Metody Numeryczne Laboratorium 3
Iteracje dla równań nieliniowych - metoda Newtona (stycznych)
Metoda Newtona (stycznych) jest metod¸a obliczania zer funkcji , polegaj¸ac¸a na star- towaniu z pewnego przybliżenia pocz¸atkowego x0 i w kolejnych krokach metody - znajdo- waniu k − tego przybliżenia xk, które jest punktem przeci¸ecia stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (xk−1, yk−1). Ponieważ równanie stycznej do krzywej w punkcie (xk−1, yk−1) jest postaci:
y(x) = f (xk−1) + f0(xk−1)(x − xk−1), otrzymujemy wi¸ec wzór:
xk= xk−1− f (xk−1) f0(xk−1).
Aby metoda Newtona była dobrze zdefiniowana musimy założyć, że f0(xk−1) 6= 0.
Bł¸ad w k − tej iteracji metody Newtona:
x∗− xk= x∗− xk−1+ f (xk−1) f0(xk−1). Ze wzoru Taylora
f (x∗) ≈ f (xk−1) + (x∗− xk−1)f0(xk−1) + (x∗− xk−1)2
2 f00(ξk−1).
gdzie punkt ξk−1 ∈ (xk−1, x∗).
f (x∗) = 0, f (xk−1) = 0, oraz zakładaj¸ac, że f0(x∗) 6= 0 i wyznaczaj¸ac x∗ − xk−1 z ostat- niego równania i wstawiaj¸ac do równania na bł¸ad metody w k − tej iteracji otrzymujemy:
x∗− xk= −(x∗− xk−1)2
2f0(xk−1) f00(ξk−1).
Z równania tego wynika, że zbieżność metody Newtona jest kwadratowa. Metoda Newtona jest wi¸ec metod¸a iteracyjn¸a, która dla zer jednokrotnych jest zbieżna szybciej niż liniowo.
1
Zadania
1. Prosz¸e wyprowadzić wzór na k-te przybliżenie metody Newtona.
2. Prosz¸e udowodnić równość na bł¸ad metody Newtona w k-tej iteracji.
3. Prosz¸e napisać w OCTAVE program N ewton(f, df, x0, blad) realizuj¸acy metod¸e Newtona rozwi¸azywania równań nieliniowych.
Uwaga. To zadanie wykonuj¸a wszyscy studenci.
4.Prosz¸e rozwi¸azać poniższe równania stosuj¸ac program Newton.m : a) x5 − 3x3− x − 4 = 0, x0 = 0.
b) 3x3− x + 4 = 0, x0 = −1.
c) x3 − x2 + ex = 0, x0 = −1.
d) ex+ x sin(x) = 0, x0 = 0.
5.Prosz¸e rozwi¸azać powyższe równania, stosuj¸ac instrukcj¸e wewn¸etrzn¸a OCTAVE fzero( ) i porównać otrzymane wyniki z wynikami z zadania 4.
6.Prosz¸e obliczyć wartość√
5 startuj¸ac z punktu x0 = 5.
7.Prosz¸e sprawdzić, że funkcja f (x) = x2sin(x) + 2x − 3 ma dokładnie jedno miejsce zerowe w przedziale (0, 2) i znaleźć to miejsce z dokładności¸a nie wi¸eksz¸a niż 10−5. 8.Prosz¸e sprawdzić, że funkcja f (x) = x4− 5x3+223 x2− 11627x +89 ma miejsca zerowe: α1 w przedziale (0, 1), i α2 w przedziale (1, 4). oraz znaleźć te miejsca metod¸a bisekcji.
9.Prosz¸e wykonać w OCTAVE za pomoc¸a instrukcji wewn¸etrznej plot( ) wykres funkcji f (x) = tan(x) + tanh(x) = 0 i znaleźć najmniejsze przedziały zawieraj¸ace jej miejsca zerowe. Stosuj¸ac metod¸e bisekcji prosz¸e znaleźć te miejsca z dokładności¸a ε = .01.
10.Wymiary nóg rozkładanego na piknik stołu spełniaj¸a równanie:
w sin(θ) − h cos(θ) − b = 0, gdzie w - szerokość rozłożonych nóg równa 0.8 m, h - wysokość równa 0.7 m, b -wymiary materiału 0.1 m. Prosz¸e znaleźć k¸at nachylenia nóg stołu θ do płaszczyzny podłoża.
11.Równanie van der Waals odkryte w roku 1873 przez duńskiego fizyka Johanes Di- derik van der Waals ma postać:
P + nV22a
(V − nb) = nRT , gdzie a, b stałe charakterystyczne dla danego gazu s¸a wyzna- czone eksperymentalnie. Na przykład dla tlenu O2 : a = 1.36, b = 0.0318. Prosz¸e znaleźć obj¸etość 1 mola O2, jeżeli n oznacza ilość moli , P ciśnienie w atmosferach, V obj¸etość w litrach, T temperatur¸e w Kelwinach, R = 0.0820 litr ∗ atm ∗ deg−1∗ mol−1− stał¸a gazow¸a ,zaś obj¸etość jednego mola gazu idealnego w warunkach normalnych(1atm, 273K) wynosi
2
22.415 litrów.
12.Prosz¸e znaleźć obj¸etość jednego mola tlenku azotu N2O. Dla N2O : a = 3.78, b = 0.0441.
13 Prosz¸e znaleźć obj¸etość jednego mola dwutlenku siarki SO2. Dla SO2 : a = 6.71, b = 0.0564.
14.Prosz¸e znaleźć wartość siły F działaj¸acej na wisz¸acy kabel linii telefonicznej, jeżeli dla danej długości s kabla w metrach i odległości mi¸edzy słupami x w metrach, s = F sinh(Fx).
Prosz¸e przyj¸ać s = 100m, x = 97m.
15.Odległość piłki x(t) rzuconej z punktu pocz¸atkowego x0 z pr¸edkości¸a pocz¸atkow¸a v0 , w zależności od oporu powietrza proporcjonalnego do jej pr¸edkości, opisuje równanie:
x(t) = ρ−1(v0+ vr)(1 − e−ρ∗t) − vr∗ t + x0, gdzie ρ współczynnik oporu powietrza, vr = gρ, (g- przyśpieszenie ziemskie)- pr¸edkość graniczna.
Prosz¸e znaleźć x(t) piłki, przyjmuj¸ac dane: x0 = 0, v0 = 20ms, ρ = 0.35, g = 9.81ms2 i czas t = 10s.
16.Prosz¸e znaleźć azymut θ okr¸etu, jeżeli 1.732 sin(θ) − cos(θ) + 0.25 = 0.
17.Prosz¸e znaleźć nat¸eżenie Q przepływu cieczy przez rur¸e poł¸aczon¸a dwoma rezerwu- arami, jeżeli: 12Q3+ 5Q − 40 = 0 i 0 ≤ Q ≤ 2.
18. Prosz¸e znaleźć przemieszczenie d układu dwóch spr¸eżyn, jeżeli:
4(√
9 + d2− 3) −
√ 9+d2
d = 0.
3
