1Wstęp Interpolacja

Interpolacja

Marcin Orchel

1 Wstęp

Mamy daną funkcję φ (x; a ₀ , . . . , a n ) zależną od n + 1 parametrów a ₀ , . . . , a n . Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a _i tak aby dla n + 1 danych par (x _i , f _i ) dla i = 0, 1, . . . , n liczb rzeczywistych lub zespolonych (x _i 6= x _k dla i 6= k) zachodziło φ(x _i ; a ₀ , . . . , a n ) = f _i dla i = 0, . . . , n. Pary (x _i , f i ) nazywamy punktami węzłowymi, a x _i nazywamy węzłem.

Zadanie interpolacji liniowej, gdy φ zależy liniowo od parametrów a _i

φ (x; a ₀ , . . . , a _n ) ≡ a ₀ φ ₀ (x) + a ₁ φ ₁ (x) + . . . + a _n φ _n (x) (1) Przypadek szczególny interpolacja wielomianowa, gdy

φ (x; a 0 , . . . , a n ) ≡ a ₀ + a ₁ x + a 2 x ² + . . . + a _n x ⁿ (2) Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna

φ (x; a ₀ , . . . , a _n ) ≡ a ₀ + a ₁ e ^xi + a ₂ e ^2xi + . . . + a _n e ^nxi (3) Przykład interpolacji nieliniowej, interpolacja funkcjami wymiernymi

φ (x; a ₀ , . . . , a _n , b ₀ , . . . , b _m ) ≡ a ₀ + a ₁ x + . . . + a _n x ⁿ

b ₀ + b ₁ x + . . . + b _m x ^m (4) Inny przykład interpolacji nieliniowej to interpolacja wielomianami wykładniczymi

φ (x; a 0 , . . . , a n , λ 0 , . . . , λ n ) ≡ a ₀ e ^λ

^x + a ₁ e ^λ

^x + . . . + a _n e ^λ

^x (5)

Mamy dany zbiór punktów na płaszczyźnie, interpolacja polega na znalezieniu funk-

cji, która przechodzi przez zadane punkty. Zamiast zbioru punktów na płaszczyźnie może

być dana skomplikowana funkcja. Wtedy interpolacja polega na wyborze określonej licz-

by punktów tej funkcji i znalezieniu prostszej funkcji interpolującej przechodzącej przez

te punkty.

1.1 Interpolacja wielomianowa

Znajdujemy wielomian stopnia maksymalnie n−1, gdzie n to liczba punktów, taki, który przechodzi przez punkty węzłowe. Stopień wielomianu jest maksymalnie równy n − 1, a więc może być mniejszy w przypadku szczególnego ułożenia punktów, np. w przypadku 3 punktów stopień może być równy 1, jeśli wszystkie 3 punkty są współliniowe.

Przykład interpolacja liniowa: Dane dwa punkty A i B, A (x ₀ , y 0 ), B (x ₁ , y 1 ). Wielo- mian stopnia pierwszego przechodzący przez te punkty: W (x) = ax + b. Zadanie polega na znalezieniu wartości współczynników a i b. Jako, że wielomian powinien przechodzić przez punkty A i B otrzymujemy następujący układ równań:

y ₀ = ax ₀ + b (6)

y 1 = ax ₁ + b (7)

Rozwiązanie to:

a = y ₁ − y ₀

x ₁ − x ₀ (8)

b = y 0 x 1 − y ₁ x 0

x ₁ − x ₀ (9)

A więc wielomian interpolujący to

W (x) = y 1 − y ₀

x ₁ − x ₀ x + y 0 x 1 − y ₁ x 0

x ₁ − x ₀ (10)

Możemy to zapisać jako

= y ₁ − y ₀

x ₁ − x ₀ x + y ₀ (x ₁ − x ₀ ) − x ₀ y ₁ + x ₀ y ₀

x ₁ − x ₀ = y ₀ + (x − x ₀ ) y ₁ − y ₀

x ₁ − x ₀ = (11) y ₀



1 − x − x ₀ x 1 − x ₀

 + y ₁

 x − x ₀ x 1 − x ₀



= y ₀



1 − x − x ₀ x 1 − x ₀

 + y ₁



1 − x ₁ − x x 1 − x ₀



(12) Zauważmy, że jest to średnia ważona, wyrażenia w nawiasach sumują się do 1. Wagami są odległości odciętej x od odciętej x ₀ w stosunku do odległości między odciętymi x ₀ i x 1 odjęta od 1, oraz podobnie druga waga to odległość odciętej x od x ₁ w stosunku do odległości między odciętymi x ₀ i x ₁ odjęta od 1. Zauważmy, że gdy x jest bliższe x ₀ , to wtedy waga przy y ₀ jest większa.

Możemy także zapisać powyższe jako y ₀

 x ₁ − x x 1 − x ₀

 + y ₁

 x − x ₀ x 1 − x ₀



(13) Możemy oznaczyć drugi ułamek jako t i otrzymujemy

y ₀ (1 − t) + y ₁ t (14)

Zauważmy, że

x = (x ₁ − x ₀ ) t + x ₀ (15)

Interpolacja liniowa polega na tym, że szukamy funkcji liniowej przechodzącej przez dwa punkty. Jesli mamy dwa punkty w większej liczbie wymiarów, możemy również znaleźć linię przechodzącą przez te punkty. Możemy ją znaleźć następująco. Linia prosta przechodząca przez punkt R ₁ w kierunku ~a może być zapisana jako

R = R 1 + t~a (16)

gdzie R jest punktem, który należy do tej linii. Jest to postać parametryczna. Jeśli mamy drugi punkt R ₂ to możemy wyznaczyć ~a jako

~a = R 2 − R ₁ (17)

Równanie możemy zapisać wtedy w postaci

R = R ₁ + t (R ₂ − R ₁ ) (18)

R = (1 − t) R ₁ + tR ₂ (19)

Jest to równanie w postaci parametrycznej linii przechodzącej przez punkty R ₁ i R ₂ , a więc jest to wielomian interpolujący W (t) w postaci parametrycznej.

Uogólniając na n punktów, możemy za pomocą układu równań liniowych wyznaczyć współczynniki wielomianu w postaci ogólnej

W (x) = a _n x ⁿ + a _n−1 x ⁿ⁻¹ + . . . + a ₀ . (20) Twierdzenie 1. Dla dowolnych n + 1 punktów węzłowych (x _i , f _i ) dla i = 0, . . . , n, x i 6= x _k dla i 6= k istnieje dokładnie jeden wielomian P ∈ Π _n taki, że W (x _i ) = f _i dla i = 0, . . . , n.

Zbiór Π _n oznacza zbiór wszystkich rzeczywistych lub zespolonych wielomianów P stopnia ≤ n.

1.1.1 Wzór interpolacyjny Newtona

Dane dwa punkty A (x ₀ , y 0 ) i B (x ₁ , y 1 ). Przykład wielomianu liniowego. Postać ogólna wielomianu liniowego:

W (x) = a ₁ x + a ₀ (21)

Wielomian Newtona

W (x) = a ⁰ ₁ x + a ⁰ ₀ − a ⁰ ₁ x ₀ = a ⁰ ₀ + a ⁰ ₁ (x − x ₀ ) (22) Zauważmy, że możemy dobrać

a ⁰ ₀ = a ₀ + a ₁ x ₀ (23)

a ⁰ ₁ = a ₁ (24)

i otrzymamy postać ogólną. Jak znaleźć wielomian Newtona? Konieczne jest znalezienie współczynników a ⁰ ₀ oraz a ⁰ ₁ .

W (x ₀ ) = y ₀ (25)

a ⁰ ₀ = y ₀ (26)

W (x 1 ) = y ₁ (27)

a ⁰ ₀ + a ⁰ ₁ (x ₁ − x ₀ ) = y ₁ (28) a ⁰ ₁ = y ₁ − a ⁰ ₀

x ₁ − x ₀ = y ₁ − y ₀

x ₁ − x ₀ (29)

Jeśli chcemy uzyskać postać ogólną, to musimy skorzystać ze wzoru (23) i (24), aby obliczyć a ₀ i a ₁ , lub z (22).

Dla wielomianu n-tego stopnia. Dane n + 1 punktów: (x ₀ , y ₀ ) , (x ₁ , y ₁ ) . . . (x _n , y _n ).

Postać Newtona wygląda następująco:

W (x) = a ⁰ ₀ + a ⁰ ₁ (x − x ₀ ) + a ⁰ ₂ (x − x ₀ ) (x − x ₁ ) + . . . + a ⁰ _n (x − x ₀ ) (x − x ₁ ) . . . (x − x _n−1 ) (30) lub

W (x) =

n

X

i=0

a ⁰ _i

i−1

Y

j=0

x − x _j . (31)

Wartość tego wielomianu dla x = ξ możemy wyznaczyć ze schematu Hornera

W (ξ) = . . . a ⁰ _n (ξ − x _n−1 ) + a ⁰ _n−1
(ξ − x _n−2 ) + . . . + a ⁰ ₁
(ξ − x ₀ ) + a ⁰ ₀ (32) Podstawiając do (30) dane punkty otrzymujemy następujący układ równań:

y ₀ = W (x ₀ ) = a ⁰ ₀ (33)

y ₁ = W (x ₁ ) = a ⁰ ₀ + a ⁰ ₁ (x ₁ − x ₀ ) (34) y ₂ = W (x ₂ ) = a ⁰ ₀ + a ⁰ ₁ (x ₂ − x ₀ ) + a ⁰ ₂ (x ₂ − x ₀ ) (x ₂ − x ₁ ) (35)

. . . (36)

Z powyższego układu łatwo wyznaczymy współczynniki wielomianu Newtona,

a ⁰ ₀ = y ₀ (37)

a ⁰ ₁ = y 1 − y ₀

x ₁ − x ₀ (38)

. . . (39)

Jak otrzymać współczynniki postaci ogólnej? Jeśli sprowadzimy wzór (30) do postaci ogólnej wyrażenia przy kolejnych potęgach zmiennej x będą szukanymi współczynnikami:

a 0 = a ⁰ ₀ − a ⁰ ₁ x 0 + a ⁰ ₂ x 0 x 1 − a ⁰ ₃ x 0 x 1 x 2 + . . . ± a _n x 0 x 1 x 2 . . . x n−1 (40)

a 1 = . . . (41)

Możemy zdefiniować wielomian obcięty:

Q _k (x) :≡ a ⁰ ₀ + a ⁰ ₁ (x − x ₀ ) + . . . + a ⁰ _k (x − x ₀ ) . . . (x − x _k−1 ) (42)

dla k = 0, 1, . . . , n. Zdefiniujmy również W _01...k (x) jako

W _01...k (x) ∈ Π _k (43)

taki, że

W _01...k (x _i ) = f _i (44)

dla i = 0, 1 . . . , k dla punktów węzłowych (x _i , f i ).

Zachodzą 1.

Q _k (x) ≡ W _01...k (x) (45)

Wynika, to z tego, że wielomian obcięty Q _k (x) jest tak naprawdę wielomianem w postaci Newtona, oraz z tego, że wielomian w postaci Newtona ma tak dobrane współczynniki aby przechodził przez punkty węzłowe oraz z unikalności wielomianu danego stopnia.

2.

W 01...k+1 (x) ≡ W _01...k (x) + a ⁰ _k+1 (x − x ₀ ) . . . (x − x _k ) (46) Dodanie nowego punktu węzłowego sprowadza się do obliczenia jednego dodatko- wego współczynnika.

3. a ⁰ _k jest współczynnikiem przy x ^k w wielomianie W _01...k (x).

Przykład 1. Przykład: znaleźć wielomian stopnia co najwyżej trzeciego, który w punk- tach -1, 1, 3, 5 przyjmuje odpowiednio wartości 3, -1, 19, 111. Odpowiedź: x ³ − 3x + 1.

Wielomian interpolacyjny Newtona:

3 + (−2) (x + 1) + 3 (x + 1) (x − 1) + 1 (x + 1) (x − 1) (x − 3) . (47) Uogólnijmy definicję W _01...k (x) na wielomian W _i

_i

_...i

(x), który jest zdefiniowany jako wielomian, dla którego zachodzi

W i

i

...i

 x i



= f _i

(48)

dla j = 0, 1, . . . , k dla punktów węzłowych (x _i , f i ). Inny sposób wyznaczania współczyn- ników. Można zauważyć, że współczynniki a ⁰ _k zależą tylko od punktów i = 0 do i = k.

Współczynniki a ⁰ _i wyznaczamy za pomocą ilorazów różnicowych zdefiniowanych jako

f [x i ] := y _i (49)

f [x _i , x _i+1 , . . . , x _i+j ] := f [x _i+1 , x _i+2 , . . . , x _i+j ] − f [x _i , x _i+1 , . . . , x _i+j−1 ]

x i+j − x _i (50)

f [x _i , x _i+1 , . . . , x _i+j ] nazywamy j-tym ilorazem różnicowym. Przykładowo f [x 0 , x 1 ] = f [x 1 ] − f [x ₀ ]

x ₁ − x ₀ (51)

f [x 1 , x 2 ] = f [x ₂ ] − f [x ₁ ]

x 2 − x ₁ (52)

f [x ₀ , x ₁ , x ₂ ] = f [x ₁ , x ₂ ] − f [x ₀ , x ₁ ]

x ₂ − x ₀ (53)

Zauważmy przypadek szczególny

f [x 0 , x 1 , . . . , x k ] = f [x 1 , x 2 , . . . , x k ] − f [x ₀ , x 1 , . . . , x k−1 ]

x _k − x ₀ (54)

Twierdzenie 2. Iloraz różnicowy f [x ₀ , . . . , x _k ] jest funkcją symetryczną zmiennych x _i . Jeśli x _i

, . . . , x i

jest dowolną permutacją liczb x ₀ , . . . , x k , to

f [x i

, . . . , x i

] = f [x ₀ , . . . , x _k ] (55) Twierdzenie 3. Jeśli f (x) jest wielomianem stopnia n i y _i = f (x _i ) dla i = 0, 1, . . . , n to

f [x ₀ , . . . , x _k ] = 0 (56)

dla k > n.

Twierdzenie 4. Zachodzi równość

W i,i+1,...,i+k (x) = f [x _i ] + f [x _i , x _i+1 ] (x − x _i ) + . . . (57) + f [x _i , x i+1 , . . . , x i+k ] (x − x _i ) (x − x _i+1 ) . . . (x − x _i+k−1 ) (58) A zatem widzimy, że współczynniki Newtona mogą być wyznaczone za pomocą ilo- razów różnicowych. Możemy zweryfikować przykładowo

a ⁰ ₀ = f [x ₀ ] = y ₀ (59)

a ⁰ ₁ = f [x ₀ , x ₁ ] = y ₁ − y ₀

x ₁ − x ₀ (60)

Możemy utworzyć tablicę ilorazów. Pierwsza kolumna to wartości x _i punktów, druga kolumna to wartości y _i punktów, kolejne kolumny to wartości ilorazów różnicowych. Dla poprzedniego przykładu

x 0 f [x 0 ] f [x ₀ , x 1 ] f [x ₀ , x 1 , x 2 ] f [x ₀ , x 1 , x 2 , x 3 ] (61)

x ₁ f [x ₁ ] f [x ₁ , x ₂ ] f [x ₁ , x ₂ , x ₃ ] (62)

x ₂ f [x ₂ ] f [x ₂ , x ₃ ] (63)

x 3 f [x 3 ] (64)

Zauważmy, że wartości w pierwszym wierszu będą szukanymi współczynnikami.

f [x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ] = f [x ₁ , x ₂ , x ₃ ] − f [x ₀ , x ₁ , x ₂ ]

x 3 − x ₀ (65)

f [x 0 , x 1 , x 2 ] = f [x 1 , x 2 ] − f [x ₀ , x 1 ]

x 2 − x ₀ (66)

f [x 1 , x 2 , x 3 ] = f [x 2 , x 3 ] − f [x ₁ , x 2 ]

x ₃ − x ₁ (67)

Przykład 2. Dla poprzedniego przykładu

−1 3 −2 3 1

1 −1 10 9

3 19 46

5 111

(68)

1.1.2 Wzór interpolacyjny Lagrange’a

Chcemy wyrazić wielomian w postaci sumy iloczynów wartości y _i w węzłach i funkcji niezależnej od wartości y _i , a więc wielomian ma zależeć liniowo of wartości y _i w węzłach.

Możemy to zrobić następująco

W (x) =

n

X

i=0

y i L i (x) (69)

gdzie L _i (x) - wielomiany Lagrange’a. Każdy wielomian Lagrange’a jest stopnia n.

L _i (x) = Q n

k=0 i6=k

x − x k

Q n k=0 i6=k

x _i − x _k =

n

Y

k=0 i6=k

x − x _k

x _i − x _k . (70)

Możemy zauważyć, że zachodzi

L i (x _k ) = δ _ik =

( 1 dla i = k

0 dla i 6= k . (71)

Przykład: Dla dwóch punktów: A (x ₀ , y ₀ ), B (x ₁ , y ₁ ) wielomian stopnia maksymalnie pierwszego:

W (x) = y 0 L 0 (x) + y ₁ L 1 (x) (72)

W (x) = y 0

x − x 1

x 0 − x ₁ + y ₁ x − x 0

x 1 − x ₀ . (73)

Można sprawdzić, że rzeczywiście W (x ₀ ) = y ₀ oraz W (x ₁ ) = y ₁ .

Przykład 3. Dla przykładu z wielomianem Newtona znaleźć wielomian Lagrange’a oraz na jego podstawie wartość wielomianu dla x = 1.

W ₃ (x) = 3 (x − 1) (x − 3) (x − 5)

(−1 − 1) (−1 − 3) (−1 − 5) + (−1) (x + 1) (x − 3) (x − 5)

(1 + 1) (1 − 3) (1 − 5) (74) + 19 (x + 1) (x − 1) (x − 5)

(3 + 1) (3 − 1) (3 − 5) + 111 (x + 1) (x − 1) (x − 3)

(5 + 1) (5 − 1) (5 − 3) (75) Oszacowanie błędu dla punktów, które nie są punktami węzłowymi.

Twierdzenie 5. Jeśli funkcja f jest (n + 1) − krotnie różniczkowalna, to dla każdego x istnieje ξ z najmniejszego przedziału I [x ¯ 0 , . . . , x n , ¯ x], który zawiera wszystkie x i i ¯ x, taka, że

f (¯ x) − W 01...n (¯ x) = ω (¯ x) f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (ξ)

(n + 1)! (76)

przy czym ω (x) = (x − x ₀ ) (x − x ₁ ) . . . (x − x _n ).

Zauważmy, że jeśli ¯ x jest węzłem, to otrzymujemy ograniczenie równe 0, czyli do- kładną wartość.

Przykład 4.

f (x) = sin x (77)

x _i = π

10 i (78)

gdzie i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, n = 5.

sin x − W (x) = (x − x ₀ ) (x − x ₁ ) . . . (x − x ₅ ) − sin ξ

720 (79)

gdzie ξ = ξ(x),

=⇒ |sin x − W (x)| ≤ 1

720 |(x − x ₀ ) (x − x ₁ ) . . . (x − x ₅ )| = |ω (x)|

720 (80)

co wynika z ograniczenia wartości dla funkcji sin do 1. Zauważmy, że |ω(x)| wzrasta bardzo szybko poza przedziałem I[x ₀ , . . . , x n ]. Możemy sprawdzić jak będzie dobrane ξ np. gdy x = π/20. Najmniejszy przedział zawierający wszystkie węzły i π/20 to jest [0, π/2], w tym przedziale funkcja sin maksymalną wartość przyjmuje dla x = π/2, gdzie wartość funkcji wynosi 1, a więc błąd względny będzie ograniczony przez

|ω (x)|

720 1 = 0.0142

720 = 0.0000197 . (81)

Zbieżność. Mamy funkcję f określoną na przedziale [a, b] i dowolnie wiele razy róż-

niczkowalną. Dla każdego podziału przedziału ∆ = {a = x ₀ < x ₁ < . . . < x _n = b}

istnieje wielomian interpolacyjny P _∆ ∈ Π _n taki, że P _∆ (x _i ) = f _i dla x _i ∈ ∆. Ciąg ∆ _m podziałów przedziału

∆ _m = ⁿ a = x ^(m) ₀ < x ^(m) ₁ < . . . < x ^(m) _n

^o (82) implikuje ciąg wielomianów interpolacyjnych P _∆

. Zbieżność maksymalnej odległości między węzłami nie wystarcza do tego aby wielomiany P _∆

były zbieżne do funkcji f . Twierdzenie 6. Dla każdego ciągu podziałów ∆ m przedziału [a, b] można znaleźć funkcję f ciągłą na [a, b], taką, że wielomiany P _∆

dla m → ∞ nie są zbieżne jednostajnie do f (x).

Dla przypomnienia zbieżność jednostajna ciągu funkcji {f _n } do f jest zdefiniowana jako

n→∞ lim sup {|f _n (x) − f (x)| : x ∈ D} = 0 (83) Zbieżność punktowa ciągu funkcji {f _n } do f jest zdefiniowana jako

n→∞ lim f n (x) = f (x) (84)

dla każdego x ∈ D. Zachodzi, że każdy ciąg zbieżny jednostajnie jest zbieżny punktowo do tej samej funkcji.

Dla niecałkowitych funkcji równoodległy podział przedziału x ^(m) _i = a + i b − a

m (85)

dla i = 0, . . . , m nie gwarantuje punktowej zbieżności dla niecałkowitych funkcji. Przy- kład:

Przykład 5.

f (x) = 1

1 + x ² (86)

na przedziale [a, b] = [−5, 5], lub

f (x) = √

x (87)

na przedziale [a, b] = [0, 1].

1.1.3 Zjawisko Rungego

Czasami zwiększenie liczbę węzłów prowadzi do pogorszenia wyników interpolacji. Do- konać interpolacji funkcji

y = |x| (88)

na przedziale h−1, 1i, dla n = 2, 4, 10 dla węzłów równoodległych, pierwszy punkt x ₀ = −1.

Odpowiedź: dla n = 2, krok h = 1

W ₂ (x) = x ² (89)

Dla n = 4, krok h = 1/2

W 4 (x) = − 4 3 x ⁴ + 7

3 x ² (90)

Dla n = 10, krok h = 1/5 W 10 (x) = 390625

5184 x ¹⁰ − 1015625

6048 x ⁸ + 221875

1728 x ⁶ − 6835

162 x ⁴ + 11527

1792 x ² (91) Sprawdzić wartość wielomianu dla 0.9, prawidłowa wartość 0.9, W ₂ (x) = 0.81, błąd bezwzględny 0.09, W ₄ (x) = 1.0152, błąd bezwględny 0.1152, W ₁₀ (x) = −0.24.

Można poprawić wyniki interpolacji wybierając optymalnie węzły do interpolacji.

Można np. wybrać węzły Czebyszewa, które dla przedziału [−1, 1] są zdefiniowane na- stępująco. Mamy wielomiany Czebyszewa

T ₀ (x) = 1 (92)

T ₁ (x) = x (93)

T n (x) = 2xT _n−1 (x) − T _n−2 (x) (94) dla n ≥ 2. Przykładowo

T ₂ (x) = 2x ² − 1 (95)

Pierwiastki: −1/ √ 2, 1/ √

2.

T 3 (x) = 4x ³ − 3x (96)

Pierwiastki: 0, − √ 3/2, √

3/2.

T ₄ (x) = 8x ⁴ − 8x ² + 1 (97)

T ₅ (x) = 16x ⁵ − 20x ³ + 5x (98)

T ₆ (x) = 32x ⁶ − 48x ⁴ + 18x ² − 1 (99) Wybieramy węzły, które są zerami wielomianu Czebyszewa T _n+1 . Węzły mogą być obli- czone ze wzoru

x _i = cos (2i + 1) π

2n + 2 (100)

dla i = 0, . . . , n, i przedziału [−1, 1].

Dla węzłów Czebyszewa otrzymamy dla poprzedniego przykładu W 2 (x) = 2x ²

√ 3 (101)

Obliczenie interpolacji na wolframalpha, http://www.wolframalpha.com/input/?i=

interpolating+polynomial+{0%2C0}%2C{-sqrt%283%29%2F2%2Csqrt%283%29%2F2}%2C{sqrt%

283%29%2F2%2Csqrt%283%29%2F2}. Wartość dla 0.9 wynosi 0.94, błąd bezwzględny 0.04.

1.2 Interpolacja przedziałowa (interpolacja za pomocą funkcji skleja- jących)

Interpoluje się części funkcji, najczęściej wielomianem stopnia trzeciego. Jeśli kawałki interpolujemy funkcjami liniowymi, to funkcja interpolująca ma "kanty".Przykład: inter- polacja kawałków wielomianami drugiego stopnia.

Wariant pierwszy. Funkcję dzielimy na kawałki w ten sposób, że do każdego kawałka należą dokładnie 3 punkty, w tym 2 punkty na końcach. Wtenczas funkcja sklejająca w każdym kawałku może być wyznaczona z układu równań:

W _i (x ₁ ) = y ₁ (102)

W _i (x ₂ ) = y ₂ (103)

W _i (x ₃ ) = y ₃ (104)

Wadą tego wariantu jest to, że na łączeniach funkcji sklejających pojawiają się "kanty".

Wariant drugi. Funkcję dzielimy na kawałki w ten sposób, że do kawałka należą dokładnie 2 punkty leżące na końcach przedziału. Zakładamy, że mamy dany kawałek po lewej stronie określony następująco:

W 0 (x) = a ₀ x ² + b ₀ x + c 0 (105) Mamy znaleźć kawałek:

W ₁ (x) = a ₁ x ² + b ₁ x + c ₁ (106) A zatem a ₀ , b ₀ , c ₀ są znane, szukane a ₁ , b ₁ , c ₁ .

Dwa pierwsze warunki wynikają z warunku interpolacji.

W ₁ (x ₁ ) = y ₁ (107)

W 1 (x ₂ ) = y ₂ (108)

Konieczny jest jeszcze jeden warunek, ponieważ liczba zmiennych wynosi 3. Zapewnienie gładkiego przejścia pomiędzy przedziałami => pochodna lewa i prawa w każdym punkcie powinny być równe

W ₀ ⁰ (x ₁ ) = W ₁ ⁰ (x ₁ ) (109) A zatem mamy 3 równania oraz 3 niewiadome. Rozwiązując układ równań wyznaczy- my niewiadome. Warunki na przedziałach krańcowych: Na przedziale ostatnim mamy 3 warunki wynikające z powyższego algorytmu, więc nie ma konieczności osobnego roz- patrywania tego przedziału, natomiast na przedziale pierwszym nie możemy zastosować warunku (109), bo nie ma lewego przedziału, dlatego stosujemy np. warunek: S ⁰ (x ₀ ) = 0, oznaczający ’łagodne’ rozpoczęcie funkcji interpolującej w tym punkcie lub możemy ob- liczyć pierwszą funkcję dla pierwszych 3 punktów.

Dla sześciennych funkcji sklejających możemy rozważać wariant, w którym w każdym

przedziale znajdują się 3 punkty, w tym 2 punkty na końcach przedziału. Wtedy wyzna-

czanie funkcji sklejających przebiega podobnie jak w wariancie drugim dla kwadratowych

funkcji sklejających.

Dokonać interpolacji funkcjami kwadratowymi z gładkimi przejściami dla wcześniej- szego przykładu. Odpowiedź:

W 0 (x) = −x ² − 2x + 2 , (110)

W 1 (x) = 7x ² − 18x + 10 . (111)

1.3 Interpolacja dla liczb zespolonych

Interpolacja w liczbach zespolonych. Mamy węzły rzeczywiste x ₀ , x ₁ . Definiujemy war- tości zespolone np. wg funkcji v(x) = 5x + x ² i. Wyświetlić część rzeczywistą i urojoną na wykresie. Jak wykonać interpolację? Możemy wziąść pod uwagę dwie osobne inter- polacje, dla każdego węzła obliczamy część rzeczywistą wartości zespolonej, następnie wykonujemy interpolację dla punktów (x ₀ , <v(x 0 )), (x ₁ , <v(x 1 )). Następnie dla każdego węzła obliczamy część urojoną wartości zespolonej i wykonujemy interpolację dla punk- tów (x ₀ , =v(x ₀ )), (x ₁ , =v(x ₁ )).

1.4 Ekstrapolacja

Przewidywanie wartości poza wyznaczonym przedziałem I[x ₀ , x ₁ , . . . , x _n ]. Jak zamienić problem ekstrapolacji na problem interpolacji w wyznaczonym przedziale? Gdy mamy dany problem ekstrapolacji gdy węzły są liczbami zespolonymi, to to zamiast wykonywać interpolację dla węzła zespolonego z, wykonujemy interpolację dla węzła 1/z. Gdy

z = a + bi (112)

to 1

z = a

a ² + b ² − ib

a ² + b ² (113)

Operacja ta wymienia część poza okręgiem jednostkowym z częścią wewnątrz okręgu jednostkowego. Zauważmy, że gdy a ² + b ² = 1, to transformacja ta nic nie zmienia. Przy- kład. Wykonać ekstrapolację dla dwóch podanych punktów (−1 − 2i, 4), (2 + 3i, 1), dla wartości 3+4i. Wartość 3+4i wykracza poza prostokąt wyznaczony przez dwa dane punk- ty, więc mamy do czynienia z ekstrapolacją. Konstruujemy punkty 1/z, (−1/5 + 2/5i), (2/13 − 3/13i). Dla poszukiwanego punktu mamy 3/25 − 4/25i. Uzyskaliśmy problem interpolacji, po interpolacji dla części rzeczywistej i urojonej należy obliczyć z powro- tem 1/z ⁰ . Zauważmy, że punkty początkowe są tak dobrane, że w jednym z nich mamy wartości ujemne, gdyby nie były ujemne mógłby być problem z uzyskaniem interpolacji.

2 Dodatki

2.1 Interpolacja wielomianowa

2.1.1 Wyprowadzenie wzoru na interpolację liniową dla dwóch punktów Układ równań

y ₀ = ax ₀ + b (114)

y 1 = ax ₁ + b (115) Rozwiązanie tego układu równań:

a = y ₀ − b x 0

(116) y ₁ = x ₁ (y ₀ − b)

x ₀ + b (117)

y ₁ = y 0 x 1

x ₀ − bx 1

x ₀ + b (118)

b

 1 − x ₁

x 0



= y ₁ − y ₀ x ₁ x 0

(119)

b = y ₁ − ^y

_x ^x

0

1 − ^x _x

0

(120)

b =

y

x

−y

x

x

x

−x

x

(121)

b = y 1 x 0 − y ₀ x 1

x ₀ − x ₁ (122)

a = y 0 − ^y

^x _x

^−y

^x

0

−x

x ₀ (123)

a =

y

x

−y

x

−y

x

+y

x

x

−x

x ₀ (124)

a = y 0 x 0 − y ₁ x 0

x ₀ (x ₀ − x ₁ ) (125)

a = y ₀ − y ₁

x 0 − x ₁ (126)

3 Zadania

3.1 Zadania na 3.0

• Wyznaczyć wielomian interpolacyjny Newtona i Lagrange’a oraz w postaci ogólnej dla punktów: dla grup 1,2,

(−2, 1) , (0, −1) , (1, 0) , (3, 2) , (5, 0) (127) dla grup 3 i 4,

(1, 2) , (2, 1) , (3, −1) , (5, 0) , (6, 1) . (128) Naszkicować wykres wielomianu wraz z punktami.

Wskazówki

• Do naszkicowania wykresu można wykorzystać wolframalpha.com.

3.2 Zadania na 4.0

• Pokazać istnienie efektu Rungego w interpolacji wielomianowej, to znaczy zna- leźć wartość wielomianu interpolacyjnego dla odpowiednio dobranego punktu dla wielomianów stopnia 2, 3, 4 dla funkcji: dla grup 1 i 2

y = 1

1 + 25x ² (129)

na przedziale (−1, 1). Dla grupy 3

y = |x| (130)

na przedziale (−1, 1). Dla grupy 4

y = 1

x (131)

na przedziale (−1, 1). Naszkicować wykres z powyższą funkcją, wielomianami in- terpolacyjnymi oraz wybranym punktem.

• Zastosować węzły Czebyszewa do pokazania, że zapobiegają one efektowi Rungego dla wielomianów stopnia 2, 3, 4 dla wybranego wcześniej punktu.

• Znaleźć wielomian interpolacyjny Newtona za pomocą tablicy ilorazów różnico- wych dla punktów z zadania na 3.0.

3.3 Zadania na 5.0

• Dokonać interpolacji przedziałowej z 3 przedziałami, dla pierwszego przedziału wybierane są 3 punkty, wielomianami stopnia 2 tak aby funkcja interpolująca była różniczkowalna dla funkcji: dla grup 1 i 2

y = 1

1 + 25x ² (132)

na przedziale (−1, 1). Dla grupy 3

y = |x| (133)

na przedziale (−1, 1). Dla grupy 4

y = 1

x (134)

na przedziale (−1, 1). Naszkicować wykres z powyższą funkcją, wielomianami in-

terpolacyjnymi oraz wybranym punktem.