T. M. Ję d r y k a (Poznań)
Oszacowanie rozwiązania równania całkowego Yolterry dla funkcji wektorowych
1. T. Sato [2] i Z. Butlewski [1] zajmowali się oszacowaniem rozwią
zania układu równań całkowych liniowych Yolterry П X
(1.1) Uj(oc) = ^ f a jk(x, t)uk{t) + bj(x) (j = 1, 2, ..., n),
k = 1 a
przy czym Z. Butlewski podał następujące oszacowanie
П X
(1.2) |%(ж)| < /?(ж)ехр {n J A (t, ł)dtj
j= 1 a
dla a < x < oo, gdzie щ(х) (j = 1 , 2 , . . . , n) oznaczają rozwiązania układu równań (1.1), natomiast
m ax\ajk(x, t)| < A ( x , t) dla obszaru I)\ a < f < ж < oo;
j tk
n
^ \bj(x)\ < B(x) dla J : a ^ x < oo,
?'=i
gdzie A ( x , i) i В (ж) są ciągłe i nieujemne odpowiednio w obszarze В i w prze
dziale J ; funkcja A { x , t ) jest nierosnąca ze względu na ж; /?(ж) = maxB(t).
2. W tej pracy znajdziemy oszacowanie rozwiązania równania całko
wego Yolterry
X
(2.1) u(x) — J T ( x , t)u(t)dt-j- b(x)
a
w przestrzeni funkcji wektorowych, gdzie całka w (2.1) jest całką Boch- nera, x — (ж^, x%, . .. , ж^,), t — (^i, t%, . .. , u = ($i, a2, ..., uw).
Zakładamy, że
1° b (ж) jest funkcją wektorową o wartościach w Y, określoną dla же O , 00), gdzie Y jest przestrzenią Banacha i, że ||&(ж)]|г <В(ж), gdzie B(x) jest funkcją mierzalną i ograniczoną dla же<а, oo);
268 J. M. J ę d r y k a
2° dla każdego x e ( a , oo) i te (a, x}, T( x , t ) jest operatorem liniowym, ciągłym, przekształcającym Y w siebie, przestrzeń tych operatorów ozna
czymy przez
3° \\T(x, t)\\^ < a A (x, t ) , gdzie A ( o o , t ) jest funkcją nierosnącą względem zmiennej x, przy czym A ( t , t ) jest funkcją mierzalną i ograni
czoną dla /e<a, oo), a nie zależy od x i od t .
X
Jeżeli dodatkowo założymy, że J A(t, t)dt < 1, to istnienie rozwiąza-
a
nia równania (2.1) wynika z twierdzenia Banacha o kontrakcji.
4° \\u{x)\\Y = U(x) jest funkcją całkowalną w każdym przedziale skończonym, zawartym w (a, oo).
Przy powyższych założeniach zachodzi nierówność X
(2.2) \\u{x)\\Y < § \\T(x,t)%\\u(t)\\Ydt-\-\\b(x)\\Y ^
a x
< J aA(t, t)\\u{t)\\YdtJrE {x),
a
skąd uwzględniając 4°, po podstawieniu
. X
V{x) = f a A ( t , t ) U ( t ) d t , a
otrzymujemy oszacowanie
X
(2.3) \ \ u { x ) \ \ r = U { x ) < /3 (x.) exp | j a A (t, t ) d tj ,
a
gdzie
(2.4) (3(x) = &upB(t).
3. №ech- (л będzie miarą na c-algebrze Q podzbiorów zbioru E .
Bozważmy zbiór funkcji u e L p { E , Q, p) = L p , gdzie u — u r , r e E \ u ( t )
jest więc funkcją wektorową o wartościach z L p określoną dla t e { a , oo).
Przyjmując v = T ( x , t ) u rozważmy
va = f Ta>r( x, t ) urp{dx).
E
Otrzymamy
\\Tu\\LV = ! / I / T„,,u,IJ(dT)\v ti(do)\llP.
Е Е
W szczególności, gdy p = l i p(E) < oo, otrzymamy (3.1) ||T( x, < J8up\TatZ(asf t)\p{da).
E T
Jeżeli
(3.2) \Ta>r(x,t)\ < A { x , t ) ,
gdzie funkcja A ( x , t ) spełnia założenia 3°, to zamiast nierówności (3.1) otrzymamy
(3.3) \\Т{а>, #)||э < /i(E)A{Xj t), przy czym a = p(E) < oo.
W szczególności, gdy operator T(x, t) jest macierzą kwadratową T{ x , t ) = [aeiT{ x, t ) f rZlilyy’l,
zbiór E = { 1 , 2 , . .. , n} i gdy //(1) — ju(2) = ... = p(n) = 1, to p{E) = n oraz
П I M
y = f \ua\[x{da)
= ^ V „ | .E a— 1
A więc otrzymujemy, jako przypadek szczególny, układ równań całkowych Yolterry z oszacowaniem rozwiązania w postaci (2.3), gdzie a — n, uzyska
nym przez Z. Butlewskiego w pracy [1].
№ech 1 < p < oo, p(E) < oo. W tym przypadku otrzymujemy (3.4) ||T(*, t)\|8 < { / [ / | t)\, p (dT)Yl<l/tido)}'1*
E E
g d z ie --- f- — = 1.
P Я.
Jeżeli uwzględnimy nierówność (3.2), to zamiast nierówności (3.4) otrzymamy nierówność postaci (3.3).
Gdy p — oo i fi{E) < oo, otrzymujemy
(3.5) ||Т(ж, #)||э < supess f \Ta>r(x, t)\p,(dr).
a E
Jeżeli uwzględnimy nierówność (3.2), to zamiast nierówności (3.5) otrzymamy nierówność postaci (3.3).
4. Mech uelp. Przyjmując v = Tu rozważmy OO
a9r *
r= l
Wówczas będziemy mieli
00 oo
a—1 t= 1
I|Tm|1!P =
У
270 J. M. J ę d r y k a
ЛУ szczególności, dla p — 1, otrzymamy
oo
(4.1) \\T(x,t)\\d ^ 2 sup |Taт(ж, t)\.
<T=1 T Jeżeli
A (x, t) sup \Tar(x, $)| < — ■ -lT i-
г er+
gdzie funkcja A ( x , t) spełnia założenia 3° i e > 0, to zamiast nierówności (4.1) otrzymamy
(4.2) \\Т(х,Щш < a A ( ® , * ) ,
gdzie a = £ (l + e) jest szeregiem Dirichleta, zbieżnym dla e > 0.
Gdy 1 < p < oo, otrzymujemy (4.3)
Jeżeli
<T=1 T=-l
A ( x , t )
\T"Ax, г)1 <
от
gdzie funkcja A ( x , t ) spełnia założenia 3°, to zamiast (4.3) otrzymamy nierówność postaci (4.2), gdzie
I1! R
IP 1<1> przy czym P1W końcu niech p = oo. W tym przypadku
OO
(4.4) \\T(x, 0HB <
2
sup |Ta>T(x, <)|.t=1 ° Jeżeli
A (x , t) sup \Tar(x, t)| < — i+7- ,
а Г
gdzie funkcja A ( x , t ) spełnia założenia 3°, to zamiast nierówności (4.4) otrzymamy nierówność postaci (4.2), gdzie a = £ (l + e) jest szeregiem Dirichleta, zbieżnym dla e > 0.
Prace cytowane
[1] Z. B u t le w s k i, Sur la limitation des solutions d?un systbme d'equations in tegrates de Volterra, Ann. Polon. Math. 6 (1959), str. 253-257.
[2] T. S a t o , Sur la limitation des solutions d'un systeme d'equations integrates de Volterra, Tóhoku Math. J. 4 (1952), str. 272-274.
T. M. Ję d r y k a (Poznań)
A N E STIM A TIO N OF T H E SO LU TIO N OF V O L T E R R A ’S IN T E G R A L E Q U A T IO N FO R V E C T O R -V A L U E D FUN CTIO N S
In this paper we obtain an estimation of the solution of Volterra’s integral equation (2.1) in the space of vector-valued functions, where the integral in (2.1) is in Bochner’s sense. Under the assumptions 1°, 2°, 3°, 4° we obtain the estimation (2.3).
As a special case, vector-valued functions with values in a space L P(E, Q , y )
= L p are considered, where p is a finite measure on a u-algebra Q of subsets of the set E and 1 < p < oo. The inequality (3.3) with the constant a — fi(E) < oo is ob
tained.
Next, vector-valued functions with values in a space lp are also considered.
a — C(1 + e ) fo rp — 1 a ndp = oo; £(1 + e ) is the Dirichlet’s series convergent for e > 0.
S U M M A R Y
The inequality (4.2) is obtained, where a = for 1 < p < oo and
