Fizyka 1- Mechanika

Zygmunt Szefliński

Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów szef@fuw.edu.pl

http://www.fuw.edu.pl/~szef/

Fizyka 1- Mechanika

Wykład 11

21 ^.XII.2017

Siła centralna

Rozważmy przypadek ogólny ruchu punktu materialnego o masie m w polu centralnej siły zachowawczej

  ^{r const}

mv E

E  



2

2

  ^{r i}

F

F  





zasada zachowania energii:

zasada zachowania

momentu pędu:

L   m r   v   const

zachowanie momentu pędu  ruch płaski w płaszczyźnie r i v

2 2

2 2

2 2 2

2

 

 



 

 

 



 







 



 



 







mr L dt

v dr mr

I L

dt r v dr

dt r d dt i

i dr v





 





 

Siła centralna

  ^{r const}

mv E

E  



2

2

Wstawiając v² do wyrażenia na energię :

Jest to jednowymiarowe równanie różniczkowe dla składowej radialnej

2 2

2





 



 

 

 



 

mr L dt

v dr

  ^r

mr E L dt

dr

E m   



 



 

2

2 2

Efektywna energia potencjalna

  ^r

mr E

E

 L



2

Siła centralna

Energia odśrodkowa Bariera centryfugalna

  ^r

mr E

E

 L



2

Energia odśrodkowa  siła odśrodkowa

2 3

2 2

2

2 mr 

mr L mr

L dr

F d dr

F dE

  



 



 











 mr

I

L  

gdzie:

r mv r

mr v mr

F

2 2

2

2

 

 

Dobrze znana

siła odśrodkowa

Ruch w polu grawitacyjnym

Charakter ruchu zależy od energii całkowitej:

E

>0 – tor otwarty E

<0 – tor zamknięty E

=E

– ruch po okręgu

Siła przyciągająca – Energia potencjalna grawitacyjna ujemna

  ^r

mr E

E

 L



2  

r r GmM

E

 

E

E

E

r

Ruch w polu grawitacyjnym – po okręgu

Przypadek szczególny:

GMm k

gdzie L

E mk

E    , : 

2

2 min

Dla minimum E_p:

2

0

2





 

r warunku E

GMm z

r L

r GMm mr

E

 L

 2

Po wstawieniu r:

Orbita eliptyczna - I prawo Keplera

r F

a

ea ea

' F

e- mimośród elipsy Dla okręgu e=0, e<1 - elipsa, E<0 e=1 - parabola, E=0 e>1 - hiperbola, E>0

I prawo Keplera

Wszystkie planety poruszają się po elipsach, w jednym z ognisk elipsy znajduje się Słońce

a e d

 2

e- mimośród elipsy To odległość między ogniskami, d dzielona przez oś długą, 2a.

2 2

ea d a

e  d   ^d

Ruch po elipsie

Elipsą nazywamy zbiór punktów P na

płaszczyźnie, których suma odległości od dwóch danych punktów F

, F

zwanych ogniskami jest stała.

Animowany rysunek

obok ilustruje tę

definicję

Ruch po elipsie

Ruch ograniczony w zakresie:

max

min

r r

r  

  ^{r E}   ^{r E}

E





Źródło siły znajduje się w jednym z ognisk elipsy.

Długa półoś zależy wyłącznie od

energii;

Ruch w polu grawitacyjnym Prawa Keplera

I. Każda planeta krąży po elipsie ze Słońcem w jednym z jej ognisk

II.Promień wodzący każdej planety zakreśla równe pola w równych czasach

III.Kwadrat okresu obiegu każdej planety wokół Słońca jest proporcjonalny do sześcianu półosi wielkiej elipsy

Prędkość polowa:







2 1 2

1 2

1 r

dt d dS

r rd

r

dS     

m L dt

dS

 2

III prawo Keplera

Planeta (satelita) na orbicie kołowej o promieniu r.

const T

GM

r r GM

r m G mM



















2 2

2

3 2

2 2

4 4

2   





 r

const GM

a

T

 4 



Ciemna materia

Krzywe rotacji galaktyk spiralnych A - przewidywane B - obserwowane

r v GM

r GM r

v r

GM    





 

r

r

v  GM

Ciemna materia

 

r r v  GM

Galaktyka M33, druga pod względem jasności galaktyka

spiralna na niebie, po Galaktyce Andromedy.

Ruch satelity

Jak powinien się zachować kosmonauta w rakiecie na orbicie kołowej, jeśli chce zbliżyć się do powierzchni Ziemi?

Odpalenie silników w kierunku Ziemi daje efekt przeciwny do zamierzonego!

L = const, E rośnie

 Średnia odległość od Ziemi rośnie!

Ruch satelity

Lepszym sposobem na przejście na niższą orbitę jest włączenie silników hamujących

L maleje, E maleje

Średnia odległość od Ziemi maleje

Ruch po paraboli

Ruch po hiperboli