Pewne własności potencjału uogólnionego i funkcji Greena względem równania eliptycznego oraz ich zastosowanie

J. Butkiewicz (Warszawa)

Pewne własności potencjału uogólnionego i funkcji Greena względem równania eliptycznego oraz ich zastosowanie

1. Wstęp. Dane jest liniowe równanie różniczkowe o pochodnych cząstkowych typu eliptycznego

(1) d2u

П и ) Ш Ę a ^ ( A )

n

+ У k u )

a—l

— + o{A)u = 0, oxa

gdzie współczynniki aaP(A), ba(A), c(A) są funkcjami określonymi w ob­

szarze domkniętym

(2) A(a>lt x t i . . . , xn) e Q + S ,

przy czym Q jest obszarem skończonym w euklidesowej ^--wymiarowej przestrzeni, ograniczonym powierzchnią zamkniętą ⁸ .

Przyjmujemy następujące założenia:

П

1. Forma kwadratowa £ aaP{ A ) X nX p jest określona dodatnio w ob­

szarze (2). a,/?=1

2. Współczynniki a aP( A ) , b a ( A ), ^{gĄ A )} spełniają w obszarze (2) wa­

runki Hóldera

< Ц А А 1\Л, |M ^ ) - M A ) I < Ц А А ^ ,

w) ,

\g{ A ) — ^{g{ A 1)\} < J e \ A A x \ ; 0 < ^h < 1, ^к — stała dodatnia.

3. Powierzchnia ⁸ spełnia warunki Lapunowa:

a) ma płaszczyznę styczną w każdym punkcie,

b) k ąt A(P, Q), zawarty między płaszczyznami w punktach P , Q, spełnia nierówność:

(4) A( P, Q) < C\PQ\hl, gdzie 0 < hx < 1, O—pewna stała dodatnia, c) istnieje dostatecznie mała liczba ó > 0 taka, że kula К o dowol­

nym środku P e S i o promieniu ó wycina z powierzchni ⁸ płat ⁸ K, którego punkty odpowiadają wzajemnie jednoznacznie swym rzutom na płasz­

czyźnie stycznej w punkcie P do powierzchni ⁸ .

Roczniki PTM - Praco Matematyczne VI •ł

5 0 .1. B u t k i e w i c z

Własności potencjałów powierzchniowych, stanowiące treść twier­

dzeń 1 i 2 zostały podane przez W. Pogorzelskiego w pracy [1], str. 271, bez dowodu. W. Pogorzelski zaproponował również przeprowadzenie dowodu twierdzenia 3. Paragraf 3, poświęcony własnościom funkcji Greena względem równania eliptycznego, stanowi uogólnienie wyników W. Pogorzelskiego [3], § 3, dotyczących równania Laplace’a. Podobnie zagadnienie brzegowe liniowe względem równania ehptycznego, rozwa­

żane w § 4, jest uogólnieniem zagadnienia rozwiązanego w pracy [3],

§ 4. Wobec zastosowania metody kolejnych przybUżeń, założenie doty­

czące prawej strony równania eliptycznego (patrz wzór (63b), str. 17) jest mocniejsze niż w badaniach zagadnienia nieliniowego, opartych na metodzie Schaudera, w pracy [1], § 9 (patrz wzór (131)).

Powyższe założenia umożliwiają wyznaczenie podstawowego roz­

wiązania równania (1) w postaci

Г ( A , B) = wB{ A , B) + f f f wM {A , М)Ф(М, В) <IM, А Ф B, S + Q Q Q ' (patrz [1], § 4), gdzie tzw. cpiasi-rozwiązanie wM(A, B) określone jest wzorem

П —П^{+ 2} * -

(4a) wM(A , B) — | ] ; « ■ ' ( * ) ( . - { .) ( * ,- ff) |” = B )]-*+!,

1 “,/3=1

A , B, M e Q + ⁸ ) A = A(oe,,%2, ...,a?n); В = B ( ^ , f 2, . . . , £»).

/ założenia 1 wynika istnienie takich stałych dodatnich g i G, iż g\AB\ < &M( A , B) ^ G \ A B \ .

Funkcja Ф jest rozwiązaniem pewnego całkowego równania Fred- holma (patrz [1], wzór (58), str. 260). Powyższe funkcje spełniają nie­

równości ([1], wzór (71), i str. 264, wiersz 10,11):

(5) \ Ф(М, B)\ < const

M B\n^ ’ \wM(A, M) | < const

\AM\n~*' 2. W łasności potencjałów pow ierzchniow ych. Udowodnimy Twierdzenie 1. Jeżeli funkcja y>{Q) jest ograniczona i całkowalna na powierzchni S, spełniającej warunki Lapunowa, to całka

(6) 1(A) = J f r ( A , Q)y>(Q)dQ, gdzie s

spełnia nierówność Hóldera

(7) \ I ( A ) - I ( A 1)| < const, M yi\A A¹ A

i°I ?

e Q^{- \ - 8},

gdzie ⁰ jest dowolną stałą dodatnią, mniejszą od 1, a \y>(Q)\ <

Dowód. Mech 1(A) — I¹(A )-\-I²(A), gdzie

Г AA) = f f w Q(A,Q)y,(Q)dQ, I , ( A) = '((«,* ( A , Q)y(Q)dQ,

S S

przy czym

(8a) w * ( A , Q ) = J f f wM(A, М) Ф( М, Q)dM.

Q'

Z uwagi na nierówność (5) i twierdzenie ze str. 70 monografii [2], t. I, wzór (8), funkcja w* ma ocenę

(8b) \w*(A,Q)\ < const

\AQ\n~2—h *

Zatem, wobec nierówności (5), (8) i |y(Q)j < M v, funkcja I Z(A) spełnia warunek Lipschitza względem punktu AeQ -\-S, a więc tym bardziej i nierówność (7).

Dowód, że funkcja I X(A) spełnia warunek (7), opiera się na nierów­

ności

+ 7 f “Sll,U i)li

gdzie ⁸ K (może być zbiorem pustym) płat powierzchni ⁸ , wycięty kulą, której środkiem jest punkt A, promieniem zaś 2 \ A A X\. Wystarczy dowieść dla A x tak bliskiego A, by ⁸K zawarty był w płacie ⁸ n , wyciętym przez kulę o promieniu <5' < <5 i o środku w punkcie P A e⁸ najbliższym punktu A, gdy A ^{4 8}. Tak dobieramy ó', by spełnione były nierówności:

cos{Nq, N p ) > % dla P ,Q c S n ,\AQ\l\AQ'\ X, gdzie 0 < % < 1, dla A e Q , QeSn , Q' jest rzutem punktu Q na płaszczyznę styczną do ⁸ w punkcie P A .

Z uwagi na drugą ocenę (5) istnieje takie C", że spełnione są nierówności (10) | l f K,(A)| < С Ш ,\А А УI, < С М ^ А А Д .

1 — 3

Wykorzystując nierówność 5 < \AQ\/\AQ\ < 5, gdy Qe⁸ —⁸ K i nie­

równość (uwzględniającą oznaczenie (4a)):

( И )

1 1 (n — ²)n\AQ\

< n—- -A, 3fa\ AAx\, [&q( A, Q) Y 1 lh i {&Q{A,Q)T~* \#>(а х,Я ) Т^{- 1}

gdzie Ma = s u p \aa^(A)\, A zawarty między A i A lf otrzymujemy ocenę (11 a) \lfn~^K)(A)- / f я-'% )(Ax)| + \ l f ~ sn)(A) - l f ~ s n)(Ax)I <

< ²n~¹( n -²)n

MaM r \A A ,\[ J J dQ s n~sK MW

dQ ] I AQ\n~l y

J. B u t k i e w i c z

Ze względu na oczywiste nierówności: \PaQ\/\AQ\ < 2 dla Qe⁸ , AcQ-\-S^{. 9} \PaQ\ > & dla Qe⁸ —⁸ n , mamy ocenę

(12) _{S - S n}// ^{I AQ\'dQ < 2*} _{s - s n}Я\Pa^dQQ\^{n— 1} < (IF ^№■

Ustalając lokalny układ współrzędnych: P A ( 0, . . . , 0), A (xx, 0 , . . . , 0), x x ^ 0 (dla ⁸K niepustego x x < 21^ ^ !!) i oznaczając \PaQ'\ = ⁶ ~~

promień na płaszczyźnie stycznej do S w punkcie P A, oceniamy całkę

(13> Я_{s n~s K}^{\AQ\ hdQ- 1 <''} г - , - ' * Я.//s n,~sK. № ' п^dQ -T <

const I

rt—2 n Q aq

ZT < Ci\iog\AAx\\-\-C2 l^4,\AAxt²—x^ ^(#1 + 0 ) 2

gdzie 6*!, C2 — stałe dodatnie, ⁸ n>, ⁸ K.— rzuty ⁸ n , ⁸ K na płaszczyznę styczną do ⁸ w punkcie P 4. W przypadku ⁸ K pustego {xx >² \ AAx\) majoranta powyżej ocenionej całki również zawiera jako czynnik

\ og\ AAx\].

Wobec nierówności (13), w ocenie (lla ) wystąpi czynnik \A A X\°\

zestawienie nierówności (10), (lla ), (12), (13) w (9) zachowuje tenże czynnik. Zatem funkcja TX(A) również spełnia warunek (7).

Tw ie r d z e n ie 2. Jeżeli funkcja ip{Q), określona na powierzchni ⁸ , spełniającej warunki Lapunowa, jest ograniczona i całkowalna, to całka powierzchniowa

/* f dP(P, Q)

(14) J( P) = J I - - j T^ -v(Q)dQ, gdzie

d T ( P t Q) dTP

n

V aafl{P)cm(Np, X p )

B=l

дГ(Р, Q) dxa spełnia warunek Hlildera

(15) i J (P) - J (Px) | < const M v \PPxf , h' = ⁶miii(h, hx), 0 < в < ¹ (+

Dowód. Wystarczy zbadać przypadek, gdy P xeSK jest tak blisko P, że kula K x o środku w P i o promieniu 2\PPX\, wycinająca z powierzchni

8 płat ⁸ Kl, zawarta byłaby w kuli K, której promień <5 (liczba wystę­

pująca w c) warunku Lapunowa) może być tak mały, by spełniona była nierówność cos( NQ, N P) > ^ dla QeSK.

(!) Patrz str. 50.

Z uwagi na związek

Щ Р , Я ) . _ to»Qi P, Q) Ą dw*{P,Q)

dxa dxa dxu

zapisujemy całkę (14) w postaci J(P) = J¹( P ) + J n {P^{) 1} gdzie йм>«(Р,<2)

*аЦ\-Г )VVtiy±yp,(Vp)

8 a , / S = I

(18a) Jj{P) — Я z aaf}(P)cos(NP ,Xp) ^ (16b) J U (P) = J ' J V « „ „ ( P ^ o s ^ p , Щ) U fA A L

t p ( Q ) d Q ,

V>{Q)dQ.

. ______ ner.

8 a, / 3 = 1

Zauważmy, że Jj(P) = (w —2)[J'l {P )+ J’l'(P)], przy czym

|pgicos(jyP ,p 5 ) 's'

(17b) J'l{P) =

(17a) г;<-р>=Я y>(Q)dQ,

a^(P)eo»(N P,a>,,) y *■ --- (*у- £ г) ¥>(<?)<*« =

«,)?=!

=' J T ^ P J c o s ^ p ,

a , j 8 = l

gdzie

(17с) Я (P) = J ^{J ~ - ^ ( р 7о)з}»— К “ fy)V»(9)^ •

Eóżnice całek (17a), (17c) majoryzujemy według schematu (9), zastępując punkty A , A x punktami P , P X oraz oznaczenia ⁸K i S n — oznaczeniami SK i ⁸K , i opierając się na wzorze

ab ab

o c < ( b - b ) U (a —a) + ab ^{1 1}\ c c )

oraz na podobnych do (11) nierównościach, oceniamy zawarte w majo- rantach różnice.

Na podstawie nierówności ([3], wzór (13))

|cos(NP ,P g ) | < 2 ( n - l ) C K h4PQ\hl dla P , Q e S K i 1 <

otrzymujemy oceny

|Jj№ci>(P)| < o ; j f v|P P x|*»,

\ m

\PQ'\ ^{< k}

\J,f ^ i )(P¹)\< C [M v \PP1\hK

54 J. B u t k i e w i c z

Z uwagi na słabą osobliwość całki (17c) otrzymujemy podobne oceny

\jfx>HP)\ < C y f v| P P / , |j f f c i '( P 1)| < С 'М ^ Р Р / , gdzie C'a zależy od wskaźnika a.

Dzięki nierówności

|o o s № ,P e ) - c o B ( jy P l,P l e ) | < ( » - l ) C |P P I|'*4-łC *|PP1|2,l4 - + i { n - l ) C K l‘> |P P ,| • \PQ\h' - ‘+ i ( u - l ) O K h> |P P1|',1+' • \PQ^{\ - 1}

dla QeSK—SKl, uzasadnionej w pracy [3], str. 50, mamy ocenę

\ j f R - B K j (P )- j ’fK - s Kl)(Px)| < 02J f v|P P x|efti, 0 < в < 1.

Analogiczna nierówność dla całki (17c) ma postać

| < Ca My, IPPjI07''.

Wykorzystując nierówność

|cos(ArP , PQ) — cos{NPl, P t Q)\ < const |P P x|/łl dla Q€⁸ —⁸K, uzasadnioną w pracy [3], wzór (25), str. 52, otrzymujemy ocenę

|jj(«-sjE)(p )_ jj(S -s Jc)(p i)| < c . j f j p p / i . Stwierdzamy też spełnienie nierówności

\ j f - S K) ^ _ j a ( S - S K) ( p ^ < (j'"M v \PPx\h.

Zestawiając powyższe wyniki mamy oceny (18) \ Ą( P) ~J i ( Pi ) \ < C ^ I P P ^ , (19) \Ji(P)—Ji(Pi)\ < CjMw\PPx\bh

i uwzględniając nierówność |cos(ArP , ssfi) — cos(AP l, ав0)\ < ²C\PP1\hl oraz równanie (17b), otrzymujemy ocenę

(20) |J " ( P ) - J " ( P 1)| < o ;/l / v|P P1|min(ftb0fr).

Przechodząc do badania warunku Hóldera dla całki (16b), korzy­

stamy z ocen ([1], wzór (76)) dw*(P,Q)

a

const

\PQ\n~l~h ¹ < ( P , M )| < const I P J f l * ’ I < ( P , Ж ) - < ( Р , , M)\ <M, const IPPjI

j p ¥ j * ~ '

i rozkładając obszar Q' całki (8a) na części K XQ' oraz Q' — K XQ', dowo­

dzimy słuszności oceny

(21⁾ \wta{P,Q)-Wx'a(Pi,Q)\ < const l-PPx!

\PQ\n~h dla Q€⁸ - ⁸Kl.

Podobnie jak w przypadku całki (17b), wprowadzamy oznaczenie

(22⁾ gdzie

П

<IU(P) = У а ч,(Р)008 (NP, d , ) J ^ ( P ) ,

a, / 3 = 1

WP) = Jf^{dw*(P, Q)} dxn V>(Q)dQi i mamy oceny

\ J ^ H P ) \ < O ^ M ^ P P j , |Jff*i>(Pi)| < Сп М г [РР,\к, na podstawie zaś nierówności (21) powstają oceny

!jg s - ś x ) (p )_ ,^ e -» it> (p l)| < С"'-М,,|РР,!.

Z ocen powyższych i z równania (22) wynika nierówność (23) l< /„ (P W n (P i)l < C n M ^ P P ^ M .

Zestawienie nierówności (18), (20) i (23) daje tezę twierdzenia 2. Twierdzenie 3. Istnieje taka stała dodatnia liczba G, że spełniona jest nierówność

(24) dP(Q, B)

dTQ \djQ < G

niezależnie od położenia punktu BcQ4-8, gdy powierzchnia ⁸ spełnia warunki Lapunowa.

D ow ód. Zauważmy, uwzględniając cytowany już wzór (76) pracy [1], że wystarczy wykazać ograniczoność wyrażenia

(26) JJ* dwB(Q,B)

dTn dQ = —(» —2) J J \QB\cos(JfQ,QB)

‘ P)]” " d Q - Ę [aa*(B)-a*r(Q)]

( n - * ) J J aafi(Q)coB(MQ, ..(xy- £ y)dQ,

gdzie Q(%x, x 2, . . . , xn), B ( |x, £a> •••» £n); ostatnia całka jest ograniczona.

W celu wykazania ograniczoności pozostałej całki (25) weźmy pod uwagę

56 J. B u t k i e w i c z

dowolny punkt B e Q i najbliższy względem niego punkt PBeS. Ustalamy taki układ prostokątny, którego osią x x jest normalna do Я w punkcie Pb, pozostałe zaś osie znajdują się w płaszczyźnie stycznej do ⁸ w tymże punkcie. Niech w tym układzie dane będą punkty B ( x x, 0, .. . , 0), Q(Ci, t 2, ..., Cn)• Powierzchnia S jest lapunowską, zatem istnieje kula К o promieniu r — < <9 i o środku w punkcie PB, wycinająca płat ⁸ K, którego każdy punkt Q jest funkcją swego rzutu Q' o następujących wła­

snościach :

(26) I t i (£2? £з> •••> f*)l ba.

gdzie q = \PBQ'\, cos{NQ, N P) > $ .

Jeżeli przez a, oznaczymy kąt, jaki tworzy normalna w punkcie Q z osią a»/, to funkcji cos(Nq,QB) możemy nadać następującą postać:

cos (Nę, QB) = 2*008 0,

1=2

4

l№ l + cos ax •^£1

1 Р Г

i posługując się znanymi ocenami ([3], wzory (9) i (12))

|Ci(f„ t „ .. . . f»)l < 2( «— | cos%| < C F V ‘ , możemy otrzymać ocenę

(27) |cos(-ST0 , QB) 1 < (»-l)CJSr*>(l + 2A'*>+1) e*4- ~^rr dla QeSK . Na podstawie nierówności (27) oraz nierówności lj\QB\ ^ 2I\Q'B\, wynikającej z (26) i z \QB\ > \Q'B\ — |£х| , otrzymujemy oszacowanie

(28) U

\QB\cos(Nq , QB) I [**(#, ВД* " !

2 ( ^ - l) ( 7 Z 7il(l + 2Z Ai+1) г ⁶hidQ'

sK,f f + ^2W+1 Г Г xxdty l < W

; ГГ J J 10'

gdzie oznacza rzut płata na płaszczyznę styczną do $ w PB. Druga całka nierówności (28) ma słabą osobliwość; ostatnią zaś całkę majory- zujemy poprzez całkę ograniczoną w sposób następujący:

ГГ *idQ’ ^ <on-iQn~2dQ J J ( е Ч ^ Г ^ GXlj ( е Ч ^ Г ~

— OCx)n_ ^j

d]/aj,

/o

tn~ 4 t

7 < ч т р ’ ’ ⁶* = const.

Spełniony jest warunek \QB\ > 0 dla Q e S —Sg, zatem całka f f i \QB\<i°s(NQ,QB) dQ

A { . [#"«?. w jest ograniczona niezależnie od wartości x x.

Z powyższych rozważań wynika nierówność (24).

3. Własności funkcji Greena względem równania eliptycznego.

Funkcją Greena, dotyczącą zagadnienia mieszanego dla równania (1), nazywamy funkcję G ( A , B ) punktów А , В wnętrza obszaru Q o nastę­

pujących własnościach:

(29) 0 ( А , В ) = : Г ( А , В ) + Н ( А , В ) ,

gdzie funkcja Г ( А , В ) jest podstawowym rozwiązaniem równania (1), H ( A j B ) jest funkcją regularną, spełniającą równanie (1) w każdym punkcie wewnętrznym A e Q, nawet wtedy, gdy A = В ;

dG (A ,B)

(30) lim + p(P)G(P, B) = 0,

а-уГ dTp

gdzie В jest punktem wewnętrznym obszaru Q, lim dG(A, B)ldTP jest A-yP

granicą pochodnej transwersalnej funkcji Greena w punkcie PeS.

Zakładamy, że funkcja p(P) spełnia warunek Hóldera (31) \ p ( P ) - p ( P 1)\ < co n st|P P / p dla P , P l€S.

Z własności (29) i (30) funkcji Greena wynika warunek brzegowy funkcji H ( A , B):

(32) lim \ dH{j r ' B) + p ( P ) H ( A , B )

а-ур L d i p

dF(P, B)

dTP ~ Р ( Р ) Г ( Р , В).

W oparciu o teorię równań całkowych przypuszczamy, że funkcja spełniająca warunek (32) może być przedstawiona przy pomocy poten­

cjału warstwy pojedynczej

(33) H ( A , B ) = f f r(A,Q)y,(Q,B)dQ, s

gdzie nie znana gęstość yj(Q,B) jest funkcją ciągłą, a powierzchnia ⁸ spełnia warunki Lapunowa. Korzystamy z własności granicznej poten­

cjału warstwy pojedynczej, wykazanej w pracy [1], wzór (100), str. 270:

(34) Um | g T ^ f J r ( A ’ ® v ( Q’ B)dQj =

= ~ U J P ) v ( P , B ) + j j B)dQ,

5 8 J- B u t k i e w i c z

gdzie

K,{P) (n —²)a)n V&et\aafi(P)\ ‘

Uwzględniamy związki (33), (34) w warunku (32) i otrzymujemy równanie całkowe Fredholma I I rodzaju:

(35) y, ( P , B ) = f ( P , B ) + b f f N ( P , Q ) y , ( Q , B ) d Q , S

gdzie

(36a> П Р ’ В ) - ш \ Е Ш т + 1 , { Р ) Г { Р ’ В) ] ’

d f ( P , Q ) 2

(36b) N ( P , Q) = - ’ ' у р (Р )Г (Р , Q), X = — -

a±p K\P)

Z uwagi na znane oceny (37a) \r(P,Q)\ < ^const

\PQ^{\n ~ 2} ’ (37b) d f{ P , Q) \ ^ const

dTp < |pQ\n-x-b*i

gdzie h* jest mniejszą z liczb h, h1, stwierdzamy słabą osobliwość jądra równania całkowego (35). Bównanie to (p. [2], 1.1, rozdz. III, § 2) możemy zastąpić równaniem równoważnym o jądrze ograniczonym (rozwiązal­

nym bezpośrednio za pomocą wzorów Fredholma), otrzymanym po (q—1)- krotnej iteracji rozważanego równania,

(38) gdzie (39)

V( P , B ) = / g_ ,(P ,B ) + A f f N ą(P,Q)V(Q,B)dQ, s

<^{1 - 1}

f t -i ( P , B ) = f ( P , B ) + J J У X’N.(P, Q ) № , B)dQ,

S V = 1

N V(P,Q) — jądro iterowane, q zaś jest dostatecznie dużym wskaźnikiem.

Możemy twierdzić, że gdy równanie jednorodne v (P , B) = л / f N ,(P , Q)W(Q, B)dQ

ma rozwiązanie co najwyżej zerowe, to jedyne rozwiązanie równania (38) jest postaci

(40) V(P, B) ^ U - Л Р , В ) + Л / f <y i ( P , Q ) f ^¹(d,B)dQ, s

gdzie 91 (P,Q) jest jądrem rozwiązującym równania (38).

Lemat 1. Całka powierzchniowa bezwzględnej wartości gęstości y (P , B), występującej w potencjale warstwy pojedynczej (33), będącym częścią regu­

larną funkcji Greena, jest ograniczona:

gdzie D — stała, przy czym В jest dowolnym punktem wewnętrznym ob­

szaru Q.

Dowód. Z twierdzenia 3, ocen (37a, b) i równości (36a, b) wynika ograniczoność całek J J |/ ( P , B)\dP i JJ|JV (P, Q)\dP, co wobec równania (39), pociąga za sobą ograniczoność całki f / | / a_ i(P , B)\dP. Uwzględnienie

$

tej ograniczoności przy całkowaniu równania (40) prowadzi do tezy.

Lemat 2. Jeżeli funkcja p(P) spełnia warunek Hóldera z wykładni­

kiem 0 < hp ^ 1, to rozwiązanie y (P , B) równania (38) spełnia na powierz­

chni ⁸ , czyniącej zadość warunkom Lapunowa, warunek Hóldera z wykła­

dnikiem, hy, przy czym na każdej części ⁸ K, spełniającej warunek c) Lapu­

nowa, wyraża się on następująco:

(42) iv(P, J?)-v> (Pi,B )l < № /(£ ) + глг,(Я )+ П 1*Р 11Ч

gdzie В jest wewnętrznym punktem obszaru Q, P , Р ге⁸ K, hv = min(/ip, h') (patrz wzór (15)), kf(B) jest współczynnikiem Hóldera funkcji f ( P , B) dla P e S K, M V(B) = supyj(P, В), l, V — stałe niezależne od B.

D ow ód. Z uwagi na postać funkcji / ( P , B) (wzór (36a)) oceniamy różnicę /( P , B ) —f ( P¹, B); P , P¹e⁸ , B e Q , kolejno poprzez różnice przy­

rostów funkcyj występujących w (36a), tzn. współczynników równa­

nia (1), funkcji p{P), funkcyj wchodzących w skład rozwiązania podsta­

wowego równania (1) F ( P , B ) i pochodnej transwersalnej d P (P , B)jdTP.

W ocenie różnic tej ostatniej znajdują się przyrosty funkcyj c o s ^ p , x a), a = 1, 2, ...,% , ze względu na zmianę punktu P , w majorantach których występuje wykładnik hx. Przy ocenie różnicy pochodnej transwersalnej rozwiązania podstawowego wykorzystujemy oceny różnic pochodnych składników rozwiązania podstawowego: w;^(P, M) i w*a(P,B). Zwraca się przy tym uwagę, że wzór (21) pozostaje w mocy przy zastąpieniu punktu QeS dowolnym punktem BeQ. Tym sposobem wykazujemy, że funkcja / ( P , B) spełnia warunek Hóldera o współczynniku

i o wykładniku hf = m in (h, hx, hp).

W oparciu o twierdzenia 1, 2 i o równanie (36b) wnioskujemy, że całka występująca w równaniu (35) spełnia warunek Hóldera z wykładni­

k i)

s s

(42a) Pe⁸

60 J. B u t k i e w i c z

kiom hv — m in(/^, h'). Zatem wobec nierówności hf > hv liczba h,p jest wykładnikiem w warunku Hóldera dla funkcji y(P, B) ze względu na argument P .

Eozumowanie to uzasadnia też występowanie pierwszego składnika we współczynniku wzoru (42). Następne dwa wynikają z różnic składowych całki f Jdf(P, Q)ę(Q, B)dQ = J / Щ Р , Q M Q , B)dQ+ f f N ( P , Q)ę(Q, B)dQ.

Ь Sję

Na podstawie równania (36b) i ocen różnic całek (17a), (17b), (22) w obszarze ⁸K i ⁸ K—⁸K (oznaczenia ⁸K i ⁸ Kl wyprowadzono na początku dowodu twierdzenia 2) ze względu na punkty P, P x stwierdzamy, że całka / fN(P,Q)y>(Q, B)dQ spełnia nierówność Hóldera o współczynniku IMW{B), gdzie

(42b) iMv(B)\ < const

\BP\n~l i z wykładnikiem hv.

Eozważania podobne do przeprowadzanych w dowodach twier­

dzeń 1 i 2 wskazują na zawieranie się w majorancie róż­

nicy całek f f Ж(P, Q)y{Q, B)dQ ze względu na P i P x czynnika

S ~ SK

f f \ip{Q, B)\dQ. Zatem wspomniana różnica, na mocy lematu 1, jest

s-Sk

mniejsza od V\PPx\kf < 1'\РРг\Пу!.

Tw ierdzenie 4. FunTccja H ( A , B ) , część regularna funkcji Greena, dotyczącej zagadnienia mieszanego, i jej pochodne rzędu pierwszego mają określone wartości brzegowe na powierzchni ⁸ , spełniającej warunki Lapu- nowa, gdy punkt В jest wewnątrz obszaru Q, oraz spełniają nierówności (43a) H { A ,B ) \ <

\AB \n~2’ (43b) ⁱ d H ( A , B ) j ^ C²

\ ~ ~ д х а ^ |AB\n- hv>

dla różnych A , B e Q, przy czym stałe Cx, C² zależą od ⁸ i od funkcji p (P).

D ow ód. Obszar Q dzielimy na dwie części:

1° część QK zawarta wewnątrz kuli К o promieniu \APa \ i o środku PA; Pa — punkt powierzchni ⁸ najbliższy względem A e D j

2° część pozostałą Q — QK, zawartą w Q poza kulą K.

Jeżeli Be D K , to w oparciu o wyrażenia (33), (37a) i lemat 1 oraz nierówność

(44)

otrzymujemy ocenę

\APą\ 1

\AB\~ ^ 2

(45⁾ H ( A , B ) \ < const

a F x 1 ff \y,(Q,B)\dQ < ⁰[

\AB\'

Gdy B e Q —QK, korzystamy z nierówności

(46) \AQ\ 1 \PąB\ 1

\PaQ\ > 2 ’ \AB\ > 2 ' Całkę (33) rozkładamy na dwie części

(47) H ( A , B) = H {S*>(A,B)+H(⁸- S°)(A, B),

gdzie S⁸ jest płatem powierzchni ⁸ , wyciętym przez kulę K s o środku w punkcie P A i o promieniu r — ó\PAB \ IL ; L — średnica obszaru Q, S — stała występująca w warunku c) Lapunowa.

Na podstawie równań (39), (40), (36a, b) możemy w zbiorze ⁸ ocenić funkcję ip(Q,B) w sposób następujący:

(48) M Q , B ) \ < const

I QB^{\n - 1} •

Uwzględniając oceny (37a), (46), (48) oraz przekształcenie homo- tetyczne względem punktu P A:

(49)

otrzymujemy ocenę

\PąQ\ = \PąB\

\PaQ\ L ~

(50) \ H ^ ( A , B )| < const

\ р , в \ п- (!Г'Я_Se ^{\рЖ ~ * ШdQ < AB\c['n—2 ?}

gdzie S d jest to płat powierzchni zawarty w kuli jednostkowej, odpo­

wiednik ⁸S.

Przy ocenie drugiego składnika równania (47) korzystamy z nierów­

ności (51)

oraz z nierówności

\PaQ\ ó

\PAB\ L ’ Q e S -⁸d,

(52) , \AQ\ > ~ - ~ \ A B \ ,

otrzymanej dzięki wyrażeniom (46), (51), gdy Be Q — QK. Poprzez nierówności (37a), (52) i lemat 1 dochodzimy do oceny

(53) \pfis - sti(A, B)\ < C"

| AB\n ² •

Z ocen (45), (50), (53) wynika słuszność nierówności (43a).

Znaną jest ocena

!r * M ’ Q)\ <

const

(54) \AQ\n~'

« 2 Л. B u t k i e w i c z

oraz twierdzenie 10, udowodnione przez W. Pogorzelskiego ([2], t. II, rozdz. X II, str. 116), które wraz z lematem 2 pozwalają stwierdzić istnie­

nie pochodnej części regularnej funkcji Greena i dla A -+PeS. Pochodną funkcji H ( A , B) zapisujemy w postaci całki

H’z J A , В) = f j n j A , Q ) v (Q,B)dQ.

s

Gdy B e Q K , opieramy się na wyrażeniach (44), (41) i mamy ocenę (55) № 0( 4 . Я ) | < ц ~ Л .

Gdy Be Q — QK, posługujemy się zapisem

H'Xa( A , B) = H % ' ( A , B ) + h£ ~s° > ( A, B) .

Pierwszy składnik powyższej sumy przedstawiamy w postaci f f r ' J A , Q ) v ( Q , B ) d Q = j j n j A , Q ) M Q , B ) - v ( PA , B)-]dQ +

ss a,

+ V ( P A , B ) f f r Xo( A , Q ) d Q

i powołując się na lemat 2 oraz nierówność (54), otrzymujemy ocenę (56) i f [ r x<ii,A,Q)v(Q, B ) d Q \<

< [ ^ ( £ ) + « /„ ( B ) + n / J J ^ ( A , <2) a e j.

Ostatnia całka jest ograniczona i dla A -+Pe⁸ ’, wynika to z rozważań dowodu twierdzenia 10 ([2], rozdz. X II). Xa podstawie wzorów (42a), (42b) oraz nierówności \BQ\ > ( 1 — ⁶/L) \BPA\, QeSs, mamy następujące oceny:

(57) kf (B) < const

iВ РаГ ’

MV(B) < const IB P A\n~l '

Korzystając z nierówności (46), (56) i (57) otrzymujemy ocenę (58) ! / / K M , Q)y,(Q, B)dQ | < rj^T-TT, ■

Z nierówności zaś (52), (54) i lematu 1 wynika ocena c '"

j j r xM ’ Q)4>(Q’ B)dQ I < i . R,»-. • S—Sfi

(59)

Z nierówności (55), (58) i (59) wynika teza (43b).

W n io sek . Oceny funkcji Greena i jej pochodnych rzędu pierwszego mają postać następującą:

(60) \G (A , B )\ < Dx

|A B^{\n ~ 2} ’ \G' U , B ) x J h

]~AB\n- h* ’

gdzie В jest punktem wewnętrznym obszaru punkty A , В nie pokry­

wają się, A e Q + S, liczby JD1, B² — stałe.

4. Zagadnienie brzegowe liniow e. Poszukujemy rozwiązania rów­

nania

(61) V (*ар(A)- d%u

a, / 3 = 1 дхадовр

v i ди I Óu

w obszarze ograniczonym Q, spełniającego warunek brzegowy liniowy I d u l A )I

(62) hm — A + p (P ) u (P) = 0 Л—>Р ^I Ct-Lp ^J

w każdym punkcie P powierzchni ⁸ , ograniczającej obszar spełniającej warunki Lapunowa.

Przyjmujemy założenia wyszczególnione we wstępie, założenie (31) oraz następujące:

Funkcja .F (4 , ад0, % , й2, ..., \ ) jest określona w obszarze ograni­

czonym i domkniętym

(63а) А{Яц &*2, •••, xn)eD-\-⁸ , \uv\ < В (v = 0 ,1 , 2, . . . , n) i spełnia warunek Hóldera-Lipschitza

(63b) \F(A , , u¹, ..., un) F (A , Uq , Ui, ..., un)| <C

< TcĄ\AA’\h^ + ^ \ u , - v : , \ \ .

j> = 0

Zagadnienie to jest rozwiązalne metodą kolejnych przybliżeń w opar­

ciu o omówione już własności funkcji Greena.

Lemat 3. Jeżeli funkcja f(B) spełnia w obszarze Q warunek Holder a, to funkcja

(⁶⁴) »(i) = - ( Г \ в ( А , B ) Ą A L d B ,

gdzie O ( A , B) jest funkcją Greena i spełnia równanie

(65) V [ u ( A ) - \ = j { A )

w każdym, wewnętrznym punkcie A e Q.

ti4 .1. В u t к i e w i c z

D ow ód. M ech f(B ) = f{B)Xnl (B). Całkę (64) rozkładamy na dwie:

u{A) = и х{А) + и г{А), gdzie

(66a) u ^ A ) = - / / / P ( A , K)f{B)dll, a

(66b) u z(A) = - f f f H ( A , B)f(B)dB.

o

Z własności uogólnionego potencjału ładunku przestrzennego, wy­

kazanej w pracy [1], tw. 6, str. 265, wynika ⁴f \ux(A)'\ = f(A).

Wzór (33), oceny (48), (37a) i twierdzenie dotyczące zmiany kolej­

ności całkowania umożliwiają wyrażenie całki (66b) w sposób nastę­

pujący:

(67) Щ{А) S j r(A,Q)y>(Q)dQ,

gdzie y>{Q) — f f f y > { Q , B ) f ( B ) d B jest funkcją ciągłą. Zatem całka (67) O

jest funkcją regularną we wnętrzu obszaru f2, a więc ma pochodne dowol­

nego rzędu, w szczególności pochodne pierwszego i drugiego rzędu дщ{А)

dxa - f f r ń a{A,QMQ)dQ, d²uz(A)

dxadxp f f r ^ e( A , Q ) f (Q)dQ.

Powyższe związki wskazują, że spełniony jest warunek 4/ [u²(A)] = 0 wewnątrz obszaru Q.

Lemat 4. Całka (64) spełnia warunek brzegowy (62).

D ow ód. Na podstawie ocen (60) możemy stwierdzić określoność i bezwzględną zbieżność całek

(68a) *(P) = - f f f <HP, B)JW)dB,

ii

(68b) * ia(P) = - / / / G'XJ P , B)f(B)dB S3

w każdym punkcie PeS. Dowodzi się, że całka (68a) jest wartością gra­

niczną całki (64), a całka (68b) jest wartością graniczną całki (68c) K J A ) = - / / / (I'xJA, B)T(B)dB,

a

gdy punkt wewnętrzny A w dowolny sposób zmierza do Pe S. Własność powyższą wykazujemy dla całki uXa(A).

Z dowolnego punktu P e ⁸ wyznaczamy kulę К o promieniu q i z dowol­

nego punktu A eK Q wyznaczamy kulę K x o promieniu ²q i badamy różnicę

<69) K j A ) - « ' Xa( P )i < i « i f i0)(A )H -|M; f i a»(P)i+

Z uwagi na oceny (60) majoryzujemy pierwszy składnik nierówności (69) w sposób następujący:

ojn — pole powierzchni kuli jednostkowej w przestrzeni n -wymiarowej.

Zatem jeżeli przyjmujemy wartość ^ = |[£7&v/3Jf/i )2co„,]1/\ to speł­

nione są nierówności

Punkt A jest zewnątrz obszaru Q —K x Q, dowodzi się więc, że dla punktu B € Q —K 1Q funkcja GXa( A , B ) dąży jednostajnie do wartości GXa{ P , B ), gdy A e K Q i A -> PeS. Jest to oczywiste dla składnika Г ( A , B) funkcji Greena.

Dowodząc tego w przypadku składnika H ( A , B) zapisujemy go w postaci

gdzie C S jest zawarta wewnątrz kuli K, zaś ⁸ —⁸ г — zewnątrz.

Punkt В eQ —JK^{. 1} więc funkcja ip(Q,B) jest ograniczona na ⁸ г i speł­

nia warunek Hóldera (42) niezależnie od B, zatem pochodne B f ^ { A , B) dążą do H {Xal)(P, B) jednostajnie ze względu na B. Jednostajne dążenie pochodnych H£~ Sl)( A , B) do wartości H ^ ~⁸^ ( P¹ B) jest wnioskiem z lematu 1.

Łącząc powyższe wnioski, można, w zależności od e, przy ustalonej wartości g(e), tak dobrać rj^{e 1} by spełniona była nierówność

Zatem u'Xa(P) jest wartością graniczną funkcji uXa(A) w punkcie PeS, więc, wobec własności funkcji Greena (30), stwierdzamy, że całka (64) spełnia warunek (62).

W n io sek . Punkcja u (A) = ~ f f f G ( A , B ) f ( B ) 2 . ~¹{B)dB, gdzie f(B) jest funkcją hólderowską, spełnia równanie (61) i warunek brzego­

wy (62).

W oparciu o ten wniosek przewidujemy, że funkcja u {A), spełnia­

jąca równanie (61) i warunek brzegowy (62), określona jest równaniem I < ' ^{M >} = sup^{f ( B )}

Wifi

(70)

H ( A , В) = H ^ ( A , B)+H^S- S^ ( A¹B^{) 1}

(72) u(A) = - B ) K ' { B ) Ąb , 4(B),

Roczniki PTM - Prace Matematyczne VI 5

66 J. B u t k i e w i c z

W celu rozwiązania powyższego równania całkowo-różniczkowego rozpatrujemy układ równań całkowych

u⁰{A) = - j j j 0 ( A , B ) F¹[ B , u⁰{B), иг(В), un(B)]dB,

(72a) °rr

uv(A) = - ) f ) G ' Xv( A , B ) F J B , u0(B), %(B),

gdzie r = 1,2, . n, F x = ^"¹(B)F[B, u⁰{B), п г(В), un(B)]. Ten układ równań zawiera n-\-1 niewiadomych funkcyj щ, г¹л , un, przy czym jądra równań są słabo osobliwe.

Konstruujemy ciągi funkcyjne

{«f’W }, {«W U)} (* = 1,2

przy pomocy wzorów rekurencyjnych (73) « r +1)U ) = - / / /

Я

(74) « Г +1>(Л) = - j j j & ^ A , B ) F¹[ B , u r ){ B ) , n r \ B ) , . . . , u T \ B ) ] d B .

я

W oparciu o oceny (60) stwierdzamy, że spełnione są nierówności (75) |« P ( 4 ) |< J 8 , |*Р>(А)|*ЙВ (V = l , 2,

gdy spełnione są nierówności

|4°)(d)|

(76) Mj?L* <

Di co* .Dg

gdzie Ca = inf Аи (В ), Ж> = sup F { B , u⁰, ‘ un), L — średnica obszaru f2.

я я

Badamy następujące różnice:

i « r +l» ( d ) - Mf)(A )| <

< ~ J / J [ |« Г (В) - « Г 11 (B)l + £ 1»Г» (В) - , е - " (В)|] л и ,

а я I I »• 1

<

\uT+X){ A ) - u T 4 A )| <

D⁹ r г Г к

~С' * - / / / iI ^ Ł ę [ l « r (В ) - « Г 1,(В)| + ^ !«Р)(В ) .- « Г - 1>(В)|]<?В

a Я I I v = l

i ’ wnioskujemy bezwzględną i jednostajną zbieżność szeregów

oo °°

« Г ( 4 ) + У [ < +1>(,1) - « г )и )]> «!.0)u ) - “

... _n

m=0 774=0

(r = 1, 2, w)

w zbiorze Q, gdy spełniony jest warunek

wDaZ M kF ^ j К ' 7' a <

Zatem, przy powyższych założeniach, zbieżne są ciągi (73), (74), a funkcja graniczna u*{A) = lim и^Ц А) ma tę własność, że du*(A)/dxv =

m ->oo

= lim и ^ ( А ) dla AeQ.

m—>00

Z uwagi na podaną w pracy [1], tw. 7, str. 266, własność pochodnej potencjału ładunku przestrzennego, wiemy, że funkcje du*(A)/dxv, granice ciągów (74), spełniają warunek Hóldera wewnątrz obszaru Q, a zatem i funkcja

ł \ ( B ) = K X{B)F

[ » ’^u*(B),

du*{B) du*(B)

spełnia warunek Hóldera w tymże obszarze. W oparciu o lematy 3 i 4 twierdzimy, że funkcja u*(A) jest rozwiązaniem równania (61), spełnia­

jącym warunek brzegowy (62). Dowodzi się, że rozwiązanie to jest jedyne.

Powyższe rozumowania są dowodem następującego twierdzenia:

Tw ierdzenie 5. Jeżeli

1° współczynniki równania eliptycznego (61) spełniają warunki (3), 2° powierzchnia ⁸ , ograniczająca obszar Q, spełnia warunki Lapunowa, 3° funkcja F ( A , u0, % , ..., un) spełnia warunki (63a, b),

4° funkcja p(P) spełnia warunek (31) i równanie yj(P, B) =

= h {f N ( P , Q)f( Q, B)dQ ma rozwiązanie jedynie zerowe, ś

5° spełnione są nierówności (76), (77),

to funkcja u* (A), granica ciągu (73), jest rozwiązaniem równania (61) wewnątrz obszaru Q i spełnia warunek brzegowy (62) w każdym. punkcie P € ⁸ .

Wyżej omówione zagadnienia stanowią część pracy doktorskiej, obronionej w czerwcu 1959 r. na Wydziale Mechanicznym Konstrukcyj­

nym Politechniki Warszawskiej. Za wysunięcie tem atyki pracy oraz za udzielone mi wskazówki i pomoc składam serdeczne podziękowania Promotorowi, Profesorowi Doktorowi Witoldowi Pogorzelskiemu.

Prace cytowane

[1] W. P o g o r z e ls k i, Ptude de la solution fondamentale de Vequation elliptique et des probUmes aux limites, Annales Pol. Math. 3 (1957), str. 247-284.

[2] — Równania całkowe i ich zastosowania, t. I, II, Warszawa 1953, 1958.

[3] — Les proprietes d ’une fonction de Green et ses applications aux equations elliptiques, Annales Pol. Math. 3 (1956), str. 46-75.