Wykład 2: algorytmy sterowania

Podstawy automatyki Wykład 2: algorytmy sterowania

dr inż. Przemysław Zakrzewski

Instytut Informatyki

Politechnika Poznańska

przemyslaw.zakrzewski@cs.put.poznan.pl

Plan wykładu

• Sterowanie:

✓ sygnał analogowy (ciągły), dyskretny i cyfrowy,

✓ obiekt sterowania,

✓ układ otwarty,

✓ układ zamknięty – układ automatycznej regulacji UAR.

• Opis dynamiki układów:

✓ równania różniczkowe,

✓ równania różnicowe.

• Algorytmy sterowania:

✓ regulatory klasyczne typu: P, I, PI, PD, PID,

✓ wskaźniki jakości.

• Implementacja UAR.

f(t)

t 0

Sterowanie: sygnał analogowy (ciągły)

Oznaczenia:

f(t) – sygnał analogowy (ciągły), t – czas [s].

T

0 1 t = nT

f(nT

) f(t)

Sterowanie: sygnał dyskretny

Oznaczenia:

f(t) – sygnał analogowy (ciągły), f(nT_p) – sygnał dyskretny, t – czas [s], n – chwila próbkowania, T_p– okres próbkowania [s].

t = nT

0 T

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001

f(nT

) f(t)

1

Sterowanie: sygnał cyfrowy

Oznaczenia:

f(t) – sygnał analogowy (ciągły), f(nT_p) – sygnał cyfrowy, t – czas [s], n – chwila próbkowania, T_p– okres próbkowania [s].

Sterowanie: obiekt sterowania

Zmienne procesowe:

h(t) – poziom substancji w zbiorniku [m], Q_d(t) – natężenie dopływu [m³/s], Q_o(t) – natężenie odpływu [m³/s].

Parametry:

A – pole powierzchni przekroju porzecznego zbiornika [m²].

Q

(t) Q

(t)

A

h(t)

Sterowanie: układ otwarty

Zmienne procesowe:

h(t) – poziom substancji w zbiorniku [m], h^*(t) – wartość zadana poziomu substancji w zbiorniku [m], Q_d(t) – natężenie dopływu [m³/s], u(t) – wielkość sterująca (np. natężenie prądu, napięcie).

Regulator

h

(t) Urządzenie h(t)

wykonawcze Zbiornik

u(t) Q

(t)

Obiekt sterowania

Obiekt sterowania

Regulator

h

(t) Urządzenie h(t)

wykonawcze Zbiornik

Urządzenie pomiarowe

e(t) u(t) Q

(t)

h

(t)

Sterowanie: układ zamknięty – UAR

Zmienne procesowe:

e(t) – uchyb regulacji [m], h(t) – poziom substancji w zbiorniku [m], h^*(t) – wartość zadana poziomu substancji w zbiorniku [m], h_p(t) – wartość zmierzona poziomu substancji w zbiorniku [m], Q_d(t) – natężenie dopływu [m³/s], u(t) – wielkość sterująca (np. natężenie prądu, napięcie).

Opis dynamiki układów: równania różniczkowe

f(t)

t 0

f(t

) f(t

)

t

t

Δt Δf(t)

Iloraz różnicowy:

∆𝑓 𝑡

∆𝑡 = 𝑓 𝑡 ₂ − 𝑓 𝑡 ₁ 𝑡 ₂ − 𝑡 ₁ Pochodna funkcji:

𝑑𝑓 𝑡

𝑑𝑡 = lim

∆𝑡→0

∆𝑓 𝑡

∆𝑡 𝑑𝑓 𝑡

𝑑𝑡 = lim

∆𝑡→0

𝑓 𝑡 ₁ + ∆𝑡 − 𝑓 𝑡 ₁

∆𝑡

Zmienne procesowe:

h(t) – poziom substancji w zbiorniku [m], Q_d(t) – natężenie dopływu [m³/s], Q_o(t) – natężenie odpływu [m³/s].

Parametry:

A – pole powierzchni przekroju porzecznego zbiornika [m²], β – współczynnik wypływu [m^5/2/s].

Q

(t) Q

(t)

A

h(t)

Opis dynamiki układów: równania różniczkowe

Bilans masy całkowitej:

𝐴 𝑑ℎ 𝑡

𝑑𝑡 = 𝑄 _𝑑 𝑡 − 𝑄 _𝑜 𝑡 Odpływ swobodny:

𝑄 _𝑜 𝑡 = 𝛽 ℎ 𝑡 𝐴 𝑑ℎ 𝑡

𝑑𝑡 + 𝛽 ℎ 𝑡 = 𝑄 _𝑑 𝑡

f(nT

)

nT

0

f(n) f(n+1)

n n+1

T

Δf(n)

Iloraz różnicowy:

∆𝑓 𝑛

𝑇 _𝑝 = 𝑓 𝑛 + 1 − 𝑓 𝑛 𝑇 _𝑝

Pochodna funkcji:

𝑑𝑓 𝑡

𝑑𝑡 ≡ ∆𝑓 𝑛 𝑇 _𝑝

Opis dynamiki układów: równania różnicowe

Parametry:

T_p– okres próbkowania [s].

Zmienne procesowe:

h(n) – poziom substancji w zbiorniku [m], Q_d(n) – natężenie dopływu [m³/s], Q_o(n) – natężenie odpływu [m³/s].

Parametry:

A – pole powierzchni przekroju porzecznego zbiornika [m²], β – współczynnik wypływu [m^5/2/s].

Q

(n) Q

(n)

A

h(n)

Opis dynamiki układów: równania różnicowe

Bilans masy całkowitej:

𝐴 ∆ℎ 𝑛

𝑇 _𝑝 = 𝑄 _𝑑 𝑛 − 𝑄 _𝑜 𝑛 Odpływ swobodny:

𝑄 _𝑜 𝑛 = 𝛽 ℎ 𝑛 𝐴 ∆ℎ 𝑛

𝑇 _𝑝 + 𝛽 ℎ 𝑛 = 𝑄 _𝑑 𝑛

• Równanie różnicowe:

𝐴 ∆ℎ 𝑛

𝑇 _𝑝 + 𝛽 ℎ 𝑛 = 𝑄 _𝑑 𝑛

• Rozwiązanie równania różnicowego – rekurencja:

൞

ℎ 0 = ℎ ₀ ℎ 𝑛 + 1 = 1

𝐴 −𝛽 ℎ 𝑛 + 𝑄 _𝑑 𝑛 𝑇 _𝑝 + ℎ 𝑛

Opis dynamiki układów: równania różnicowe

Algorytm pozycyjny:

𝑢 𝑛 = 𝑘 _𝑝 𝑒 𝑛 Algorytm przyrostowy:

∆𝑢 𝑛 = 𝑢 𝑛 − 𝑢 𝑛 − 1

∆𝑢 𝑛 = 𝑘 _𝑝 ∆𝑒 𝑛

Algorytmy sterowania: regulator typu P

Nastawy regulatora:

k_p– wzmocnienie regulatora [-], T_p– okres próbkowania [s].

u(n)

nT

0

e(n)

k

1

Algorytm pozycyjny:

𝑢 𝑛 = 𝑇 _𝑝 𝑇 _𝑖 ෍

𝑘=0 𝑛

𝑒 𝑘 Algorytm przyrostowy:

∆𝑢 𝑛 = 𝑢 𝑛 − 𝑢 𝑛 − 1

∆𝑢 𝑛 = 𝑇 _𝑝

𝑇 _𝑖 𝑒 𝑛

Algorytmy sterowania: regulator typu I

Nastawy regulatora:

T_i– stała całkowania [s], T_p– okres próbkowania [s].

u(n)

nT

0

e(n)

T

1

Algorytm pozycyjny:

𝑢 𝑛 = 𝑘 _𝑝 𝑒 𝑛 + 𝑇 _𝑝 𝑇 _𝑖 ෍

𝑘=0 𝑛

𝑒 𝑘 Algorytm przyrostowy:

∆𝑢 𝑛 = 𝑢 𝑛 − 𝑢 𝑛 − 1

∆𝑢 𝑛 = 𝑘 _𝑝 ∆𝑒 𝑛 + 𝑇 _𝑝

𝑇 _𝑖 𝑒 𝑛

Algorytmy sterowania: regulator typu PI

Nastawy regulatora:

k_p– wzmocnienie regulatora [-], T_i– czas zdwojenia [s], T_p– okres próbkowania [s].

u(n)

nT

0

e(n)

1 k

I

P

Algorytmy sterowania: regulator typu PI

Nastawy regulatora:

k_p– wzmocnienie regulatora [-], T_i– czas zdwojenia [s], T_p– okres próbkowania [s].

u(n)

nT

0

e(n)

T

1

k

2k

I

P

Czas zdwojenia:

𝑇 _𝑖 = 𝑛 _𝑖 𝑇 _𝑝

takie, że:

𝑢 _𝐼 𝑛 _𝑖 = 𝑢 _𝑃 𝑛 _𝑖

dla:

𝑒 𝑛 = 𝟏 𝑛

Algorytm pozycyjny:

𝑢 𝑛 = 𝑘 _𝑝 𝑒 𝑛 + 𝑇 _𝑑

𝑇 _𝑝 ∆𝑒(𝑛) Algorytm przyrostowy:

∆𝑢 𝑛 = 𝑢 𝑛 − 𝑢 𝑛 − 1

∆𝑢 𝑛 = 𝑘 _𝑝 ∆𝑒 𝑛 + 𝑇 _𝑑

𝑇 _𝑝 ∆ ² 𝑒 𝑛

Algorytmy sterowania: regulator typu PD

Nastawy regulatora:

k_p– wzmocnienie regulatora [-], T_d– czas wyprzedzenia [s], T_p– okres próbkowania [s].

u(n)

nT

0

e(n)

1 k

D

P

Algorytmy sterowania: regulator typu PD

Nastawy regulatora:

k_p– wzmocnienie regulatora [-], T_d– czas wyprzedzenia [s], T_p– okres próbkowania [s].

Czas wyprzedzenia:

𝑇 _𝑑 = 𝑛 _𝑑 𝑇 _𝑝

takie, że:

𝑢 _𝐷 𝑛 _𝑑 = 𝑢 _𝑃 𝑛 _𝑑

dla:

𝑒 𝑛 = 𝑡 ∙ 𝟏 𝑛

u(n)

nT

0

e(n)

T

k

D

P

Algorytm pozycyjny:

𝑢 𝑛 = 𝑘 _𝑝 𝑒 𝑛 + 𝑇 _𝑝 𝑇 _𝑖 ෍

𝑘=0 𝑛

𝑒 𝑘 + 𝑇 _𝑑

𝑇 _𝑝 ∆𝑒(𝑛) Algorytm przyrostowy:

∆𝑢 𝑛 = 𝑢 𝑛 − 𝑢 𝑛 − 1

∆𝑢 𝑛 = 𝑘 _𝑝 ∆𝑒 𝑛 + 𝑇 _𝑝

𝑇 _𝑖 𝑒 𝑛 + 𝑇 _𝑑

𝑇 _𝑝 ∆ ² 𝑒 𝑛

Algorytmy sterowania: regulator typu PID

Nastawy regulatora:

k_p– wzmocnienie regulatora [-], T_d– czas wyprzedzenia [s], T_i– czas zdwojenia [s], T_p– okres próbkowania [s].

u(n)

nT

0

e(n)

1 k

I

P

D

Uchyb ustalony:

𝑒 _𝑢𝑠𝑡 = lim

𝑛→∞ 𝑒 𝑛

lub:

𝑒 _𝑢𝑠𝑡 = lim

𝑛→∞ ℎ ^∗ 𝑛 − ℎ 𝑛

Algorytmy sterowania: wskaźniki jakości

h(n)

nT

0

h

(n)

e

Przeregulowanie:

ℎ _𝑢𝑠𝑡 = lim

𝑛→∞ ℎ 𝑛 𝜅 = ℎ _𝑚𝑎𝑥 − ℎ _𝑢𝑠𝑡

ℎ _𝑢𝑠𝑡 ∙ 100%

Algorytmy sterowania: wskaźniki jakości

h(n)

nT

0

h

(n) h

h

Czas regulacji:

𝑡 _𝑟 = 𝑛 _𝑟 𝑇 _𝑝

gdzie:

ሥ

𝑛>𝑛

ℎ _𝑢𝑠𝑡 − ∆ℎ ≤ ℎ 𝑛 ≤ ℎ _𝑢𝑠𝑡 + ∆ℎ

∆ℎ = 0,01 ÷ 0,05 ∙ ℎ _𝑢𝑠𝑡

Algorytmy sterowania: wskaźniki jakości

h(n)

nT

0

h

(n)

h

Δh

t

Algorytmy sterowania: wskaźniki jakości

• Całkowe wskaźniki dokładności regulacji:

✓ układy ciągłe:

𝐼 _𝑒 = න

0 𝑡

𝑒 𝑡 𝑑𝑡 𝐼 _𝑒 ² = න

0 𝑡

𝑒 ² 𝑡 𝑑𝑡

✓ układy cyfrowe:

𝐼 _𝑒 = 𝑇 _𝑝 ෍

𝑘=0 𝑛

𝑒 𝑘 𝐼 _𝑒 ² = 𝑇 _𝑝 ෍

𝑘=0 𝑛

𝑒 ² 𝑘

Algorytmy sterowania: wskaźniki jakości

• Całkowe wskaźniki kosztów regulacji:

✓ układy ciągłe:

𝐼 _𝑢 = න

0 𝑡

𝑢 𝑡 𝑑𝑡 𝐼 _𝑢 ² = න

0 𝑡

𝑢 ² 𝑡 𝑑𝑡

✓ układy cyfrowe:

𝐼 _𝑢 = 𝑇 _𝑝 ෍

𝑘=0 𝑛

𝑢 𝑘 𝐼 _𝑢 ² = 𝑇 _𝑝 ෍

𝑘=0 𝑛

𝑢 ² 𝑘

Krok 0: Określenie wartości zadanej oraz wartości początkowej poziomu substancji.

Krok 1: Wyznaczenie wartości uchybu regulacji .

Krok 2: Wyznaczenie wartości wielkości sterującej.

Krok 3: Wyznaczenie wartości natężenia dopływu.

Krok 4: Wyznaczenie wartości poziomu substancji.

Krok 5: Jeżeli osiągnięto liczbę kroków symulacji to STOP, w przeciwnym przypadku przejdź do kroku 1.

Implementacja UAR

NIE TAK

h

(n), h

n = 0, N

e(n) = h

(n) – h(n) u(n) = f[e(n)]

Q

(n) = f[u(n)]

h(n) = f[Q

(n)]

n > N START

STOP

n = n + 1

Dziękuję za uwagę

Konsultacje:

przemyslaw.zakrzewski@cs.put.poznan.pl