy: n = s(s(. . . s
| {z }
n razy
(0) . . .)).
n jest zatem liczebnikiem nazywaj ˛acym liczb˛e n.
U¯waga. Liczebniki s ˛a symbolami j˛ezykowymi, liczby naturalne s ˛a elementami uniwersum modelu standardowego.
3.2 Słaba reprezentowalno´s´c relacji
1. Formuła ϕ j˛ezyka PA o n zmiennych wolnych słabo reprezentuje w PA re- lacj˛e R ⊆ ωn, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych liczb naturalnych k1, . . . , knzachodzi równowa˙zno´s´c:
R(k1, . . . , kn) wtedy i tylko wtedy, gdy PA ` ϕ(k1, . . . , kn).
2. Relacj˛e R ⊆ ωnnazywamy słabo reprezentowaln ˛a w PA, je´sli istnieje for- muła j˛ezyka PA, która słabo reprezentuje R.
Uwaga. Formuła ϕ słabo reprezentuje R w PA wtedy i tylko wtedy, gdy za- chodz ˛a implikacje:
1. Je´sli R(k1, . . . , kn), to ` ϕ(k1, . . . , kn).
2. Je´sli ` ϕ(k1, . . . , kn), to R(k1, . . . , kn).
3.3 Mocna reprezentowalno´s´c relacji
1. Formuła ϕ j˛ezyka PA o n zmiennych wolnych mocno reprezentuje w PA relacj˛e R ⊆ ωn, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych liczb naturalnych k1, . . . , knzachodz ˛a implikacje:
(a) Je´sli R(k1, . . . , kn), to PA ` ϕ(k1, . . . , kn).
(b) Je´sli ¬R(k1, . . . , kn), to PA ` ¬ϕ(k1, . . . , kn).
2. Relacj˛e R ⊆ ωn nazywamy mocno reprezentowaln ˛a w PA, je´sli istnieje formuła j˛ezyka PA, która mocno reprezentuje R.
Uwaga. Ka˙zda relacja mocno reprezentowalna w PA jest te˙z słabo reprezento- walna w PA, lecz nie na odwrót.
Je´sli PA jest niesprzeczna oraz R jest mocno reprezentowana w PA przez for- muł˛e ϕ, to zachodz ˛a nast˛epuj ˛ace równowa˙zno´sci:
1. R(k1, . . . , kn) wtedy i tylko wtedy, gdy PA ` ϕ(k1, . . . , kn).
2. ¬R(k1, . . . , kn) wtedy i tylko wtedy, gdy PA ` ¬ϕ(k1, . . . , kn).
Na mocy powy˙zszego twierdzenia, relacja R jest mocno reprezentowalna w PA wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje formuła ϕ j˛ezyka PA taka, ˙ze:
1. R jest słabo reprezentowana przez ϕ, 2. ¬R jest słabo reprezentowana przez ¬ϕ.
3.4 Reprezentowalno´s´c funkcji
1. Formuła ϕ j˛ezyka PA o n+1 zmiennych wolnych reprezentuje w PA funkcj˛e f : ωn → ω wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych liczb naturalnych k1, . . . , kn:
PA` ∀y(ϕ(k1, . . . , kn) ≡ (y .
= f (k1, . . . , kn))).
2. Funkcj˛e f : ωn→ ω nazywamy reprezentowaln ˛a w PA wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje formuła ϕ j˛ezyka PA o n + 1 zmiennych wolnych taka, ˙ze ϕ reprezentuje f w PA.
3.5 Reprezentowalno´s´c: proste przykłady
1. Relacja identyczno´sci = jest mocno reprezentowana w PA przez formuł˛e x1 .
= x2.
2. Funkcja dodawania jest reprezentowana w PA przez formuł˛e x1+x2 .
= x3. 3. Funkcja mno˙zenia jest reprezentowana w PA przez formuł˛e x1×x2 .
= x3. 4. Relacja mniejszo´sci jest mocno reprezentowana w PA przez formuł˛e x1<x2. 5. Relacja R ⊆ ωnjest mocno reprezentowalna w PA wtedy i tylko wtedy, gdy
jej funkcja charakterystyczna jest reprezentowalna w PA.
3.6 Twierdzenie o reprezentowalno´sci
Dla dowolnej formuły ϕ j˛ezyka PA i dowolnej liczby naturalnej n:
PA ` (ϕ(0) ∧ ϕ(1) ∧ . . . ∧ ϕ(n − 1) ∧ x<n) → ϕ(x).
Dla dowolnej formuły ϕ j˛ezyka PA i dowolnej liczby naturalnej n, je˙zeli dla ka˙zdego i < n, PA ` ¬ϕ(i) oraz PA ` ϕ(n), to:
PA ` (ϕ(x) ∧ ∀y(y<x → ¬ϕ(y))) ≡ (x .
= n).
Twierdzenie o reprezentowalno´sci.
1. Ka˙zda funkcja rekurencyjna jest reprezentowalna w PA.
2. Ka˙zda relacja rekurencyjna jest mocno reprezentowalna w PA.
Dowód twierdzenia o reprezentowalno´sci jest do´s´c łatwy, cho´c nieco ˙zmudny.
Dowodzi si˛e mianowicie kolejno, ˙ze:
1. funkcje proste s ˛a reprezentowalne,
2. funkcja powstaj ˛aca przez zło˙zenie z funkcji reprezentowalnych jest repre- zentowalna,
3. funkcja powstaj ˛aca przez schemat rekursji prostej z funkcji reprezentowal- nych jest reprezentowalna,
4. funkcja powstaj ˛aca przez zastosowanie operacji minimum efektywnego do funkcji reprezentowalnej jest reprezentowalna.
W dowodzie wykorzystuje si˛e (metasystemow ˛a) zasad˛e indukcji matematycz- nej.
4 Arytmetyzacja składni
Mo˙zliwo´s´c kodowania wyra˙ze´n j˛ezyka PA przez liczby naturalne pozwala na „mó- wienie” o arytmetyce w niej samej, i to bez popadania w paradoksy pomieszania j˛ezyka przedmiotowego i metaj˛ezyka.
Dokładniej, owo „mówienie” w PA o PA umo˙zliwione jest dodatkowo przez dwa fakty: to, ˙ze poj˛eciom metalogicznym odpowiadaj ˛a funkcje i relacje rekuren- cyjne oraz to, ˙ze funkcje i relacje rekurencyjne s ˛a reprezentowalne w PA.
S ˛a ró˙zne mo˙zliwo´sci (jednoznacznego i efektywnego) kodowania wyra˙ze´n (sko´n- czonych ci ˛agów symboli), np.:
1. u˙zycie rozkładu liczb naturalnych na czynniki pierwsze;
2. zastosowanie funkcji koduj ˛acej Cantora;
3. zastosowanie funkcji koduj ˛acej β Gödla;
4. konkatenacj˛e w bazie dziesi˛etnej, itd.
4.1 Wybór funkcji koduj ˛acej ci ˛agi symboli
Lemat (funkcja β Gödla). Istnieje 2-argumentowa funkcja rekurencyjna β taka,
˙ze:
1. dla dowolnycha oraz i: β(a, i) 6 a.1
2. dla dowolnycha0, a1, . . . , an−1istniejea taka, ˙ze β(a, i) = ai, dlai < n.
1. Dla dowolnego ci ˛agu liczb naturalnych a1, . . . , anniech:
ha1, . . . , aniβ = µx (β(x, 0) = n ∧ β(x, 1) = a1∧ . . . ∧ β(x, n) = an).
2. lhβ(a) = β(a, 0).
3. (a)βi = β(a, i + 1).
4. seqβ(a) ≡ ∀x < a (lhβ(x) 6= lhβ(a) ∨ ∃i < lhβ(a) (x)βi 6= (a)βi).
5. Dla ka˙zdej n, funkcja (a1, . . . , an) 7→ ha1, . . . , aniβjest rekurencyjna. Funk- cje lhβ i ( )βi s ˛a rekurencyjne. seqβjest relacj ˛a rekurencyjn ˛a.
Nast˛epuj ˛ace funkcje s ˛a rekurencyjne (co wida´c z definicji):
1. Inβ(a, i) = µx (lhβ(x) = i ∧ ∀j < i (x)βj = (a)βj).
2. a ∗βb = µx (lhβ(x) = lhβ(a) + lhβ(b) ∧ ∀i < lhβ(a) (x)βi = (a)βi∧
∧∀i < lhβ(b) (x)βlhβ(a)+i= (b)βi).
Wcze´sniej poznali´smy funkcje podobne do powy˙zszych (koduj ˛ace i odkodo- wuj ˛ace) – funkcj˛e pary Cantora oraz funkcj˛e kodowania wykorzystuj ˛ac ˛a rozkład na czynniki pierwsze. W dalszym ci ˛agu b˛edziemy pomija´c indeks górny β przy wprowadzonych wy˙zej symbolach.
Zarys dowodu lematu.
1. Przypomnijmy, ˙ze relacja podzielno´sci div jest rekurencyjna: div(a, b) ≡
∃z 6 a (a = b · z).
2. Rekurencyjna jest te˙z symetryczna relacja rp zdefiniowana wzorem: rp(a, b) ≡ a 6= 0∧b 6= 0∧∀x 6 a·b (div(a·x, b) → div(x, b)), która zachodzi mi˛edzy a i b dokładnie wtedy, gdy a i b s ˛a wzgl˛ednie pierwsze.
3. (∗) Dla dowolnych ró˙znych od 0 i od 1 liczb a1, . . . , an, b1, . . . , bm takich,
˙ze rp(ai, bj) dla wszystkich i oraz j istnieje liczba c taka, ˙ze div(c, ai) dla i = 1, . . . , n, natomiast nie zachodzi div(c, bj) dla j = 1, . . . , m.
4. Wprost z definicji relacji div oraz rp mamy: (†) (k 6= 0 ∧ z 6= 0 ∧ div(z, k)) → rp(1 + (j + k) · z, 1 + j · z).
5. Funkcja op(a, b) = (a + b) · (a + b) + a + 1 jest rekurencyjna. Nadto:
(‡) op(a, b) = op(c, d) → a = c ∧ b = d.
6. Definiujemy funkcj˛e β:
β(a, i) = µx < a.1 (∃y < a∃z < a (a = op(y, z) ∧ div(y, 1 + (op(x, i) + 1) · z))).
7. Z definicji wynika, ˙ze β jest rekurencyjna oraz ˙ze β(a, i)6 a.1.
8. Dla danych liczb a0, a1, . . . , an−1trzeba znale´z´c liczb˛e a tak ˛a, ˙ze β(a, i) = aidla i < n.
9. Niech c b˛edzie najwi˛eksz ˛a z liczb op(ai, i) + 1 dla i < n, natomiast z liczb ˛a podzieln ˛a przez wszystkie x takie, ˙ze x < c.
10. Na mocy (†) dla k = r − j mamy: je´sli j < r < c, to rp(1 + j · z, 1 + r · z).
11. Na mocy (∗) istnieje y taka, ˙ze dla j < c: div(y, 1 + j · z) dokładnie wtedy, gdy j jest postaci op(ai, i) + 1.
12. Niech a = op(y, z). Wtedy ai < y < a oraz z < a.
13. Dla dowodu, ˙ze β(a, i) = ai dla i < n wystarczy pokaza´c, ˙ze: ai = µx div(y, 1 + (op(x, i) + 1) · z).
14. To wynika z faktu, ˙ze: je´sli x < ai, to op(x, i) < c oraz op(x, i) nie jest postaci op(aj, j) dla j < n.
15. Na mocy (‡) mamy jednak: op(x, i) 6 op(ai, i) < c oraz op(x, i) 6=
op(aj, j), co ko´nczy dowód.
4.2 Dygresja: funkcja-pami˛e´c
1. Dla dowolnej funkcji f : ωn→ ω jej ´sci ˛agni˛eciem nazywamy funkcj˛e:
df e(a) = f ((a)0, . . . , (a)n−1)
2. Dla dowolnej relacji R ⊆ ωnjej ´sci ˛agni˛eciem nazywamy relacj˛e:
dRe(a) ≡ R((a)0, . . . , (a)n−1).
3. Dla dowolnej funkcji f : ωn→ ω jej funkcj ˛a-pami˛eci ˛a nazywamy funkcj˛e:
f (ab 1, . . . , an−1, b) =
= hf (a1, . . . , an−1, 0), f (a1, . . . , an−1, 1), . . . , f (a1, . . . , an−1, b − 1)i.
1. f (a1, . . . , an) = df e(ha1, . . . , ani).
2. R(a1, . . . , an) ≡ dRe(ha1, . . . , ani).
Funkcja-pami˛e´c mo˙ze te˙z zosta´c okre´slona przy u˙zyciu innych (pierwotnie re- kurencyjnych) funkcji koduj ˛acych.
Funkcja f jest rekurencyjna dokładnie wtedy, gdy rekurencyjna jest jej funkcja- pami˛e´c bf .
Dowód.
1. Je´sli f rekurencyjna, to bf rekurencyjna, poniewa˙z:
f (ab 1, . . . , an, b) = µx (seq(x) ∧ lh(x) = b∧
∀i < b ((x)i) = f (a1, . . . , an, b)).
2. Je´sli bf rekurencyjna, to f rekurencyjna, poniewa˙z:
f (a1, . . . , an, b) = ( bf (a1, . . . , an, b + 1))b.
Funkcja-pami˛e´c pozwala zast ˛api´c pewne definicje przez schematy rekursji de- finicjami u˙zywaj ˛acymi tylko funkcji pierwotnie rekurencyjnych oraz efektywnego operatora minimum.
Je´sli g oraz h s ˛a funkcjami rekurencyjnymi, to funkcja f okre´slona nast˛epuj ˛a- cym schematem rekursji:
1. f (a1, . . . , an, b) = g(a1, . . . , an, ), gdy b = 0,
2. f (a1, . . . , an, b) = h( bf (a1, . . . , an, b), a1, . . . , an, b), gdy b > 0 tak˙ze jest rekurencyjna.
Mamy bowiem:
H(a1, . . . , an, b) = µx (seq(x) ∧ lh(x) = b ∧ (x)0 = g(a1, . . . , an)∧
∀i < b (i > 0 → (x)i) = h(In(x, i), a1, . . . , an, i)).
A zatem H jest rekurencyjna. Nadto, jest równa funkcji f . Rekurencyjno´s´c f jest teraz oczywista:
1. dla b = 0 funkcja f jest równa rekurencyjnej funkcji g,
2. dla b > 0 mamy: f (a1, . . . , an, b) = h(H(a1, . . . , an, b), a1, . . . , an, b).
W konsekwencji, je´sli g i h s ˛a rekurencyjne, to funkcja f okre´slona warunkami:
1. f (a1, . . . , an, 0) = g(a1, . . . , an, )
2. f (a1, . . . , an, b + 1) = h(f (a1, . . . , an, b), a1, . . . , an, b) równie˙z jest rekurencyjna.
Wyra˙zenie schematów rekursji przez funkcj˛e-pami˛e´c pozwala lepiej zrozumie´c działanie tych schematów.
Własno´sci operacji ´sci ˛agni˛ecia ukazuj ˛a natomiast, ˙ze funkcje (i relacje) wielo- argumentowe (na liczbach naturalnych) mo˙zemy zast ˛api´c przez równe im funkcje (i relacje) jednoargumentowe.
4.3 Numery symboli
Ka˙zdemu symbolowi X j˛ezyka PA przyporz ˛adkowujemy numer sn(X), np. w taki sposób:
X ¬ ∨ ∧ → ≡ ∃
sn(X) 3 5 7 9 11 13
X ∀ s + × 0 .
=
sn(X) 15 17 19 21 23 25
Zmiennej xiprzyporz ˛adkowujemy liczb˛e 2i: sn(xi) = 2i.
4.4 Kodowanie wyra˙ze ´n
Zakładamy, ˙ze ka˙zdy term i ka˙zda formuła j˛ezyka PA s ˛a zapisane w notacji prefik- sowej (polskiej), czyli: funktor przed swoim argumentami. Tak wi˛ec, ka˙zdy term jest ci ˛agiem o postaci vv1. . . , vn, gdzie v jest symbolem funkcyjnym, a v1. . . , vn
s ˛a termami. Ka˙zda formuła jest ci ˛agiem o postaci vv1. . . , vn, gdzie: albo v jest funktorem prawdziwo´sciowym, a v1. . . , vns ˛a formułami lub termami, albo v jest kwantyfikatorem, a v1. . . , vn s ˛a formułami lub termami. Notacja prefiksowa nie wymaga stosowania nawiasów.
1. Ka˙zdemu termowi lub formule u o postaci vv1. . . vn przyporz ˛adkowujemy jego/jej numer gödlowskipuq, zdefiniowany nast˛epuj ˛aco:
puq = hsn(v), pv1q, . . . pvnqi.
2. Powy˙zsza definicja mo˙ze te˙z by´c „rozpisana” w sposób wyra´zny, dla ka˙z- dego rodzaju termu lub formuły.
Dla przykładu, numer gödlowski formuły ∀x1 (x1 .
= 0 → (x1×s(x1)) .
= 0) obliczamy nast˛epuj ˛aco:
1. Przekształcamy formuł˛e do postaci prefiksowej:
∀x1 →.
= x10 .
= ×x1sx10 (i w znany sposób odszukujemy jej podformuły).
2. ps(x1)q = h17, 2i
3. px1×s(x1)q = h21, 2, h17, 2ii 4. p(x1×s(x1) .
= 0)q = h25, h21, 2, h17, 2ii, 23i 5. px1 .
= 0q = h25, 2, 23i 6. px1 .
= 0 → (x1×s(x1)q = h9, h25, 2, 23i, h25, h21, 2, h17, 2ii, 23ii 7. p∀x1 (x1 .
= 0 → (x1×s(x1)) .
= 0)q = h15, 2, h9, h25, 2, 23i, h25, h21, 2, h17, 2ii, 23iii Ten sposób kodowania staje si˛e jasny, gdy spojrzymy na drzewo syntaktyczne
rozwa˙zanej formuły (w istocie kodujemy wła´snie to drzewo):
∀ x1
→
H HH H
=.
HH
x1 0
=.
HH
×
HH
x1 s
x1
0
Omówione kodowanie wyra˙ze´n jest:
1. jednoznaczne (ka˙zdy term lub formuła otrzymuje dokładnie jeden numer gödlowski);
2. efektywne (przypisanie numerów realizowane jest za pomoc ˛a funkcji reku- rencyjnych).
Numery gödlowskie termów i formuł s ˛a oczywi´scie do´s´c du˙zymi liczbami. W praktyce nie ma jednak ˙zadnej potrzeby, aby je oblicza´c. Wystarczy mo˙zliwo´s´c ich jednoznacznego, efektywnego otrzymywania.
Ponadto, dla dowolnej liczby naturalnej a mo˙zna w sposób efektywny rozstrzy- gn ˛a´c, czy jest ona numerem gödlowskim termu lub formuły. Wystarczy w tym celu:
1. sprawdzi´c, czy zachodzi seq(a);
2. je´sli tak, to wyznaczy´c lh(a) oraz (a)i dla i = 0, 1, . . . , lh(a);
3. dla tak „rozło˙zonej” a = ha0, a1, . . . ani sprawdzi´c, czy a0 = sn(X) dla jakiego´s symbolu X alfabetu j˛ezyka PA;
4. je´sli tak, to procedur˛e t˛e powtórzy´c dla ai, gdzie i = 0, 1, . . . , lh(a);
5. poniewa˙z ai < a, wi˛ec po sko´nczonej liczbie kroków procedura ta si˛e za- ko´nczy (i uzyskamy odpowied´z czy a jest numerem gödlowskim termu lub formuły).
4.5 Kodowanie zmiennych
Vble(a) ≡ a = h(a)0i ∧ ∃y 6 a ((a)0 .
= 2y)
Vble(a) zachodzi, gdy a jest numerem gödlowskim pewnej zmiennej xi, czyli gdy a =pxiq.
Rekurencyjno´s´c Vble wynika z faktu, ˙ze (a)0< a.
Zauwa˙zmy, ˙ze numer gödlowski zmiennej to nie to samo, co numer przypisany jej przez funkcj˛e sn.
4.6 Kodowanie termów
Formuła Term(a) jest równowa˙zna:
formule je´sli
0 = 0 a = hsn(0)i
Term((a1)) a = hsn(s), (a)1i Term((a)1) ∧ Term((a)2) a = hsn(+), (a)1, (a)2i Term((a)1) ∧ Term((a)2) a = hsn(×), (a)1, (a)2i
Vble(a) w p.p.
Term(a) czytamy: a jest numerem gödlowskim termu, czyli a =ptq dla pew- nego termu t. Skrót „w p.p.” czytamy: „w pozostałych przypadkach.” Rekurencyj- no´s´c Term dostajemy z: faktu, i˙z (a)1 < a oraz twierdze´n o definiowaniu warun- kowym i definiowaniu przez schemat rekursji.
4.7 Kodowanie formuł AtForm(a) ≡
a = h(a)0, (a)1, (a)2i ∧ (a)0 = sn(.
=) ∧ Term((a)1) ∧ Term((a)2).
Formuła Form(a) jest równowa˙zna:
formule je´sli
Form((a)1) a = hsn(¬), (a)1i Form((a)1) ∧ Form((a)2) a = hsn(∨), (a)1, (a)2i Form((a)1) ∧ Form((a)2) a = hsn(∧), (a)1, (a)2i Form((a)1) ∧ Form((a)2) a = hsn(→), (a)1, (a)2i Form((a)1) ∧ Form((a)2) a = hsn(≡), (a)1, (a)2i Vble((a)1) ∧ Form((a)2) a = hsn(∃), (a)1, (a)2i Vble((a)1) ∧ Form((a)2) a = hsn(∀), (a)1, (a)2i
AtForm(a) w p.p.
Form(a) zachodzi, gdy a jest numerem gödlowskim formuły j˛ezyka PA.
4.8 Kodowanie operacji syntaktycznych Funkcja Sub(a, b, c):
ma warto´s´c je´sli
c Vble(a) ∧ a = b
h(a)0, Sub((a)1, b, c)i a = h(a)0, (a)1i h(a)0, Sub((a)1, b, c), Sub((a)2, b, c)i a = h(a)0, (a)1, (a)2i∧
(a)06= sn(∃) ∧ (a)06= sn(∀) h(a)0, (a)1, Sub((a)2, b, c)i (a = hsn(∃), (a)1, (a)2i∨
a = hsn(∃), (a)1, (a)2i) ∧ (a)16= b
a w p.p.
Dla termów t, t1, t2, zmiennej x oraz formuły ψ mamy:
Sub(pt1q, pxq, pt2q) = pt1(x/t2)q (podstawienie t2 za x w t1) Sub(pψq, pxq, ptq) = pψ(x/t)q (podstawienie t za x w ψ).
Formuła Fr(a, b) jest równowa˙zna:
formule je´sli
a = b Vble(a)
Fr((a)1, b) a = h(a)0, a1i Fr((a)1, b) ∨ Fr((a)2, b) a = h(a)0, a1, a2i∧
(a)0 6= sn(∃) ∧ (a)0 6= sn(∀) Fr((a)2, b) ∧ (a)1 6= b w p.p.
Dla formuły ψ oraz zmiennej x zachodzi relacja Fr(pψq, pxq) dokładnie wtedy, gdy x jest zmienn ˛a woln ˛a w ψ.
Formuła Subtl(a, b, c) jest równowa˙zna:
formule je´sli
Subtl((a)1, b, c) a = h(a)0, (a)1i Subtl((a)1, b, c) ∧ Subtl((a)2, b, c) a = h(a)0, (a)1, (a)2i∧
(a)06= sn(∃) ∧ (a)06= sn(∀) Subtl((a)2, b, c)∧ (a = hsn(∃), (a)1, (a)2i∨
∧(¬Fr((a)2, b) ∨ ¬Fr(c, (a)1)) a = hsn(∀), (a)1, (a)2i)∧
(a)16= b
0 = 0 w p.p.
Subtl(pψq, pxq, ptq) zachodzi dokładnie wtedy, gdy term t jest podstawialny za zmienn ˛a x do formuły ψ.
4.9 Kodowanie aksjomatów logicznych Formuła LogAx(a) jest alternatyw ˛a 14 warunków:
1. ∃x < a∃y < a(Form(x) ∧ Form(y) ∧ a = h9, x, h9, y, xii) 2. ∃x < a∃y < a∃z < a(Form(x) ∧ Form(y) ∧ Form(z)∧
a = h9, h9, x, h9, y, zii, h9, h9, x, yi, h9, x, ziii) 3. ∃x < a∃y < a(Form(x) ∧ Form(y) ∧ a = h9, h9, x, yi, h9, h3, yi, h3, xiii) 4. ∃x < a(Form(x) ∧ a = h9, h3, h3, xii, xi)
5. ∃x < a(Form(x) ∧ a = h9, x, h3, h3, xiii)
6. ∃x < a∃y < a(Form(x) ∧ Form(y) ∧ a = h9, h7, x, yi, xi) 7. ∃x < a∃y < a(Form(x) ∧ Form(y) ∧ a = h9, h7, x, yi, yi) 8. ∃x < a∃y < a(Form(x) ∧ Form(y) ∧ Form(z)∧
a = h9, h9, x, yi, h9, h9, x, zi, h9, x, h7, y, ziiii) 9. ∃x < a∃y < a(Form(x) ∧ Form(y) ∧ a = h9, x, h5, x, yii)
10. ∃x < a∃y < a(Form(x) ∧ Form(y) ∧ a = h9, y, h5, x, yii) 11. ∃x < a∃y < a(Form(x) ∧ Form(y) ∧ Form(z)∧
a = h9, h9, x, zi, h9, h9, y, zi, h9, h5, x, yi, ziii) 12. ∃x < a∃y < a(Form(x) ∧ Form(y) ∧ a = h9, h11, x, yi, h9, x, yii)
13. ∃x < a∃y < a(Form(x) ∧ Form(y) ∧ a = h9, h11, x, yi, h9, y, xii)
14. ∃x < a∃y < a(Form(x) ∧ Form(y) ∧ a = h9, h9, x, yi, h9, h9, y, xi, h11, x, yiii) LogAx(a) zachodzi dokładnie wtedy, gdy a jest numerem gödlowskim aksjo- matu logicznego PA.
4.10 Kodowanie aksjomatów identyczno´sci Formuła EqAx(a) jest alternatyw ˛a 8 warunków:
1. ∃x < a (a = h25, 2x, 2xi)
2. ∃x < a ∃y < a (a = h9, h25, 2x, 2yi, h25, 2y, 2xii)
3. ∃x < a ∃y < a ∃z < a (a = h9, h7, h25, 2x, 2yi, h25, 2y, 2zi, h25, 2x, 2zii) 4. ∃x < a ∃y < a ∃z < a (a = h9, h25, 2x, 2yi, h25, h17, 2xi, h17, 2yiii) 5. ∃x < a ∃y < a ∃z < a (a = h9, h25, 2x, 2yi, h25, h19, 2x, 2zi, h19, 2y, 2ziii) 6. ∃x < a ∃y < a ∃z < a (a = h9, h25, 2x, 2yi, h25, h19, 2z, 2xi, h19, 2z, 2yiii)
7. ∃x < a ∃y < a ∃z < a (a = h9, h25, 2x, 2yi, h25, h21, 2x, 2zi, h21, 2y, 2ziii) 8. ∃x < a ∃y < a ∃z < a (a = h9, h25, h25, 2x, 2yi, h25, h21, 2z, 2xi, h21, 2z, 2viii)
EqAx(a) zachodzi dokładnie wtedy, gdy a jest numerem gödlowskim jednego z aksjomatów identyczno´sci PA.
4.11 Kodowanie aksjomatów pozalogicznych Formuła NLAx(a) jest alternatyw ˛a nast˛epuj ˛acych warunków:
1. ∃x < a ∃y < a ((Vble(x) ∧ Vble(y)) ∧ a = h9, h25, h17, xi, h17, yii, h25, x, yii) 2. ∃x < a (Vble(x) ∧ a = h3, h25, 23, h17, xiii)
3. ∃x < a (Vble(x) ∧ a = h25, h19, x, 23i, xi)
4. ∃x < a ∃y < y ((Vble(x) ∧ Vble(y)) ∧ a = h25, h19, x, h17, yii, h17, h19, x, yiii) 5. ∃x < a (Vble(x) ∧ a = h25, h21, x, 23i, 23i)
6. ∃x < a ∃y < a ((Vble(x)∧Vble(y))∧a = h25, h21, x, h17, yii, h19, h21, x, yi, xii) 7. ∃x < a ∃y < a ((Form(x) ∧ Vble(y) ∧ Fr(x, y))∧
a = h9, h7, Sub(x, y, 23), h15, y, h9, x, Sub(x, y, h17, yi)iii, h15, y, xii).
NLAx(a) zachodzi dokładnie wtedy, gdy a jest numerem gödlowskim aksjo- matu pozalogicznego PA.
Zauwa˙zmy, ˙ze ostatni z powy˙zszych warunków odpowiada niesko´nczonemu zbiorowi aksjomatów.
4.12 Kodowanie reguł wnioskowania
Relacja sub(a, b) zachodzi dokładnie wtedy, gdy istniej ˛a x < b oraz y < b takie,
˙ze:
1. Term(x) 2. Vble(y) 3. Form(a) 4. Form(b) 5. Subtl(a, y, x) 6. b = Sub(a, y, x).
sub(pϕq, pψq) zachodzi dokładnie wtedy, gdy formuła ψ powstaje z formuły ϕ przez podstawienie w ϕ pewnego termu za pewn ˛a zmienn ˛a.
Relacja MP(a, b, c) zachodzi, gdy:
1. Form(a) 2. Form(b) 3. Form(c)
4. a = h9, (a)1, (a)2i 5. b = (a)1
6. c = (a)2.
MP(a, b, c) zachodzi dokładnie wtedy, gdy formuła o numerze gödlowskim c jest wnioskiem reguły odrywania, gdzie przesłankami s ˛a formuły o numerach gödlowskich a oraz b.
Relacja GR(a, b) zachodzi, gdy istnieje x < b taka, ˙ze:
1. Form(a) 2. Form(b) 3. Vble(x) 4. (b)0 = sn(∀) 5. (b)1 = x 6. (b2) = a.
GR(a, b) zachodzi dokładnie wtedy, gdy gdy formuła o numerze gödlowskim b jest wnioskiem reguły generalizacji, gdzie przesłank ˛a jest formuła o numerze gödlowskim a.
Relacja OA(a, b) zachodzi, gdy istniej ˛a x < a, y < a oraz z < b takie, ˙ze:
1. Form(x) 2. Form(y) 3. Vble(z)
4. a = h9, x, h13, z, yii
5. b = h9, x, yi.
Relacja OA(a, b) zachodzi dokładnie wtedy, gdy b jest numerem gödlowskim wniosku reguły opuszczania kwantyfikatora generalnego, gdzie przesłanka ma nu- mer gödlowski a.
Relacja DA(a, b) zachodzi, gdy istniej ˛a x < a, y < a oraz z < b takie, ˙ze:
1. Form(x) 2. Form(y) 3. Vble(z) 4. a = h9, x, yi
5. b = h9, x, h13, z, yii 6. ¬Fr(x, z).
Relacja DA(a, b) zachodzi dokładnie wtedy, gdy b jest numerem gödlowskim wniosku reguły doł ˛aczania kwantyfikatora generalnego, gdzie przesłanka ma nu- mer gödlowski a.
Relacja OE(a, b) zachodzi, gdy istniej ˛a x < a, y < a oraz z < b takie, ˙ze:
1. Form(x) 2. Form(y) 3. Vble(z)
4. a = h9, h13, z, xii 5. b = h9, x, yi.
Relacja OE(a, b) zachodzi dokładnie wtedy, gdy b jest numerem gödlowskim wniosku reguły opuszczania kwantyfikatora egzystencjalnego, gdzie przesłanka ma numer gödlowski a.
Relacja DE(a, b) zachodzi, gdy istniej ˛a x < a, y < a oraz z < b takie, ˙ze:
1. Form(x) 2. Form(y) 3. Vble(z)
4. a = h9, x, yi 5. b = h9, h13, z, xii 6. ¬Fr(y, z).
Relacja DE(a, b) zachodzi dokładnie wtedy, gdy b jest numerem gödlowskim wniosku reguły doł ˛aczania kwantyfikatora egzystencjalnego, gdzie przesłanka ma numer gödlowski a.
4.13 Kodowanie dowodów
Ax(a) ≡ LogAx(a) ∨ EqAx(a) ∨ NLAx(a). Relacja ta zachodzi dokładnie dla liczb b˛ed ˛acych numerami gödlowskimi aksjomatów PA.
Dowody s ˛a ci ˛agami formuł. Nadto, jak pami˛etamy, ka˙zdy dowód jest te˙z drze- wem: w korzeniu znajduje si˛e dowodzona formuła, w li´sciach aksjomaty, a bezpo-
´srednie poprzedniki ka˙zdego wierzchołka s ˛a przesłankami reguły wnioskowania, której wnioskiem jest wła´snie ów wierzchołek.
Ci ˛agi numerów formuł mo˙zemy kodowa´c na tej samej zasadzie, na jakiej ko- dujemy ci ˛agi symboli. Je´sli ∆ = (ψ1, ψ2, . . . , ψn) jest ci ˛agiem formuł, to przez numer gödlowski ci ˛agu ∆ rozumiemy (wyznaczon ˛a jednoznacznie i efektywnie) liczb˛e:
hpψ1q, pψ2q, . . . , , pψnqi.
Relacj˛e Dow(a, b) definiujemy przez koniunkcj˛e warunków:
seq(a) ∧ lh(a) 6= 0 ∧ (a)lh(a).1 = b ∧ ∀i < lh(a) (Form((a)i)∧
∃j < i ∃k < i (sub((a)j, (a)i) ∨ MP((a)j, (a)k, (a)i) ∨ GR((a)j, (a)i)∨
OA((a)j, (a)i) ∨ DA((a)j, (a)i) ∨ OE((a)j, (a)i) ∨ DE((a)j, (a)i))).
Relacja Dow(a, b) zachodzi dokładnie wtedy, gdy a jest numerem gödlowskim dowodu formuły o numerze gödlowskim b.
Jak bowiem pami˛etamy, dowód formuły ψ to ci ˛ag formuł o ostatnim elemencie ψ taki, ˙ze ka˙zdy z elementów tego ci ˛agu jest b ˛ad´z aksjomatem, b ˛ad´z wnioskiem której´s z reguł wnioskowania, której przesłankami s ˛a wcze´sniejsze (od tego wnio- sku) elementy owego ci ˛agu.
4.14 Rekurencyjno´s´c kodowa ´n
Twierdzenie. Wszystkie zdefiniowane powy˙zej funkcje i relacje s ˛a rekurencyjne.
1. Dowód tego twierdzenia wynika bezpo´srednio z podanych wyra´znych reku- rencyjnych definicji.
2. Odwołujemy si˛e przy tym tak˙ze do faktów wspomnianych wy˙zej, przy ko- dowaniu termów.
4.15 Twierdzenia PA
Wszystkie dot ˛ad rozwa˙zane funkcje i relacje odpowiadaj ˛ace poj˛eciom metalogicz- nym okazały si˛e rekurencyjne. A co z relacj ˛a P A ` ψ? Gdy zachodzi P A ` ψ, to ψ jest twierdzeniem PA. Okazuje si˛e, ˙ze relacja ta (dokładniej: relacja mi˛edzy numerami dowodów a numerami formuł) nie jest rekurencyjna, jest jedynie re- kurencyjnie przeliczalna. Mamy bowiem: P A ` ψ dokładnie wtedy, gdy istnieje dowód ψ w PA. W definicji poj˛ecia „by´c twierdzeniem PA” wyst˛epuje zatem jeden nieograniczony kwantyfikator egzystencjalny.
1. Definiujemy: Tw(a) ≡ ∃x Dow(x, a).
2. Relacja Tw jest rekurencyjnie przeliczalna.
5 Hierarchia arytmetyczna
Jak wiemy, operacje u˙zywaj ˛ace kwantyfikatorów ograniczonych prowadz ˛a od rela- cji rekurencyjnych do relacji rekurencyjnych. Kwantyfikatory nieograniczone ju˙z nie maj ˛a tej własno´sci – istotnie zwi˛ekszaj ˛a stopie´n skomplikowania poj˛e´c. Mo˙zna dokona´c logicznej klasyfikacji poj˛e´c uwzgl˛edniaj ˛acej liczb˛e kwantyfikatorów nie- ograniczonych potrzebnych w ich definicjach.
Szczególnie istotne s ˛a dwie hierarchie, nazywane:
1. hierarchi ˛a arytmetyczn ˛a (kwantyfikujemy tylko zmienne indywidualne);
2. hierarchi ˛a analityczn ˛a (kwantyfikujemy zmienne przebiegaj ˛ace podzbiory uniwersum).
Definicja Hierarchii Arytmetycznej.
1. P0 0 =Q0
0 = zbiór relacji rekurencyjnych;
2. Relacja R ⊆ ωkjest klasy P0
n+1 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje relacja Q ⊆ ωk+1klasyQ0
ntaka, ˙ze R(a1, . . . , ak) ≡ ∃x Q(a1, . . . , ak, x).
3. Relacja R ⊆ ωk jest klasy Q0
n+1 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje relacja Q ⊆ ωk+1klasyP0
ntaka, ˙ze R(a1, . . . , ak) ≡ ∀x Q(a1, . . . , ak, x).
Mamy wtedy:
1. Relacje klasyP0
1to dokładnie relacje rekurencyjnie przeliczalne.
2. Relacja R jest rekurencyjna wtedy i tylko wtedy, gdy R oraz ¬R s ˛a rekuren- cyjnie przeliczalne.
3. Je˙zeli relacja R jest klasyP0
n (odpowiednio,Q0
n) za´s f1, . . . , fk s ˛a funk- cjami rekurencyjnymi, to relacja P okre´slona wzorem:
P (~a) ≡ R(f1(~a), . . . , fk(~a)) jest równie˙z klasyP0
n(odpowiednio,Q0 n).
4. Ka˙zda klasa hierarchii arytmetycznej jest zamkni˛eta ze wzgl˛edu na koniunk- cj˛e i alternatyw˛e.
Tu (i dalej) ~a oznacza ci ˛ag argumentów o takiej długo´sci, ile argumentów ma rozwa˙zana relacja lub funkcja.
Dla dowolnego zbioru X relacji przez zbiór uzupełnie ´n relacji z X rozu- miemy zbiór CX zdefiniowany nast˛epuj ˛aco: R ∈ CX wtedy i tylko wtedy, gdy
∀~a (R(~a) ≡ ¬P (~a)) dla pewnej relacji P ∈ X.
1. KlasaP0
njest identyczna z klas ˛a uzupełnie´n relacji z klasyQ0
ni vice versa.
2. Operacja kwantyfikatora ogólnego nie wyprowadza poza klas˛eQ0
n(dla n >
0).
3. Operacja kwantyfikatora egzystencjalnego nie wyprowadza poza klas˛eP0 n
(dla n > 0).
Prawdziwe s ˛a nast˛epuj ˛ace (wła´sciwe) inkluzje:
1. Q0 n⊂P0
n+1, 2. P0
n⊂Q0 n+1, 3. Q0
n⊂Q0 n+1, 4. P0
n⊂P0 n+1. Ponadto:
1. Dla ka˙zdej klasyP0
n(odpowiednio,Q0
n) (n > 0) istnieje wP0
n(odpowied- nio,Q0
n) relacja uniwersalna dla wszystkich relacji tej klasy.
2. Dla ka˙zdego n > 0:Q0 n6=P0
n. 3. Dla ka˙zdego n:P0
n6=P0
n+1orazQ0 n6=Q0
n+1. 4. Dla n > 0 relacja uniwersalna dla klasyP0
nnale˙zy doP0
n, ale nie nale˙zy ani doQ0
nani doP0 n−1.
5. Dla n > 0 relacja uniwersalna dla klasyQ0
n nale˙zy doQ0
n, ale nie nale˙zy ani doP0
nani doQ0 n−1.
6. Je˙zeli relacja uniwersalna dla relacji klasy X sama nale˙zy do X, to CX 6= X.
Przykład. Poj˛ecie granicy ci ˛agu jest poj˛eciem klasy Q0
3 (i nie jest poj˛eciem ani klasyP0
3aniP0
2aniQ0 2:
a = lim an≡ ∀k∃m∀n (n > m → |an− a| < 1 k + 1).
Przykład. Jak widzieli´smy, zbiór twierdze´n Arytmetyki Peana jest klasyP0 1, czyli jest rekurencyjnie przeliczalny (ale nie jest rekurencyjny!).
Przykład. Poj˛ecie prawdy nie mo˙ze zosta´c scharakteryzowane na ˙zadnym pi˛e- trze hierarchii arytmetycznej.
Przykład. Równie˙z definicja poj˛ecia dobrego porz ˛adku wykracza poza hierar- chi˛e arytmetyczn ˛a.
6 Dodatek: inne funkcje koduj ˛ ace
1. Zamiast funkcji β Gödla mo˙zna u˙zywa´c innych funkcji rekurencyjnych w arytmetyzacji składni. Przy tym, stosowane kodowanie mo˙ze uwzgl˛ednia´c budow˛e składniow ˛a wyra˙ze´n, b ˛ad´z kodowa´c po prostu ci ˛agi symboli.
2. W wielu podr˛ecznikach u˙zywa si˛e kodowania wykorzystuj ˛acego rozkład liczb na czynniki pierwsze.
3. Dla wyra˙zenia (termu lub formuły) u o postaci: vv1v2. . . vn jego numer gödlowski gn(u) okre´slamy indukcyjnie: gn(u) = 2sn(v)· 3gn(v1)· 5gn(v2)· . . . · pgn(vn n).
4. Tu pnjest n-t ˛a liczb ˛a pierwsz ˛a (p0 = 2, p1= 3, p2 = 5, itd.) Dla rozwa˙zanej wcze´sniej formuły ∀x1 (x1 .
= 0 → (x1×s(x1)) .
= 0) mamy (przy ustalonej uprzednio funkcji sn):
1. gn(s(x1)) = 217· 32
2. gn(x1×s(x1)) = 221· 32· 5217·32 3. gn(x1×s(x1)) .
= 0) = 225· 3221·32·5217·32 · 523 4. gn(x1 .
= 0) = 225· 32· 523 5. gn(x1 .
= 0→ (x1×s(x1)) .
= 0) = 29· 3gn(x1=0).
· 5gn(x1×s(x1))=0). 6. gn(∀x1(x1 .
= 0→ (x1×s(x1)) .
= 0)) = 215· 32· 5gn(x1=0→(x.
1×s(x1))=0). . Kodowanie jest jednoznaczne. Dla dowolnej liczby a mo˙zna ustali´c czy jest ona kodem jakiego´s wyra˙zenia.
1. Mo˙zna te˙z kodowa´c wyra˙zenia po prostu jako ci ˛agi symboli. Niech funkcja σ numeruj ˛aca symbole alfabetu przyjmuje warto´sci dodatnie. Je´sli s1s2. . . sn jest ci ˛agiem symboli alfabetu, to za kod tego ci ˛agu mo˙zna wzi ˛a´c liczb˛e 2σ(s1)· 3σ(s2)· . . . · pσ(sn−1n).
2. Mo˙zna kodowa´c wyra˙zenia ustalaj ˛ac np., ˙ze symbole alfabetu kodujemy liczbami zaczynaj ˛acymi si˛e (w zapisie dziesi˛etnym) od cyfry 8, po której wyst˛epuje pewna liczba cyfr 1 (inna dla ka˙zdego symbolu alfabetu).
3. Mo˙zna kodowa´c wyra˙zenia u˙zywaj ˛ac funkcji Cantora lub jakiejkolwiek in- nej (rekurencyjnej) funkcji koduj ˛acej ci ˛agi sko´nczone.
4. Wybór funkcji koduj ˛acej jest wi˛ec spraw ˛a konwencji. Kodowanie musi by´c jedynie jednoznaczne i rekurencyjne. W rozwa˙zaniach metateoretycznych nigdy nie obliczamy warto´sci funkcji koduj ˛acych wyra˙zenia.
7 Wykorzystywana literatura
Cori, R., Lascar, D. 2001. Mathematical Logic. A Course with Exercises. Oxford University Press, Oxford.
Hinman, P.G. 2005. Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters, Wellesley.
Kleene, S.C. 1952. Introduction to Metamathematics. Wolters-Noordhoff Publi- shing — Groningen, North-Holland Publishing Company — Amsterdam Oxford, American-Elsevier Publishing Company, Inc. — New York.
Ławrow, I.A., Maksimowa, L.L. 2004. Zadania z teorii mnogo´sci, logiki matema- tycznej i teorii algorytmów.Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa.
Murawski, R. 20003. Funkcje rekurencyjne i elementy metamatematyki. Problemy zupełno´sci, rozstrzygalno´sci, twierdzenia Gödla.Wydawnictwo Naukowe UAM, Pozna´n.
JERZYPOGONOWSKI
Zakład Logiki i Kognitywistyki UAM www.kognitywistyka.amu.edu.pl http://logic.amu.edu.pl/index.php/Dydaktyka pogon@amu.edu.pl
