Sprawozdania z posiedzeń naukowych Polskiego Towarzystwa Matematycznego

Spraw ozdania z posiedzeń n aukow ych Polskiego T ow arzystw a M atematycznego

Oddział Gdański

2 1

. X. 1953. K. Mo si ngi e wi c z, Nowe metody wyrównywania błędów - pomiarowych (część I)..

1. XII. 1963. K. Mosi ng ie wi cz , Nowe metody wyrównywania błędów pomiarowych (część II).

19. XII. 1953. E. Tarnawski, 0 kategorii zbioru funkcji ciągłych f(cc) posiadających w każdym punkcie w co najmniej jedną z liczb pochodnych prawostronnych nieskończoną.

2 1 .1 .1954. K. Z a ra n ki e w i cz (Warszawa), O uniformizacji układu funkcji ciągłych.

Patrz sprawozdania Oddziału Warszawskiego, 11. XII. 1953.

4. III. 1954. E. Woź ny , Trójścian Freneta i jego zastosowania do badania krzywych.

8

. 1У. 1954. J. Wi ę c k o w sk i , Obliczanie całek oznaczonych metodą residuów.

22. У. 1954. W. Orlicz (Poznań), O pewnych zagadnieniach ogólnej teorii łimitowałności.

24. V. 1954. W. Orlicz (Poznań), O ciągach operacji liniowych i pseu- doliniowych.

28. У. 1954. W. P o g o r z e l s k i (Warszawa), Równania całkowe wysoce osobliwe.

Oddział Gliwicki

12.11.1954. A. Wakn li cz, O pewnym zagadnieniu arytmetyki.

Praca ukaże się w Rocznikach P. T. M, seria II, Wiadomości Matematyczne.

13. II. 1954. Z. Kl u c z n y , O zasadzie topologicznej Ważewskiego , dotyczącej przebiegu asymptotycznego całek równań różniczkowych.

Streszczenie pracy T. W ażew sk iego i informacje o własnych wynikach uzys­

kanych przy zastosowaniu tej metody. ,

10. III. 1954. A. Czarno ta (Częstochowa), O pewnych ogólnych

wzorach sumacyjnych.

416 Sprawozdania z posiedzeń naukowych P T M

14. YI. 1954. A. Zawadzki, Uogólnienie rzutów Monge’a na układy ukośnokątne.

Oddział Krakowski

17. IX. 1953. T. P o p o v i c i (Bukareszt), 0 reszcie w pewnych wzorach aproksymacyjnych analizy.

17. IX. 1953. A. H a l a n a y (Bukareszt), 0 równaniach różniczkowych liniowych o współczynnikach periodycznych i prawie periodycznych.

29. IX. 1953. M. B i e r n a c k i (Lublin), 0 miejscach zerowych wielo­

mianów trygonometrycznych.

Patrz sprawozdania Oddziału Poznańskiego, 3. X. 1953.

27. X. 1953. Posiedzenie naukowe z okazji Miesiąca Przyjaźni Polsko- Badzieckiej z odczytami:

8

. Gołąb, Geometria radziecka;

M. K r z y ż a ń s k i , Twierdzenia O. Olejnik z dziedziny równań eli­

ptycznych;

W. Kleiner, ,, Metody funkcji zmiennej zespolonej” Lawrentiewa i Szabata — nowy typ podręcznika funkcji analitycznych.

1 9 .1. 1954. K. T a t a r k i e w i c z (Lublin), O własnościach asymptoty­

cznych równań różniczkowych prawie liniowych.

Praca ukazała się pt. Sur failure asymptotique des solutions de Vequation diffe- rentielle du second ordre w Annales Universitatis M. Curie-Skłodowska, sectio A, 7 (1953),' str. 19-81.

30. III. 1954. K. Maurin (Warszawa), Rozwiązanie zagadnienia mieszanego dla uogólnionego równania falowego na gruncie teorii spektralnej przestrzeni Hilberta.

Niech będzie dany problem brzegowo-początkowy:

(1) ^{d2u (x ,t}) А д r

Ot2 _i,k=- А 1 дх.» L 1

du1

aik(x) —

J

(2) ^(*,0) = <p{x), (3) ^ди (cc,0)

dt = y(x),

(4) u (x, t) e Фа dla te [a ,b],

gdzie Фа oznacza uzupełnienie przestrzeni prehilbertowskiej G2{Q)r\R, a R jest zbio­

rem funkcji spełniających dla x e d Q warunek brzegowy, przy którym operator A x jest określony ujemnie, tzn.

( - A J ,f), gdzie rn > 0, ( f , g) =j f ( %) g{ x) d( on (x).

o

Niech — A x oznacza samosprzężone rozszerzenie operacji — A x według Frie- drichs’a. Dziedziną operacji — A x jest D( — A J = Фа D ( A X), gdzie D ( A X) oznacza dziedzinę operacji sprzężonej (w sensie teorii operacji) z A x.

O d d z i a ł K r a k o w s k i 417

Rozwiązuję najpierw wariant operatorowy problemu (ł)-(4):

(!') -- --- = ^d2u(t) A ^U (t),

dP x ^{( 2 ' )} u (0) = ^(f (%),

(3') II ^Э-

o45

(A) u (t) e D (A X), gdzie u {t)^ u {• ,t); du (ł)/dt oznacza mocną pochodną u (t).

Rozwiązanie problemu (l')-(4') ma postać

OO OO

~ ( t ) = u ( ’ ,t) = j cosA1/2^ dE{X)<p{x) + f A'^sinA1/2/dE(X)ip(x),

т о > m> 0

gdzie

OO

_ j = / A dE(X)

x m> o

Przy założeniu, że <p,y>e D (A k), Jc = [nj 2] + 3, okazuje się, że w (t) równa się prawie wszędzie u (x ,t)e C 2(Q x[a,b]), a więc u (x ,t) jest rozwiązaniem problemu (l)-(4).

Podana teoria uogólnia wyniki otrzymane przez Ł a d y żen sk ą metodą funkcji własnych, unikając żmudnych szacowań.

15. Y. 1954. A. A le x ie w ic z (Poznań), Zbieżność dwunormowa i jej zastosowanie.

Wyniki zostaną ogłoszone w pracy: A. A lex iew ic z and W. O rlicz, On summa- bility of double sequences (I), Annales Polonici Mathematici 2 (1955).

15. Y. 1954. A. B ie le c k i (Lublin), Pewien sposób stosowania zasady odwzorowań przybliżających.

1. VI. 1954. J. A czel (Debrecen), Wielowymiarowe transformacje zależne od parametrów.

Praca ukaże się w Acta Mathematica Academiae Scientarum Hungaricae.

Oddział Lubelski

16. X. 1953. K. T a ta rk iew icz, Przybliżone metody rachunkowe w Związku Radzieckim.

30. X. 1953. M. B iern a ck i, Goluzin — wybitny matematyk radziecki.

13. XI. 1953. A. B ie le c k i, O pewnej elementarnej metodzie dowodu twierdzenia Gaussa i Ostrogradskiego.

Praca ukazała się w Rocznikach P.T.M., seria II, Wiadomości Matematyczn 1 (1954), str. 112-121.

5. XII. 1953. M. War mus (Wrocław), O pewnym nomogramie procesu iteracyjnego , ilustrowanym przykładem z kinematyki silników typu V i gwiazdowych.

Praca ukazała się w Zastosowaniach Matematyki 2 (1954), str. 67-82.

Roczniki P.T.M.-Prace M a t e m a t y c z n e I 27

1 6 .1. 1954, A. B ie le c k i, O pojęciu icąta w geometrii elementarnej.

W aksjomatyce Hilberta geometrii absolutnej kąt pojmowany jest jako obszar płaski, wypukły, ograniczony dwiema póiprostymi o wspólnym początku, nie leżą­

cymi na jednej prostej. Już przy sformułowaniu zasadniczych twierdzeń o sumie kątów w trójkącie nasuwa się w naturalny sposób potrzeba uogólnienia tego pojęcia.

Za punkt wyjścia przyjmujemy następujące definicje:

1. Operacją A będziemy nazywali zastępowanie danego kąta (w sensie pier­

wotnym) dowolnym kątem przystającym, operacją В — zastępowanie danego kąta ciągiem dwu kątów powstałych przez podział dowolną półprostą, leżącą wewnątrz danego kąta i wychodzącą z wierzchołka.

2. Dwa ciągi skończone kątów nazywamy równoważnymi, jeśli istnieje trzeci, ciąg skończony kątów, który można otrzymać z każdego z dwu danych ciągów przez skończoną ilość operacji A lub B.

3. Wychodząc z pojęcia równoważności ciągów kątów dochodzimy przez ab­

strakcję do pojęcia kąta uogólnionego, pokrywającego się z pojęciem klasy wszystkich skończonych ciągów kątów, równoważnych z pewnym ustalonym ciągiem kątów, reprezentantem tego kąta uogólnionego.

4. Jeśli reprezentantami dwu kątów uogólnionych są ciągi kątów (ax,a2, ..., ak) i ( f t to sumą danych ciągów nazywamy kąt uogólniony, którego repre­

zentantem jest ciąg (a!,... ,ak, f}x, ... ,/SJ.

Opierając się na tych definicjach nie trudno jest określić mnożenie kąta uogól­

nionego przez liczbę, nierówność dla kątów1 uogólnionych, odejmowanie mniejszego od większego, dzielenie na równe części, a także ramiona kąta uogólnionego w odpo­

wiednio zdefiniowanej płaskiej reprezentacji za pomocą ciągu kątów kolejnych.

Łatwo otrzymuje się dowody wszystkich zwykłych własności kątów uogólnionych niezorientowanych i niezerowych, a w szczególności prawa rachunkowe. Każdy kąt uogólniony można przedstawić w postaci 4Dn-\-ea, gdzie D oznacza kąt prosty, a — kąt mniejszy od pełnego, n — liczbę całkowitą nieujemną, e — liczbę 0 lub 1, co od­

powiada intuicyjnemu ujęciu kąta uogólnionego w szkole średniej.

27. II. 1954. S. G ołąb (Kraków), Przyczynek do teorii działań w za­

kresie liczb rzeczywistych.

13. Y. 1954. A. B ie le c k i i K. B a d z isz e w sk i, O owalach.

Praca ukaże się w Annales Universitatis M. Curie-Skłodowska, sectio A, 8 (1954).

W pracy pod tytułem Sur un probleme extremal relatif aux figures inscrites et circonscrites aux figures convexes, ogłoszonej w Annales Universitatis M. Curie-Skło­

dowska, sectio A, 6 (1952), str. 6-18 udowodnił K. B a d z isz ew sk i następujące twierdzenie:

W dowolny owal plaski o polu S dodatnim można wpisać prostokąt o polu 'nie mniejszym niż S j2.

Udowodnił on ponadto, że zachodzi odpowiednik przestrzenny tego twierdzenia:

W owal przestrzenny o objętości V dodatniej można wpisać prostopadłościan o obję­

tości nie mniejszej niż 2U/9, jeśli tylko dany owal ma płaszczyznę symetrii.

Stosując pewną modyfikację metody użytej w cytowanej pracy otrzymuje się dowód następującego twierdzenia:

W dowolny owal przestrzenny o objętości V dodatniej można wpisać równoległo- ścian o objętości nie mniejszej niż 2U/9.

418 Sprawozdania z posiedzeń naukowych PTM

O d t l z i a ł L u b e l s k i ⁴¹⁹

Można tu zwęzić klasę dopuszczalnych równoległościanów przez odpowiednie zwężenie klasy dopuszczalnych owali, a mianowicie, jeśli owale mają oś symetrii, to można się ograniczyć do równoległościanów mających oś symetrii prostopadłą do jednej pary ścian; jeśli rozważane owale mają środek symetrii, to wystarczy ogra­

niczyć się do prostopadłościanów, w których pewien kąt płaski lub dwuścienny jest prosty. Rezultat dotyczący owali z osią symetrii jest już zadawalający, gdyż istnieją owale przestrzenne z punktami wewnętrznymi i osią symetrii nie dopuszczające w ogóle prostopadłościanów wpisanych.

Problem zaostrzenia rezultatów, dotyczących owali ze środkiem symetrii lub dowolnych, pozostaje jeszcze otwarty.

28. VI. 1954. S. G ołąb (Kraków), O roli intuicji w matematyce.

Oddział Łódzki

5. X. 1953. M. B ie rn a ck i (Lublin), O funkcjach jednolistnych.

Prelegent podał między innymi swój wynik dotyczący współczynników Taylora funkcji

zj' ( x )

" : ■= 1 + bxz + b%z2 + •. • + b z + ..., f(z)

gdzie f(z )—z Jr-ai z'i -Jr ... jest funkcją holomorficzną i jednolistną W kole |z |< l. Jest mianowicie

\K\ = 0{]/n log»), a ponadto limjfej jest liczbą skończoną.

П—>CO

12. X. 1953. Z. Z ahorski, O pewnym ekstremalnym zagadnieniu interpolacyjnym.

Na kole jednostkowym leżą punkty x x,x 2, . .. ,xn. Wielomian stopnia ^ 2n przyj­

muje w nich wartości o module ^ 1. Szukamy niebanalnego oszacowania z dołu sumy kwadratów modułów współczynników wielomianu (problem minimum tej sumy), przy stałych х х,хг, ... ,xn, a zmiennym wielomianie. Znalezione oszacowanie zależy od minimum Я odległości xą od xj Rozwiązanie uzyskano przez zbudowanie pe­

wnej minoranty, będącej rozwiązaniem równania różniczkowego otrzymanego z nie­

równości różniczkowej, korzystając z twierdzeń Bernsteina i Zygmunda o module pochodnej wielomianu.

Oszacowanie miary zbioru punktów (xx-,...,x n) w przestrzeni w-wy miarowej, dla których minimum to jest < 1 jb, zależy od nX (gdzie Я zależy od t i maleje przy wzroście b).

2. XI. 1953. Z. Z ahorski, O osiągnięciach matematyki radzieckiej.

30. XI. 1953. W. J a n o w sk i (Łódź), Maksimum części urojonej funkcji jednolistnych ograniczonych.

Rozważa się funkcje holomorficzne jednolistne w kole kształtu (1) F(z) = z + A 2z* + A 3z3 + ...

Niech Ж będzie dowolną daną liczbą dodatnią, Fm~ rodziną wszystkich funkcji ograniczonych postaci (1), dla których \F (z)\< M , F x zaś rodziną wszystkich funkcji postaci (1). Dla ustalonego 0< l < r rozważa się wyrażenie I{F (r)}, gdzie I { a \ ozna­

cza część urojoną liczby o.

27*

420 Sprawozdania z posiedzeń naukowych PT M

W pracy niniejszej dowodzi się następujących twierdzeń:

I. Dla funkcji rodziny Fm zachodzi nierówność

l{F {r)}<Q MBm(pM,

gdzie QM(®<QM< r ) » Ум (s’n (PM>®) s(l takimi rozwiązaniami układu równań o niewia­

domych q i cp, że

1

+ i

o .

2 — sm w —

M r

log ¹ — r

1 + r + log M — ,r

1-

M

e

r*

M)

= o,

dla których iloczyn q

sin

II. Dla funkcji rodziny Foo zachodzi nierówność I{F{r)} <

poo sin <poo,

gdzie i spełniają równania

r 1 + r

l°g 600=: log--- + sin 9^00' log ---,

1

— r

1 + r

9

?oo = cos 9?oo • log ---.

1

— r

4.1.1954, Z. Z ahorski, Metryczna teoria funkcji rzeczywistych.

8 . 1. 1954. S. T ursk i (Warszawa), Zagadnienie teorii sprężystości ciał niejednorodny ch.-

8.1.1954. S. J a śk o w sk i (Toruń), O nierozstrzygalności pewnej klasy zagadnień egzystencjalnych dla równań różniczkowych zwyczajnych.

1 8 .1. 1954. Z. Z ahorsk i, Opisowa teoria furikcji rzeczywistych.

Patrz sprawozdanie Oddziału Toruńskiego, 23.X.1953 i 11.XII.1953.

15. III. 1954. J. L ip iń sk i, Zbiory {f(oo)>a} funkcji całkowalnych w sensie Biemanna.

Zbiór

będziemy oznaczali symbolem

" Tw ie r d z e n i e

1.

FrF7|

0.

Tw ie r d z e n i e 2. Na to, by funkcja f(x) określona w przestrzeni ć miała zbiór punktów nieciągłości miary zero, potrzeba i wystarcza, by dla każdej pa. у liczb афЪ, zachodził związek

|Fr

O

rych

|Frń/e|>0,

O d d z i a ł Ł ó d z k i 421

Twierdzenie 1 pozwala odpowiedzieć na następujące pytanie: Dany jest zbiór E punktów na prostej i liczba a. Czy istnieje funkcja f(x) całkowalna w sensie Riemanna w każdym przedziale, mająca funkcję pierwotną, taka że E = Ea1 Jeżeli E spełnia pewne warunki (konieczne, gdyż f(x) ma być funkcją całkowalną i ma posiadać po­

chodną), to odpowiedź jest pozytywna.

17. Y. 1954. Z. C harzyński, Indeks punktu względem krzywej.

Autor omawia pojęcie indeksu punktu względem krzywej leżącej na płaszczyźnie.

Za pomocą tego pojęcia otrzymuje następujące

Tw i e r d z e n i e. Jeżeli są dane dwa wielomiany jednorodne rzeczywiste F( x, y )

i G(x, y) stopni nieparzystych m i n oraz dwie funkcje f(x, y) i g(x,y), ciągle w całej płaszczyźnie zmiennych rzeczywistych x, y, takie, że

f{x,y) л , g(x,y)

= 0 X,y— >oo \y X

lim ( / --- v

1° w lim

х,у—нх> ( y x 2 y 2)

2° równania F ( x , y ) = 0 , G ( x , y ) ~ 0 mają wyłącznie rozwiązanie zerowe, wówczas równania

P( x, y ) + f{x, y) = 0, G(x, y) + g{x,y) = 0 mają zawsze w płaszczyźnie x ,y rozwiązanie.

Analogiczny wynik uzyskuje się dla układów równań o wielu niewiadomych.

31. Y. 1954. W. J a n o w sk i, O funkcjach jednolistnych k-symetrycz- nych ograniczonych.

Rozważa się funkcje holomorficzne jednolistne fc-symetryczne w kole |z|< 1 postaci

(1) 0{z) — z + B2zk+1+ B3z2k+ljr ..., gdzie к jest liczbą naturalną.

Niech Ж będzie dowolną daną liczbą dodatnią, Фм~ rodziną wszystkich funkcji ograniczonych postaci (1), dla których |Ф(г)|<Ж, Ф& zaś rodziną wszyst­

kich funkcji postaci (1).

W pracy niniejszej dowodzi się następujących twierdzeń :

Dla funkcji rodziny Фм oraz dla funkcji rodziny Ф^ zachodzą następujące nie­

równości :

(I) !Ф(г)1<Дм, 0⁽

z

e 0

gdzie liczba Вм (0 < Вщ < И) spełnia równanie

ink

M 1*1*

Г /Ж м\*1 2 ■ (1- \z\k)2 ’

l1 1

1 J

(II) ^ ( ^ K S o o , Ф^ ) е Ф0о, gdzie B ^ =

(III) • arg---^{0 (Z)}< Q M ,

z Ф(г)еФм ,

gdzie liczby Qm i Fm (0 < Rjvj-< .|г|) spełniają równania

422 Sprawozdania z posiedzeń naukowych P T Ж

fiM=i

i - ( M 1 \ M I

2 |’^ ) 4

M J

E

1

+

Ем хк

Е м^V Ж I

log

\Ж / 1 — |Ж |- 1+ ’ 1 + ^l

1-1*1 Ем У ' 1 + 1*1*

Ж I

Ж

10£ Жк 1 -И 2

ГГ ^ж

L \ Ем

Ем

~Ж

)1 ^{= 0;}

Ф(*) i 1-Ж

Доо, Ф(*)еФм, gdzie Д*, = - log —--- — к 1— z i 1

+

(IV)

я

(V) Ф(*)е Фм

(i?|a} — część rzeczywista liczby a), gdzie liczba Ем (0<-В м <|я|) spełnia równanie

к к.

Мм

И £)7

(VI) Е{Ф(г)} ś^ Eoo, Ф(0)бФоо, gdzie jBoo =

(1 - r kf lk ’

gdzie Ем (0< Ем<г) i Дм (sin 1?м>0) są rozwiązaniami układu równań

[-Ш 1

log

1

+ _Ж

+logJf*

+

1 - r‘

-[(i)-en ^{¥4 ~}

i

Ж7 1-r*

' + e r ^

log2 Ж* ¹- r2

-немел'

l jest liczbą całkowitą nieujemną i nie większą od к —1. Liczbę l i rozwiązanie Ем, Дм należy tak dobrać, by iloczyn E sin Д był największy.

( V I I I ) / { Ф ( г ) ] < Е 0 О в щ

Ф ( г ) е Ф о о ,

gdzie E ^ i Д^ spełniają równania log E,

r‘

!» = H logr

1 1+r*

Доо = r

cos Q<*> ‘ los

v

1 +r* ]

1-r* J ’

O d d z i a ł P o z n a ń s k i 423

Oddział Poznański

3. X. 1953. M. B ie rn a ck i (Lublin), 0 pierwiastkach pewnego równa­

nia trygonometrycznego.

Praca ukazała się pod tytułem 8ur les zeros des polynómes trigonometriques dont la suite des coefficients est monotone w Annales Polonici Mathematici 1 (1955), str. 380-387.

22. X. 1953. J. M ik u siń sk i (Wrocław), O dystrybucjach Schwartza i rachunku operatorów.

6. XI. 1953. W. O rlicz, J. A lb ry ch t, W. M atuszew ska, Osią­

gnięcia matematyki radzieckiej w zakresie analizy funkcjotialnej i równań funkcyjnych.

21. XI. 1953. K. T a ta r k ie w icz (Lublin), Własności asymptotyczne rozwiązań równań różniczkowych.

Treść odczytu weszła w skład pracy, która ukazała się w Annales Unirersitatis M. Curie-Skłodowska, sectio A, 7 (1953) str. 19-81.

5. XII. 1953. W. P o g o r z e lsk i (Warszawa), Równania całkowe mocno osobliwe i ich zastosowania.

6. III. 1954. Z. K ry g o w sk i, O pewnej Masie równań algebraicznych stopnia o-ego rozwiązalnych algebraicznie.

0. III. 1954. Z. K ry g o w sk i, O krzywych interpolacyjnych.

20. III. 1954. Z. C h arzyń sk i (Łódź), O pojęciu indeksu ptmktu względem krzywej i o jego zastosowaniach do rozwiązywania układu równań.

27. III. 1954. E. M arczew ski (Wrocław), Z teorii procesów stocha­

stycznych.

Praca ukaże się w Rocznikach P.T.M., seria I, Prace Matematyczne.

3. IV. 1954. L. W ło d a rsk i (Łódź), O ciągłych metodach sumowalności.

Przedstawione wyniki ukazały się pod tytułem Les espaces metriques des suites limitables par les methodes contimies w Bulletin do l’Academie Polonaisse de Sciences, classe III, 2 (1954), str. 13-16.

10. IV. 1954. J. S eid ler (Gdańsk), Z teorii informacji.

24. IV. 1954. J. K opeć, J. M usielak, Oszacowanie normy operacji symetrycznej.

Praca ukaże się w Studia Mathematica.

24. IV. 1954. Z. P o ln ia k o w sk i, Pewne uogólnienie twierdzenia Mer­

cem.

Mercer udowodnił następujące twierdzenie:

Zbieżność ciągu tn = asn-\-{l—a)mn pociąga za sobą zbieżność ciągu sn, gdy a> 0

Autor dowodzi, że ciąg sn jest zbieżny, gdy m jest drugą średnią Cesaro i a > 0 , oraz gdy mn jest trzecią średnią i <*>1/1 1. Dla pozostałych wartości a ciąg sn może nie być zbieżny.

424 Sprawozdania z posiedzeń naukowych P T Ж

24. IY. 1954. J. A lb r y c h t, Pewne uogólnienie twierdzenia Zygmunda.

Praca ukaże się pod tytułem A generalization of a Zygmund-Bernstein theorem w Aimales Polonici Matłiematici 2 (1956).

6. Y. 1954. S. K n a p o w sk i (Wrocław), Największe dzielniki wielo­

mianów.

Praca ukaże się w Annales Polonici Mathematici.

15. Y. 1954. K. U rb an ik (Wrocław), Procesy stochastyczne typu Markowa.

Praca ukaże się w Studia Mathematica.

22. V. 1954. J. Łoś (Toruń), O rozkładzie na sumę prostą, grup abelo- wych wolnych.

Praca ukaże się w Fundamenta Mathematicae.

25. YI. 1954. J. Szarsk i, Uwagi o równaniu struny drgającej.

Prelegent przedstawił wyniki uzyskane wspólnie z T. W ażew skim . Praca ukaże się w I-szym tomie Zeszytów Naukowych Uniwersytetu Jagiellońskiego.

Oddział Toruński

20. YIII. 1953. L. W ło d a rsk i (Łódź), O przestrzeniach ciągów limi- towalnych przez metody ciągle.

Praca ukazała się pod tytułem Sur les methodes continues de limitation (I) w Stu­

dia Mathematica 14 (1955) str. 161-187.

26. YIII. 1953. W. O rlicz (Poznań), O zagadnieniach aproksyma­

cyjnych.

Treść odczytu została opublikowana w pracach On a class of operations over the space of continuous vector valued functions, Studia Mathematica 14 (1955), str.

285-297 i On a class of operations over the space of integrable functions, Studia Ma­

thematica 14 (1955), str. 302-309.

27. YIII. 1953. K. U rb an ik (Wrocław), O własnościach granicznych procesów czysto nieciągłych.

28. YIII. 1953. S. B a lc er zy k , O podgrupach wolnych grupy obrotów kuli.

9. X. 1953. J. Łoś, O grupach uporządkowanych.

Praca ukaże się w Bulletin de l’Academie Polonaise des Sciences, classe III.

9. X. 1953. J. C zajk ow sk i i T. T ie tz, Gzy A=0 jest wartością własną równania Schródingera ?

Autorzy wykazali, że A = 0 jest ciągłą wartością własną równania Schrodingera w przypadku atomu wodoru, tak że dla Я> 0 mamy widmo dyskretne, a dla Я^О widmo ciągłe.

23. X. 1953. S. J a śk o w sk i, O nierozstrzygodności pewnej klasy pro­

blemów istnienia dla równań różniczkowych (część I).

O d d z i a ł T o r u ń s k i 426

Streszczenie ukazało się pod tytułem Example of a class of systems of ordinary differential equations having no decision method for existence problems, Bulletin de Г Academic Polonaise des Sciences, classe III, 2 (1954), str. 155-157.

6, XI. 1953. J. Łoś, S. J a śk o w sk i i L. J eśm a n o w icz, O działal­

ności naukowej А. N . Kołmogorowa.

Uroczyste posiedzenie poświęcone matematyce radzieckiej.

11. XII. 1953. S. J a śk o w sk i, O nierozstrzygalności pewnej Masy problemów istnienia dla równań różniczkowych (część II).

Patrz odczyt z 23. X. 1953.

15. I. 1954. A. A le x ie w ic z (Poznań), O twierdzeniu Vitaliego- -Hahna-Saksa.

Praca ukaże się w Colloquium Mathematicum.

29.1.1954. A. M ostow sk i (Warszawa), O kwantyfikatorach.

Autor nazywa kwantyfikatorem ograniczonym do zbioru I funkcję /, która każdemu podzbiorowi X zbioru I przyporządkowuje jedną z wartości logicznych 0,1 i która czyni zadość następującemu warunkowi: Jeśli zbiory X i T oraz jednocześnie zbiory I — X i I —T są równoliczne, to f ( X ) —f(Y).

Dla tak określonych kwantyfikatorów można sformułować zagadnienie analo­

giczne do klasycznego zagadnienia pełności reguł wnioskowania rachunku funkcyj­

nego. Autor dowodzi, że jeśli zbiór I jest przeliczalny, to zagadnienie pełności reguł wnioskowania dla kwantyfikatorów f, П, X ma rozwiązanie pozytywne wtedy i tylko wtedy, gdy kwantyfikator f jest definiowalny za pomocą kwantyfikatorów П i X.

26. II. 1954. S. J a śk o w sk i, O homomorfizmach modeli teorii elemen­

tarnych.

5. III. 1954. J. Łoś, O produktach mocnych grup cyklicznych nie­

skończonych.

Streszczenie ukaże się w Bulletin de FAcademie Polonaise des Sciences, classe III.

26. III. 1954. J. S ło m iń sk i, O zanurzaniu algebr definiowalnych równościowo w algebry definiowalne równościowo.

Niech A i В będą klasami algebr definiowalnych równościowo odpowiednio typów <<?!,...,dm> i <dx,...,d n> ( m^n) , spełniających warunek

(P) ĆH D S(B) = S(A),

gdzie ćn oznacza zbiór wszystkich równości zapisanych w działaniach d1, . . . , d n, 8(A) i 8 (В ) zbiory aksjomatów klas A i B.

Niech W x i W2 będą odpowiednio A-wolną i 15-wolną algebrą z n wolnymi ge­

neratorami.

Niech algebra A o zbiorze generatorów К należy do klasy A, przy czym K — n.

Tw i e r d z e n i e. Algebra A daje się zanurzyć w pewną algebrę klasy В wtedy

i tylko wtedy, gdy istnieje taka kongruencja F 2 określona na W 2, że dla wszelkich т,т'е IVx zachodzi tE N ^tE^t', gdzie E x jest kongrnencją określoną na W x, indukowaną przez zasadniczy homomorfizm W z^-A.

426 Sprawozdania z posiedzeń naukowych P T Ж

Z tego twierdzenia otrzymujemy natychmiast warunek У. Ptaka na zanurzanie półgrupy w grupę, podany w pracy pod tytułem О включении семигрупп, Ćasopis pro pestovani matematiky. Чехословацкий математический журнал 2(77), 1952, str. 247-271.

2. IY. 1954. L. J eśm a n o w icz, O sumowalności szeregów metodą Norlunda.

Referent uogólnił wyniki A. Z ygm unda, dotyczące sumowalności szeregów trygonometrycznych metodą Cesaro (Math. Zeitschrift, 1926) przez zastosowanie do szeregów trygonometrycznych metody Norlunda, określonej przez pewną klasę cią­

gów podstawowych. W części I referatu są omówione własności tej metody, w II zaś jest ona zastosowana do zagadnień lokalizacji szeregów trygonometrycznych.

30. IV. 1954. E. S ą sia d a , O grupach abelowych, których każda pod­

grupa jest obrazem endomorficznym.

Praca ukaże się w Bulletin de FAcademie Polonaise des Sciences, classe III.

17. V. 1954. A. Ś n ia ty c k i, O sieciach wielokątów.

Referent uogólnił wyniki uzyskane przez J. M ik u siń sk iego (Sur le parguetage du plan par des polygones, Colloquium Mathematicum 3 (1953), str. 14-18) dla sieci trójkątów na sieci g-kątów. Załóżmy, że w sieci żaden wierzchołek g-kąta nie leży wewnątrz boku innego g-kąta. Niech liczba p spełnia równanie p g ~ 2 p — 2g— 0. Przez defekt w punkcie węzłowym rozumiemy liczbę p — k, gdzie k jest ilością spotykających się w rozpatrywanym węźle g-kątów. Przy tych założeniach i oznaczeniach prawdziwe są następujące twierdzenia:

1. Jeżeli sieć g-kątów pokrywa kulę,, to suma defektów tej sieci jest równa p.

2. Jeżeli sieć g-kątów pokrywa torus, to suma defektów równa się 0.

Twierdzenia te dadzą się uogólnić na dowolną powierzchnię zamkniętą jedno­

stronną.

3. Jeżeli sieć g-kątów pokrywa płaszczyznę i defekty w każdym punkcie są nieujemne, to suma defektów na całej płaszczyźnie jest nie większa od g.

11. VI. 1954. A. W ilk o ń sk i (Wrocław), O ograniczaniu pierwiastków wielomianów.

14. VI. 1954. J. Łoś, O grach.

Referat sprawozdawczy z Konferencji pod tymże tytułem, zorganizowanej przez Instytut Matematyczny PAN.

Oddział Warszawski^

9. X. 1953. H. S te in h a u s (Wrocław), O pewnych wnioskach metry­

cznych z twierdzeń topologicznych.

Pełny tekst ukazał się w Fundamenta Mathematicae 41 (1954), str. 284-290.

Znane powszechnie twierdzenia topologiczne, jak twierdzenie Poincarego-Brou- wera o niezaczesalności kuli lub twierdzenie o braku modelu płaszczyzny rzutowej w przestrzeni zwykłej, prowadzą łatwo do interesujących twierdzeń z geometrii brył wypukłych, na przykład do twierdzenia, że przez każdy punkt wewnętrzny takiej bryły można przeprowadzić przekrój płaski, którego środek ciężkości leży wT tym punkcie i że istnieją takie punkty wewnętrzne, przez które wiodą co najmniej dwa takie przekroje. Prelegent podał kilkanaście przykładów.

O d d z i a ł W a r s z a w s k i 427

16. X. 1953. A. M ostow ski, 0 mocach algebr skończonych.

Referat zawierał częściowe rozwiązanie problemu postawionego przez II. S cliolza w Journal of Symbolic Logic 17 (1952), str. 160.

D e fin icje. Niech F oznacza dowolne wyrażenie węższego rachunku funkcyjnego bez zmiennych wolnych, Zp zaś zbiór takich liczb naturalnych n, że wyrażenie F jest spełnialne w zbiorze o n elementach. Niech 0 oznacza najmniejszą klasę funkcji za­

wierającą funkcje

z(x, n) = 0, s( x, n) = (x + 1) m in (l,a — (x + 1)) i zamkniętą względem następujących trzech operacji:

a) podstawianie za zmienne różne od n,

b) utożsamianie zmiennych, przy czym n nie może być zastąpione literą różną od n,

c) operacja indukcji, prowadząca od funkcji G(pl , .. . , pk,n) i F ( x, p1,.. .,p&, u, n) do funkcji f { x , p 1, . . . , p k,n), spełniającej wzory

f ( 0, p1, . . . , p k,n) = G ( p 1, . . . , p k,n),

f { x + Y , p x, . . . , p k,n) = F( x , p 1, . . . , p k; f { x, p1, . : . , p k,n),n), jeżeli prawa strona jest nie większa niż n i x < n , oraz

f{x + l , p 1, . . . , p k,n) = 0 w pozostałych przypadkach.

Niech К będzie klasą zbiorów postaci F n(f(n) = 0), gdzie / jest funkcją jednej zmiennej należącą do 0.

W yniki. I. Zbiór Z p jest pierwotnie rekurencyjny dla każdego F.

II. Istnieją takie zbiory pierwotnie rekurencyjne A, że A ^ Z p dla każdego wyra­

żenia 'F.

III. Dla każdego zbioru A, należącego do klasy К , istnieje takie wyrażenie F, że A = Z p .

16. XI. 1953. R. Sik orsk i, Wyznaczanie miar przez -funkcje prze­

działu.

Zobacz niniejszy zeszyt str. 285-291.

23. X. 1953. W. S ie r p iń sk i, Trójkąty Pitagorejskie o równych polach.

Wyniki ukażą się w pracy pt. Trójkąty pitagorejskie mające równe pola, w Rocznikach P.T.M., seria II, Wiadomości Matematyczne 1 (1955).

23. X. 1953. J. Łoś (Toruń), Grupy uporządkowane.

Praca ukaże się w Bulletin de 1’Academie Polonaise des Sciences, classe LII.

30. X. 1953. W. Ś le b o d z iń sk i (Wrocław), Dzieło naukowe prof, dr K . Żorawskiego.

6. XI. 1953. T. C zechow ski, M. F isz i R. S ik orsk i, Twórczość naukowa A . N. Kołmogorowa.

13. XI. 1953. H. G reniew ski, Pewne zastosowanie dwuelementowej

algebry Boole’a.

428 Sprawozdania z posiedzeń naukowych P T M

20. XI. 1953. W. S ło w ik o w sk i, O pewnej Masie przestrzeni B 0 M ażur a-Orlieza.

Referat zawierał rozwiązanie problemu postawionego przez A. A le x ie wieża.

Przestrzeń X (\x \k) typu B 0 z ciągiem pseudonorm \x\h (Ac = 1 ,2 ,...) nazywamy całkowicie zupełną, Jeśli istnieje układ pseudonorm \x\* (A; = 1,2,...) w tej przestrzeni,

к

równoważny układowi \x\k, o następującej własności: przy dowolnym k0 dla dowol­

nego ciągu xneX z tego, że

|жм —ж1*->0 dla R,m->oo

1 П m'kQ 9

wynika istnienie takiego x 0e X, że

|жп—ж0|*->0 dla n-+oo.

Tw ier d z en ie. Niech Х(|ж|й) będzie przestrzenią typu B 0. Na to, by przestrzeń X (\x\k) była całkowicie zupełna, potrzeba i wystarcza, by istniał taki ciąg łiczb dodatnich {a ), że dla każdego naturałnego к

supan inf{|ж + y\n; XeX, y e X , |y|s = 0 }< o o .

4. XII. 1953. S. D rób ot (Wrocław), O zastosowaniu analizy wymia­

rowej do kontroli produkcji.

Wyniki przedstawione w referacie opublikowane są w pracach:

1. S. D rob ot i M. W arm us, Dimensional Analysis in Sampling Inspection oj Merchandise, Rozprawy Matematyczne 5 (1953).

2. S. D rob ot i M. W arm us, Analiza wymiarowa w badaniu wyrywkowym to­

warów, Zastosowania Matematyki 2 (1954), str. 1-33.

11. XII. 1953. A. S c h in ze l, O pewnym zagadnieniu Fermata.

Praca ukaże się w Wiadomościach Matematycznych 1 (1955).

Fermat postawił Wallisowi następujące zagadnienie: Znaleźć liczby naturalne, których sześciany mają sumę dzielników, będącą pełnym kwadratem. Autor udo­

wodnił

Tw ie r d z en ie. Jedyną liczbą pierwszą, której sześcian ma sumę dzielników będącą pełnym kwadratem, jest liczba 7.

11. XII. 1953. K. Z a ra n k iew icz, O uniformizacji układu funkcji ciągłych.

Zob. R. S ik o r s k i and K. Z a r a n k ie w ic z , On uniformization of junctions ( I ) , Fundamenta Mathematicae 41 (1954), str. 339-344.

Tw ier d z en ie. Niech jt {x), gdzie 0 ^ ж ^ 1 oraz i = 1 , 2 , 3 , . . . ,n, będzie układem n junkcji ciągłych spełniających warunki

1° 0= /,(0)< /.(ж )< /4(1) = 1 dla i = 1,2,3,...,% ,

2° przedział <0,1 > daje się rozbić na skończoną liczbę przedziałów, w których każda z junkcji j%{x) jest monotoniczna.

Przy tych założeniach istnieje układ junkcji ciągłych gi{t), gdzie Os^fj^l oraz i = l , 2 , 3 , . . . ,n, takich, że dla każdego t zachodzi

0 = 9 i (°)<0, (1) = b fi <h (t) =/2 9* (t) • • • = fn gH (t).

18. XII. 1953. A. E h ren fe u c h t, Pewne twierdzenie o absolutnej

nierozkladalności wielomianów.

O d d z i a ł W a r s z a w s k i ⁴²⁹

Jeżeli Wi(xi) jest wielomianem o współczynnikach zespolonych stopnia mi (i =

= 1, 2, . . . , n) oraz NW D(»1,m2, . . . , » J = l, to

W( x1,x2, . . . , x n) = £ W (x.)

i = 1

jest wielomianem absolutnie nierozMadalnym.

18. XII. 1963. A. Włodzimierz M ostow ski, Metoda przewidywania rozwiązania dla równań różniczkowych o stałych współczynnikach.

Rozważania dotyczą równania różniczkowego liniowego

dncp dn~lw

(1) L(<p) s — + an_x + ... + a0<p = V(t) o stałych współczynnikach zespolonych.

Zbiór W funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej, dowolnie wiele razy różnicz- kowalnych, tworzy przestrzeń liniową, w której przekształcenia L(<p) oraz

dtp dtp

M(y) = ---Qtp i D (y )= — (q zespolone) są liniowe.

Przez [y,_D] oznaczmy najmniejszą przestrzeń 920 taką, że ye920 i D(920)c920*

Mówimy, że równanie (1) daje się rozwiązać metodą współczynników nieozna­

czonych, jeżeli istnieje taka przestrzeń 92, że

(2) dim92 = fc i у e 1/(92) C 92.

Rozwiązanie (1) będzie wtedy kombinacją liniową к wektorów bazy o współ­

czynnikach dających się wyznaczyć przez rozwiązywanie układu równań liniowych.

Tw ierdzenie I. Na to, by istniała przestrzeń 92 spełniająca warunek (2) potrzeba i wystarcza, by

(3) dim [y,D ] = Z.

W n iosek I. Sprowadzając macierz przekształcenia D do postaci kanonicznej Jordana i całkując otrzymany układ równań, przekonamy się, że przestrzenie [y ,D ] skończenie wymiarowe są id e n ty c z n e z przestrzeniami generowanymi przez skoń­

czoną ilość wektorów postaci

(4) ул = ея‘ (c0 + cxt + • • • + c j m) dla m = 0 ,l,...,Z A i różnych od A.

Innymi słowy, funkcje postaci (4) i ich kombinacje liniowe dla różnych A są to wszystkie prawe strony równań (1), które dają się rozwiązać metodą przewidywań.

W niosek II. Z konstrukcji przestrzeni 92 dla równania L{tp)=xpx wynika, że rozwiązania szczególnego należy szukać w postaci

% =

+

+ . . . +

ж"+ а„_1жп-1+ ... + a0 = 0.

430 Sprawozdania z 'posiedzeń naukowych P T M

15.1.1954. II. R asiow a, Algebraiczne modele teorii elementarnych.

Komunikat ukaże się pt. Constructive theories w Bulletin de l’Academie Polo­

naise des Sciences, classe III.

Praca została ogłoszona pod tytułem Algebraic models of axiomatic theories w Fundamenta Matłiematicae 41 (1964), str. 291-310.

15. I. 1954. M. F isz, Uogólnienie 'pewnego twierdzenia Chinczyna.

Praca ukazała się pt. A generalization of a theorem of Khintchin w Studia Matłiematica 14 (1955), str. 310-313.

1 5 .1. 1954. M. F isz, Wrażenia z podróży na Węgry.

19. II. 1954. J. P erk a l (Wrocław), Zastosowania przestrzeni wielo­

wymiarowych w natikach przyrodniczych.

Jeśli przedmioty przyrodnicze badamy wyłącznie pod względem n cecli, każdy taki przedmiot traktujemy jako zespół n liczb, mianowicie n wartości badanych cech.

Przedmiot taki możemy sobie wyobrazić jako punkt w przestrzeni тг-Wymiarowej.

Trzy zagadnienia systematyki: porządkowanie, klasyfikacja i typologia odpo­

wiadają porządkowaniu, dzieleniu na części i grupowaniu zbioru punktów przestrzeni n-wy miarowe j. Porządkowanie liniowe polega na przeciągnięciu łuku prostego przez punkty zbioru. Można to zrobić wieloma sposobami. R. A. F ish er opracował jeden z nich. W metodzie (dyskryminacyjnej) Fishera tkwi założenie, że punkty dadzą się uporządkować liniowo. Jest to w wielu przypadkach założenie nienaturalne. Odrzu­

cając je musimy uporządkowanie liniowe zastąpić naturalnym uporządkowaniem dendrytowym. Polega ono na przeciągnięciu dendrytu przez punkty zbioru. Można to zawsze tak zrobić, by otrzymany dendryt był najkrótszy.

Najlepszy podział zbioru na części można uzyskać za pomocą dendrytu, mini­

malizacji momentów bezwładności części, za pomocą hiperpowierzchni rozkładu lub metodą kostkową Wankego. Wiąże się z tym zagadnienie grupowania. Metoda Wan- kego i dendrytowa pozwalają znaleźć miejsca skupienia zbioru. Genetyczne kryteria typologii polegają na znajdowaniu w «-wymiarowej przestrzeni obszarów' będących niezmiennikami dziedziczenia, tj. takich, że jeśli punkty rodziców, to i punkty dzieci są zawarte w obszarze. Takie obszary można nazwać typami. Miejsca nadwyżek zna­

lezione metodą Wankego mogą się okazać w tym sensie typami.

Inne pojęcie typu, to stworzone przez Czekanowskiego pojęcie układu punktów odniesienia dla danego zbioru punktów. Można takich punktów odniesienia szukać różnymi metodami, z których ciekawa okazuje się zaproponowana przez Czekanowskie­

go metoda rozwiązania układu równań. Okazało się jednak, że układ zaproponowany przez Czekanowskiego nie jest jednoznacznie rozwiązalny.

26. II. 1954. У. К leg a (Prałia), Iteracja dwóch dróg przy wyborze losowym.

26. II. 1954. A. Granas, Życie matematyczne w Moskwie.

5. III. 1954. Y. K leg a (Praha), i J. S ed la cek (Prałia), Organizacja zastosowań statystyki do przemysłu w Czechosłowacji.

5. III. 1954. J. S ed la cek (Prałia), Klasyfikowanie jakości surowców odlewniczych.

12. III. 1954. A. K o siń sk i (Poznań), Rozmaitości topologiczne i r-prze-

strzenie.

O d d z i a ł W a r s z a w s k i ⁴⁸¹

Rozważa się pewną klasę przestrzeni ośrodkowych, i metrycznych skończonego wymiaru zdefiniowaną w sposób wewnętrzny i topologiczny. Dowodzi się, że prze­

strzenie te, zwane r-przestrzeniami, mają wiele własności wspólnych z rozmaitościami topologicznymi. W szczególności r-przestrzenif wymiaru ^ 2 są rozmaitościami. Nie wiadomo, czy jest to prawdziwe dla r-przestrzeni wyższych wymiarów.

12. III. 1954. E. S ik o rsk i, O pewnej definicji dystrybucji.

2. IY. 1954. A. M ostow ski, O predykatach w ciałach algebraicznie domkniętych.

A. R ob inson zapowiedział niedawno dowód następującego twierdzenia: Każdy predykat Q (aą,... ,xn), w którym jako stale pozalogiczne występują symbole = , + i znak mnożenia oraz stale oznaczające elementy ciała J , wyznacza skończoną liczbę ideałów J 0, J , . . . >е7м+ pierścienia F [a; , . . .,xn] takich, że jeśli F' jest ciałem algebraicznie dom­

kniętym zawierającym F, to zbiór punktów (a1, . . . , a n), gdzie aj eF' dla j = l , 2 , . . . , n , spełniających w F' predykat Q, ma postać (F0 — Fx) + (Fa — F3) + . .. + (F2A. — F2J;+1), gdzie V. oznacza rozmaitość ideału J i nad ciałem F' (i = 1 ,2 ,..., 2/c + 1).

Autor pokazuje, że twierdzenie Robinsona wynika w bardzo prosty sposób z twierdzenia Tarskiego o rozstrzygalności teorii ciał algebraicznie domkniętych (por. A. T arski, A decision method forjj elementary algebra and geometry, 2 edition, Berkeley and Los Angeles 1951, str. 54-55).

2. IY. 1954. A. G rzegorczyk, Konstruktywne ujęcia analizy.

Wyniki omawiane w referacie są zawarte w pracach: Elementarily definable ana­

lysis, Fundamenta Mathematicae 41 (1954), str. 310-338; Computable functionals, Fundamenta Mathematicae 42 (1955), str.168-202.

9. IY. 1954. W. S ierp iń sk i, O pewnych rozwinięciach liczb rzeczy­

wistych na iloczyny nieskończone.

Praca ukaże się w Rocznikach P.T.M.

W referacie tym autor zajmuje się pewnymi uogólnieniami rozwinięcia na ilo­

czyn nieskończony liczb ]/(fc-f-2)/(fc —2) (dla k >2) podanego przez E. B. E s c o tta w The American Mathematical Monthly 44 (1937), str. 644-646, nawiązując do swej pracy z Bulletin de la Societe Royale des Sciences de Liege (1953), str. 520-529 oraz do pracy A. O ppenheim a z Quarterly Journal of Mathematics, 2,4 (1953), str. 303-307.

23. IY. 1954. A. M ostow ski, O bazach normalnych dla rozszerzeń nieskończonych.

Niech £ będzie nieskończonym rozszerzeniem algebraicznym ciała 9C o cha­

rakterystyce 0, © — topologiczną grupą G-alois ciała £ względem 9C; oznaczmy przez 9C® moduł funkcji ciągłych odwzorowujących © w 9C (przy czym w 9C przyjęta jest topologia izolowana). Określając w 9C® reprezentację grupy © zwykłym wzorem

9- H , ' Sdzie fg(x) = f ( y ~ l x ) (</e©> /е9С®,Жб£),

autor dowodzi, że ciało £ traktowane jako moduł względem grupy operatorów © jest izomorficzne z modułem 9C®.

23. IV. 1954. E. S ik o rsk i, Uwagi o twierdzeniu Schura. *

7. Y. 1954. E. M arczew ski (Wrocław), Uwagi o funkcjach monofo­

nicznych.

432 Sprawozdania z posiedzeń naukowyeh PT M

7. V. 1954. S. H a rtm a n (Wrocław), Uwagi o mierze i topologii w pod­

grupach.

Patrz sprawozdania Oddziału Wrocławskiego, 27. IV. 1954.

7. V. 1954. W. S ło w ik o w sk i, O rozszerzeniach algebraicznych pier­

ścieni i pewnych zastosowaniach do analizy.

14. Y. 1954. H. G ren iew ski, Z historii logiki.

21. Y. 1954. J. A czel (Debrecen), Sur la solution de Vequation de Kolmogorov concernante les probabilites en chaine.

Praca ukaże się w Publications Mathematicae.

21. Y. 1954. H. S te in h a u s (Wrocław), O mierzeniu przez porówny­

wanie.

Patrz sprawozdania Oddziału Wrocławskiego, 11. XII. 1953.

21. Y. 1954. J. M ik u siń sk i (Wrocław), Twierdzenie o momentach.

4. VI. 1954. M. F isz, O rozkładach granicznych dla rozkładu wielo­

mianowego.

11. YI. 1954. S. K u lcz y c k i, Stulecie odczytu habilitacyjnego Bie- , manna.

Oddział Wrocławski

2. X. 1953. H. S te in h a u s, Zastosowanie metryczne twierdzeń topo­

logicznych.

Praca ukaże się w Fundamenta Mathematicae. Streszczenie patrz sprawozdania Oddziału Warszawskiego, 9. X. 1951.

2. X. 1953. S. H artm an , Pewne twierdzenia o pierścieniach unormo­

wanych z zastosowaniem do szeregów Fouriera.

Praca ukazała się pod tytułem Quelques remarques sur les expansions de Fourier w Studia Mathematica 14 (1955), str. 200-208.

2. X. 1953. M. R eich b a ch , Krótki dowód twierdzenia Cantor a-Bern- steina.

Praca ukazała się pt. Une simple demonstration du theoreme de Cantor-Bernstein w Colloquium Mathematicum III. 2 (1955), str. 163.

2. X. 1953. S. G ład ysz, Zastosowanie twierdzenia ergodycznego.

2. X. 1953. K. U rbanik , O ciałach ilorazowych utworzonych z pier- cieni pseudo-unormowanych.

Praca ukaże się w Studia Mathematicae.

9. X. 1953. J. Ł o p u sza ń sk i, O statystycznej teorii kaskad promienio­

twórczych.

Praca ukazała się pod tytułem Lósung der G-Gleichungen von Jdnossy fiir die kosmischen 8chauer, Acta Physica Polonica 12 (1953), str. 156-159.

23. X. 1953. J. S łu p eck i, System logiczny bez operatorów.

Praca ukaże się w Studia Logica III.

O d d z i a ł W r o c ł a w s k i 433

23. X. 1953. S. P a szk o w sk i, Nowe sposoby tablicowania funkcyj.

Keferat dotyczy nowych sposobów tablicowania funkcji, których celem jest wielokrotne skrócenie tablic przy nieznacznym zwiększeniu ilości działań wykony­

wanych przy korzystaniu z nich.

Przykładem metod wykorzystujących indywidualne cechy funkcji jest nowy rodzaj metody czynnikowej obliczania logarytmów. Metoda ta polega ogólnie na rozkładzie liczby logarytmowanej na specjalnie dobrane czynniki. W dawnych tabli­

cach były one kształtu gdzie i = l ,2,...,m , 0 = < k2< ... < кт,п4 są liczbami naturalnymi, których logarytmy dane są w tablicach. Wprowadzona inowacja polega na innym doborze czynników, nie wymagającym użycia arytmometru.

Ogólne metody tablicowania funkcji polegają na zastosowaniu przybliżonego wzoru w postaci nie wymagającej wykonywania mnożeń:

lub

f(a + kx) = f (a) + Nlog [A (a) + X {x) ], / (a + kx)—f(a) + Nlog [A (a) + lo g ж ] (а, х),

gdzie Nlog oznacza antylogarytm, 0<сс<1, к jest krokiem tablic, f(a), A (a), X( x) — wartościami tablicowanymi, a funkcja n — n(a, x) daje się przedstawić za pomocą nomogramu drabinkowego. Bardzo istotnym jest ponadto wykorzystanie w celu zmniejszenia błędu pewnej odmiany wielomianów Czebyszewa, najlepiej jednostajnie przybliżających 0.

30. X. 1953. H. F a st, Badanie krzywych za pomocą indykatrysy.

3. XI. 1953. Posiedzenie poświęcone jubileuszowi Л. X. Kołmogorowa z odczytami:

1. K. U rbanik , O działalności naukowej A. N. Kołmogorowa;

2. H. F a st, O przykładzie Kołmogorowa szeregu Fouriera funkcji całkowalnej wszędzie rozbieżnego.

6. X I. 1953 J. P erkal, O pewnych ideach Czekanowskiego i metodzie Wankego.

Praca ukaże się w Przeglądzie Antropologicznym 21.

13. XI. 1953. K. U rbanik, O pierścieniach B 0.

Patrz odczyt z 2. X. 1953.

13. XI. 1953. Z. Moroń, O rozkładzie prostokąta na kwadraty.

13. XI. 1953. H. F a st, O zbiorze odległości punktów zbiorów miary liniowej dodatniej.

13. XI. 1953. B. K n aster, O rozkładach kostki na warstwice.

Niech zbiór zwarty X leżący w kostce wy miarowej I n rozłożony będzie w spo­

sób półciągły na warstwice Wy, gdzie у e ¥ (znaczy to, że funkcja f ( x ) = y dla xe Wv jest ciągła), które wszystkie są kontinuami o średnicach 1. Są to więc kontinua rozłączne. Dla każdego e> 0 istnieje w In zbiór skończony bryłek «-wymiarowych rozłącznych, o średnicach mniejszych od e i zamocowujących wszystkie warstwice zbioru X (znaczy to, że każda warstwica ma punkty wspólne z jakąś bryłką).

13. XI. 1953. J. M y cielsk i, O funkcji y{n).

W przygotowaniu dla Annales Polonici Mathematici.

Roczniki P. T. M.-Prace M a t e m a t y c z n e I 28