Nu= k d. =0,8. długość przewodu l = 2m. Oddawanie ciepła odbywa się poprzez

Zad 1

Obliczyć straty ciepła z powierzchni przewodu grzejnego o średnicy d=3mm, temperatura przewodu tp = 100ºC. Przewód znajduje się w powietrzu o temperaturze to = 10ºC. Emisyjność materiału przewodu =0,8 . długość przewodu l = 2m. Oddawanie ciepła odbywa się poprzez konwekcję swobodną i radiację.

Konwekcja swobodna:

liczby podobieństwa:

Nu=C Pr Grⁿ obliczenia dla średniej temperatury: t_s=t_pt_o

2 czyli t_s=55^oC dla tej temperatury parametry powietrza:

_s=18,5⋅10^{−6 m2} s

= 1 328

1 K

=2,86⋅10⁻² _{m K}^W

Gr=d³g  t

_s² = 212,35 Pr = 0,697

Gr Pr = 148,00 dla tego wyniku mamy z tablic:

Nu=1,18 Pr Gr^0,125 Nu = 2,20

Nu=_kd

 ^{stąd k=} Nu 

d _k = 21 ^W m²K

P_k=_kd l t_p−t_o co daje Pk = 35,64 W

Radiacyjna:

P_r= ₀T⁴_p−T_o⁴⋅⋅d l stąd Pr = 11,07 W P = Pr + Pk = 46,71 W

a więc żeby utrzymać przewód w temperaturze 100ºC w spokojnym powietrzu o temperaturze około 10ºC należy dostarczyć do niego 46,71 W

Zad 1a

Obliczyć straty ciepła z powierzchni przewodu grzejnego o średnicy d=3mm, temperatura przewodu tp = 100ºC . Przewód znajduje się w powietrzu o temperaturze to = 10ºC , poruszającym się prędkością w=20 m/s. Emisyjność materiału przewodu =0,8 . długość przewodu l = 2m.

Oddawanie ciepła odbywa się poprzez konwekcję wymuszoną i radiację. Kierunek natarcia wiatru w kierunku prostopadłym do przewodu ( nie wzdłuż). Przewód ustawiony również poziomo.

Radiacyjna (identyczna jak w zadaniu poprzednim) Pr= ₀T4p

−To4

⋅⋅d l stąd Pr=44,26 ^W m² Należy obliczyć liczbę Reynoldsa

dla temperatury średniej powierzchni przewodu i temperatury powietrza, aczkolwiek dopuszczam też obliczenia dla temperatury powietrza (w wielu pozycjach literaturowych stosuje się temperaturę tf, która raz jest definiowana jako średnia tf = (tp+to)·0,5 a raz po prostu jako temperatura płynu omywającego. Zadanie rozwiązano stosując obydwa podejścia.

1. obliczenia dla średniej temperatury: t_f=t_pt_o

2 czyli tf=55^oC

_s=18,5⋅10⁻⁶ m² s

Re=w d

_s = 3243,24 wzór Żukauskasa

Nu_f=0,25 Re^0.6_f Pr^0.35_f ⋅





_k=Nu_f

d = 269,35 W/m²K

P_k=_kd l t_p−t_o co daje Pk = 456,94 W P_r= ₀T⁴_p−T_o⁴⋅⋅d l stąd Pr = 11,07 W P = Pr + Pk = 468 W

2. obliczenia dla tf = to - poprawne zgodnie z wzorami!

_s=14,15⋅10⁻⁶ m² s

Re=w d

_s = 4240,28 wzór Żukauskasa

Nu_f=0,25 Re^0.6_f Pr^0.35_f ⋅





_k=Nu_f

d = 279,54 W/m²K

P_k=_kd l t_p−t_o co daje Pk = 474,23 W P_r=εσ₀(T⁴_p−T_o⁴)⋅π⋅d l stąd Pr = 11,07 W P = Pr + Pk = 485,3 W

Zad 2 opływ przewodu w którym płynie prąd

Przez przewód o średnicy d = 10 mm, rezystywności =5 ⋅10⁻⁷ m , przepływa prąd o

natężeniu I = 150 A. Przewód znajduje się w powietrzu o temperaturze t_o=20 ^oC . Źródło ciepła (prąd) jest rozłożone równomiernie w przekroju przewodu. Obliczyć maksymalną temperaturę w przewodzie oraz rozkład. Przewodność cieplna właściwa przewodu p=100 W

m K . Wyznaczyć współczynnik przejmowania ciepła przy założeniu, że wieje wiatr ochładzający przewód z

prędkością w = 2 m/s.

Rozwiązanie:

Aby wyznaczyć współczynnik przejmowania ciepła należy najpierw założyć pewną temperaturę na powierzchni przewodu

tp = 80ºC

temperatura obliczeniowa : t_s=t₀ czyli ts = 20ºC

dane z tablic dla powietrza dla temperatury średniej:

ν_s=15,06⋅10^{−6 m}

2

s

λ = 0,0259 _{m K}^W

ponieważ konwekcja jest wymuszona należy wyznaczyć:

Re=w d

_s = 1328,02

należy teraz odnaleźć w tablicach odpowiedni wzór – opływ strumieniem powietrza cylindra

wzory Żukauskasa dla Re>1000:

Nu=0.25 R e^0.6Pr^0.35_f

(

)

przy czym Prf jest liczbą Pr dla temperatury płynu, a Prw dla temperatury powierzchni przewodu Prf = 0,704

Prw = 0,692 Nu = 16,61

_k=Nu _f

d ^k = 43,02 ^W m²K moc odbierana na drodze konwekcji

P_k=_kd l t_p−t_o co daje Pk = 81,09· l W P radiacji

P_r= ₀T⁴_p−T_o⁴⋅⋅d l stąd Pr = 11,62 W

moc generowana w przewodzie w wyniku przepływu prądu elektrycznego suma mocy P = Pk + Pr = 92,71 W

P_e= 4  l

d²I² = 143,24 · l W

ponieważ moc odbierana z powierzchni przewodu jest za mała, oznacza to że źle została przyjęta temperatura powierzchni przewodu

dalsze obliczenia w programie WxMaxima

Zad 3 - przepływ przez kanał

Obliczyć moc użyteczną i długość kanału nagrzewnicy rurowej o średnicy wewnętrznej d = 10 mm i temperaturze roboczej t₁=70^oC , służącej do podgrzewania wody od t_w=10^oC do

t_k=30^oC . Wydajność nagrzewnicy m˙ = 30 ^kg_h .

Ciepło właściwe wody ^Cw = 4190

[

]

temperatura wody na wlocie do rurki:

t_f1=t₁+t_w

2 czyli tf1 = 40^oC temperatura wody na wylocie do rurki:

t_f1=t₁+t_k

2 czyli tf2 = 50^oC temperatura średnia wody:

t_f=t_f1+t_f2

2 czyli tf = 45^oC

dane z tablic dla wody dla temperatury średniej:

ρ=990 ^kg m³

ν_s=0,6⋅10^{−6 m2} s

aby policzyć prędkość przepływu, należy zauważyć, że według przepływu, w ciągu godziny przepływa 30 kg wody, przez rurę o średnicy d = 10 mm. Aby mieć prędkość wody, należy odnieść się do gęstości wody, i niejako obliczyć długość kanału z objętości i gęstości.

l= m

d²

4  Ponieważ ^w=l_t więc:

w= m˙

d²

4  co daje w = 0,107 ^m_s Re=w d

_s = 1786,25 co daje przepływ laminarny:

Nu_f=0,15 Re^0,33_f Pr^0,43_f Gr^0,1_f





t_k = 30ºC t_w = 10ºC

t_w = 70ºC

_L przyjmujemy równy jedności, zakładamy więc, że ^{L50 d} Pr_f to Pr dla temperatury średniej wody = 3,9

Pr_w to Pr dla temperatury rury = 2,55 Grashoffa obliczamy dla temperatury tf

=4,2⋅10⁻⁴ _K¹

Gr_f=β_fd³g Δ t

ν²_f = 286125 Nu_f = 12,45

dla t_s=20^oC λ=64⋅10⁻² _{m K}^W

_k = 796,81 _m^W2K

suma współczynników przejmowania ciepła:

moc dostarczona z powierzchni rury (pomiędzy powierzchnią grzejną rury i średnią temperaturą wody):

P=_cd l t₁−t_f = 625,81 W

moc potrzebna do nagrzania wody o  t=20^oC ( w przybliżeniu przy pominięciu strat) P=c_w ˙m t = 700 W

l= P

_cd t₁−t_w czyli l = 1,11 m

Zad 4 – wymuszona z płaską płytą

Obliczyć współczynnik przejmowania ciepła z płaskiej ściany budynku, w warunkach silnego wiatru wiejącego z prędkością w = 20 m/s o temperaturze to = -10˚C. Powietrze przepływa wzdłuż ściany budynku. Ściana budynku jest wysokości h=4m, i szerokości L=10m. Wewnętrzna temperatura w budynku wynosi tw=20˚C (zakładamy, że jest praktycznie identyczna temperatura na powierzchni ściany i powietrza wewnętrznego). W obliczeniach uwzględnić oddawanie ciepła przez radiację. Emisyjność powierzchni ściany ε = 0,8.

Temperatura założona na powierzchni zewnętrznej ściany tp=0˚C.

temperatura obliczeniowa tf = -10ºC

dane z tablic dla powietrza dla temperatury średniej:

ν_s=12,43⋅10^{−6 m}

2

s

Re=w L

_s = 16,09·10⁶

Nu=0,037 Re^0.8_m Pr_m^0.43





Prf = 0,712 (z tablic) (zgodnie z opisem w tabelach najczęściej temperaturę obliczeniową przyjmuje się dla temperatury płynu)

Prw = 0,707 ( temperatura założona powierzchni ściany zewnętrznej)

Nu=_kL

 stąd ^k=Nu 

L _k = 44,02 ^W m²K Ilość ciepła przekazywana przez promieniowanie:

P_r=L⋅h  ₀T⁴_p−T_o⁴ = 1397,5 W Pk = 17609 W

Pc = 19007 W

zad 5

Przez rurę długości l=12 m i średnicy wewnętrznej d = 10 cm i temperaturze roboczej t₁=50^oC , przepływa rozgrzane powietrze o temperaturze t_p=300^oC . Oczekiwana wydajność chłodzenia

m˙ = 100 ^kg_h . Obliczyć temperaturę powietrza na wylocie z rury ^tk .

Zadanie należy rozwiązać zakładając pewną temperaturę początkową. np. t_k=250^oC

0 a

t_w α t_o

temperatura wody na wlocie do rurki:

t_f1=t₁+t_p

2 czyli tf1 = 175^oC temperatura wody na wylocie do rurki:

t_f1=t₁+t_k

2 czyli ^tw = 150^oC temperatura średnia powietrza:

t_f=t_f1+t_f2

2 czyli ^tw = 162.5^oC

dane z tablic dla powietrza dla temperatury średniej tf : ρ=0,815 ^kg

m³

ν_s=30,09⋅10^{−6 m2} s

aby policzyć prędkość przepływu, należy zauważyć, że w ciągu godziny przepływa 100 kg powietrza przez rurę o średnicy d = 10 cm. Aby znaleźć prędkość, należy odnieść się do gęstości i niejako obliczyć długość kanału z objętości i gęstości.

l= m

d²

4  Ponieważ ^w=l_t więc:

w= m˙

d²

4  co daje w = 5,34 ^m_s Re=w d

_s = 14422

Nu_f=0,021 Re^0,8_f Pr^0,43_f





_L przyjmujemy 1,0

Pr_f to Pr dla temperatury średniej powietrza = 0,682 Pr_w to Pr dla temperatury rury = 0,698

Nu_f = 37,36

λ=3,64⋅10⁻² _{m K}^W

_k = 13,6 W/m²K

moc odbierana przez powierzchnię rury:

P=α_kπd l (t_f−t₁) = 480,63 W

moc uzyskiwana z powietrza w rurze ( spadek temperatury  t=50^oC ) c_w = 1042 _{kg K}^J

P=c_w ˙m t = 1447,22 W czyli temperaturę tk przyjęto za niską (za duży spadek temperatury) należałoby podwyższyć temperaturę na wylocie i powtórzyć obliczenia. (w programie WxMaxima sprawdzono efekt zarówno podwyższenia jak i obniżenia)