Arytmetyka teoretyczna LISTA 6. Kongruencje.
Definicja. Niech m b¸edzie dowoln¸a liczb¸a naturaln¸a. Mówimy, że a przystaje do b modulo m i piszemy a ≡ b (mod m) wtedy i tylko wtedy, gdy m|a − b.
Zad. 1. Udowodnić:
Fakt Relacja przystawania modulo m jest relacj¸a równoważności, która jest kongruencj¸a w pierścieniu liczb całkowitych (Z, +, ·), tzn., że kongruencje wzgl¸edem tego samego modułu można dodawać, odejmować i mnożyć stronami.
Pokazać, że relacja przystawania nie jest kongruencj¸a wzgl¸edem dzielenia.
Zad. 2. Pokazać, że dla dowolnej liczby naturalnej n, liczby n i n5 maj¸a takie same cyfry jedności.
Twierdzenie Niech f (x) = f0+ f1x + f2x2 + . . . + fnxn b¸edzie wielomianem o wspóczynnikach całkowitych, zaś m - dowoln¸a liczb¸a naturaln¸a. Wówczas warunek a ≡ b ( mod m) implikuje f (a) ≡ f (b) ( mod m).
Zad.3. Udowodnić powyższe twierdzenie. W oparciu o twierdzenie sfor- mułować i uzasadnić cechy podzielności przez 3, 9, 11, 7 i 13.
Zad 4. Pokazać, że ci¸ag reszt z dzielenia liczb 2n, n ≥ 3, przez 1000 jest okresowy o 100-wyrazowym okresie.
Twierdzenie Eulera. Dla każdej liczby naturalnej m > 0 i liczby całkowitej a pierwszej wzgl¸edem m zachodzi kongruencja aφ(m) ≡ 1( mod m).
Twierdzenie Fermata. Dla każdej liczby pierwszej p i liczby całkowitej a takiej, że p nie dzieli a zachodzi kongruencja ap−1≡ 1( mod p).
Zad.5. Niech n > 2. Pokazać, że jeśli dla dowolnej liczby a z N W D(a, n) = 1 zachodzi an−1 ≡ 1 (mod n), to n jest liczb¸a nieparzyst¸a.
Definicja. Niech f (x) b¸edzie wielomianem o współczynnikach całkow- itych, m - liczb¸a naturaln¸a. Każd¸a liczb¸e całkowit¸a a, dla której f (a) ≡ 0 (mod m) nazywamy pierwiastkiem kongruencji
(∗) f (x) ≡ 0 (mod m).
Mówimy, że pierwiastki a i b kongruencji (∗) s¸a różne, gdy a 6≡ b (mod m).
Zad. 6. (a) Stosuj¸ac Twierdzenie 1 Listy 5 udowodnić:
1
Twierdzenie. Kongruencja ax ≡ b ( mod m) jest rozwi¸azalna wtedy i tylko wtedy, gdy N W D(a, m)|b; ma ona wówczas N W D(a, m) różnych pierwiastków. W szczególności, gdy p jest liczb¸a pierwsz¸a, zaś a jest liczb¸a całkowit¸a niepodzieln¸a przez p, to kongruencja ax ≡ b (mod p) ma dokładnie jedno rozwi¸azanie.
(b) W oparciu o twierdzenie znaleźć wszystkie pierwiastki kongruencji:
(b1) 2x ≡ 4 ( mod 6); (b2) 3x ≡ 6 ( mod 15).
Chińskie twierdzenie o resztach. Jeśli liczby naturalne m1, m2, . . . , mk s¸a parami wzgl¸ednie pierwsze, to dla dowolnych liczb całkowitych a1, a2, . . . , ak istnieje dokładnie jedna liczba całkowita a taka, że 1 ≤ a ≤ m1· m2· . . . · mk oraz a ≡ ai (mod mi), dla każdego i = 1, 2, . . . , k.
Zad. 7. Znaleźć liczb¸e, która spełnia nast¸epuj¸acy układ kongruencji:
x ≡ 2 (mod 3) x ≡ 3 (mod 5) x ≡ 4 (mod 7)
Twierdzenie Lagrange’a. Jeśli f (x) = a0+ a1x + a2x2+ . . . + anxn jest wielomianem stopnia n o współczynnikach całkowitych, a p - liczb¸a pierwsz¸a tak¸a, że p nie dzieli an. Wówczas kongruencja f (x) ≡ 0 (mod p) ma co najwyżej n różnych p-pierwiastków.
Wniosek. Jeśli kongruencja stopnia n o współczynnikach całkowitych i module pierwszym p ma wi¸ecej niż n pierwiastków, to jest tożsamościowa.
Twierdzenie Wilsona. Na to, żeby liczba p > 1 była pierwsza potrzeba i wystarcza, aby
p | (p − 1)! + 1.
Zad. 8. Udowodnić nast¸epuj¸ace twierdzenie (Leibniza):
p > 1 jest liczb¸a pierwsz¸a wtedy i tylko wtedy, gdy (p − 2)! ≡ 1 (mod p).
Zad. 9. Pokazać, że jeśli n 6= 4 jest liczb¸a złożon¸a, to (n − 1)! ≡ 0 (mod n).
Zad. 10. Dowieść, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n, dla których liczba n! + 1 jest złożona.
Zad. 11. Dowieść, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n, dla których liczba n! − 1 jest złożona.
2
