Sprawozdania z posiedzeń naukowych Polskiego Towarzystwa Matematycznego

Polskiego Towarzystwa Matematycznego

S p r o s to w a n ie do sprawozdania z posiedzeń naukowych Oddziału Warszaw­

skiego PTM za lata 1954/55 oraz 1955/56.

W sprawozdaniu tego Oddziału w Pracach Matematycznych II. 2 (1958), str.

386, podano, że prof, dr Marek Fisz wygłosił referat pt. O rozkładzie Poissona. W rze­

czywistości M. Fisz wygłosił dwa referaty, a mianowicie: Realizacje pewnych czysto nieciągłych procesów stochastycznych (wyniki opublikowane zostały w Studia Math., 15 (1956), str. 359-364), Jeszcze o charakterystyce rozkładu normalnego w przestrzeni Hilberta (wyniki opublikowane zostały w Tieorija Wierojatnostiej Primienienija, 2 (1957), str. 475-477; artykuł wspólny z J. W . Prochorowem).

Oddział Gdański

7. IX . 1956. W. O rlic z (Poznań), Osiągnięcia matematyków radziec­

kich w świetle ostatnich zjazdów naukowych w Moskwie.

8. IX . 1956. W. O rlicz (Poznań), O pewnych zagadnieniach analizy funkcjonalnej.

22. X I. 1956. S. J a śk o w sk i (Toruń), Zagadnienia rozstrzygalności problemów matematyki.

10. I. 1957. M. K w a p isz, Galka Lebesgue'a i niektóre jej zastoso­

wania.

25. V. 1957. M. K w a p isz , W. K o g iń sk a , Sprawozdanie z collo­

quium z analizy harmonicznej.

27. Y. 1957. A. Z y g m u n d (Chicago), Teoria szeregów trygonometry­

cznych.

27. VI. 1957. J. P e r k a l (Wrocław), O pomiarze długości linii empi­

rycznych.

Oddział Gliwicki

6. X. 1956. P. B essala, O stabilności rozwiązania zagadnienia Neu- manna dla równania Laplace^a w ujęciu L. Olejnik.

6. X. 1956. J. K y z io ł, O metodzie iteracji równań postaci x = f(x) w ujęciu Dubrowskiego.

Roczniki PTM - Prace Matematyczne III

2 1 0 O d d z i a ł G l i w i c k i

6. X . 1956. В. S zlęk, O pewnej metodzie Woroncowa rozwiązywania równań.

20. X. 1956. A. W a k u lic z , O budowie teorii matematycznych.

Praca ukaże się w Zesz. Nauk. W SP w Katowicach.

17. X I. 1956. C. K lu c z n y , Jednotliwość względem zbioru.

Rozważmy układ równań różniczkowych

(1) Y ' = F ( x , Y ) ,

gdzie Y = (y1, y 2 , . . . , yn), F ( x , Y ) = ({г(х, Y ) , f 2(x, Y ) , . , fn(x , Y ) ) i F ( x , Y ) jest funkcją ciągłą w zbiorze В punktów (x, Y).

Niech punkt Р 0 (ж0, T 0) należy do domknięcia В zbioru В, a Y(x) i Т-^ж) niech oznaczają dowolne dwa rozwiązania układu (1) zawarte w B, określone we wspólnym przedziale i zdążające do P 0.

D

1. Rozwiązanie Y(x) nazywamy jednotliwym ze wzglądu n a ( P 0, B) , jeżeli dla każdego rozwiązania Т х(ж) o podanych własnościach

1 ° Г х(ж) = Г(ж) we wspólnym przedziale określoności albo

2 ° lim X —^ i T q

X e R

\ Y ( x ) - Y 1( x)\

|ж— ж0| > 0.

D

2. Mówimy, że układ (1) jest jednotliwy ze wzglądu па (P0, B ), jeżeli każde rozwiązanie tego układu, zdążające do P ⁰ i zawarte w zbiorze B , jest jednotliwe ze względu na (P0 , B) (a więc i wtedy, gdy w zbiorze В nie ma rozwiązań zdążających do P 0).

W przypadku jednego równania zachodzi następujące

T

. Niech funkcja f ( x , y ) bądzie określona i ciągła w zbiorze В zawar­

tym w prostokącie В * : ^ ж s i ft, c ^ i/ ^ d (może być także a — + oo, d — -f- oo, c — — oo), a 8 niech oznacza prostokąt x 0 < x ^ a, 0 ^ 2 ^ d — c. Jeżeli istnieje w zbiorze 8 taka funkcja g(x, y)eO, że

f { x, y 2) = f ( x , y j < g(x, y

- yi),

gdy tylko x0< x , у г > у , (ж, y i ) e B (i = ¹ , ² ), przy czym żadne rozwiązanie u (x) równania u' — g(x, u)

wychodzące z punktu Q( xt , ux), ж ¹ > ж 0 , u1 > ⁰ , nie osiąga w zbiorze 8 prostej u — ⁰ , przy x z przedziału (ж ⁰ ,ж 1), ani nie dąży do punktu (ж, ⁰ ) w ten sposób, że

to równanie

lim --- u(x)

X —>жо x — x o

= 0,

y' = f{x, y)

jest jednotliwe ze wzglądu па (P 0 , B ), gdzie P 0 oznacza dowolny punkt z В o odciątej x0 . Z twierdzenia tego wynikają różne kryteria, z nich niektóre mają odpowie­

dniki w znanych kryteriach jednotliwości w sensie zwykłym. Między innymi wynika

zeń twierdzenie 1 pracy M. A . Krasnosielskiego i S. G. Kreina Об одном классе

теорем единственности для уравнения у' = f ( x , y ) , Усп. Мат. Наук 9 (67) (1956),

str. 213-219.

Podane twierdzenie można przenieść na układy równań różniczkowych (1).

Praca ukazała się w Zesz. Nauk. W SP w Katowicach, Mąt. 1 (1958), str. 33-44.

24. X I. 1956. H. S tein h a u s (Wrocław), Z zagadnień rachunku prawdopodobieństwa.

Prelegent omówił kilka interesujących go kwestii.

a) O r z e ł i r e sz k a . Nieraz nasuwa się laikom pytanie, po czym poznać ciąg niezależnych rzutów rzetelną monetą. Temu pytaniu można nadać sens matema­

tyczny pisząc ⁰ zamiast „orzeł” , ¹ zamiast „reszka” i żądając, żeby ciąg o wyra­

zach ⁰ , ¹ miał jednakową frekwencję zer i jedynek, ale także jednakową frekwencję symboli 00, 01, 10, 11 itd. Rozwinięcie dyadyczne liczby absolutnie normalnej Sier­

pińskiego jest zatem efektywnym przykładem „przypadkowego” ciągu rzutów monetą. Powstaje pytanie, czy taki ciąg może dać liczbę algebraiczną?

b) S y g n a ły P o is s o n a . Przykładem są tu momenty tk kolejnych błysków na ekranie bombardowanym przez cząstki alfa. Ciąg {#&} nazywamy poissonowskim, jeżeli spełnia pewne warunki, z których dla fizyków najważniejszy jest ten, żeby — przy założeniu, że średnio na sekundę przypada jeden błysk — relatywna miara tych momentów t, które sprawdzają zdanie: w przedziale (t,t-\-h) jest dokładnie n błysków, była

hne~ h

--- dla każdego h > 0 . nl

P r o b l e m a t : zbudować ciąg {£&} spełniający ów postulat. Dotychczas nie ma efektywnego przykładu.

c) B a k t e r ie . Bakterie rozmnażają się przez podział: z jednej powstają dwie.

Niech p oznacza prawdopodobieństwo, że bakteria zginie zanim się podzieli, q = 1 — p.

W praktyce liczby p i q zmieniają się z wielkością populacji. Pan Urbanik wykazał, że dla stałego p (i q) z trzech ewentualności

I) populacja wzrośnie do oo dla t -» oo, II) „ zmaleje do 0 „ „ „

III) „ ani nie wzrośnie do o o , ani nie zmaleje do 0 dla t -> oo ostatnia ewentualność ma prawdopodobieństwo zero (Zastosowania Matematyki, 2 (1956), str. 3 4 1 -3 4 8 ); przypuszcza on, że dla zmiennych p , q jest tak samo.

Gdyby tak było, to jedynie biocenoza mogłaby wytłumaczyć istnienie gatunków spełniających III.

d) L i c z b y ż e la z n e . — Patrz Zastosowania Matematyki 3 (1958), str. 51-65.

5. I. 1957. A. W a k u lic z , O pewnej arytmetyzacji sita Efatostenesa.

Celem referatu było przedstawienie pewnej, jak się wydaje, nowej metody roz­

kładu liczb złożonych na czynniki i wyznaczania liczb pierwszych. Z uwagi na łatwość twierdzenia o podzielności przez 2 i 3 ograniczamy się do liczb naturalnych postaci 6 u ~ 1 , ⁶ u + 1 .

T w i e r d z e n i e 1 . Warunkiem koniecznym i dostatecznym, by liczba naturalna n = 6 u — 1 była złożona, jest istnienie takiej liczby naturalnej s0 , że 6 s 0 — 1 | u — s 0 przy so < (w— s 0 )/( 6 s 0 — 1 ) lub 6 s 0 -) - 1 |ад+s 0 przy s 0 < { u + s 0 ) /( 6 s 0 + 1 ).

T w i e r d z e n i e 2. Warunkiem koniecznym i dostatecznym, by liczba naturalna n = бад + l była złożona, jest istnienie takiej liczby naturalnej s0 , że 6 s 0 — l | « + s 0 przy so < (% + s 0 )/( 6 s0— 1 ) lub 6 s0 + 1 | m —s 0 przy s 0 < {u— s 0 )/( 6 s0+ I).

Dzielnikiem liczby n jest w pierwszym przypadku d — 6 s0— 1 .

2 1 2 O d d z i a ł G l i w i c k i

W związku z powyższymi twierdzeniami rozważamy rozkłady liczby natural­

nej u postaci:

I. u = ( ⁶ s — l)m s + $ + rs , gdzie ms , s naturalne, s ^ m s , |rs| < ⁶ s — ¹ , oraz u = ( 6 s + l)m s— s + QS, gdzie s, ms naturalne, s ^ ms , \ q s\ < 6 s - f 1 ,

II. u = ( ⁶ s — l ) ms — s + r ś , gdzie s, ms naturalne, s ^ ms , |rś| < ⁶ s — 1, oraz u = ( ⁶ s + l)m s + s +

'

, gdzie s < ms , |gś| < ⁶ s + ¹ .

Eozkłady te nazywamy rozkładami normalnymi liczby naturalnej u odpowiednio pierwszego lub drugiego rodzaju.

W przypadku gdy wszystkie reszty rozkładu I lub II są różne od zera, odpo­

wiedni rozkład nazywamy osobliwym.

T w ie r d z e n ie 3. Warunkiem koniecznym i dostatecznym, by liczba n = 6 m i 1 była liczbą pierwszą, jest, by liczba u miała rozkład normalny osobliwy odpowiednio pierwszego lub drugiego rodzaju.

Dla u = ⁶ a2 mamy l — 2a. Jest to liczba prób potrzebnych do rozkładu na czynni­

ki liczby n — ⁶ м ± ¹ .

Wyznaczenie rozkładu II, gdy dany jest rozkład I, jest łatwe z uwagi na kon- gruencje rs = rs+ 2 s oraz q ' s = qs — 2 s .

Z twierdzenia 3 mamy natychmiastowy

W n i o s e k . Warunkiem koniecznym i dostatecznym, by ⁶ м + 1 i 6u — 1 były licz­

bami pierwszymi, jest, by liczba u nie była żadną z liczb ( 6 s — l j m ^ s , ( 6 s-f- l j m ^ s . Przy u = 6 a 2 obliczamy bezpośrednio reszty rs i gs .

T w i e r d z e n i e 4. Jeśli u = ⁶ a2, to dla reszt rs , ^qs rozkładu I zachodzą kon- gruencje ra~t = 6 £2+ 2t — 2t(3t-{- 1 ) (m o d [ 6 (a — t)— 1 ]) oraz ga_< = 6 ź2— 2 t —

= 2t(3t— 1 ) (mod [ 6 (a— ź )+ 1 ]).

Twierdzenie 4 pozwala znacznie obniżyć wielkość liczb, którymi rachujemy, i jakkolwiek liczba prób wynosi w tym przypadku l — 2a, to z uwagi na kongruencje i małe liczby wykonanie ich jest raczej łatwiejsze niż przy posługiwaniu się tabelą liczb pierwszych.

Łatwo zauważyć, że wszystkie liczby pierwsze przedziału (36a2 — 1, 36 (a + l ^{) 2} — 1) oraz rozkłady na czynniki liczb złożonych tego przedziału postaci бадТ 1 dają się wyznaczyć z tabeli reszt rozkładów normalnych liczby u = 6 a 2 oraz z tabeli reszt liczb v < 12a + 6 w rozkładach postaci v = ( 6 ^ 1 ) д + at addytywnie, tzn. przez dodawanie odpowiednich reszt. Np. dla u = 600 odczytujemy wprost z tabelki reszt rozkładu I, że liczbami pierwszymi postaci 6 ( u + r ) - ~ 1 są liczby otrzymane przy r = 3, 4, 12, 13, 17 itd. Są to liczby 3617, 3623, 3671, 3677, 3701 itd.

9. II. 1957. M. K r z y ż a ń s k i (Kraków), Część skończona całki nie­

właściwej rozbieżnej i jej zastosowania.

W yniki referatu wejdą w skład X I I rozdziału książki prelegenta pt. Bównania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu.

2. III. 1957. A. W a k u lic z jr (Warszawa), O maszynach elektrono­

wych do liczenia i analizatorach równań różniczkowych.

30. III. 1957. C. K lu c z n y , Pewne twierdzenie dotyczące rzędu funkcji.

W przygotowaniu do druku dla Ann. Pol. Math.

Łatwo stwierdzić, iż liczba równości w każdym z rozkładów wynosi l ^ . E

Przez .rząd funkcji <p (t), określonej dla t ^ a, rozumiemy liczbę przeciwną do liczby charakterystycznej Lapunowa.

T w i e r d z e n i e . Jeżeli funkcje <p(t) i f}(t) są określone i ciągle dla t ^ a, (i(t) ^ 0 oraz

t oo

1° rz j (} (u) du ^ r lub rz J jS (u)du ^ r,

a t

2 ° rz <p (t) ^ a, to

t

a) rz J cp (u) (i {u) du ^ a + r, o ile a -f- r ^ ⁰ , a

OO

b) rz j ⁹ o(u) (3 (u)du a-{-r, o ile a - f r < ⁰ .

t

Twierdzenie to razem z twierdzeniami dla liczby charakterystycznej, poda­

nymi przez Lapunowa, pozwala w pewnych przypadkach określić rząd rozwiązania układu równań różniczkowych.

Na przykład, jeśli

t

lim — I a(u)du — a, 1 Г

<->+0O l J 0

t

rz j (3(u)du s lub

(o

t

rz lub

łe

OO

rz J /3 (u)du ^ s, t

OO

rz j у (u) du c t

oraz P(t) ^ 0 , ^{y(t) ^ 0} , ^{8/(1 — q)} < ^{a, c} < ^{a, 0} ^ ^ą < ¹ , to wszystkie rozwiązania dodatnie równania

są rzędu a.

У' = a ( t ) y + P ( t ) y * + y ( t )

6. IV. 1957. A. S c h in z e l (Warszawa), O metodzie Viggo Bruna.

4. У. 1957. A. W a k u lic z , O pewnej własności podzbiorów zbioru kombinacji.

Zagadnienie postawione przez W . Sierpińskiego w Matematyce 8 (1955), nr 5-6, str. 78, zad. 380, nasunęło referentowi pytanie ogólniejsze. Dla danej liczby natural­

nej к wyznaczyć taką najmniejszą liczbę naturalną n = <p(k), by przy dowolnym podziale na к części zbioru kombinacji z n elementów po dwa, jedna przynajmniej część zawierała wszystkie kombinacje z pewnych trzech elementów po dwa.

Referent uzyskał oszacowanie zwrotne ęp(fc + l) ^ q>(k)(k + l ) — fc + l oraz twier­

dzenie (uogólniające wypowiedź W . Sierpińskiego z wyżej cytowanego zadania):

T w i e r d z e n i e . Zbiór Z różnic wyrazów ciągu 1, a, a2, . . . , an~ l przy naturalnym a > 1 , n^fz <p(k) ma tą własność, że przy każdym podziale tego zbioru na к części w jed­

nej przynajmniej części obok pewnych dwóch liczb występuje ich suma.

2 1 4 O d d z i a ł K r a k o w s k i

Oddział Krakowski

, 29. IX . 1956. P. Tur an (Budapeszt), 0 warunkach stabilności ukła­

dów równań różniczkowych.

1. X . 1956. P. T u ra n (Budapeszt), Twórczość współczesnych mate­

matyków węgierskich.

9. X . 1956. T. W a żew sk i, Wrażenia ze zjazdu matematyków w Mo­

skwie.

9. X. 1956. M. K rz y ż a ń s k i, Tematyka zjazdu matematyków ra­

dzieckich.

9. X . 1956. Z. O pial, O rozwiązaniach okresowych równania sep + f { x ) x + g { x ) = 0.

Praca ukaże się w Ann. Pol. Math.

9. X . 1956. W. M łak, O wynikach matematyków radzieckich, doty­

czących istnienia rozwiązań równania X ' — f ( X, t).

16. X. 1956. S. G ołą b , Wrażenia z kongresu matematyków w Wiedniu.

23. X . 1956. Z. K ry g o w sk a , Sprawozdanie ze zjazdu w Genewie poświęconego zagadnieniom dydaktyki.

30. X . 1956. W. P o g o r z e ls k i (Warszawa), Prace własne z teorii równań parabolicznych.

20. X I. 1956. W. Ś le b o d z iń s k i (Wrocław), O pewnych zagadnie­

niach z geometrii symplektycznej.

27. X I. 1956. W. M łak, Pewne warunki stosowalności metody Lerey'a- -Schaudera w równaniach różniczkowych.

Praca ukazała się w Ann. Pol. Math. 5 (1958), str. 95-101.

15. X II. 1956. A. B ie le c k i (Lublin), Uwagi o kryteriach jednoznacz­

ności równań różniczkowych.

8. I. 1957. K. M a tu le w icz , O pewnym równaniu prowadzącym do obliczania boków wielokątów foremnych.

22. I. 1957. M. B ie r n a c k i (Lublin), O wielomianach, których wszy­

stkie miejsca zerowe są rzeczywiste.

12. II. 1957. K. T a ta r k ie w ic z (Lublin), Wykład rachunku róż­

niczkowego metodą Mengera.

26. II. 1957. M. K rz y ż a ń s k i, A. S z y b ia k , O rozwiązaniu podsta­

wowym równania liniowego typu parabolicznego.

Prelegenci przedstawiają konstrukcję rozwiązania podstawowego równania liniowego typu parabolicznego postaci

m m du

У, ai j { t , JŻ)ux^Xj + ^ bk(t, X)it'Xlc-\- c(t, X ) u ---— — 0

i, ^{7 =1} = ¹ ćt

przy założeniu, że współczynniki tego równania są dostatecznie regularne w pewnej

strefie 0 < t < h0. Zakłada się poza tym , że współczynniki ац i są ograniczone,

a współczynnik c(t, X ) spełnia warunek następujący: istnieje taka liczba G0, że przy 0 < t < h0 zachodzi nierówność

m

| c ( t , Z ) | < C 0 ( l + 2 4 - ) -

?=1

Warunek ten występuje w pracy E. Holmgrenai1), dotyczącej równania parabolicz­

nego o dwóch zmiennych niezależnych. Holmgren udowodnił, że jest to warunek dostateczny na istnienie rozwiązania podstawowego, rozważanego jako funkcja jed­

nego punktu (gdy drugi punkt znajduje się w początku układu współrzędnych).W przy­

padku rozważanym przez autorów komunikatu ilość zmiennych niezależnych jest dowolna, a rozwiązanie podstawowe jest funkcją dwóch punktów. Autorzy dowodzą, że określone przez nich rozwiązanie podstawowe jest nieujemne (w przypadku współ­

czynnika c ( t , X ) ograniczonego analogiczne twierdzenie udowodnił K . Itó) i że rozwiązanie to wzrasta wraz ze wzrastaniem w każdym punkcie współczynnika c(t, X). Autorzy opierają się w konstrukcji rozwiązania podstawowego i w dowodach jego własności na wynikach uzyskanych przez E. Holmgrena, S. Eydelmana i K . Itó.

18. III. 1957. A. S v e c (Liberec), O teorii Icongrueneji linii prostych w wielowymiarowych przestrzeniach rzutowych.

30. IY. 1957. S. G ołą b , Wrażenia z podróży naukowej po NRD.

2. Y. 1957. A. P e łc z y ń s k i (Warszawa), Przestrzenie liniowo-metry­

czne Montela.

Wyniki ukażą się w Studia Math, w pracy Cz. Bessagi, S. Bolewicza i prelegenta.

7. Y. 1957. F. S tu d n ic k i, Zastosowanie teorii informacji do nauk społecznych.

4. YI. 1957. F. B a ra ń sk i, O własnościach oscylacyjnych równania Helmholtza.

4. YI. 1957. A. P lis, Uwaga o stosowaniu metody prof. Ważewskiego badania całek asymptotycznych.

Praca ukaże się w Ann. Pol. Math.

11. VI. 1957. G. S a n son e (Rzym), O nieliniowym równaniu orbit cząstek w synchrotronie, cz. I.

15. YI. 1957. G. S an son e (Rzym), O nieliniowym równaniu orbit cząstek w synchrotronie, cz. II.

18. YI. 1957. A. P lis, O charakterystykach równania różniczkowego 1 -go rzędu o dwóch zmiennych niezależnych.

Praca ukaząłą się w Biul. P A N (III) 6 (1958), str. 11-14.

25. YI. 1957. W. Młak, Oszacowania i zależność od parametru roz­

wiązań równań różniczkowych.

Praca ukaże się w Ann. Pol. Math.

25. YI. 1957. F. B a ra ń sk i, O rozbieżności absolutnej szeregów try­

gonometrycznych podwójnych. (* )

(*) Sur la solution elementaire des equations paraboliques, Arkiv for Math.,

Astron. och Fysik 15 (1921), nr 24.

2 1 6 O d d z i a ł L u b e l s k i

Oddział Lubelski

24. IX . 1956. P. T u ra n (Budapeszt), Nowa metoda analizy, I — podstawy.

25. IX . 1956. P. E rd o s (Birmingham), Kilka twierdzeń i kilka pro­

blemów teorii wielomianów.

25. IX . 1956. P. T u ra n (Budapeszt), Nowa metoda analizy', I I — zastosowania.

26. IX . 1956. V. S zós-z-T uran (Budapeszt), 0 pewnym problemie H. Steinhausa.

26. IX . 1956. P. T u ra n (Budapeszt), Nowa metoda analizy, I I I — dalsze zastosowania.

27. IX . 1956. J. K rz y ż , Zastosowanie symetryzacji w teorii funkcji analitycznych.

28. IX . 1956. P. T u ra n (Budapeszt), 0 niestabilności rozwiązań układów równań różniczkowych.

19. X . 1956. A. B ie le c k i, I V Kongres matematyków austriackich.

2. X I. 1956. J. K rz y ż , Nina K. Bari.

9. X I. 1956. K. T a ta rk ie w icz , 0 pojęciu więzów.

9. X I. 1956. M. B ie r n a ck i, 0 monotoniczności pewnych funkcjonałów.

W yniki ukazały się w pracy J. Krzyża i prelegenta w Ann. UMCS (A) 9 (1955), str. 135-146.

16. X I. 1956. S. P a s z k o w s k i (Wrocław), O geometrycznych własnoś­

ciach pewnych wiełomianów.

Praca ukaże się w Ann. Pol. Math.

30. X I. 1958. E. J a k ó b c z y k , O pewnych własnościach funkcji Ia(n).

Referat kontynuuje pracę autora Les applications de la fonction Xg (n) а Vetude des fractions periodigues et de la congruence 2n — ² = 0 (m odи), Ann. UMCS (A) 5 (1951), str. 97-138.

Niech symbol Xg (m) oznacza długość okresu rozwinięcia liczby 1 Jm przy zasa­

dzie g, L g {m) zaś niech oznacza liczbę wyrazów nieregularnych tegoż rozwinięcia.

L

. Jeśli rozkłady kanoniczne liczb m i g napiszemy w postaci

T

I. Niech p oznacza dowolną liczbę pierwszą, (g, p) — 1. Jeśli v oznacza liczbę wyrazów nieregularnych ciągu {Хд (рд)}, ó — 1 , 2 , 3 , . . . , to zachodzą następujące związki dla jego wyrazów:

m = J7 Pt1 П $

к j

to

kg(m) = Xg (mg), Ly (m) = Lgm {rng).

Xg(pS) = P6 vXg(pv) dla ó > v,

hg(Pd) = Xg(pv) — Xg(p) dla 1 ^ d ^ v,

z wyjątkiem przypadku, gdy p = 2 i g — 4:k — 1; wtedy Яд(2й) = Xg(2V) = Я ⁰ (22) =

= 2Xg(2) dla 1 < <5 ^ v.

к к .

T

II. Niech m = Y l p a .i, ( m ,g ) = 1, N = J J p vń, Xg(N) = W.

i—1

i—1

Jeśli p oznacza liczbę wyrazów nieregularnych ciągu {Xg (m8)}, d = 1 , 2 , 3 , . . . , to dla jego wyrazów regularnych zachodzi związek

Xg(m6) = m8~ lxXg {m11) dla 6 > p,

przy czym, liczba p wyraża się wzorem-. p = L m ( N W m), poza przypadkiem (m, 2 ) = 2 i g = 4tk— 1 , w którym jest p — Tjm(^ N W m).

Możemy zastosować funkcje Xg(m) i L g(m) do wyjaśnienia problemu okre­

sowości m odmk ciągów {gn} ( g- stałe, n = 0 , 1, 2, 3, . . . , ) . Mianowicie, Xg(mk) jest liczbą wyrazów regularnych tego ciągu, L g (mk) zaś jest liczbą jego wyrazów nie­

regularnych.

10. X II. 1956. M. S v e c (Bratysława), O pewnych własnościach rów­

nań różniczkowych postaci y ^ + A( x ) y = 0.

11. X II. 1956. 8. R o le w ic z (Warszawa), O własnościach normy w F-przestrzeniach.

Wyniki ukażą się w Stud. Math, w pracy Cz. Bessagi, A. Pełczyńskiego i pre­

legenta.

14. X II. 1956. S. G o łą b (Kraków), Kilka uwag o metodzie iteracji przy rozwiązywaniu układów równań liczbowych.

Mając dany układ równań postaci

( ¹ ) Щ = . . . , xn), i = l , . . . , n ,

stosujemy doń metodę iteracji w ten sposób, że przyjmujemy układ wartości

(2) ж0>

dowolnie (w otoczeniu' domniemanego rozwiązania) i następnie kładziemy

(3) ą + i) = w).

Znane są warunki dostateczne (np. Eungego), przy których ciąg ж(Ь dla v ->■ oo zmierza do rozwiązania układu (1). Obok zwyczajnego ciągu iteracji (3) stosuje się niekiedy (zwłaszcza w zastosowaniach technicznych) metodę, którą referent nazywa

„iteracją przyspieszoną” i która wychodząc z tego samego punktu początkowego ( 2 ), określa ciąg kolejnych przybliżeń a?(”) w sposób następujący:

(4 ) s^+b = /. | _{t ' T} жР+Ь. ś(’ + b,»(”), _{г —1 ’ г ’ ’}

n >

Powstaje problem, czy iteracja (4) daje zawsze ciąg szybciej zbieżny niż iteracja (3). Okazuje się, że tak nie jest. Przy założeniu, że funkcje fi są klasy O1, oraz przy znajomości kresów dla modułów pochodnych cząstkowych d f i j d prelegent podaje dla n — 2 wynik pochodzący z porównania obu metod co do szybkości zbieżności.

Próba poprawienia wyniku (na podstawie subtelniejszego szacowania) doprowadziła

prelegenta do dyskusji transformacyj afinicznych pod względem zbieżności lub mono-

2 1 8 O d d z i a ł L u b e l s k i

tonicznej zbieżności. Kryteria (znalezione przez Z. Krystka) są inne dla transfor- macyj afinicznych typu eliptycznego czy parabolicznego, a inne dla typu hiperbo- licznego. Wyniki przedstawione przez referenta są wynikami osiągniętymi wspólnie z J. Burzyńskim.

15. II. 1957. A. B ie le c k i, 0 równaniu różniczkowym x"(t)-\- + A (t)x(t) = 0.

22. II. 1957. Z. C h a rzy ń sk i (Łódź), O pewnych własnościach wie­

lomianów.

8. III. 1957. M. B ie rn a ck i, Wielomiany o miejscach zerowych rze­

czywistych.

Praca ukazała się w Ann. UMCS (A) 10 (1956), str. 61-76.

15. III. 1957. K. B a d z is z e w s k i, O pewnej nierówności dla owali.

Praca ukazała się w Ann. UMCS (A) 10 (1956), str. 57-60.

]5. III. 1957. J. K rz y ż , K. B a d z isz e w s k i, Defekt izoperymetryczny i odwzorowanie konforemne.

Praca ukazała się w Ann. UMCS (A) 10 (1956), str. 49-56.

22. III. 1957. M. B ie r n a ck i, O pochodnej f"{z) funkcji analitycznej.

Praca ukazała się w Ann. UMCS (A) 10 (1956), str. 127-136.

22. III. 1957. J. K isy ń sk i, O zadaniu Goursata dla równań hiper- bolicznych.

Praca ukazała się w Ann. UMCS (A) ¹¹ (1957), str. 73-110.

29. III. 1957. Z. L e w a n d o w sk i, O pewnej hipotezie Schilda.

Praca ukazała się w Ann. UMCS (A) ^{1 0} (1956), str. 81-94.

29. III. 1957. J. K isy ń sk i, Twierdzenia egzystencjalne dla równań typu hiperbolicznego.

Praca ukaże się w Ann. UMCS (A) 12 (1958).

5. IV. 1957. S. Z ą b e k , O periodyczności m odw ciągów

Praca ukazała się w Ann. UMCS (A) 1 0 (1956), str. 37-48.

12. IV. 1957. Z. L e w a n d o w sk i, O pewnych klasach funkcji jedno- listnych.

Niech SQ oznacza klasę funkcji jednolistnych i holomorficznych w kole \z\ < 1 z unormowaniem f ( 0 ) — 0 , f(z0) = 2 0, gdzie |г0| < 1 , a 8 q niech oznacza analogiczną klasę z unormowaniem /(0 ) = 0, \f (z0)\ = 1. Niech wreszcie Df oznacza obraz koła

\z\ < ¹ poprzez funkcję /.

Uogólniając wyniki M. Biernackiego i W . Kogosińskiego prelegent udowodnił następujące twierdzenia.

T

I. Dla każdej funkcji / klasy 8 0 koło \z\ < i ( l — |г0|)2 zawiera się w D f.

T

II. Dla każdej funkcji f klasy S'0 koło \z\ < H ( 1 — \zo\)3/ A + l^oDi

zawiera się w D f.

Uzyskane wyniki są ostre — podano funkcje spełniające warunki ekstremalne.

Można też udowodnić analogony powyższych twierdzeń dla podklas wy­

pukłych klas S0 i Sg.

Praca ukaże się w Biul. P A N .

3. У. 1957. S. G ołą b (Kraków), Klasyczna geometria różniczkowa przy słabych założeniach regularności.

Praca ukazała się Rev. Math. Pures et Appl. 1 (1956), str. 103-116.

7. У. 1957. S. M a n d e lb r o jt (Paryż), O regularyzacji ciągów.

10. У. 1957. A. S ch in z e l (Warszawa), O funkcjach liczbowych cp, o i 0.

(Wyniki referowane ukazały się w Biul. P A N (III), 3 (1955), str. 4 1 5 -4 1 9 ; Biul. P A N (III), 4 (1956), str. 217-21 9 (wspólnie z Y . Wangiem) oraz w Elemen- te der Mathematik 11 (1956), str. 74-77.

20. V. 1957. Jerzy G ó rsk i (Kraków), O nieswobodnych rozkładach punktów ekstremalnych.

Oddział Łódzki

26. X. 1956. W. K r y s ic k i, Rozwój statystyki w ZSRR.

2. X I. 1956. J. M ik u siń sk i (Warszawa), O dystrybucjach.

Praca ukaże się w Studia Math.

7. X I. 1956. D. S ad ow sk a, O pewnym równaniu całkowo-różniczko- wym teorii przewodnictwa.

Praca ukaże się w Ann. Pol. Math.

7. X I. 1956. D. S a d ow sk a , Równanie całkowo-różniczkowe Abela.

Praca ukaże się w Zeszytach Naukowych Politechniki Łódzkiej.

23. X I. 1956. S. K o le w ic z (Warszawa), O własnościach normy w F-przestrzeniach.

Praca ukaże się w Studia Math.

7. X II. 1956. M. B o d g a n o w ic z , O pewnym uogólnieniu granicy funkcji.

Praca ukazała się w Biul. P A N 5 (1957), str. 247-24 9.

1. III. 1957. J. J a ro ń , O przedłużaniu homotopii.

15. III. 1957. J. L ip iń s k i, O zbiorach [f' {X) >a\.

Odczyt zawierał pewne uogólnienie wyniku zawartego w pracy prelegenta Une propriete des ensembles { f [X) > aj, Fund. Math. 42 (1955), str. 339-342.

29. III. 1957. J. J a ro ń , O pewnym uogółnieniu rozmaitości Cantora.

29. III. 1957. Z. Z a h o rs k i, O oszacowaniu pewnej formy kwadratowej.

2 t x

Dowód, że forma kwadratowa zmiennych xjc 1), / | %Xk<Pk (t)elM\2dt,

o

gdzie <pk(t) są funkcjami niemalejącymi oraz <pfc( 0 ) = 0 , (pk(2iz) = 1 , osiąga maksi-

2 2 0 O d d z i a ł Ł ó d z k i

mum (jako funkcja xjc i funkcyj щ ), gdy funkcje щ przybierają tylko dwie wartości 0 i 1 .

12. IV. 1957. A. B ie le c k i (Lublin), 0 zadaniu Goursata dla równań typu hiperbolicznego.

W yniki ukazały się w Ann. UMCS (A) ^{1 0} (1956), str. 99-126, w pracy J. Ki- syńskiego i prelegenta.

26. IV. 1957. A. Z y g m u n d (Chicago), Pewne problemy związane z twierdzeniem Patou dla funkcji wielu zmiennych.

10. V. 1957. J. L ip iń s k i, 0 funkcjach aproksymatywnie ciągłych.

10. V. 1957. J. L ip iń s k i, O pewnym problemie Choqueta.

31. V. 1957. M. A ltm a n (Warszawa), Pewne twierdzenie o stałym punkcie.

Praca ukazała się w Biul. P A N (III), 5 (1957), str. 89-92.

Oddział Poznański

11. X . 1956. W. O rlicz , Zagajenie z okazji 100-go zebrania nauko­

wego Oddziału.

11; X . 1956. U. T a b e rsk i, Osiągnięcia matematyków radzieckich w kon­

struktywnej teorii funkcji.

11. X . 1956. W. O rlicz, Pewne osiągnięcia matematyków radzieckich na tle I I I Zjazdu Matematyków w Moskwie.

16. X I. 1956. 8. Ł o ja s ie w ic z (Kraków), O wartości dystrybucji w punkcie.

Praca ukazała się w Studia Math. 16 (1957), str. 1-36.

13. X II. 1956. M. A ltm a n (Warszawa), Metody przybliżone roz­

wiązywania równań liniowych w przestrzeniach Hilberta.

Praca ukaże się w Biul. P A N .

17. X II. 1956. M. S v e c (Bratysława), O pewnych własnościach rów­

nań różniczkowych — Q(x, A).

17. X II. 1956. S. B o le w ic z , Równoważność I klasy Baire'a i Borela.

Praca ukaże się w Biul. P A N .

14. II. 1957. 8. K n a p o w s k i, Liczby pierwsze w postępie arytme­

tycznym.

Praca oddana do druku w Acta Arithmetica.

14. II. 1957. Z. S em a d en i, O słabej topologii w przestrzeniach ope­

racji liniowych.

Niech X , Y będą przestrzeniami Banacha, T przestrzenią operacji liniowych z X do Y . W T wprowadzamy słabą topologię, przyjmując za bazę otoczeń zera wszy­

stkie zbiory postaci

{ T e T :

t

i

Txj

< e

i = 1 , . . . , m

j = 1 , . . . , n ^{} ,}

gdzie x x, . . . , xn e X , y x, . . . , y me Y , s > 0. Referent dowodzi, że jeżeli przestrzeń jest refleksywna, to kula

jest zwarta w tej topologii i wnosi stąd o istnieniu punktów ekstremalnych.

21. II. 1957. J. M y c ie ls k i (Wrocław), O grach pozycyjnych.

Wyniki podane w komunikacie zawarte są w pracy J. Mycielski, S. Świercz- kowski, A . Zięba, On infinite positional games, Biul. P A N (III), 4 (1956), str. 485 -4 8 8 .

14. III. 1957. W. B o g d a n o w ic z (Warszawa), O przestrzeniach Bana­

cha z pewnymi całkami osobliwymi.

14. III. 1957. Z. S em aden i, Kilka uwag o grupach metrycznych zupełnych.

Prelegent wyprowadza cały szereg wniosków z twierdzenia Mazura i Sternbacha o domkniętości podgrup Gd, między innymi następujące uogólnienie twierdzenia udo­

wodnionego poprzednio na innej drodze przez S. Hartmana:

Jeżeli grupa metryczna zupełna nie jest lokalnie zwarta, to nie da się zanurzyć addytywno-homeomorficznie w grupie topologicznej lokalnie zwartej.

Całość pracy ukaże się w Coll. Math.

21. III. 1957. A. P e łc z y ń s k i (Warszawa), O przestrzeniach Montela liniowo metrycznych.

Wyniki podane w komunikacie zawarte będą w pracy C. Bessagi, A . Pełczyń­

skiego, S. Rolewicza, On linear metric Montel spaces, która ukaże się w Stud. Math.

30. IV. 1957. S. R o le w ic z (Warszawa), O przestrzeniach lN i LN.

Niech N będzie dowolną funkcją rzeczywistą określoną na prostej. Przez OO

lN oznaczymy zbiór tych ciągów [xn\, dla których JT N (xn) < + oo. Gdy N jest

71

=

funkcją Baire’a, to analogicznie określamy L N jako zbiór tych funkcji, dla których

i

f N( x{ t ) ) dt < + oo ( ⁹ .

o

Prelegent podał warunki konieczne i dostateczne na istnienie otoczeń ograni­

czonych w i L N oraz warunek konieczny i dostateczny na istnienie funkcjonałów liniowych w L N, a także przykład przestrzeni LN, w której istnieją funkcjonały liniowe, a która nie jest В przestrzenią.

30. IV. 1957. S. R o le w ic z (Warszawa), Uwagi o przestrzeniach L.

30. IV. 1957. A. A le x ie w ic z , Z. S em aden i, O zbieżności dwunor- mowej.

Praca ukazała się w Studia Math. 17 (1958), str. 121-140.

30. IV. 1957. Z. S em ad en i, Pewne uwagi o zbieżności dwunormowej.

2. V. 1957. A. Z y g m u n d (Chicago), O szeregach lakunarnych.

(9 Patrz S. M a z u r , W . O r lic z , On some classes of linear spaces, Stud. Math.

17 (1958), str. 97-119.

2 2 2 O d d z i a ł P o z n a ń s k i

2. У. 1957. J. M u siela k,

teorii szeregów Fouriera funkcji prawie okresowych.

Praca ukaże się w Ann. Pol. Math.

2. У. 1957. kS. K n a p o w s k i, O funkcji Móbiusa.

Praca ukaże się w Acta Arithmetica.

13. У. 1957. W. S ie r p iń sk i (Warszawa), O pewnych nierozstrzyg­

niętych zagadnieniach z teorii liczb pierwszych.

30. У. 1957. M. S ov a (Praga), Pólgrupy operatorów w liniowych zbiorach topologicznych.

21. У1. 1957. A. P e łc z y ń s k i (Warszawa), O podprzestrzeniach i nad­

przestrzeniach przestrzeni c0.

Praca ukazała się w Bull. P A N (111), 5 (1957), str. 797-798.

21. У1. 1957. F. B a ra ń sk i (Kraków), Uogólnienie oscylacyjnego twierdzenia Sturma na przypadek wielowymiarowy.

Oddział Szczeciński

8. X . 1956. A. A le x ie w ic z (Poznań), Najważniejsze osiągnięcia mate­

matyki radzieckiej w dziedzinie analizy funkcjonalnej.

22. X . 1956. M. K r z y ż a ń s k i (Kraków), O zastosowaniu równań różniczkowych w rachunku prawdopodobieństwa.

22. X . 1956. W. O rliez (Poznań), Przestrzenie Saksa.

22. X . 1956. W. O rliez (Poznań), O pewnej problematyce analizy funkcjonalnej w świetle ostatnich kongresów w Moskwie i w Wiedniu.

16. X I. 1956. J. M eder, O ciągach limitowalnych metodą Eulera i Knoppa.

OO

Niech będzie dany ciąg {cw}. Na to, aby szereg £ cnun dla każdego ciągu [un]

71 = 0

limitowalnego metodą ( e , q ) , q > ⁰ był zbieżny, potrzeba, aby

lim ]/|cn| < l / ( 2 g + 1 ),

71—» OO

i wystarczy, by

—

---

lim y\on\ < 1 / ( 2 q + 1 ).

П-+ O O

14. X II. 1956. E. K a r a ś k ie w ic z (Poznań), Drgania struny sztywnej.

Autor rozpatruje ruch struny rzeczywistej, która nie jest ani idealnie wiotka, ani idealnie sztywna jak pręt. Na podstawie zasady Hamiltona otrzymuje on rów­

nanie ruchu tej struny

d'2y d4y

— У - EHk2 —4

dx2 dx4 QH (ńy_

dt2

oraz zespoły możliwych niesprzecznych i zwykłych warunków brzegowych. Autor rozpatruje tylko ruch struny sztywno zamocowanej i zapowiada dalszy ciąg pracy o ruchu struny sztywnej zamocowanej elastycznie.

Dla ESk2 <Ę T otrzymujemy równanie ruchu struny idealnie giętkiej. Dla T -> 0 otrzymujemy równanie ruchu pręta.

Gdy ani napięcie, ani sprężystość struny nie przeważają w sposób zdecydo­

wany, częstości zachodzące są określone przez wzór

16. II. 1957. J. Me der, 0 szacowaniu średnich Cesaro szeregów orto- normalnych.

Praca ukazała się w Ann. Pol. Math. 4 (1957), str. 183-200.

23.11.1957. W. J a n k o w sk i (Poznań), O modułach zer pewnego wielomianu.

Praca ukazała się w Ann. Pol. Math. 3 (1957), str. 304-311.

6. IV. 1957. P. Z b ije w s k i (Poznań), Przestrzenie typu L.

13. IV. 1957. L. J e ś m a n o w icz (Toruń), Szeregi lakunarne.

13. IV. 1957. L. J e ś m a n o w icz (Toruń), Historia pewnych krzywych.

25. V. 1957. J. Me der, Sumowalnośó szeregów ortonormalnych metodą Eulera i Knoppa.

Praca ukaże się w Ann. Pol. Math. 5 (1958).

29. IV. 1957. A. A le x ie w ic z (Poznań), O zbieżności szeregów o wy­

razach monotonicznych dążących do zera.

Praca ukazała się w Stud. Math. 16 (1956), str. 8 0-85.

29. VI. 1957. Z. S em a d en i (Poznań), O zbieżności szeregów w prze­

strzeniach funkcyjnych.

Głównym wynikiem prelegenta jest następujące

T

. W strukturze Banacha szereg o wyrazach nieujemnych słabo zbieżny jest mocno bezwarunkowo zbieżny.

19. X . 1956. T. L e ż a ń sk i (Warszawa), Metoda przybliżana rozkładu spektralnego.

10. X II. 1956. J. J a w o r o w s k i (Warszawa), O topologicznym odpo­

wiedniku pola wektorowego. •

4. IV. 1957. J. Łoś, Dalsze wyniki dotyczące homomorfizmów sumy zupełnej grup abelowych.

T

. Jeśli Ot są podgrupami grupy addytywnej B p ułamków Ijm, gdzie mianownik m jest względnie pierwszy z każdą liczbą pierwszą p należącą do zbioru nieskończonego P , to każdy homomorfizm sumy zupełnej £ * G t w grupę B p , znikający na sumie dyskretnej A znika tożsamościowo.

dla n2 <

Oddział Toruński

2 2 4 O d d z i a ł T o r u ń s k i

4. IY. 1957. E. S ąsiad a, Konstrukcja grupy abelowej nierozkladal- nej mocy 2C.

Do druku w Biul. P A N .

15. IY. 1957. J. W. A d d is o n (Harvard), Problemy nierozstrzygalne, dotyczące półgrup z prawem skreśleń.

4. Y. 1957. A. Z y g m u n d (Chicago), O pewnej klasie funkcji zmien­

nej rzeczywistej.

20. V. 1957. A. G ranas, Pewne twierdzenia o prześcieradle.

Prelegent podał pewne zastosowanie uogólnionego twierdzenia Schaudera.

20. Y. 1957. L. J e ś m a n o w icz , O równaniu 31ж + 32y = 33s.

Prelegent udowodnił, że powyższe równanie nie posiada rozwiązań w liczbach naturalnych.

24. Y. 1957. S. H a rtm a n (Wrocław), O transformacji szeregów Fou­

riera i Stieltjesa.

Autor podaje pewne warunki na transformacje szeregów Fouriera i Stieltjesa,

♦ które prowadzą znów do szeregów Fouriera i Stieltjesa funkcji o wahaniu skończo­

nym z nieciągłościami w zadanej grupie.

27. Y. 1957. A. W. M o sto w sk i (Warszawa), O elektronowych maszy­

nach do liczenia.

27. Y. 1957. L. D n b ik a jtis , Uogólnienie pojęcia porządku.

Autor modyfikuje definicję uporządkowania w płaszczyźnie rzutowej tak, iż ta definicja przenosi się na przestrzenie rzutowe o dowolnej ilości wymiarów.

27. Y. 1957. J. M y c ie ls k i (Wrocław), Charakteryzacja klas aryt­

metycznych.

Do druku w Biul. P A N .

28. Y. 1957. A. H u la n ic k i (Wrocław), O mocy grup lokalnie zwartych.

Praca ukaże się w Biul. P A N .

28. Y. 1957. A. E h re n fe u c h t (Warszawa), O teoriach pseudokate- gorycznych w mocy.

28. Y. 1957. J. Łoś, O macierzach adekwatnych w rachunku zdań.

Do druku w Studia Logica.

11. YI. 1957. Z. P o ln ia k o w s k i (Poznań), Transformacje Hausdorffa a równania różnicowe i różniczkowe.

Praca ukazała się w Ann. Pol. Math. 5 (1958), str. 1-24.

Oddział Warszawski

28. IX . 1956. P. E r d ó s (Birmingham), O pewnych zagadnieniach kombinatorycznej teorii mnogości.

1. X . 1956. P. E rd o s (Birmingham), O pewnych zagadnieniach teorii

liczb pierwszych.

4. X . 1956. M. К at et o

(Praga), O pewnych zagadnieniach teorii wymiaru.

5. X . 1956. M. K a t ó t o v (Praga), O przestrzeniach bliskości.

12. X . 1956. J. M ik u siń sk i, O operacji różniczkowania.

12. X . 1956. S. S tra sz ę w icz , O pewnym zagadnieniu N. Erdósa.

24. X . 1956. S n -C h e n g -Chang, Struktury algebraiczne oraz nie­

zmienniki homotopii.

26. X . 1956. П. B a si owa, Wrażenia z podróży na Wągry.

26. X . 1956. W. S ło w ik o w sk i, O przestrzeniach lokalnie wypukłych.

9. X I. 1956. K. B orsu k , Wrażenia z podróży do Bułgarii.

9. X I. 1956. C. B essaga, O uniwersalnych bryłach wypukłych.

16. X I. 1956. A. M o sto w sk i, Uwagi o tzw. paradoksie Skolema.

23. X I. 1956. S. M rów ka, Przestrzenie prawie metryczne.

7. X II. 1956. A. P e łc z y ń s k i, O szybkości wzrostu funkcji całkowitych.

7. X II. 1956. A. B ia ły n ic k i, W. Ż e la z k o , O funkcjonałach addy- tywnych multiplikatywnych.

14. X II. 1956. K. Z a ra n k ie w ie z , Zasadnicze problemy astronautyki i perspektywy jej osiągnięć.

4. I. 1957. S. B o le w icz, O ciągłości operacji odwrotnej w zależności od parametru.

4. I. 1957. W. Ż e la z k o , O dzielnikach zera pierścienia grupowego.

1. III. 1957. K. B o ch e n e k , O strukturze pól elektromagnetycznych typu ТЕМ.

1. III. 1957. W. S ło w ik o w sk i, O przestrzeniach sprzężonych do przestrzeni B 0.

15. III. 1957. J. W. A d d is o n (Chicago), Logiczna i topologiczna klasyfikacja zbiorów.

22. III. 1957. S. M rów ka, O przestrzeniach jednostajnych.

5. IY. 1957. K. M aurin, Niektóre z najważniejszych osiągnięć nauko­

wych J. v. Neumanna.

12. IY. 1957. A. Z y g m u n d (Chicago), O funkcjach gładkich.

12. IY. 1957. W. S a d ow sk i, O teorii gier J. v. Neumanna i jej zastosowaniach w statystyce oraz ekonomii.

26. IY. 1957. S. M azur, O przestrzeni szeregów potęgowych lakunar- nych.

3. V. 1957. A. B ie le c k i (Lublin), O badaniu własności asymptotycz­

nych całek równań paratygnensowych.

10. Y. 1957. S. M a n d e lb r o it (Paryż), Regularyzacja ciągów.

17. Y. 1957. S. M a n d e lb r o it (Paryż), O ąuasianalityczności funkcji nieciągłych.

17. Y. 1957. K. C h a n d ra se k h a ra n (Bombaj), Organizacja matema­

tyki w Indiach.

Roczniki PTM - Prace Matematyczne III

2 2 6 O d d z i a ł W a r s z a w s k i

24. У. 1957. W. S ło w ik o w sk i, O metodzie Schwartza rozszerzeń operacji.

31. V. 1957. B. Salem (Paryż), O zbiorach jednoznaczności.

31. У. 1957. O. H a n n er (Sztokholm), Przecięcia przesunięć ciał wypukłych.

10. У 1 .1957. G. S a n son e (Florencja), O nieliniowym równaniu orbit cząstek w synchrotronie.

14. У1. 1957. C. B y ll-X a r d z e w s k i (Lublin), O uogólnionej zasa­

dzie indukcji.

W yniki zostaną opublikowane w pracy A. Grzegorczyka, A . Mostowskiego i referenta w Jour, of Symb. Logic.

14. У1. 1957. A. P e łc z y ń s k i, O przestrzeniach typu B 0, zawierają­

cych podprzestrzenie izomorficzne z przestrzeniami sx, c0, l.

W yniki opublikowane będą w pracy Cz. Bessagi i referenta w Biul. P A N .

21. WL 1957. A. W. M o sto w sk i, O grupach nilpotentnych wolnych zredukowanych.

Oddział Wrocławski

27. IX . 1956. P. E r d o s (Birmingham), O zastosowaniach teorii pra­

wdopodobieństwa w teorii liczb.

27. IX . 1956. P. E r d ó s (Birmingham), O ciągach lakunarnych.

Praca ukazała się w Coll. Math. 5 (1957), str. 6-7.

2. X . 1956. E. M a rcze w sk i, Wrażenia z I V Austriackiego K on­

gresu Matematyków w Wiedniu.

5. X . 1956. K. U rb a n ik , Wrażenia z I I I Wszechzwiązkowego Zjazdu Matematyków w Moskwie.

9. X . 1956. M. K a t e t o v (Praga), O przestrzeniach bliskości.

9. X . 1956. S. G ła d y sz, Zbieżność słaba i mocna w pewnych prze­

strzeniach.

12. X . 1956. S. G ła d y sz, O uogólnieniu indywidualnego twierdzenia ergodycznego.

12. X . 1956. H. S tein h a u s, O pokrywaniu sfery stycznymi.

Znane twierdzenie Brouwera o niezaczesalności sfery można uogólnić na przy­

padek, gdy w każdym punkcie należy umieścić n stycznych (n — skończone i stałe).

Można jednak umieścić w każdym punkcie sfery jedną lub dwie styczne tak, żeby otrzymać zamknięty zbiór stycznych.

12. X . 1956. H. S tein h a u s, O minimalizacji oczekiwanej straty z powodu fałszywych wyroków w sprawach o dochodzenie ojcostwa.

Praca ukaże się w Pracach Wrocł. Tow. Nauk., ser. A.

19. X . 1956. S. H a r t m a n n , Herman Weyl.

19. X . 1956. W. Ś le b o d z iń s k i, 0 pracach H. Weyla z teorii względno­

ści.

19. X. 1956. A. K r z y w ic k i, 0 pracach H. Weyla z zagadnień spekt­

ralnych w równaniach różniczkowych.

26. X. 1956. K. U rb a n ik , Uwagi o calce Bossa.

Praca ukazała się w Coll. Math. 5 (1956), str. 95-102.

26. X. 1956. K. U rb a n ik , O granicach prawdopodobieństw w proce­

sach Markowa z przeliczalną ilością stanów.

9. XI. 1956. 8. T ry b u ła , O estymacji minimaksymalnej.

Praca ukaże się w Coll. Math.

16. X I. 1956. A. G oetz, Uwagi o mierze i wymiarze Hausdorffa w grupach Liego.

Praca ukazała się w Coll. Math. 5 (1956), str. 55-65.

16. X I. 1956. S. H a rtm a n i A. H u la n ick i, O podgrupach serwant- nych i pojęciu dualnym.

Praca ukazała się w Fund. Math. 45 (1957), str. 71-77.

23. X I. 1956. F. F a b ia n (Praga), Pewne uwagi o rozkładach granicz­

nych.

23. X I. 1956. K. U rb a n ik , Twierdzenia graniczne dla estymatorów bayesowskich.

27. X I. 1956. M. F ie d le r (Praga), Z geometrii sympleksów.

30. X I. 1956. J. Ł u k a s z e w icz , W. S a d ow sk i (Warszawa), O porów­

nywaniu populacji z populacją kontrolną.

Praca ukaże się w Zast. Mat.

7. X II. 1956. C. R y ll-X a r d z e w s k i (Lublin), O jednoznaczności śladu operatorów liniowych w przestrzeni Banacha.

7. X II. 1956. A. H u la n ic k i, Algebraiczna struktura grup abelowych zwartych.

Praca ukazała się w Biul. P A N (III), 4 (1956), str. 405-406.

11. X II. 1956. H. S tein h a u s, O podziale brył przestrzennych na części.

Praca ukazała się w Biul. P A N (III), 4 (1956), str. 801-803.

11. X II. 1956. H. F a st, Krzywa płaska gwiaździsta względem danego punktu O, której cięciwy przechodzące przez O są jej średnicami — jest kołem.

Powyższy tytuł jest zarazem sformułowaniem pozytywnej odpowiedzi danej przez referenta na jedno z pytań postawionych przez H. Steinhausa. Niezmiernie łatwy dowód daje się przeprowadzić przy użyciu pojęcia pochodnej. Samo pyta­

nie można również łatwo sprowadzić do znanego wyniku dla krzywych o stałej sze­

rokości.

14. X II. 1956. M. S v e c (Bratysława), O pewnych zagadnieniach z teo­

rii równań różniczkowych zwyczajnych.

2 2 8 O d d z i a ł W r o c ł a w s k i

14. X II. 1956. F. S z c z o tk a , Zagadnienie o eliminacjach.

Jaka jest minimalna liczba ważeń, wystarczająca do wyznaczenia m najcięż­

szych spośród n ciężarków o różnych masach?

18. X II. 1956. E. G lib o w s k i, J. S łu p e ck i, 0 geometrii sześcianów.

Praca ukazała się w Zeszytach Naukowych W SP w Opolu 1 (1956), str. 3 8 -4 7 .

4. I. 1957. J. M y cie ls k i, S. Ś w ie rcz k o w s k i, O uogólnionych grach Banacha i Mazura.

Wyniki ukazały się w Biul. PAN (III), 4 (1956), str. 485-488, w pracy A . Zię­

by i prelegentów.

11. I. 1957. II. S tein h a u s, S. Z u b r z y c k i, 0 porównywaniu dwu procesów produkcyjnych i zasadzie dualizmu.

Wyniki ukazały się w Coll. Math. 5 (1957), str. 103-115.

11. I. 1957. J. P erk a l, O pewnym zadaniu z programowania liniowego.

Praca ukaże się w Biul. P A N .

18. I. 1957. J. B e ic h b a c h , Charakteryzacje tez węższego rachunku funkcyjnego.

25. I. 1957. J. M y cie ls k i, O podgrupach wolnych grup topologicznych.

Wyniki ukazały się w Biul. P A N (III), 4 (1956), str. 415 w pracy S. Balce- rzyka i prelegenta. Cała praca ukaże się w Fund. Math.

15. II. 1957. A. G oetz, Metryki niezmiennicze w przestrzeniach jedno­

rodnych.

Praca ukazała się w Biul. PAN (III), 5 (1957), str. 139-140.

15. II. 1957. H. S tein h a u s, Zagadnienie.

Czy dla każdej bryły wypukłej zachodzą nierówności Збтг < N 3 / P 2 < (4тг/9) sup (L 2[P )2,

przy czym S jest powierzchnią bryły, V jej objętością, L obwodem przekroju pła­

skiego, a P jego polem; operacja sup odnosi się do zbioru wszystkich przekrojów.

Pierwsza nierówność jest klasyczna (tw. izoperymetryczne), udowodnił ją Tonelli;

natomiast druga jest zagadnieniem.

22. II. 1957. B. S ik o rs k i (Warszawa), O wielomianach topologicz­

nych.

Praca ukazała się w Biul. P A N (I I I ), 4 (1956), str. 649-650.

1. III. 1957. L. S z a m k o ło w ic z , O pewnych zbiorach punktów na krzywej.

Do druku w Prac. Mat.

8. III. 1957. J. M y cie ls k i, O pewnych zbiorach na płaszczyźnie.

Praca ukazała się w Biul. PAN (III), 4 (1956), str. 417-418.

8. III. 1957. S. H a rtm a n , Uwagi o splocie.

1. Jeśli funkcja zespolona / o okresie 1 ma walianie skończone, a funkcja g, o takim samym okresie, jest całkowalna z p -tą potęgą (p > ¹ ), to

i

F (x) = f f ( x — t)g (t)dt eLip

5

p

1 V Dowód opiera się na nierówności

/ o

i na nierówności Holder a.

f ( x + h ) - f ( x )

h ^{d x ^ C Var /} _[OJ]

Jeśli funkcja g jest ograniczona, to .FeLip 1 .

2. Funkcję f(t) określoną na prostej można nazwać funkcją o wahaniu jedno­

stajnie ograniczonym, jeśli Yar / < СT dla dowolnego x i T > T0 . [x ,x + T ]

Jeśli f jest funkcją prawie okresową Bezikowicza o wahaniu jednostajnie ogra­

niczonym, a g funkcją prawie okresową Bohra, to T

F (x) — lim (l/2 T ) f f ( x — t)g(t)dt T -+ oo - T

jest funkcją prawie okresową Bohra spełniającą warunek Lip 1.

u;

D o w ó d . Przyjmując G(x) = J g(t)dt i zakładając, że średnia funkcji g jest

o

zerem (co nie ogranicza ogólności), łatwo sprawdzić, że

Stąd

T T

F( x) = lim ( ¹ / ² T) f f ( x - t ) d G ( t ) = Urn (1 /2Г ) f G ( x - t ) d f ( t ) .

T _ y T —T

|F(» ² ) - F ( « ⁱ )| < lim ( l / ² T)| J \G (x2- t ) - G (x1~ t)\-\df (t)\.

T —T

Ponieważ D e L ip l (gdyż funkcja g jest ograniczona), więc otrzymujemy warunek F e L i p l na tej podstawie, że

T

l i m ( l / ² T) Г \df(t)\ < oo.

T

Nie trudno o przykład funkcji prawie okresowej Bohra, która ma wahanie skończone w każdym przedziale skończonym, ale nie jest funkcją o wahaniu jedno­

stajnie ograniczonym.

15. III. 1957. J. M y c ie ls k i, A. Z ię b a , O pościgu.

Wyniki ukazały się w Biul. P A N (III), 4 (1956), str. 485-48 8, w pracy S. Świerczkowskiego i prelegentów.

15. III. 1957. Ы. S tein h a u s, Zagadnienie o klasyfikacji graczy.

Prelegent zwraca uwagę na fakt, że — jak pierwszy spostrzegł S. Trybuła —

otwarte jest wciąż zagadnienie klasyfikacji n graczy na podstawie rozgrywek. Gdy

mamy już ustawionych n graczy, to znana jest metoda klasyfikująca (n-f I) —go

gracza, spełniająca warunek minimaksowy, ale próba wyprowadzenia z niej na dro­