Minoration de la p´ eriode du d´ eveloppement de √ a 2n 2+ bn + c en fraction continue

LXVII.1 (1994)

Minoration de la p´ eriode du d´ eveloppement de ^√ a ² n ² + bn + c en fraction continue

par

Ahmed Farhane (Caen)

I. Introduction. Pour (a, b, c) ∈ N ^∗ × Z × Z, nous consid´erons le poly- nˆome f (X) = a ² X ² +bX+c, de discriminant d = b ² −4a ² c suppos´e non nul et l’ensemble e Z des entiers n tels que f (n) soit positif non carr´e. Nous noterons p(α) la longueur de la p´eriode du d´eveloppement en fraction continue du nombre quadratique r´eel α.

A. Schinzel [5] a d´etermin´e l’ensemble E des entiers rationnels n v´erifiant les propri´et´es suivantes :

(1) La longueur de la p´eriode du d´eveloppement en fraction continue de p f (n) est born´ee ind´ependamment de n lorsque n appartient `a e Z \ E.

(2) La longueur de la p´eriode du d´eveloppement en fraction continue de p f (n) tend vers l’infini avec n lorsque n appartient `a E.

S. Louboutin [4] a montr´e que pour tout n ´el´ement de E p( p

f (n)) ≥ 2

 log p f (n) log |β|

 + 1

avec β = (b ² − 4a ² c)/pgcd(2a, b) ² et o` u [x] d´esigne la partie enti`ere de x.

E. Dubois et R. Paysant Le Roux [1] ont donn´e une minoration effective lorsque f (X) = a ² X ^2d + . . . + a _2d avec a, a ₁ , . . . , a _2d entiers.

Lorsque f (X) = X ² + h, avec h dans N ^∗ , l’auteur [2] a prouv´e que pour tout n dans e Z tel que h ne divise pas 4n ² (caract´erisation de E) on a

p( p

f (n)) ≥ 3

 log p f (n) log h

 .

Nous am´eliorons le r´esultat de [4] dans le cas o` u d < 0 en prouvant : II. R´ esultat principal

Th´ eor` eme. Soit f (X) = a ² X ² + bX + c un polynˆome de discriminant d = b ² − 4a ² c strictement n´egatif. Soit n dans e Z tel que d ne divise pas

[63]

4(2a ² n + b) ² . Alors la longueur de la p´eriode du d´eveloppement en fraction continue de p

f (n) v´erifie p( p

f (n)) ≥ min(3M ₁ , 3M − 2) ≥ 3M − 3

 log u log |β|



− 3 o`u

g = pgcd(2a, b), β = (b ² − 4a ² c)g ⁻² , u = 2ag ⁻¹ , M =

 log p f (n) log |β|



, M ₁ =

 log p

f (n) − log u log |β|

 .

P r e u v e. Notons N (α) la norme dans le corps quadratique Q( p f (n)) d’un ´el´ement α de ce corps, v := bg ⁻¹ , a ₁ := aun + v = (2a ² n + b)g ⁻¹ , b ₁ := u = 2ag ⁻¹ et consid´erons x = a ₁ + b ₁ p

f (n). La norme de x est ´egale

`a β et en d´efinissant, pour k ≥ 1, les entiers a _k et b _k par x ^k = a _k +b _k p f (n), nous avons a ² _k − b ² _k f (n) = β ^k ainsi que les relations de r´ecurrence

(1) a k+1 = a 1 a k + b 1 b k f (n), b k+1 = a k b 1 + a 1 b k .

Nous utiliserons les notations classiques du d´eveloppement en fraction con- tinue : p

f (n) = [t ₀ , t ₁ , . . .],

(2) α _i = [t _i , t _i+1 , . . .], p _i /q _i = [t ₀ , . . . , t _i ], ϕ _i = p _i + q _i p f (n).

Rappelons que si l est la longueur de la p´eriode minimale, alors ϕ _l−1 est l’unit´e fondamentale sup´erieure `a 1 de Z[ p

f (n)].

Lemme 1. Sous les hypoth`eses et les notations du th´eor`eme il existe, pour tout entier rationnel k v´erifiant 1 ≤ k ≤ M , un unique entier rationnel, i _k , tel que le rationnel a k /b k soit la r´eduite p i

/q i

de p

f (n), et les entiers N _k = |p ² _i

− f (n)q _i ²

| sont deux `a deux distincts.

P r e u v e. Notons d k le plus grand diviseur commun de a k et b k et posons A _k = a _k /d _k et B _k = b _k /d _k . Nous avons

|A ² _k − B ² _k f (n)| = |β| ^k /d ² _k < p

f (n), pour 1 ≤ k ≤ M.

Il en r´esulte (voir [3], chapitre 10) l’existence d’un indice i _k tel que A _k = p _i

et B _k = q _i

.

Puisque par hypoth`ese d ne divise pas 4(2a ² n + b) ² , il existe un nombre premier p tel que la valuation p-adique, v p , v´erifie

(3) v p (d) > 2v p (2(2a ² n + b)), soit v p (β) > 2v p (2a 1 ).

A partir des relations (1) et (3) on obtient facilement (voir [2], lemme 2), pour k ≥ 1,

(4) v p (a k ) = (k − 1)v p (2a 1 ) + v p (a 1 ), v p (b k ) = (k − 1)v p (2a 1 ),

v _p (d _k ) = (k − 1)v _p (2a ₁ ).

Par suite v p (N k ) = kv p (β) − 2v p (d k ) = k(v p (β) − 2v p (2a 1 )) + 2v p (2a 1 ) et les |N _k | sont deux `a deux distincts.

Lemme 2. Avec les notations pr´ec´edentes nous avons, pour tout entier k compris entre 1 et M , i k 6≡ k mod 2 et i k ≥ 3(k − 1) + i 1 .

P r e u v e. Puisque β < 0 (car d < 0) et, pour tout k, 1 ≤ k ≤ M , N (ϕ _i

) = β ^k /d ² _k , k et i _k et par suite i _k et i _k+1 sont de parit´e contraire.

Soit k un entier compris entre 1 et M − 1 et montrons que i _k+1 − i _k ≥ 3.

Puisque x ^k = d _k ϕ _i

nous avons d _k+1 |ϕ ⁰ _i

| = d _k |ϕ ⁰ _i

x ⁰ | si y ⁰ d´esigne le conjugu´e alg´ebrique du nombre quadratique y.

Comme |x ⁰ | < 1 et d _k divise d _k+1 nous avons |ϕ ⁰ _i

| < |ϕ ⁰ _i

| et donc i k+1 − i k ≥ 1.

S’il existe t tel que 1 ≤ t ≤ M − 1 et i _t+1 − i _t = 1 nous aurons a _t b _t+1 − a _t+1 b _t = (p _i

q _1+i

− p _1+i

q _i

)d _t d _t+1 = (−1) ¹⁺ⁱ

d _t d _t+1 et puis, en utilisant (1), b 1 (a ² _t − b ² _t f (n)) = b 1 β ^t = (−1) ¹⁺ⁱ

d t d t+1 .

Nous obtenons une contradiction avec (3) et (4) puisque v _p (b ₁ β ^t ) > 2tv _p (2a ₁ ) ≥ (2t − 1)v _p (2a ₁ ) = v _p (d _t d _t+1 ).

En cons´equence, i _k+1 − i _k ≥ 3 pour k = 1, . . . , M − 1 et i _k ≥ 3(k − 1) + i ₁ pour 1 ≤ k ≤ M .

Lemme 3. Soient ε ₀ > 1 l’unit´e fondamentale de Z[ p

f (n)] et M 1 =

 log p

f (n) − log u log |β|

 . Alors nous avons ϕ _i

< ε ₀ pour 1 ≤ k ≤ M ₁ .

P r e u v e. Si i ₁ = 0 le lemme 6 de [2] montre que ϕ _i

< ϕ _i

< . . . <

ϕ i

< ε 0 .

Consid´erons maintenant le cas i ₁ > 0. Si ϕ _i

< ε ₀ le lemme r´esulte de M ≥ M 1 . Sinon soit s minimal tel que ϕ i

≥ ε 0 . Nous devons montrer s > M ₁ .

Comme le groupe U des unit´es de Z[ p

f (n)] op`ere sur l’ensemble E = {ϕ k : k ≥ 0} des meilleures approximations (≥ 1) de p

f (n), il existe un indice j ≥ 0 tel que ϕ _i

= ε ₀ ϕ _j . Montrons que j < i ₁ .

Sinon, j ≥ i ₁ et d ⁻¹ _s x ^s = ϕ _i

= ε ₀ ϕ _j ≥ ε ₀ ϕ _i

= ε ₀ x. Pour s = 1 on a une contradiction avec d 1 = 1 et ε 0 > 1. Pour s > 1 on a une contradiction avec le choix minimal de s puisque

ϕ _i

≥ d _s−1 d ⁻¹ _s ϕ _i

= d ⁻¹ _s x ^s−1 ≥ ε ₀ . On a donc j < i 1 et par suite

(5) q _j+1 ≤ q _i

= u.

Par ailleurs, des propri´et´es des fractions continues :

|ϕ ⁰ _j | = |q _j α _j+1 + q _j−1 | ⁻¹ , α _j+1 < 1 + t _j+1 , q _j+1 = a _j+1 q _j + q _j−1 il r´esulte que

(6) |ϕ ⁰ _j | > (q _j+1 + q _j ) ⁻¹ . Or |ϕ _j ϕ ⁰ _j | = |N (ϕ _i

)| = |β| ^s d ⁻² _s et donc

(7) (q j+1 + q j )|β| ^s > |ϕ ⁰ _j | ⁻¹ |β| ^s = d ² _s ϕ j ≥ ϕ j = p j + q j

p f (n).

Puisque s ≤ M on a q _j |β| ^s ≤ q _j [ p

f (n)] ≤ [q _j p

f (n)] ≤ p _j . En com- posant avec (5), (6) et (7) on obtient

u|β| ^s ≥ q _j+1 |β| ^s > ϕ _j − q _j |β| ^s > p _j + q _j p

f (n) − p _j ≥ p f (n) et donc s > M ₁ , ce qui prouve le lemme 3.

P r e u v e d u t h ´e o r `e m e. Notons l la longueur de la p´eriode du d´eve- loppement en fraction continue de p

f (n). On sait alors que ε 0 = ϕ l−1 . Si ε ₀ > ϕ _i

on a l−1 ≥ i _M et d’apr`es le lemme 2, l ≥ 3(M −1)+i ₁ +1 ≥ 3M −2.

Sinon soit s minimal tel que ϕ i

≥ ε 0 avec 1 ≤ s ≤ M. On a alors l − 1 ≥ i _s−1 . Par la preuve du lemme 3 on a i ₁ 6= 0. Avec le lemme 2 on obtient

l ≥ 3(s − 2) + i 1 + 1 ≥ 3(M 1 − 1) + 2 + 1 = 3M 1 .

Lorsque ϕ _i

≥ ε ₀ on a l ≥ 3M ₁ et lorsque ϕ _i

< ε ₀ on a l ≥ 3M si i 1 6= 0 et l ≥ 3M − 2 sinon. Par ailleurs, en remarquant que

M 1 =

 log p

f (n) − log u log |β|



≥ M −

 log u log |β|



− 1, on obtient le th´eor`eme.

Corollaire. Pour f (X) = a ² X ² +bX +c de discriminant d = b ² −4a ² c suppos´e non nul on a :

lim inf

n→∞ n∈E

p( p f (n))

M ≥

n 2 si d > 0, 3 si d < 0

o`u E est l’ensemble des entiers n tels que d ne divise pas 4(2a ² n + b) ² et f (n) positif non carr´e parfait.

P r e u v e. Le cas d > 0 est trait´e dans [4] et le cas d < 0 r´esulte imm´ediatement de notre th´eor`eme.

R e m a r q u e. Pour f (X) = X ² + X + 1 nous avons d = −3, u = 2, β = −3, [log u/ log |β|] = 0 mais M 1 = M − 1 (c’est ´el´ementaire `a v´erifier).

On peut aussi v´erifier que E = {n : n 6= 0, n 6= −1 et n 6≡ 1 mod 3} et que i ₁ 6= 0. Notre ´enonc´e montre que p( p

f (n)) ≥ 3M − 3.

Pour montrer l’optimalit´e du facteur 3 nous avons d´etermin´e la sous- famille explicite suivante. Pour n = 3 ^m (m ≥ 1) nous obtenons, en notant α _i et a _i les quotients complets et incomplets de α ₀ = p

f (3 ^m ), pour 0 ≤ j ≤ m, α _3j = 3 ^m − 1 + α ₀

3 ^j , a _3j = 2 · 3 ^m−j − 1, α _3j+1 = 3 ^m − 3 ^j + 1 + α ₀

2 · 3 ^m − 3 ^m−j − 3 ^j + 2 , a _3j+1 = 1, α _3j+2 = 3 ^m − 3 ^m−j + 1 + α ₀

3 ^m−j ,

a 3j+2 =

 2 · 3 ^j − 1 si 0 ≤ j ≤ m − 1, 2 · 3 ^m si j = m,

ce qui donne α 3m+2 = 3 ^m + α 0 , a 3m+2 = 2 · 3 ^m et donc p( p

f (3 ^m )) = 3m + 2 = 3M + 2 et lim inf

n→∞ n∈E

p( p f (n))

M = 3.

Pour compl´eter cet exemple il est facile de v´erifier que pour n ≡ 1 mod 3, p( p

f (n)) = 6.

R´ ef´ erences

[1] E. D u b o i s et R. P a y s a n t L e R o u x, Sur la longueur du d´eveloppement en fraction continue de p

f (n), Ast´erisque 198-199-200 (1991), 107–109.

[2] A. F a r h a n e, Sur la longueur du d´eveloppement de √

n ² + h en fraction continue, C. R. Acad. Sci. Paris S´er. I 316 (1993), 537–540.

[3] L. K. H u a, Introduction to Number Theory, Springer, 1982.

[4] S. L o u b o u t i n, Une version effective d’un th´eor`eme de A. Schinzel sur longueurs des p´eriodes de certains d´eveloppements en fractions continues, C. R. Acad. Sci.

Paris S´er. I 308 (1989), 511–513.

[5] A. S c h i n z e l, On some problems of the arithmetical theory of continued fractions, Acta Arith. 6 (1961), 393–413.

UNIVERSIT´ E DE CAEN, U.F.R. SCIENCES D´ EPARTEMENT DE MATH´ EMATIQUES ESPLANADE DE LA PAIX

14032 CAEN CEDEX, FRANCE

Re¸cu le 19.7.1993

et r´evis´e le 1.12.1993 (2465)