Zakład produkcyjny może prowadzić n rodzajów działalności (np. może produkować n różnych wyrobów).

1.5 Przykłady modeli decyzyjnych:

1.5.1. Wybór asortymentu produkcji.

Zakład produkcyjny może prowadzić n rodzajów działalności (np. może produkować n różnych wyrobów).

Do prowadzenia tych działalności ma określone na ustalony okres czasu (np. jednego roku) zasoby m środków, przy czym zasoby i-tego środka wynoszą b

(i = 1,2, ...„ m).

Jednostkowy nakład i-tego środka nie-zbędny do prowadzenia j-tej działalności jest znany i wynosi a

(i = 1, 2, ...m j = 1, 2, . . ,n).

Znany jest również jednostkowy zysk z prowadzenia j-tej działalności wynoszący c

(j = 1,2, ...„ n).

Należy zaplanować działalność zakładu produkcyjnego, tzn. określić, które rodzaje działalności mają być prowadzone oraz w jakiej skali, tak, aby łączny zysk był maksymalny.

Oznaczmy przez x

(j = 1,2, ...„ n) poziom j-tej działalności w ustalonym okresie czasu.

Zmienne x

w rozpatrywanym modelu są zmiennymi decyzyjnymi. Wartości tych zmiennych określają konkretny program działalności produkcyjnej zakładu.

Zagadnienie polega na tym, by poziom zmiennych decyzyjnych określić tak, aby łączny efekt ustalonego programu działalności wyrażony łącznym zyskiem był maksymalny.

Postawione zagadnienie można sformułować w postaci następującego modelu:

. max

1



 

 n j

c

x

z

przy warunkach ograniczających:

n j

x

m i

b x a

j n

j ij j i

, . . , 2 , 1 0

, . . , 2 , 1

1







 



1.5. Problem mieszanki

Danych jest n surowców wyjściowych zawierających m różnych składników, istotnych z punktu widzenia właściwości produktu, będącego odpowiednią mieszaniną tych surowców (np. mogą to być artykuły żywnościowe zawierające określoną liczbę różnych składników odżywczych).

 Znany jest poziom a

(i = 1,2,..., m, j = 1,2, ..., n) zawartości i-tego składnika w jednostce wagowej (np. w 1 kg) j-tego surowca oraz cena jednostkowa p

(j = 1,2, ..., n) j-tego surowca.

 Z surowców tych należy utworzyć mieszankę, przy czym proporcje poszczególnych surowców powinny być takie, aby w jednostce wagowej mieszanki zawartość i-tego składnika wynosiła co najmniej b

(i = 1,2, ... m).

Które surowce należy mieszać jakich ilościach, aby uzyskać żądaną mieszankę o

najmniejszym koszcie?

Oznaczmy przez x

(j = 1,2, ..., n) zawartość j-tego surowca w jednej jednostce wagowej mieszanki (zawartość ta może być wyrażona procentowo lub w przyjętej jednostce wagi).

Zagadnienie przyjmie wtedy postać:

. min

1



 

 n

j

p

x

z

przy warunkach ograniczających

n j

x

m i

b x a

j n

j ij j i

, . . , 2 , 1 0

, . . , 2 , 1

1







 



Funkcja celu wyraża koszt jednej jednostki wagowej mieszanki, natomiast ograniczenia wynikają z żądania, aby zawartość i-tego składnika w jednej jednostce wagowej

mieszanki wynosiła co najmniej b

(i = 1,2, ...„ n).

1.5.3 Zagadnienie załadunku

Ładowność środka transportowego wynosi b. Środek ten może być załadowany co najwyżej N różnymi przedmiotami. Waga jednej sztuki j-tego przedmiotu wynosi w

(j = 1,2,...,N), natomiast jej wartość c

(j = 1,2,...,N).

Należy określić ładunek rozpatrywanego środka transportowego o maksymalnej wartości.

Oznaczmy przez xj (j = 1,2, ...„ N) liczbę sztuk j-tego przedmiotu wchodzącego w skład ładunku. Zagadnienie ma wtedy postać następującą:

. max

1



 

 N j

c

x

z

przy warunkach ograniczających

N j

x

N j

x

b x w

j j N

j j j

, . . , 2 , 1 calkowite

, . . , 2 , 1 0

1













Powyższe zadanie ma postać liniowego modelu całkowitoliczbowego (ze względu na postać ostatniego ograniczenia)

Rozważymy obecnie pewną modyfikację rozpatrywanego zadania załadunku. Zakładamy obecnie dodatkowo, że maksymalna kubatura ładunku wynosi d oraz objętość zajmowana przez jedną sztukę j-tego przedmiotu wynosi hj (j = 1,2,. . .,N)

Do poprzedniego zadania należy obecnie dołączyć dodatkowy warunek ograniczający na całkowitą objętość ładunku.

Ostatecznie zadanie przyjmie wtedy postać

. max

1



 

 N j

c

x

z

przy warunkach ograniczających

N j

x

N j

x

d x h

b x w

j j N j

j j N j

j j

, . . , 2 , 1 calkowite

, . . , 2 , 1 0

1 1





















Jest to tzw. ‘dwuwymiarowe zadanie ładunku’.

1.5.4. Zagadnienie optymalnego przyporządkowania.

Danych jest n maszyn. Każda z tych maszyn może wytwarzać n różnych detali.

Koszt wytworzenia i-tego detalu na j-tej maszynie wynosi wij. (i,j = 1, 2, ...„ n).

Należy dokonać przydziału każdego z detali do jednej z maszyn, na których będą one wytwarzane tak, aby łączny koszt wytwarzania w ustalonym okresie czasu był minimalny.

Oznaczymy przez xij (i,j 1. 2. ...„ n) boolowską zmienną decyzyjną, którą definiujemy następująco:





przypadku przeciwnym

w 0

maszyny tej

- j do ny przydzielo zostaje

detal ty - i gdy 1 xij

Wtedy postawione zagadnienie prowadzi do następującego modelu optymalizacyjnego:







i n j

w

x

z

1 1

. min

przy warunkach ograniczających

n j

i x

n i

x

n j

x

ij n

j ij

n

i ij

, . . , 2 , 1 , 1 lub 0

, . . , 2 , 1 1

, . . , 2 , 1 1

1 1





















Warunki ograniczające wynikają z faktu, że do każdej maszyny może być przydzielony dokładnie jeden detal, oraz z tego, że każdy detal może być przydzielony do dokładnie jednej maszyny.

1.5.5. Kwadratowe zadanie przydziału (lub rozmieszczenia).

Dane jest n stanowisk produkcyjnych, które należy rozmieścić w n miejscach.

 Pomiędzy stanowiskami istnieją określone powiązania w procesie produkcyjnym. Są one określone za pomocą macierzy L = [lij] (i,j = 1, 2,..., n) takiej, że jej element lij, jest równy jedności, gdy między stanowiskiem i-tym a j-tym istnieje powiązanie (np. gdy dla danego wyrobu po wykonaniu operacji na stanowisku i-tym następna operacja jest wykonywana na stanowisku j-tym) oraz zero —w przypadku braku powiązania.

 Jeżeli między stanowiskiem i-tym a j-tym istnieje powiązanie, to ponosimy koszt, który jest proporcjonalny do odległości między miejscami, na których stanowiska te zostały

rozmieszczone. Znana jest macierz C = [cij] odległości między miejscami rozmieszczania stanowisk, w której cij, (i,j = 1, 2,..., n) jest odległością miejsca i-tego od j-tego.

Należy dokonać rozmieszczenia stanowisk tak, aby ogólne nakłady związane z realizacją powiązań między stanowiskami były minimalne.

Oznaczmy przez xik (i = 1, 2,..., n) boolowskie zmienne decyzyjne, określone następująco:





przypadku przeciwnym

w 0

miejscu tym

- k w ulokowane jest

stanowisko te

- i gdy 1 xik

Zauważmy, że jeżeli między stanowiskiem i-tym a j-tym istnieje powiązanie (tzn. lij, = 1) oraz stanowisko i-te zostanie usytuowane na miejscu k-tym (tzn. xik =1)

a stanowisko j-te na l-tym (tzn. xjl = 1), to wtedy ponosimy koszt proporcjonalny do odległości między miejscem k-tym a l-tym.

Inaczej, koszt ten jest. proporcjonalny do: lijcklxijxjl ckl

Z powyższego wynika następująca postać zadania







i n j

n k

n

l

l

c

x

x

z

1 1 1 1

. min

przy warunkach ograniczających

n k

i x

n i

x

n k

x

ij n

j ik

n

i ik

, . . , 2 , 1 , 1 lub 0

, . . , 2 , 1 1

, . . , 2 , 1 1

1 1





















Warunki ograniczające wynikają z tego że każde stanowisko musi być rozmieszczone tylko jeden raz (tzn. na jednym tylko miejscu) oraz że w każdym z miejsc musi być ulokowane dokładnie jedno stanowisko.

Jest to kwadratowe zadania przydziału lub kwadratowe zadania rozmieszczenia. Zadania tego typu mają dość szeroką interpretację. Obejmują one, oprócz zagadnień rozmieszczania obiektów, wiele zagadnień z zakresu układów logicznych. Z tego względu zadania tego typu bywają nazywane zadaniami projektowania logicznego.