Zadanie FS 1

Fizyka Statystyczna ^∗

Maciej J. Mrowi´ nski 17 stycznia 2011

Zadanie FS 1

?

Pewien układ składa si˛e z trzech rozró˙znialnych cz˛ astek, z których ka˙zda mo˙ze zna- le´z´c si˛e w jednym ze stanów o energii " _i = iε (gdzie ε to pewna stała). Wypisz wszyst- kie mo˙zliwe makrostany tego układu, je˙zeli jego energia wynosi 3ε. Wyznacz liczb˛e mikrostanów realizuj˛ acych poszczególne makrostany i prawdopodobie´ nstwo tego,

˙ze układ znajdzie si˛e w danym makrostanie.

Odpowied´z:

n ₀ n ₁ n ₂ n ₃ l.m. p _i

1 2 0 0 1 3 ³ / 10

2 1 1 1 0 6 ⁶ / ¹⁰

3 0 3 0 0 1 ¹ / ¹⁰

Zadanie FS 2

?

Energia stanu podstawowego dla cz˛ astki w niesko´ nczonej studni potencjału o bokach a, b i c wynosi:

E(a, b, c) = π ² ħh ² 2m

 1 a ² + 1

b ² + 1 c ²



Korzystaj˛ ac z mno˙zników Lagrange’a oblicz, dla jakich warto´sci a, b i c energia sta- nu podstawowego b˛edzie jak najmniejsza, je˙zeli obj˛eto´s´c studni jest stała i wynosi V (a, b, c) = ab c = k ³ .

Odpowied´z: Energia b˛edzie najmniejsza dla a = b = c = k, czyli dla sze´scianu.

Zadanie FS 3

?

Załó˙zmy, ˙ze mamy ła´ ncuch N obiektów, które mo˙zna podzieli´c na k rozł˛ acznych grup. Obiekty nale˙z˛ ace do tej samej grupy s˛ a nierozró˙znialne. Ile istnieje permutacji takiego ła´ ncucha, je˙zeli w i-tej grupie znajduje si˛e n _i obiektów? Podpowied´z: ile ist- nieje permutacji N obiektów rozró˙znialnych? Ile b˛edzie tych permutacji, je˙zeli dwa spo´sród obiektów s˛ a nierozró˙znialne? Ile, je˙zeli 3, 4, . . . , n jest nierozró˙znialnych?

Odpowied´z: P = _n ^{N !}

0

!n

!n

!...n

!

∗

Skompilowane z wielu ´zródeł. Tylko do u˙zytku na zaj˛eciach.

1

Zadanie FS 4

?

Układ składa si˛e z N rozró˙znialnych cz˛ astek, z których ka˙zda mo˙ze znale´z´c si˛e w jednym ze stanów o energii " _i (i = 0,1,2,3,...; trzeba tu wyra´znie zaznaczy´c, ˙ze in- deks i numeruje poszczególne stany kwantowe, a nie dopuszczalne warto´sci energii cz˛ astki - w ogólnym przypadku mo˙ze zachodzi´c " _i = " _j dla pewnych par i, j ). Wy- znacz (poprzez maksymalizacj˛e entropii) liczb˛e cz˛ astek w i-tym stanie, je˙zeli układ znajduje si˛e w równowadze a jego energia całkowita wynosi E (temperatura układu wynosi T ). Wyka˙z, ˙ze entropi˛e i energi˛e układu mo˙zemy wyrazi´c wzorami

S = N k d

dT (T lnZ) E = N kT ² d

dT (lnZ) gdzie Z to suma statystyczna.

Odpowied´z: ⁿ _N

= _Z ¹ e ⁻

, Z = P _i e ⁻

Zadanie FS 5

?

Układ N rozró˙znialnych momentów magnetycznych o warto´sci µ znajduje si˛e w po- lu magnetycznym o warto´sci indukcji magnetycznej B. Załó˙zmy, ˙ze mo˙zliwe s˛ a dwa ustawienia momentów magnetycznych - zgodne z polem (o energii " ₊ = −µB) i prze- ciwne do pola (o energii " ₋ = +µB). Wyznacz entropi˛e oraz prawdopodobie´nstwa znalezienia momentów magnetycznych ustawionych zgodnie i przeciwnie do pola w stanie równowagi (energia układu wynosi E, temperatura układu wynosi T ). Ile b˛ed˛ a wynosi´c te prawdopodobie´ nstwa i entropia dla bardzo małych i bardzo du˙zych temperatur?

Odpowied´z: p ₊ = ⁿ _N

= _1+e

¹ , p ₋ = ⁿ _N

= _1+e

¹ , S = kN

 ln ( ^1+e

)

e

+ ^ln ( ^1+e

)

e



Małe T : p ₊ = 1, p ₋ = 0, S = 0; Du˙ze T : p ₊ = ¹ / ² , p ₋ = ¹ / ² , S = k ln2 ^N

Zadanie FS 6

?

Układ składa si˛e z N rozró˙znialnych cz˛ astek drgaj˛ acych z t˛ a sam˛ a cz˛esto´sci˛ a ν. Ponie- wa˙z cz˛ astki mog˛ a drga´c w trzech niezale˙znych kierunkach, ka˙zdej z nich odpowiada- j˛ a trzy niezale˙zne oscylatory harmoniczne (kwantowe oscylatory o dopuszczalnych energiach " _i = (i + ¹ / ² )ħhν; jest to tak zwany model Einsteina). Wyznacz sum˛e staty- styczn˛ a, entropi˛e i energi˛e w funkcji temperatury.

Odpowied´z: Z = ^e

1−e

, S = 3N k h

ħhν kT

€ e ^ħhν/kT − 1 Š ₋₁

− ln €

1 − e ^−ħhν/kT Ši , E = 3N ħhν h€

e ^ħhν/kT − 1 Š ₋₁ + ¹ ₂ i

2

Zadanie FS 7

?

Na ile ró˙znych sposobów mo˙zna n nierozró˙znialnych obiektów umie´sci´c w w roz- ró˙znialnych pudełkach? Podpowied´z: Mo˙zna ten problem sformułowa´c w sposób al- ternatywny - na ile ró˙znych sposobów mo˙zemy rozmie´sci´c w − 1 nierozró˙znialnych patyczków pomi˛edzy n elementami. Dla przykładu, kiedy n = 6 a w = 5, poni˙zsza konfiguracja patyczków odpowiada 0 cz˛ astkom w pierwszym pudełku, 2 w drugim, 0 w trzecim, 3 w czwartym i 1 w pi˛ atym.

Na pierwszy rzut oka wida´c, ˙ze ka˙zdej unikalnej konfiguracji patyczków odpowiada unikalne rozło˙zenie obiektów w pudełkach. Problem ten najłatwiej rozwi˛ aza´c zakła- daj˛ ac na pocz˛ atku, ˙ze patyczki s˛ a rozró˙znialne, a nast˛epnie bior˛ ac poprawk˛e na ich nierozró˙znialno´s´c.

Odpowied´z: p = ^(w+n−1)! _n!(w−1)!

Zadanie FS 8

?

Załó˙zmy, ˙ze układ składa si˛e z N nierozró˙znialnych cz˛ astek (rozwa˙za´c b˛edziemy gaz doskonały). Dla takiego układu definiujemy makrostan poprzez grupowanie pozio- mów energetycznych: je˙zeli mamy w _i stanów, których energia jest bliska energii " _i , wówczas interesuje nas liczba cz˛ astek n _i znajduj˛ acych si˛e w jednym z tych w _i stanów.

Makrostanem jest rozkład energii (n ₀ , n ₁ , n ₂ , . . .). Na ile sposobów mo˙zna zrealizo- wa´c ka˙zdy makrostan przy zało˙zeniu, ˙ze w _i  n _i ? Jakie jest prawdopodobie´ nstwo tego, ˙ze energia cz˛ astki b˛edzie bliska " _i (cz˛ astka znajdzie si˛e w jednym z w _i stanów o energiach bliskich " _i )? Wyka˙z, ˙ze entropi˛e takiego układu mo˙zna wyrazi´c wzorem:

S

kN = 1 − lnN + d dT T ln Z Odpowied´z: P = Q _i ^(w _n

⁺ⁿ

^−1)!

i

!(w

−1)! ≈ Q

i (w

)

n

! , p _i = _Z ¹ w _i e ^−"

, Z = P _i w _i e ^−"

Zadanie FS 9

?

Wyznacz funkcj˛e g˛esto´sci stanów dla cz˛ astek gazu doskonałego (czyli układu cz˛ astek zamkni˛etych w trójwymiarowej studni potencjału o obj˛eto´sci L ³ ). Energia poszcze- gólnych stanów to:

E _p,q,r = π ² ħh ² 2mL ²

€ p ² + q ² + r ² Š

dla p, q, r ∈ N. Korzystaj˛ac z g˛esto´sci stanów wyznacz sum˛e statystyczn˛a.

Odpowied´z: g (") = _4π ^L

€ _2m

ħh

Š

p", Z = L ³ € _mkT

2πħh

Š

3

Zadanie FS 10

?

Wyznacz, korzystaj˛ ac z g˛esto´sci stanów i sumy statystycznej, entropi˛e gazu doskona- łego (jest to tak zwane równanie Sackura-Tetrodego).

Odpowied´z: _kN ^S = ⁵ ₂ + ln ^L _N

+ ³ ₂ ln ^mkT

2πħh

Zadanie FS 11

?

Wyznacz, korzystaj˛ ac z g˛esto´sci stanów i sumy statystycznej, rozkład pr˛edko´sci cz˛ a- stek w gazie doskonałym (rozkład Maxwella). Podpowied´z: " = ¹ ₂ mv ² , p (") d" =

p (v) d v.

Odpowied´z: p(v) = Æ ₂

π

€ _m

kT

Š

v ² e ^−mv

4