ALGEBRA M2 - Lista 5 Postać kanoniczna Jordana
Zad.1. Pokazać, że jeśli f ∈ K[x] jest wielomianem, to dla macierzy blokowo-diagonalnych zachodzi implikacja
A =
A1 0 . . . 0 0 A2 . . . 0 . . . .. . 0 0 . . . Ar
=⇒ f (A) =
f (A1) 0 . . . 0 0 f (A2) . . . 0
. . . .. .
0 0 . . . f (Ar)
gdzie A1, A2, . . . , Ar są dowolnymi macierzami kwadratowymi.
Zad.2. Pokazać, że jeżeli f ∈ C[x] oraz Jn(λ) ∈ Mn(C) jest klatką Jordana z liczbą λ na diagonali, to zachodzi wzór
f (Jn(λ)) =
f (λ) f01!(λ) f002!(λ) . . . f(n−1)(n−1)!(λ) 0 f (λ) f01!(λ) . . . f(n−2)(n−2)!(λ)
. . . .
0 0 0 . . . f (λ)
Zad.3. Obliczyć An i Bn dla dowolnego n ∈ N, jeśli:
A =
4 1 0 0 4 1 0 0 4
, B =
9 1 0 0 9 0 0 0 4
.
Zad.4. Niech f (x) = x3− x2+ x + 1. Obliczyć f (A) dla
A =
4 1 0 0 4 1 0 0 4
Zad.5. Pokazać, że dla żadnego λ ∈ K nie istnieje macierz diagonalna podobna do macierzy
A = λ 1 0 λ
Zad.6. Niech Nλ(m) = Ker(T −λ·Id)mdla m ∈ N oraz pewnego przekształcenia liniowego T na przestrzeni V nad ciałem K. Pokazać, że jeśli dim(V ) = n < ∞, to przestrzenie te można utożsamić z
Nλ(m) = {v ∈ Kn: (M (T ) − λIn)mv = 0}
gdzie M (T ) jest macierzą tego przekształcenia w dowolnej bazie przestrzeni V .
Zad.7. Wyznaczyć bazy kanoniczne Jordana dla przekształceń liniowych, wybierając odpowiednie wektory z przestrzeni Nλ(m) dla wszystkich wartości własnych λ:
1
(a) ϕ((x1, x2, x3, x4)) = (x1+ x2+ x3 + x4, x2+ x3+ x4, x3 + x4, x4) (b) ϕ((x1, x2, x3, x4, x5)) = (x3, 0, 0, x2, x1)
(c) ϕ((x1, x2, x3, x4, x5)) = (0, 0, x1+ x2, 0, x1+ x2− x4)
Zad.8. W przykładzie 7a pokazać, że baza kanoniczna {e1, e2, e3, e4} składa się z wektora własnego i wektorów dołączonych rzędów 1,2 oraz 3 odpowiadających wartości własnej λ = 1, niemniej nie jest bazą kanoniczną Jordana.
Zad.9. Znaleźć postać kanoniczną Jordana każdej z podanych macierzy oraz macierz przejścia do bazy kanonicznej Jordana
A =
4 1 1 0 4 1 0 0 4
, B =
1 −1 2
0 1 0
0 0 1
.
2
