MODELOWANIE STREFY STYKU KULKOWYCH ŁOŻYSK WIEŃCOWYCH ORAZ ANALIZA NUMERYCZNA WSPÓŁCZYNNIKA TWARDOŚCI

41, s. 157-164, Gliwice 2011

MODELOWANIE STREFY STYKU KULKOWYCH ŁOŻYSK WIEŃCOWYCH

ORAZ ANALIZA NUMERYCZNA WSPÓŁCZYNNIKA TWARDOŚCI

LUDWIK KANIA, RAFAŁ PYTLARZ, PIOTR RESZKA

Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Politechnika Częstochowska e-mail pytlarz@imipkm.pcz.pl

Streszczenie. Niniejsza pracy zawiera numeryczną analizę współczynnika twardości, stosowanego w obliczeniach obciążenia granicznego łożysk tocznych kulkowych. Współczynnik twardości jest szczególnie ważny w łożyskach wieńcowych, gdyż uwzględnia on różnice twardości elementów tocznych i bieżni tychże łożysk. Poprawne określenie nośności łożysk zależy m.in. od dokładnego określenia dopuszczalnego obciążenia elementów tocznych, a więc również współczynnika twardości. W pracy przeprowadzono obliczenia numeryczne z uwzględnieniem odkształceń plastycznych w strefie styku kulki z bieżnią.

1. WSTĘP

Łożyska wieńcowe, stosowane w maszynach roboczych wyróżniają się, na tle zwykłych łożysk wieńcem zębatym oraz rozmiarami bieżni. Bieżnie łożysk wieńcowych osiągają średnicę kilkunastu metrów i więcej, dlatego też technologia ich wykonania jest skomplikowana i kosztowna. Projektując mechanizmy obrotu maszyn, należy dobrać takie łożysko, które przeniesie wymagane obciążenie. Parametrem decydującym o zdolności łożyska do przenoszenia obciążenia zewnętrznego jest jego nośność. Oblicza się ją na podstawie znajomości dystrybucji obciążenia wewnętrznego, zależnej od stanów deformacji bieżni, związanych ze strukturami podparcia pierścieni łożyskowych, oraz od wzajemnych proporcji poszczególnych składowych obciążenia zewnętrznego. Dokonując analizy obciążenia strefy styku części tocznych z bieżniami łożyska, określa się wartość siły dopuszczalnej Pdop, a następnie zakłada się, że w żadnym elemencie tocznym obciążenie Pij

nie może przekroczyć siły dopuszczalnej:

j

ij P

P ≤ dop (1)

gdzie j jest indeksem rzędu obliczeniowego łożyska.

Obliczenia nośności łożysk przeprowadza się dla ich stanu granicznego, czyli takiego obciążenia części tocznej, które jest równe sile dopuszczalnej:

j

j P

P_max = _dop (2)

gdzie Pj max jest największym obciążeniem części tocznej w j – tym rzędzie łożyska.

Dopuszczalne obciążenie części tocznych w łożyskach wieńcowych określa się na podstawie jednego z dwóch kryteriów:

• deformacji plastycznych w strefie styku,

• maksymalnej wartości nacisków na powierzchni stykających się elementów.

Wykorzystując każde z nich, napotykać można różne trudności i niejasności. Najczęściej w obliczeniach łożysk wieńcowych stosuje się kryterium dopuszczalnych deformacji plastycznych [1, 2], jednakże żadne ze wspomnianych kryteriów nie jest uprzywilejowane. W pracy [3] przedstawiono obszerną analizę tego zagadnienia, ostatecznie przyjmując, że w łożyskach wieńcowych, zwłaszcza z bieżniami hartowanymi, obciążenie dopuszczalne części tocznych będzie się obliczać na podstawie granicznych wartości odkształcenia plastycznego δpl odniesionego do średnicy części tocznych d:

dop 4

10 2⋅ ⁻ d =

δpl

(3)

Skutkiem wspomnianych wcześniej trudności technologicznych związanych z produkcją łożysk wieńcowych mogą być różnice w twardościach bieżni i elementów tocznych. Bieżnie o kilkunastometrowych średnicach hartuje się do twardości z przedziału 50–60 HRC. Bieżnie zwykłych łożysk osiągają twardości rzędu 62–65 HRC, czyli takie jak elementów tocznych.

Różnice między twardościami bieżni i elementów tocznych są przyczyną szybszego niszczenia bieżni, co należy uwzględnić w obliczeniach. W pracach Palmgrena [4] oraz Eschmanna [5] przedstawiono zagadnienia kontaktowe występujące w strefie styku elementu tocznego z bieżnią. Jednakże opisana w nich analiza dotyczyła łożysk zwykłych o twardościach 750 HV u Eschmanna oraz 800 HV u Palmgrena. Dlatego też do wzorów na obciążenie dopuszczalne wprowadza się współczynnik uwzględniający mniejsze twardości stykających się elementów, tzw. współczynnik twardości fH [6]. Jednakże analiza styku wałeczków z bieżniami, jak podaje literatura [3, 7], wykazała, że graniczne obciążenie części tocznej otrzymane na drodze obliczeń uwzględniających podany w [6] współczynnik twardości jest zbyt małe. Obciążenie tej wielkości nie wywołuje założonego poziomu granicznej względnej deformacji plastycznej (3), co z kolei przekłada się na niedoszacowanie nośności łożyska. W niniejszym artykule postanowiono przebadać to zjawisko dla łożysk kulkowych.

2. OBCIĄŻENIE DOPUSZCZALNE KULEK W ŁOŻYSKACH

Zależności empiryczne podane przez Eschmanna i Palmgrena pozwalają określić wartości odkształceń plastycznych danej wartości siły obciążającej element toczny.

Dla styku kulki z bieżnią łożyska Palmgren [4] podaje następującą zależność deformacji plastycznej wywołanej obciążeniem:

(

)(

)

2

10 7

3 ,

1 _{I II I II}

pl d

P ρ ρ ρ ρ

δ = ⋅ ⁻ + + [mm] (4)

gdzie siła P jest w N, a ρI1, ρII1, ρI2, ρII2 to kolejno krzywizny ciała I w płaszczyźnie 1, ciała II w płaszczyźnie 1, ciała I w płaszczyźnie 2 oraz ciała II w płaszczyźnie 2.

Obciążenie dopuszczalne kulki wynosi:

p H

dop k

a d d f

P −

−

= 1

2 cos 1 735

,

27 ⁰

2

1 α

[N] (5)

gdzie a0 jest promieniem tocznym rzędu obliczeniowego części tocznych, α jest kątem działania łożyska, kp jest współczynnikiem przylegania kulki do bieżni określonym jako:

b

p r

k d

=2 (6)

a fH1 współczynnikiem twardości:

2

1 800⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛HV

f_H (7)

Eschmann w pracy [5] podaje wzory:

5

3 0

2550 ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

=⎛

p pl

c p d

δ (8)

oraz

2 2

107

9626 , 9

p H

dop c

d

P = ⋅ f [N] (9)

gdzie cp jest współczynnikiem nacisku wynoszącym:

( )

3 2

858 ρ

ν

μ Σ

= d

c

H H

p (10)

a μH, νH są współczynnikami Hertza, natomiast Σρ jest sumą krzywizn kuli i bieżni.

Współczynnik twardości w tym wypadku jest równy:

2

1 750⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛HV

f_H (11)

Do dalszych obliczeń przyjęto zależności Eschmanna.

3. MODEL OBLICZENIOWY STREFY STYKU

Do analizy strefy styku przyjęto łożysko wieńcowe dwurzędowe o kącie działania 90° oraz współczynniku przylegania kulki do bieżni 0,96. Łożysko takie charakteryzuje się zerową krzywizną obwodową bieżni w punkcie styku. Z obliczeń przeprowadzonych w [3] wynika, że w modelu styku kulki z bieżnią w łożysku wieńcowym można bieżnie toroidalne zastąpić walcowymi. Model obliczeniowy zbudowano za pomocą metody elementów skończonych [8, 9], wykorzystując program ADINA [10]. Analizie poddano wydzielony z łożyska segment bieżni oraz 1/8 kulki o średnicy 20 mm, co przedstawiono na rys.1.

Rys. 1. Region dyskretyzacji (a) oraz warunki brzegowe (b)

Model dyskretny zbudowano z ośmiowęzłowych elementów skończonych typu „solid”, odebrano mu odpowiednie warunki brzegowe, wynikające głównie z jego symetrii oraz przyłożono do niego siłę o wartości odpowiadającej 1/4 obciążenia dopuszczalnego. Na model nałożono również dodatkowy warunek, który narzucał węzłom górnej powierzchni kulki takie same przemieszczenia jak przemieszczenia punktu, do którego przyłożono siłę. W modelu wyodrębniono strefę styku o wymiarach 7x1 mm, którą podzielono na kwadratowe elementy kontaktowe o bokach 1.25 mm (rys. 2b). W programie ADINA kontakt jest zdefiniowany przez równania opisujące związek pomiędzy naciskami powierzchniowymi.

Zagęszczenie siatki elementów skończonych wzdłuż pionowej osi symetrii spełnia warunek zasugerowany w pracy [11], który podaje, że pomiędzy powierzchnią kontaktu a punktem największego wytężenia (punktem Bielajewa) były co najmniej 3 elementy.

Rys. 2. Model obliczeniowy (a), powierzchnia kontaktu bieżni (b)

Analizowanemu modelowi obliczeniowemu przypisano dwuliniowy model materiału z umocnieniem, który zdefiniowano w programie ADINA. Przyjęto wartość modułu

sprężystości w obszarze umocnienia równą 10% modułu sprężystości podłużnej. Granicę plastyczności przy dużych twardościach stali można przybliżyć liniową zależnością:

m e

e aR

R = (12)

gdzie ae jest współczynnikiem zależnym m.in. od obróbki cieplnej stali.

4. OBLICZENIA WSPÓŁCZYNNIKA TWARDOŚCI

W analizie zjawisk zachodzących w strefie styku, uwzględniających odkształcenia plastyczne, nie należy posługiwać się granicą plastyczności. Przy takich wartościach naprężeń mogą pojawić się odkształcenia trwałe o wartościach 0,2% (dla R0,2) lub 0,02% (dla R0,02).

Ponieważ wartość odkształceń plastycznych równa 0,02% jest tego samego rzędu, co dopuszczalne odkształcenia plastyczne strefy styku, w badaniach należy posługiwać się granicą sprężystości Rs, która odpowiada naprężeniom inicjującym odkształcenia trwałe.

Na potrzeby tych badań określono modelową granicę sprężystości RsM tak ja podaje [12].

Na podstawie normy PN–93/H–04357 [13] wyznaczono wytrzymałość materiału na rozciąganie Rm w zakresie twardości 50–62 HRC. Następnie przeprowadzono obliczenia modelu bazowego o twardości 750 HV, którego znane jest obciążenie dopuszczalne.

Zmieniając w programie ADINA granicę sprężystości RsM, poszukiwano takiej jej wartości, która wywoła w modelu odkształcenia plastyczne o wartości (3). Porównując wartość RsM do Rm, otrzymano współczynnik, dzięki któremu, stosując aproksymację liniową, otrzymano modelową granicę sprężystości kolejnych rozpatrywanych twardości. Tak otrzymane wartości granicy sprężystości zostały wyznaczone jedynie na potrzeby analizowanego problemu i ich stosowanie ogranicza się jedynie do tego zagadnienia.

Kolejnym etapem badań było poszukiwanie sił, które dla rozważanego zakresu twardości wywołały odkształcenia plastyczne jak w modelu bazowym. Znając siły dopuszczalne obciążające kulki łożyska, określono wartości współczynników twardości fHk. Wyniki analizy numerycznej zamieszczono w tabeli 1. Na rys. 3 przedstawiono graficzną reprezentację współczynnika twardości w funkcji twardości Vickersa i Rockwella.

Rys. 3. Wykres współczynnika twardości

Tabela 1. Wartości modelowej granicy sprężystości, obciążenia dopuszczalnego oraz współczynnika twardości dla różnych twardości HRC HV RsM [MPa] Pdop [N] fH fHk

50 513 1598.678 4624.4 0.46786 0.39916 51 528 1647.694 4879.85 0.49562 0.42120 52 544 1715.562 5273.0 0.52611 0.45514 53 560 1768.349 5629.65 0.55751 0.48592 54 577 1837.16 6135.20 0.59187 0.52956 55 595 1905.971 6662.70 0.62938 0.57509 56 613 1974.782 7202.50 0.66803 0.62168 57 633 2047.363 7781.30 0.71234 0.67164 58 653 2127.486 8453.50 0.75806 0.72966 59 674 2212.321 9212.70 0.80760 0.79519 60 697 2288.673 9950.10 0.86366 0.85884 61 720 2364.083 10698.85 0.92160 0.92347 62 746 2451.746 11478.20 0.98936 0.99074 Wyznaczone wartości współczynnika twardości aproksymowano funkcją potęgową o podstawie jak we wzorze Eschmanna. Dzięki temu otrzymana zależność na współczynnik fH

przyjmuje postać:

488 , 2

0191 750 ,

1 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛HV

f_Hk (13)

5. ANALIZA OTRZYMANYCH WYNIKÓW

Badania omawiane m.in. w [12, 14], dotyczące analizy współczynnika twardości dla łożysk wieńcowych wałeczkowych, wykazały, w zależności od twardości, niedoszacowanie obciążenia dopuszczalnego od 0,38% do 17,83%. Przedstawione w tym artykule wyniki pokazują, że w łożyskach wieńcowych kulkowych obciążenie dopuszczalne obliczane na drodze analitycznej jest zbyt duże. Wartości przeciążenia w łożyskach wieńcowych kulkowych są tego samego rzędu co niedociążenia w łożyskach wieńcowych wałeczkowych (rys. 4).

Rys. 4. Porównanie współczynnika twardości: fHk – w łożyskach wieńcowych kulkowych, fH – obliczonego ze wzoru (11) i fHw – w łożyskach wałeczkowych wg [12]

6. UWAGI KOŃCOWE

• Przedstawiony w tym artykule sposób obliczania odkształceń plastycznych strefy styku wieńcowych łożysk kulkowych wykazał rozbieżności pomiędzy wartościami otrzymanego współczynnika twardości na drodze analitycznej i numerycznej. Różnice te wyniosły od 0,13%, dla twardości 62 HRC, do 15% dla 51 HRC. Otrzymane wartości względnych odkształceń plastycznych przewyższają wartość podaną zależnością (3), co może skutkować szybszym niszczeniem łożyska. Przedstawionych rezultatów analizy nie należy traktować jako ostatecznych. Są one jedynie punktem wyjścia do dyskusji w kwestii tego zagadnienia.

• W celu dokładniejszego przebadania zjawisk zachodzących w strefie styku łożysk kulkowych przewiduje się dalsze obliczenia tych łożysk dla innych współczynników przylegania kulki do bieżni.

• Przedstawione w artykule wartości modelowej granicy sprężystości określono jedynie na potrzeby przedstawionej analizy. Wartości tych nie można stosować do innych obliczeń.

Dokładniejsze określenie nośności łożysk wymaga lepszego poznania właściwości stali hartowanych w zakresie najczęściej stosowanych twardości.

• Użyta w przytoczonej analizie zagadnienia kontaktowego metoda elementów skończonych umożliwiła łatwą adaptację modelu numerycznego do rozważanego problemu. Dokładność oraz czas obliczeń w znacznej mierze zależy do liczby elementów skończonych oraz mocy jednostki obliczeniowej.

LITERATURA

1. Mazanek E.: Modele obliczeniowe i charakterystyki nośności statycznej łożysk tocznych wieńcowych. Seria: Monografie, nr 62. Częstochowa: Wyd. Pol. Częst., 1999.

2. Smolnicki T.: Fizykalne aspekty koherencji wielkogabarytowych łożysk tocznych i odkształcalnych konstrukcji wsporczych. Wrocław: Ofic. Wyd. Pol. Wrocł., 2002.

3. Kania L.: Analiza obciążenia wewnętrznego w łożyskach tocznych wieńcowych w aspekcie ich nośności statycznej. Seria: Monografie, nr 111. Częstochowa: Wyd. Pol.

Częst., 2005.

4. Palmgren A.: Grundlagen der Wälzlagertechnik. Stuttgart. Francklische Verlagshandlung 1964.

5. Eschmann P., Hasbergen L., Weigand K.: Die Wälzlagerpraxis. Handbuch für die Berechnung und Gestaltung von Lagerungen. München, Wien : R. Oldenburg Verlag, 1987.

6. Krzemiński-Freda H.: Łożyska toczne. Warszawa : PWN, 1989.

7. Kania L.: Wpływ deformacji plastycznych na charakterystyki zastępcze wałeczków łożyskowych w łożyskach wieńcowych. Zesz. Nauk. Wydz. Mech. Pol. Koszal., 2001. z.

28. s.165-172.

8. Bathe K.J.: Finite element procedures. New Jersey: Prentice Hall, 1996.

9. Rusiński E., Czmochowski J., Smolnicki T.: Zaawansowana metoda elementów skończonych w ustrojach nośnych maszyn. Wrocław: Ofic. Wyd. Pol. Wrocł., 2000.

10. ADINA: Theory and modeling guide. Vol. 1: ADINA. ADINA R&D, Inc., Watertown 2005.

11. Stańco M., Kowalczyk M.: Wpływ obciążenia właściwego kuli na proces rozwalcowania bieżni łożyska wielkogabarytowego. W: XX konferencja naukowa „Problemy rozwoju maszyn roboczych Zakopane 2007. Streszczenia referatów, 2007, s.321-324.

12. Kania L.: Wyznaczanie dopuszczalnego obciążenia wałeczków w łożyskach wieńcowych. Zesz. Nauk. Wydz. Mech. Pol. Koszal., 2007. Z. 40. s.135-142.

13. PN-93/H-04357: Tablice porównawcze twardości określonej sposobem Rockwella, Vickersa, Brinella, Shore’a i wytrzymałości na rozciąganie.

14. Kania L., Pytlarz R., Reszka P: Numeryczna analiza współczynnika twardości w modelowaniu strefy styku łożysk tocznych wieńcowych. „Transport Przemysłowy i Maszyny Robocze” 2010, 1(7), s. 62-65.

MODELING OF THE CONTACT ZONE IN LARGE BALL BEARINGS AND NUMERICAL ANALYSIS OF HARDNESS FACTOR

Summary. This paper contains a numerical analysis of the hardness factor, which is used in the calculation of limited load of slewing ball bearings. Hardness factor is particularly important in large bearings because it takes into consideration significant differences in hardness of the rolling elements and raceways of these bearings. The correct determination of bearing capacity depends, among others to accurately determine admissible load of rolling elements, therefore the hardness factor. In this paper the numerical calculation with allowing plastic strain of contact zone of ball and bearing raceway has been investigated.

Pracę wykonano częściowo w ramach projektu nr N N502 266237