Statistische eigenschappen van stationaire Gaussische processen

519.241

III. S t a t i s t i s c h e e i g e n s c h a p p e n v a n S t a t i o n a i r e

• G a u s s i s c h e p r o c e s s e n .

-d o o r ï r . J . A . B a t t j e s , Wetenschappelijk Hoof-dme-dewerker Afd. der Weg- en Waterbouwkunde T . H . Delft ' . • ' : -•

Delft UftJverslty o ! T e c h n c l o g v

Sympsls: SruiLUka/Propcrn\\\-of Suniimnry CwixsUm Proccs^s^^^^ ' • •

A review is given of some staiistical propenics of slaiionars' Gaussian processes. Attention is given to the distri-bution of inslancous valuer, the average internal between level crossings, the averaac inter%'al between maxima lhe distnbm.on of the heights ofthe maxima and ofthe cresl-to-trough heights, and the distribution of the largest height of a finite number of maxima. • •

Inleiding • . . ;.. , " .• Dc belasting die door wind en water op cen constructie wordt

uitgeoefend kan vaak worden beschouwd als cen Gaussisch proces, evenals de responsie van de constructie op deze belas-ting. De tlicorie van Gaussische processen is ver ontwikkeld, met name voor die gevallen waarin dc statistische eigenschappen constant zijn in de tijd. In dit artikel wordt een globaal overzicht gegeven van enkele theoretische resultaten die van belang zijn voor praktische toepassingen; uitvoerige afleidingen worden niel gegeven. Wcl zullen de theoretische uitgangspunten worden genoemd, evenals diverse onderlinge verbanden tussen de resultaten; cr wordt slechts ccn aniankelijkc variabele be-schouwd, als functie van één onafhankelijke variabele.

Stochastische variabelen • ^ '- ' ' •

Stochastische variabelen nemen per definitie onvoorspelbare waarden aan; zij worden in termen van waarschijnlijkheid be-schreven. De kans dat een stochastische grootheid :i- een waarde -xniet overschrijdt wordt geschreven als Pr',s ^ . r ) ; deze is een functie van .r. de verdelingsfunclie ^(.x-):

F(x)V' Pr{x<x} ' • • . •

De afgeleïdc van F(x). die in het hierna volscnde steeds ver-ondersteld wordt te bestaan, is de kansdichtheidsfunctic (afge-kort: k.d.f.)/{.v):

Pr[x<x<x-i-Ax] / W = ^ > = l i n i

óx Ax

D c verkvachtingswaarde van cen functie van .x, bijv. ft(x). is het gemiddelde van dc mogelijke waarden van /). gewogen met de kans op v ó ó r k o m e n :

/ i ( x ) / ( x ) d j

De verwachiingswaardc of het gemiddelde van sis:

D c variantic van j.- is:

Indien cr sprake is van meer dan één stochastische variabele, B 4 4

bijv. van x,. x^... x,. kan men een n-dimensionale simultane orsamengeslelde verdelingsfunctie definiëren:

-^i -^^J "H- Pr{x, ê . V , . X, è x, X. ^ x.y mei de overeenkomstige k.d.f.

f(x„.x, x , ) . ;

• . ^ - ^ j dx, . . •

De variabelen = 1 . 2 n) ?.ijn stochastisch onaHianke-lijkjndicn: , . .

/ ( X f ^ i x„)-A>:Jf(x,)..../(x,)

De venvachtingswaarde van een functie /t(.ï,. x^ y . ) is:

f(x,,x^ x,) dx^óx^:...óx,.

De covariantie van twee stochastische variabelen Xi en Xj. met gemiddelden /(,. en fij, is: .

<^i.j'"' El(Xi - i'i) (^j - l'j}] = Elx.xj] - li.Hj

Indien j = O heten x, en Xj ongccorreleerd; stochastisch onafhankelijke variabelen zijn altijd ongecorreleerd.

Beschouw nu /) stochastisch onafliankelijke variabelen x,., met gemiddelden /;. cn varianties a] (i = 1. 2. .... n); de sorn i ' = '^ £ i heeft cen gemiddelde n i = 2 : u . en een variantie

m

^ = " f . Onder vrij ruim gestelde voldoende voonvaarden.

ongeveer inhoudende dat geen dcr bijdragen tot de som over-heersend is. geldt.dat voor « - . co de k.d.f. van v naden tot: / 0 . ) = - g = _ e x p /

Dit is de Gaussische of normale k.d.f.; de stelling waar^-an hel bovenstaande een schetsmatige weergave is heet de cenirale limeisiclling in één dimensie. Uitbreiding hien'an lot A' dimen-sies voert tot de A'-dimensionalc Gaussische k.d.f. van .V stochastische variabelen (k = 1, 2 A'). Deze is geheel bepaald door dc gemiddelden £ [ i ' J en de covurianiics

stochastische processen

.,aat bij e e n experiment een reële grootheid .x worden gemeten lis functie van (bijv.) dc tijd /. Herhalingen van het experiment >ij dezelfde controleerbare macroscopische omstandigheden eidcn veelal niet tot identieke resultaten; dc respectieve ge-neten tijdfunctics \ „ | , k = 1, 2, kunnen dan beschouwd

.vordcn als realism irs van een siocluislisc/i p'roirs De r-erzamcling van feitelijke en mogelijke realisaties wordl het ensemble genoemd.

Bij de beschrijving van het proces gaat het o m datgene dat de realisaties gemeenschappelijk hebben; er wordt doelbewust geen sandaclu geschonken aan datgene waarin zij op toevallige wijze van elkaar verschillen. De statistische eigenschappen van het proces worden daarom in principe bepaald door tc middelen Dver de respectieve realisaties, d.w.z. over het ensemble. De venvachtingswaarden van de beschouwde grootheden worden per definitie gelijk gesteld aan dc ensemble-gemiddelden.

Voor de beschrijving van een slochastisch proces is hel nodig Dm voor elk willekeurig aantal ii van willekeurig gekozen tijd-stippen (i = 1, 2 ll) dc «-dimensionale verdelingsfunctie F ( . v , . . V j x,)'"J P r \ s { Q g -v,. xU.) g -v, i ( 0 ^ .v„} [c kennen. Belangrijke kenmerken zijn de gemiddelden /((/,•) 'i' £lxUi)] en de (auto)covarianties €(1^,1^) '''J E[[sO,) -- / ' ( ' . -- ) } { -- 1 ( 0 ) -- / ^ C ; ) } ] . , ' [ndien de verdelingsfuncties F(.v,, -v,) invariant zijn legen ccn verschuiving in de tijd noemt men het proces uaiionair. Daarbij zijn de gemiddelden f l i f / , ) ) onalTiankelijk ran de lijd (en bijv. gelijk aan /i) en de autocovarianties slechts afliankelijk van de tijdsverschillen — t j = x:

C(/... IJ) = ROc - t j ) = R(x) =E[<x(t) - / i } [xU + T ) - tl}]

. . . . . v • • (3.1)

De spectrale dichihciti S(OJ) van cen stationair proces kan men Jefiniëren als dc fourier-cosinus-gctransformeerde van de auto-rovariantiefunctlc. Indien S{CÜ) slechts wordt gedefinieerd voor w è O volgt: . . .• :. • .

• • : \ : (3.2) S(co) = ?

TC ,

Rir) c o s t u T d r

De inverse relatie is:

R ( T ) =

ƒ

:• - . O ' Voor dc variantic van ',x(l)} geldt dan:

u' = E[(.r(/) - R(0) = S(w) dco

(33)

(3.4)

• Bij stationaire processen is hel zinvol om in de realisaties ge-middelden over dc tijd tc bepalen; indien de tijdsgcmiddclden met kans ccn hetzelfde resultaat opleveren als de cnsemblc-gcmiddcldcn noemt men hel proces erpicliscli.

Een stochastisch proces \x(i)\ heet Gaussisch of iwrnuuil indien de verdelingsfuncties f(.v,. .Vj .v„) alle Gaussisch zijn. Een dergelijk proces is tn statistische zin beschreven door de gcmiddeklen /t(f,.) en dc autocovarianties Cit^. f j). Staiionaire Gatissisclic processen met gemiddelde nul zijn in statistische zin dus geheel beschreven door dc autocovariantiefunclie Rlx). ofwel, gezien vergelijking (3.3), door hci variantiedichtheids-spcctmm Slvj). Indien dergelijke processen ccn begrensde spectrale dichtheid hebben (geen lijnen in het spectrum) zijn zij crgodisch; wij zullen ons in hel hierna volgende tot ergodische Gaussische'proccssen beperken.

Fig. I . Registratie van drukfluctuaties in deining, gciiiclen op 19 m beneden het gemiddelde" waternivcau [9].

Realisaties ran stationaire Gaussische processen hebben meestal de gccjaanic van een nict-pcriodicke, oscillerende functie. Is hel variantiedjchthcidsspcctrum smal, dan hebben dc realisaties dc gedaante van een amplitude-gemoduleerde sinus; zij zijn dan betrekkelijk regelmatig. Met toenemende breedte van het speclrum worden de realisaties minder regelmaiig. Fig. 1 geeft ccn regislralie van de drukfluctuaties in cen deining, gemeten op 19 m beneden het gemiddelde watemiveau. Dc registratie kan bij benadering worden opgevat als een deel van een realisatie van ccn Gaussisch proces: het bijbehorende spectrum is vrij smal. "Het veelvuldig voorkomen van processen die bij benadering Gaussisch zijn vindt zijn theoretische verklaring in de centrale limiclslelling. met name in het feil dat deze van toepassing is onder zeer ruime voorwaarden. Hel beschouwde proces moet opgevat kunnen worden als de som van de bijdragen van een groot aantal storingsbronncn. waarbij dc bijdragen stochastisch onafhankelijk moeten zijn: voor het laatste is hel nodig dat het systeem waar \x(t)} uit voortkomt lineair is. Als in het systeem dispcrsieve gollvooriplaniing oplrecdi lioe\on aan de siormgs-bronnen geen hoge eisen te worden gesteld, behalve t.a.v. hun aantal, dat groot moet zijn. De aanvankelijk eventueel aan-wezige afliankclijkheid tussen de diverse bijdragen zal nl. als gevplg van de optredende dispersie verdwijnen met toenemende afstand van dc bronnen. Bij hiboratoriumsimulaties van zee-golven wordl hiervan met vrucht gebruik gemaakt.

?(a)) is dc bijdrage" tot de variantie van [jr(/)!. per eenheid van requentie. De gehele functie 5(CJ) wordt wel het variantie- of rncrgic- of vcrmogensdichihcidsspcctnim genoemd. De mo-menten van 5(6j) t.o.v. CÜ = O zijn gedefinieerd door:

m/1'

f

Dc variantie van [^(0} isdus:

(3.5)

:;!^:T(.v,:.-i

) d ü j = / H . \ • (3.6)

StatislLsche eigenschappen van stationaire Gaussische processen

r

Achtereenvolgens zullen beschouwd worden: dc verdeling van de momentane waarden, de gemiddelde frcqucnile van niveau-doorgangen, de gemiddelde frcquenlle van dc ma.xima, dc ver-deling van de hoogten van de ma.vima en van de top-dal hoogten, alsmede de verdeling van de grootsle^wuarde van een eindig aantal maxima of top-da! hoogten.- In een aantal gevallen zullen mcelresuliaten worden gegeven: deze zijn bedoeld als ccn illu-stratie van dc theorie: een kwantitatieve toetsing van de theo-retische resultaten wordt hier niel nagestreefd. Opgemerkt zij

. dat stationaire Gaussische processen in statistische zin sym-metrisch zijn l.o.v. hun gemiddelde waarde; in plaats van dc •maxima hadden dus even goed dc minima beschouwd kunnen

worden.

Dc verdeling van de momentane waarden •• •

U i l het gegeven dat fjrfO} een Gaussisch proces is volgt on-middellijk dat sir) Gaussisch verdeeld is. Het gemiddelde is per derinitie nul; de variantic wordt geschreven als m,,; de k.d.f. van is dan: . . . .. .

1!

Fig. 2. Histogram van de Windsnclhcidseomponent in de gemiddelde wmdnchtmg, gemeten op 12 m boven zeeniveau JU].

Gezien hel ergodische karakter van ls(i)} kan/(.t)dT - behalve als Pr ;.r < jr(/) ^ x + d.v) (bij vaste /) - ook worden opgevat als de fraaie van de üjd dat \x < 'x{i) ^ x + dx} (bij vaste k).

In cen aantal gevallen heeft het voordelen om x{i) te nor-meren door te delen door de standaardafwijking:

(4.3) De k.d.f. van ^ ( / ) ï s :

1

J2

• In de fig. 2. 3 en 4 wordt cen drietal gemeten verdelingen ver-geleken met de normale verdeling. De gemeten grootheden zijn illustratief voor een aantal belangrijke toepassingsgebieden van de theorie van Gaussische processen in de waterbouwkunde: ccn turbulent (wind)snelheidsveld. windgolven, en cen responsie op die golven.

Fig. 5. Tijdsintervallen tussen opeenvolgende opwaartse niveau-doorgangen (dcfinitieschcts).

f

O O i o

R as. - O o o o O

Fig. 3. Cumulatieve frequentieverdeling van druknucluatics in dei-ning [9].

Cxuitïjche fc.d.f.

gemeten hijtojrjra

O 0,1 0,2 o5

— ilingerticik Iridulenl

Fig. 4. Histogram van de slingcrhock van eén in zee drijvende boei [gJ. .

Gemiddelde frequentie van niveaudoorgangen

ln het voorgaande kwam de kans ter sprake dal x{i) onder of boven cen bepaald niveau .-c zou liggen. De tijdsintervallen T{x) tussen opeenvolgende opwaartse (of neergaande) doorgangen door zo'n niveau komen in deze paragraaf aan de orde (fig. 5).

De verdelingsfunctie van T{x) is niet bekend voor wille-keurige X. Slechts voor 1(0) zijn bruikbare benaderingen be-schikbaar; deze moeten van geval tol geval numeriek worden bepaald uit het spectrum S{c>) [7].

De verwachtingswaarde £"[r(.Y)] is echter exact bepaald door Rice {10], met het volgende resultaat:

(4:4) Het gemiddelde aantal opwaartse (of neenvaartse) doorgangen per eenheid van tijd, d.w.z. de gemiddelde frequentie ers'an.^is:

(4.5)

Het gemiddelde tijdsinterval lussen opwaartse (of neerwaartse) nuldoofgangen is: —

cn de bijbehorende gemiddelde frequentie:

" - h m • .

(4.6)

(4.7) 6 46

Dc grootheden Tj, cn zijn praktisch bruikbare parameters yoor cen kenmerkende periode, resp. frequentie, van stationaire processen. Hel feit dat zij, ahhans voor Gaussische processen, op eenvoudige manier van het spectrum 5 ( « ) afhangen maakt het gebruik van deze parameters extra aantrekkelijk.

Een voorbeeld van een vergelijking tussen gemeten en be-rekende waarden van is gegeven in fig. 6. Dc gemeten is direct bepaald uit registraties van dc hoogte van het watcr-oppen'lak bij aanwezigheid van windgolven; uit deze registraties zijn schattingen bepaald van S{o}) op basis waarvan de waarden van 2K zijn berekend [12].

15

t 1 1-15

Fig, 6. Vcrgcbjking van gemeten gemiddelde tijdsintervallen tussen opeenvolgende opwaartse nuldoorgangen (Tg) met de waarden, jcrekcnd uit de energiespectra overeenkomstig vergelijking (4.6) [12].

1 emiddelde frequentie van de maxima

;en maximum van x{t) komt overeen met een neerwaartse óx{t)

luldoorgang van

d/ . Voor de berekening van de k.d.f. van Ic tijdsintervallen tussen opeenvolgende maxima kunnen dus ie in [7] gegeven benaderingen voor dc k.d.f. van de tijdsintcr-fallcn tussen opeenvolgende neerwaartse nuldoorgangen worden

dx{t) •ebru ikt, toegepast op •egeven is door:

§•(£0) = Sico)

waarvan het spectrum S(wi)

(4.8) definieer als het gemiddelde tijdsinterval tussen maxima; tit de vergelijkingen (4.6), (4.8) en (3.4) volgt dan:

Iet gemiddelde aantal maxima per tijdseenheid is [10]:

D U W - E N W A T E R B O U W K U N D E 3 / 7 J U L I 1972. * .

-, «lef

• mai/mt

Fig. 7. Hoogten van dc maxima (defïnilicschcts).

h GauuhcM k.d.f. /. = 1 Rajltigh k.d.f 0,1-- ^ 5 0,1-- 2 0,1--1,5 0,1--1 0,5 V5 3.5

Rg. 8. Dc kansdichtheidsfunctic van dc genormeerde hoogten van dc maxima, overeenkomstig vergelijking (4.11), voor een aantal waarden van p.

De hoogten ran de maxima

Rice berekende naast dc gemiddelde frequentie van de maxima van een stationair Gaussisch proces ook de k.d.f van de hoogten (xJ van dc maxima; zijn resultaat is nader uitgewerkt door Cartwright en Longuet-Higgins [4].'

Beschouw hel genormeerde proces { | ( / ) } ; de functiewaarde ter plaatse van ccn maximum wordt aangeduid niet §^ (fig. 7); opgemerkt zij dal negatief kan zijn. Het resultaat van Rice voor de k . d . f / ( ^ ) van is:

waarin: nt. e ' dv Q = (4.11) (412)

D c bijbehorende overschrijdingskans ö(r;) Pr'^, > t]} is:

yj2rz

tl a-e')r

e'ï" dv +Q é öv (4.13)

.Numerieke waarden van dc gegeven integralen kunnen o.a. worden bepaald mei behulp van tabellen van de fouteninlcgraaL:

erf(K) = 4 = { e^'dv^ [ X f c"'''dp (4.14)

D c genormeerde verdeling van de maxima heeft blijkbaar slechts ccn parameter, die gedefinieerd is in temicn van de momenten van het spectrum S(io); de waarde van p wordt geheel bepaald 'door dc vorm van SUo). Men spreekt van een smal specuum als dc spreiding van de spectrale dichtheid om de gemiddelde

- d f '"i

frequentie <t) ^ —- klein is t.o.v. ö ; daarbij is nt^, het k^' moment t.o.v. w = O, ongeveer gelijk aan i öT i'mQ. Voor een smal spectrum is dus p =: 1; bij toenemende breedte van het spectrum nemen de hogere momenten echter zoveel sneller loc dan dc lagere dat p O voor een zeer breed spectrum. Steeds geldt O g p. g 1. In fig. 8 is ƒ(;;) afgebeeld voor ccn aantal waairden van p. Fig. 9 geeft een gemeten verdeling van de maxima van hel uttgangsvoliage van een elektrisch circuit; het bijbe-horende spectrum is vrij breed {p = 0.50) door de aanwezigheid van twee nogal ver uil elkaar liggende rcsonaniiepieken (bij 3 0 0 H z c n 1900 Hz).

D c parameter p kan in verband worden gebracht met zicht-bare eigenschappen van dc beschouwde tijdfunctie .v(;); daar-toe worden twee interpretaties van p genoemd:

p = o,s

O meelpunlen ' " l^coreli^c^e It.d.f.roop p = 0,5

Fïg. 9. Gemeten en berekende verdeling van dc hoogten van de. maxima van hel uitgangsvollage van een elektrisch rircuit {2].

- Substitutie van de vergelijkingen (4.6) en (4.9), resp. (4.7) cn (4.10) in vergelijking (4.12) geeft: . •

(4.15)

Men kan dus op eenvoudige manier de waarde van p schatten uit ccn realisatie, nl. door de aantallen maxima en opwaartse nuldoorgangen te tellen en op elkaar te delen. Bij een smal-spectrum hebben de realisaties de gedaante van cen amplitude-gemoduleerde sinus; cr zijn dan evenveel opwaartse nuldoor-gangen als maxima, zodat n,, = n_ enp = 1. in overeenstemming met wat direct volgt uit dc definitie van p (vergelijking 4.12). Bij cen breed spectrum daarentegen zijn in de realisaties korte (hoogfrequente) oscillaties gesuperpoheerd op lange (laag¬ . frequente). Daarbij kan zich een situatie voordoen zoals ge-schetst in fig. 10, waarbij de nuldoorgangen vnl. worden be-paald door het laagfrequente deel en de aantallen maxima door

het hoogfrequente, zodat dan e = — 0

Fig. 10. Mogelijke vorm van {(/) bij breed spectrum.

B48

- Men kan aantonen dat (—>) gelijk is aan de correlatie cocffi-ciënl van sO) cn zijn tweede afgeleide, dus. bij benadering, gelijk aan de correlaticcoëfficiênt van de functiewaarde cn dc krom-ming. Dit com.plemcniccri de voorgaande interpretatie; bij een gemoduleerde sinus zijn functiewaarde en kromming sterk nega-tief gecorreleerd cn gaat p 1. Deze correlatie verdwijnt echter in gevallen zoals geschetst in fig, 10. waarbij de kromming vnl. wordt bepaald door het hoogfrequente deel. vrijwel onafhankè-lijk van de functiewaarde, die overwegend door het

laag-frequente deel wordt bepaald. . In de zojuist genoemde situatie (p -* 0. fig. 10) is de k.d.f van

de hoogten van de maxima ongeveer gelijk aan die van de raomenlane functiewaarde. d.i. dc Gaussische (vergelijking 4.3'.): dit volgt ook uit vergelijking (4.11) na substitutie van p = O (zie fig. S). In het andere uiterste, nl. van cen zeer smal spectrum, is p = I cn gaan de vergelijkingen (4.11) en (4.13) over in: • . . /{>}) = O voor»; g O . : =??c ^ voor j j > 0 en: QOl) = I voor ij g o =e » voor j j ^ O . (4.16) (4.17) Deze vergelijkingen beschrijven de zgn. ^?flvA'/^/j-verdeling. (fig. 8); deze is oorspronkelijk afgeleid voor de ordinaat van de

omhullende van .v(/) voor het geval dat het spectrum smal is. De Rayleigh-vcrdeling volgt ook uit de reeds gegeven uit-drukkingen voor de gemiddelde frequentie van niveaudoor-gangen, en n^. Bij èen smal spectrum heeft .v(/) de vorm van ccn amplitude-gemoduleerde sinus; negatieve maxima en positieve minima zijn daarbij afwezig; is dan gelijk aan het venvachte totale aantal ma.xima en ii^ aan hel venvachle aantal maxima boven het niveau x è 0. beide per eenheid van tijd. De verhouding njii^ is dan de fractie van alle maxima boven hel niveau .v > O, ofwel:

-^ = Pr{x^>x) voor j r > 0

"o - (4.18)

Substitutie van dc vergelijkingen (4.5) en (4.7) geeft:

Pr[x,>x)^e'3.m^ v o o r j : > 0 (4.19)

Dit is na normering in overeenstemniing met vergelijking (4.17). Voor praktische toepassingen van de %'crdeling van de hoogten van de maxima is het grensgeval van de Rayleigh-vcrdeling belangrijker dan het grensgeval van de normale verdeling.

/ ' V

I

h

l \ \

Fïg. I I . Schijnbare amplituden (dcnnilicschets).

ekcr voor civicl-technische toepassingen op het gebied van M n d g o l v e n e n daannee samenhangende verschijnselen zoals e bewegingen van in zee staande of drijvende constructies, de panningen e r i n c d . Dc responsiespectra zijn daarbij vaak mal als gevolg van resonantie. Het spectrum van de zeegolven :ir is vaak al smal. als gevolg van het cumulatieve effect van ispersie bij voortplanting over lange afstanden. Wanneer dit ict het geval is worden de relatief hoogfrequente componenten eelal uitgefilterd omdat zij voor de meeste toepassingen toch iet van belang zijn. Dit kan bijv. worden bereikt door slechts e zgn. schijnbare amplituden ( ^ t e beschouwen, gedefinieerd Is de grootste functiewaarde op cen interval tussen een op-aandc nuldoorgang en dc eerstvolgende neerwaartse {fig. 11). >pgemerkt zij dat ^„ altijd positief is. in tegenstelling tot <„. 'oor voldoend grote waarden van de schijnbare amplitud'cn adert d e verdeling ervan tot de Rayleigh-vcrdeling. voor alle

> 0; dit kan als volgt plausibel worden gemaakt:

Dc integralen die voorkomen in vergelijking (4.13) naderen oor voldoend grote waarden van 'o' O. resp. ÏTtl'. zodat d a n :

(4.20). 'it is een bruikbare benadering. Beschouw als voorbeeld een lectrum met p = 0,7; de relatieve fout (Q-Q*)/Q is daarbij leiner dan 0,025 voor »/ > 1. d.w.z. voor alle maxima op meer m (slechts) ccn standaardafwijking boven het gemiddelde, ij grotere )/ en/of p neemt dc fout snel af; dc benadering, ge-;vcn in vergelijking (4.20), zal daarom worden gebruikt. Door rl^a > l } drukken als een relatieve frequentie en door ibstitulie van vergelijking (4.15) ontstaat: . • • -r^'achte aantal > rj ) /i„

:rwachte aantal { I , > - « } : "„

lp basis van dc definities van n^. n„ en geldt: « 0 venvachte aantal { f ^ > _ r } ' . ' ' « venvachte aantal { I . >—

(dat vergelijking (4.21) overgaat in: ' :rwachtc aantal {|„ > JJ } • =e ' .. :., nvachte aantal {s > - « } (4.21) (4.22) ... (4J23)

oor voldoend grote i; is het aantal gebeurtenissen {^^ > t j ) et grote waarschijnlijkheid.gelijk aan het aantal gebeurtenissen

>>}}. Vergelijking (4.23) wordt dan:

•{l,>7]}^e^''\'. • • • - - (4.24) laruit blijkt dat bij benadering Rayleigh-verdeeld is. Dc uten. geïntroduceerd bij de overgang van vergelijking (4.13) lar (4.20) en van vergelijking (4.23) naar vergelijking (4.24). n van tegengesteld teken en in absolute waarde kleiner iiaar-ate grotere waarden van i] en/of p worden beschouwd. Vol-ligheidshalvc zij nog opgemerkt dat vergelijking (4.23) ook

n worden afgeleid uit de gemiddelde frequenties van de k-eaudoorgangen. Voor grote /; is de kans op minima van .;(/) iven >) venvaarloosbaar klein t.o.v. de kans op maxima iven Het aantal opgaande doorgangen door het niveau »; dan bij benadering gelijk aan het aantal maxima boven /;; :t gebruikmaking van de vergelijkingen (4.3) cn (4.5) voert l tot vergelijking (4.23). , . -. :.. •.•

, I*

f

i

, I*

H l /

V '

Fig. 12. Top-dal hoogten h en schijnbare golfhoogten Iï (definitie-schets). • • . .

De top-dathoogten ' ••

De genormeerde top-dal hoogte [i kan men definiëren als het niveauverschil van een maximum van .;(/) en het eerstvolgende minimum (fig. 12). De theoretische verdelingsfunctie van h is slechts bekend voor hel geval dat |i^(/)} een smal spectrum heefl cn dc realisaties ongeveer de voTm hebben van een sinus 'met langzaam variërende amplitude. Dc top-dal hoogten h zijn

dan steeds het dubbele van de tophoogten s„. Zodat zij een Rayleigh-vcrdeling hebben. gegeVen door:

*1 • - •

Pr {h > /!}= Pr[l > 1 h)=e~ ' , voor /. > O . (4.25)

Voor willekeurige spectrumvorrncn is de verdeling van Ii niet bekend; de venvachtingswaarde van i kan echter worden be-rekend uil de k.d.f van ^„ bij willekeurige p. Daarbij zijn ook de hoogten van de minima nodig, aangeduid met

E\b} = - f i } = EliJ - EliT} = 2Eli,} (4.26)

De laatste gelijkheid volgt uit de symmetrie, in statistische zin, van i{t) t.o.v. zijn gemiddelde. Substitutie van vergelijking (4.11) cn uitwerken geeft:

E{b} = y/2np (421)

Deze waarde gaat naar nul bij toenemende spectrumbreedte.

In de voorgaande paragraaf zijn redenen genoemd waarom vaak niet alle maxima in de analyse worden betrokken, maar slechts de grootste maxima tussen de opwaartse nuldoorgang.cn en de er op volgende neergaande. Om dezelfde redenen wordt veelal niet de lop-dal hoogte b beschouwd, maar een grootheid il. gedefinieerd als het grootste verschil in functiewaarde tussen twee opeenvolgende opwaartse (of neerwaartse) nuldoorgangen (fig. 12); deze zal kortheidshalve 'schijnbare golfhoogte' worden genoemd. Slechts in hel geval dat het beschouwde proces een smal spectrum heeft is de theoretische verdeling van ZTbekend; de grootheden li en b verschillen dan weliswaar in definitie maar niel in waarde; heeft dan dus cen Rayleigh-vcrdeling. Empirisch is komen vast te staan (althans in waterbouwkundige toepassingen) dat 2" vrijwel altijd als Rayleigh-verdeeld kan worden beschouwd. De fig. 13 en 14 geven twee gemeten ver-delingen van niet-genormeerde 'schijnbare golfhoogten'; hel betreft een histogram van spanningswissclingen in een poot van een boorplatform in de Noordzee en een cumulatieve frequentie-verdeling van de hoogten -van windgolven op het IJsselmeer tijdens een storm. . •.- • . ;:.

[«—gemtun hiitegram

0 0.5 1.0 1.5 2.0 7.5 3,0 3.5 *,0 spa nning t tons p*r squir» inch)'

Fig. 13. Histogram vari spanningen in een boorplatform in de Noord-2 e e [ l ] .

100 90 70 50 30 20 10 5 2 1 0,5 0,1 , • . . overschrijdingspercenlagB 1 Rayleigh-schaal)

Fig. 14, Cumulatieve frequentieverdeling van de hoogten van wind-golven in hct iJsselraccr bij cen gemiddelde windsnelheid van 20 ra/s (meting: Dienst der Zuiderzeewerken, 29-4-1970).

fici hoogste maximum in cen eindige realisatie

Het is vaak van belang, dc kans te kenrien dat de functiewaarde

iU) een bepaalde waarde i; zal overschrijden in cen realisatie

van eindige duur. Deze kans is gelijk aan dc kans dat hel hoogste maximum in de realisatie ( ic^,, ) de waarde»; zal overschrijden; de bepaling ervan is cen probleem uit de theorie van de extreme waarden [5]. Longuet-Higgins [6] geeft een aantal resultaten voor Gaussische processen met cen smal spectrum, terwijl, Cartwright [3] uit gaat van een willekeurige spectrumvorm; de volgende resuliatcn zijn vnl. aan hem ontleend.

Hct verwachte aantal maxima in een realisatie met gegeven duur D i s :

N = Dn. (4.28) Wij zullen veronderstellen dat dil levens het feitelijke aantal maxima is; dil is bij voldoende grote geoorloofd.

De genormeerde hoogten van dc maxima worden beschouwd

als aselecte trekkingen uit een populatie ï ^ . } die verdeeld is volgens de vergelijkingen (4.11) cn (4.13). De kans dal cen maximum dc waarde i\ niel overschrijdt is [ I — (>();));de kans dat dil geldt voor alle A' maxima is 11 — Qii})Dit is tevens dc kalis dat hct hoogste maximum niet groter is dan n: . . . .

f^M)':^ Pr{i,^^^n) = [\-Qi.ri))'' ' . , .(4-29)

Dit is de ccwensie verdelingsfunctie: de gegeven uitdrukking is echter nogal onhandelbaar, gezien de betrekkelijk grote waarden van A' die van belang zijn voor toepassingen en de ingewikkelde uitdrukking (vergelijking (4.13)) voor O ( i ; ) . Goede benaderingen zijn echter mogelijk, juist omdat A' vrij groot kan worden verondersteld, zodat voor de hoogste maxima slechts de grotere waarden van i; interessant zijn, waarbij Q{i\) klein is en voor p =r 'O bij benadering gegeven door (?*();) (verge-lijking (4.20)). Onder deze omstandigheden geldt:

waann:

2Tz\mJ

(4.30)

(4.31) A' is het verwachte aantal opwaartse nuldoorgangen.'dus ook het verwachte aantal schijnbare amplituden of 'golfhoogten'. Vergelijking (4.30) kan beschouwd worden als cen benadering van de verdelingsfunclie van dc grootste hoogte van A' maxima met individuele overschrijdingskans ila" ^^el van / ? maxima die individucel Rayleigh-verdeeld zijn. met over-schrijdfngskans g - i ' ' Opgemerkt zij dal vergelijking (4.30) ook kan worden afgeleid door toepassing van de Poisson-ver-deling op hel aantal doorgangen door een niveau //, of op hel aantal schijnbare amplituden groter dan i;.

Op basis van vergelijking (4.30) kunnen dc benodigde ken-merken van worden berekend. Voor N > ca. 20 is de .venvachtingswaarde:

^ [ | , „ . J = (2 ln N)' + 0 . 5 8 ( 2 In A ) ' ' . . ( 4 J 2 ) en de meest waarschijnlijke waarde (dc modus):

| „ _ = ( 2 I n ' / 7 ) ' (433) Deze nemen slechts langzaam toe met toenemende A'. De

standaardafwijking is ongeveer gelijk aan hel omgekeerde van de modus, cn is voor grote A' klein t.o.v. de venvachtingswaarde. Hierdoor is het mogelijk, redelijk goede schattingen te maken van de variantie van een stationair Gaussisch proces op basis van hct hoogste maximum in een eindige realisatie; er zij haar [3] venvezen voor meer details hieromtrent en voor éen empi-rische toetsing van de theorie.

Samenvatting

In hel voorgaande zijn van een stationair Gaussisch proces de verdelingsfuncties gegeven van de momentane waarden, de hoogten van de maxima, de hoogten van de schijnbare ampli-tuden cn de grootste hoogte van de maxima in een eindige realisatie. De bijbehorende kansdichiheidsfunclies zijn in onder-ling verband geschetst in flg. 15. voor aangenomen waarden p = 0,8 cn yV = 100 Tevens is aangegeven welke parameters de verdelingen hebben: naast dc duur D van de realisatie komen slechts njQ. « i , cn m^ in die hoedanigheid voor. Bij smalle spectra vervalt /;),, als onafhankelijke parameter, dit doet zich ook voor

I / )

I .

momeMene s s a r d e n , / I / I

kinidichlheid van:

hocglen »an^ tchïjnbar» ^ hooglo da maiim»,/a B E P p i i t u d e n , / * — • 0> = 0.8) ' f i l - V ^ a grwtJie m a t . , / a of ' " 0 , / » _{' " 0 y "} ef : Wo , " ' i .

Fig. 15. Ecn overzicht van de theoretische kansdichlhcidstles van rcsp. de inomcnianc lunc-liewaarilcii. de hoogten van dc maxima, de hoogten van de schijn-bare amplituden en dc grootste hoogte van cen eindig aan lal maxima of schijnbare amplituden.

dicn men afzicl van dc exacte verdeling van de hoogten van maxima en men zich tot dc benaderde verdeling van dc schijn-rc amplituden beperkt. In beide gevallen hoeft men van hef oces slechts cn /ii, tc kennen om cr cen voor veel toepas-;gen voldoend gedetailleerde statistische beschrijving van te innen geven.

Icratuur

U t L L . A. O . and W A L K K R , R . C : Dynamic Stresses in an OITshore

Mobile Drilling Unit, "Dynamic Waves in Civil Engineering', Wiley. 1971.

BROCM. J. T . : niTects of Spectrum Non-liiicaritics upon the Peak Distribution of Random Signals. Briie!& Kjacr'Tcch. Rev.. 3. 1963.

C A R l w R i C i i i T . D. E.: On estimating the mean energy ofsca waves

from the highest wave h\ a record, Proc. Roy. Soc., A, 247. 1958, pp. 32... 48.

CART WKK.IIT, D. E. and LONGLTT-MICGINS, M . S.: The statistical

distribution ofthe maxima of a random function, Proc. Roy. Soc, A,237, 1956, pp. 212... 232.

[5] GuMnr.L. E, J.: Statistics of Extremes. Columbia Univ. Press, New York. 1958. '

[6] LoNGur.T-HiCGl.s-.s. M . S.: O n the statistical distribution of the heights o f sea waves. J . o f Mar. Res.. 11. 1952. pp. 245 ... 266. [7] L o . v G L t T - H i o G i N S . M . S.: The distribution of inlcj-vals between

zeros of a stationary random function, Phil. Trans. Roy. Soc., A ,

2W. 1962,pp. 557... 599. . . .

[8) L o N G U E T - H i G G i N S , M . S.. CARTWRIGIIT, D . E . and SMITH, N . D . :

Observations of the directional spectrum of sea waves using the motiohs of a flouting buoy, "Ocean Wave Spectra", Prentice-Hall, • Inc., 1963. pp. I l l ... 132.

[9] PUTZ. R . R . ; Statistical analysis of wave records, Proc. 4th. Conf. Coastal Eng., Council o n Wave Research. University of California, 1954, pp. 13...24.

[10] RICK, S. O . : Mathematical Analysis of Random Noise, Bell System Tech. Journal, 23, 1944. 25. 1945.

[11] S.MITH, S. D . : Thrust Anemometer Measurements of Wind Turbulence, Reynolds Stress, and Drag Cocfncient over the Sea.

J . of Gcoph. Res.. 75, 33. nov. 1970. pp. 6758 . . . 6770.

[12] V u G T S . J. H . : Wave spectra: measured samples and their repre-sentation for theoretical predictions. Report EP - 42516. Shell Internationale Petroleum NIaatschappij N.v.. mei 1971. .

• .11.

•,'ƒ.

•• «••" .. .-i.' . •.• 5.... . !'<-t.- •

• . ". .-.) . - . K I ; . '1