Pokazać, że istnieje stała ε &gt

10. Zadania z analizy funkcjonalnej

∗1. Niech T będzie ograniczonym różnowartościowym operatorem liniowym z przestrzeni Banacha X w przestrzeń Banacha Y. Pokazać, że istnieje stała ε > 0 taka, że dla S ∈ B(X, Y ) jeśli kT − Sk ¬ ε, to S jest różnowartościowy wtedy i tylko wtedy, gdy obraz T (X) jest domkniętą podprzestrzenią w Y.

∗2. Niech T będzie ograniczonym operatorem liniowym z przestrzeni Banacha X na przestrzeń Ba- nacha Y. Pokazać, że istnieje stała ε > 0 taka, że dla S ∈ B(X, Y ) jeśli kT − Sk ¬ ε, to S(X) = Y. Wskazówka: Wyznaczyć ε z twierdzenia o odwzorowaniu otwartym. Następnie dla y∈ Y skonstruować x tak, aby Sx = y naśladując dowód twierdzenia o odwzorowaniu otwartym.

3. Niech A będzie samosprzężoną podalgebrą w C(K) oraz a, b dwoma ustalonymi punktami w zwartej przestrzeni Hausdorffa K. Załóżmy, że A nie znika w K oraz rozdziela dowolne dwa punkty x1 i x2 z wyjątkiem a i b. Udowodnić, że każdą funkcję f ∈ C(K) o własności f (a) = f (b) można jednostajnie przybliżyć funkcjami z A.

4. Pokazać, że dla każdej funkcji f ∈ C_R¹[0, 1] istnieje ciąg wielomianów pn(x) taki, że

0max¬x¬1|pn(x) − f (x)| + max

0¬x¬1|p⁰_n(x) − f⁰(x)|→ 0.ⁿ

5. Czy każda funkcja ciągła z C([0, 1] ∪ [2, 3]) jest jednostajną granicą wielomianów ?

6. Niech A oznacza rodzinę wielomianów p(x) o własności p⁰⁰(0) = 0. Czy każda funkcja ciągła z C[1, 2] jest jednostajną granicą elementów z A ?

7. Czy dla ε > 0 i funkcji f ∈ C[0, 1] można znaleźć wielomian p(x) taki, że kf − pk∞ < ε oraz p(2) = 5, p⁰(2) = 6 ?

8. Rozważmy przestrzeń Hilberta H = L²((0, 1) × (0, 1)). Pokazać, że jeśli funkcja h(x, y) ∈ H spełnia

Z 1 0

Z 1

0 h(x, y)f (x)g(y) dx dy = 0, f, g∈ L²(0, 1) to h(x, y) = 0 prawie wszędzie.

9. Funkcja f ∈ C[0, 1] spełnia

Z 1

0 x¹⁰ⁿf(x) dx = 0, n ­ 10.

Pokazać, że f = 0.

10. Pokazać, że dla miary σ-skończonej µ na zbiorze X przestrzenią sprzężoną do L¹(X, µ) jest L^∞(X, µ). Uwaga: W przestrzeni L^∞(X, µ) norma jest określona przez

kf k∞= inf

(

sup

x∈X\A

|f (x)| : A ⊂ X, µ(A) = 0

)

.

11. Obliczyć normy funkcjonałów na przestrzeni L^p(R, µ).

(a) ϕ(f ) =^R0¹f(x)dx, dµ(x) = dx (b) ϕ(f ) =^R_−∞^∞ f(x)e^−x2dx, dµ(x) = e^−x2dx.

(c) ϕ(f ) =^P∞_n=1f(n)e⁻ⁿ, µ=^P∞_n=1δn.

12. Które z funkcjonałów określonych na wielomianach rozszerzają się do ograniczonych funkcjonałów na C[0, 1] ?

(a) ϕ(a0+ a1x+ . . . + anxⁿ) = a0, (b) ϕ(a0+ a1x+ . . . + anxⁿ) = a1,

(c) ϕ(a0+ a1x+ . . . + anxⁿ) = a0+₂¹a1+ ¹₃a2+ . . ._n+1¹ an, (d) ϕ(a0+ a1x+ . . . + anxⁿ) = a0+ 2a1+ 2²a2+ . . . 2ⁿan.

13. Λ jest ciągłym funkcjonałem liniowym nad R na przestrzeni funkcji C[0, 1] o wartościach zespolo- nych. Λ nazywamy samosprzężonym jeśli Λ( ¯f) = Λ(f ). Pokazać, że Λ jest samosprzężony wtedy i tylko wtedy, gdy Λ(f ) przyjmuje wartości rzeczywiste dla rzeczywistych funkcji f. Pokazać, że każdy funkcjonał Λ można rozłożyć na sumę Λ = Λ1+ iΛ2, gdzie Λ1,Λ2 są samosprzężone, oraz rozkład ten jest jedyny.

14. Funkcjonał Λ na rzeczywistej przestrzeni C_R(X), gdzie X jest zwartą przestrzenią topologiczną, nazywamy dodatnim jeśli Λ(f ) ­ 0, dla każdej nieujemnej funkcji f. Pokazać, że kΛk = Λ(1), gdzie 1 oznacza funkcję stale równą 1. Wskazówka. Skorzystać z nierówności −kf k∞1 ¬ f ¬ kf k∞1. Pokazać, że jeśli funkcjonał Λ spełnia kΛk = Λ(1), to Λ jest funkcjonałem dodatnim.

Wskazówka. Jeśli 0 ¬ f ¬ 1, to k2f − 1k ¬ 1.

15. Załóżmy, że liczby mn mają własność

∀x ∈ [0, 1]

n

X

k=0

akx^k ­ 0 ⇒

n

X

k=0

anmn ­ 0,

dla dowolnych n i ak ∈ R. Pokazać, że istnieje funkcja niemalejąca σ na przedziale [0, 1] taka, że mn=

Z 1 0

xⁿdσ(x).

Wskazówka: Określić funkcjonał ϕ na wielomianach wzorem

ϕ(a0+ a1x+ . . . + anxⁿ) = a0m0+ a1m1+ . . . + anmn.

Z założenia ϕ jest dodatni. Pokazać, że |ϕ(p)| ¬ m0kpk_∞,gdzie p jest wielomianem. Pokazać, że ϕ rozszerza się jednoznacznie do ograniczonego funkcjonału Φ na C_R[0, 1]. Zauważyć, że Φ jest dodatni. Skorzystać z twierdzenia Riesza o postaci funkcjonałów na C_R[0, 1].

16. Niech σ będzie funkcją niemalejącą na [0, 1]. Dla n ­ 0 liczby mn = ^R0¹xⁿdσ(x) nazywamy momentami funkcji σ. Pokazać, że momenty są liczbami nieujemnymi oraz spełniają warunek

∆^Nmn­ 0 dla N ­ 1, n ­ 0,

gdzie ∆mn = mn−mn+1i ∆^N = ∆(∆^N−1). Wskazówka: Obliczyć∆^Nxⁿi zauważyć, że ∆^Nϕ(xⁿ) = ϕ(∆^Nxⁿ), gdzie ϕ jest określone jak w zadaniu 15.

∗17. Ciąg liczb nieujemnych mn, n­ 0 nazywamy całkowicie monotonicznym jeśli

∆^Nmn­ 0 dla N ­ 1, n ­ 0.

Pokazać, że istnieje funkcja niemalejąca σ na [0, 1] taka, że mn=^R0¹xⁿdσ(x). Wskazówka: Poka- zać, że funkcjonał ϕ określony na wielomianach wzorem

ϕ(a0+ a1x+ . . . + anxⁿ) = a0m0+ a1m1+ . . . + anmn

jest dodatni. W tym celu udowodnić, że jeśli p jest wielomianem nieujemnym stopnia N, to wielomiany Bernsteina Bn(p) są wielomianami stopnia N dla n ­ N. Ponadto z założenia ϕ(Bn(p)) ­ 0 oraz ϕ(p) = limnBn(p).