Interpolacja Newtona z optymalizacją położeń węzłów

Interpolacja Newtona z optymalizacją położeń węzłów

Tomasz Chwiej 17 kwietnia 2018

1 Wstęp

Dla funkcji

f (x) = 1

1 + x² (1)

należy przeprowadzić interpolację wielomianową Newtona. Wzór interpolacyjny zapiszemy w postaci:

W_n(x) =

∑n

j=0

f^(j)(x₀)· Π^ji=0⁻¹(x− xi) (2) gdzie: f^(j)(x₀) to iloraz rzędu j liczony dla węzła x₀, a x_i są położeniami węzłów.

Wartości ilorazów różnicowych wyznaczamy zgodnie z poniższą (prawą) tabelką

y₀ 0 0 0 0 0

y₁ f_x⁽¹⁾_0,... 0 0 0 0 y₂ f_x⁽¹⁾₁ f_x⁽²⁾₀ 0 0 0 y₃ f_x⁽¹⁾₂ f_x⁽²⁾₁ f_x⁽³⁾₀ ‘ 0 0 . . . . . . . . . . . . . .. 0 y_n f_x⁽¹⁾_n−1 f_x⁽²⁾_n−2 f_x⁽³⁾_n−3 . . . f_x⁽ⁿ⁾₀

=⇒

f_0,0 0 0 0 0 0

f1,0 f1,1 0 0 0 0

f_2,0 f_2,1 f_2,2 0 0 0 f_3,0 f_3,1 f_3,2 f_3,3 0 0 . . . . . . . . . . . . . .. 0 f_n,0 f_n,1 f_n,2 f_n,3 . . . f_n,n

(3)

gdzie: zerowa kolumna (y_i) to wartości funkcji w węzłach, a elementy f_j,j to ilorazy różnicowe rzędu j występujące we wzorze (2).

Do wyznaczenia prawej tabelki użyjemy pseudokodu

f or(j = 1; j <= n; j + +){ f or(i = j; i <= n; i + +){

f_i,j = f_i,j−1− fi−1,j−1

x_i − xi−j ; }

}

Mając wartości ilorazów różnicowych możemy zastosować wzór interpolacyjny (2) do wyzna- czenia przybliżonych wartości funkcji w przedziale [x_min, x_max]

1

2 Zadania do wykonania

1. Węzły indeksujemy i = 0, 1, 2, . . . , n. Interpolację wykonujemy kolejno dla n = 5, 10, 15, 20.

2. Dla przedziału x∈ [−5, 5], określamy liczbę węzłów jako n+1, ustalamy położenia węzłów (równoodległe) i wyznaczamy wartości funkcji (1) w węzłach.

3. Wyznaczamy niezerowe elementy prawej tabelki (3).

4. Dla każdego n sporządzamy wykresy funkcji f (x) i wielomianu interpolacyjnego Wn(x) na jednym rysunku.

5. Punkty 1-4 powtarzamy dla zoptymalizowanych położeń węzłów (podmieniamy tylko in- strukcję określającą położenia węzłów)

x_i = 1 2

[

(x_min− xmax) cos

(

π2i + 1 2n + 2

)

+ (x_min+ x_max)

]

, i = 0, 1, . . . , n (4) które są zerami wielomianów Czebyszewa.