Zadanie 1. Przedstaw liczb e zespolon

(1)

ALGEBRA LINIOWA

I JEJ METODY OBLICZENIOWE 1

Kolokwium 26-11-2005

Uwaga: ka˙zde zadanie warte jest 6 punkt´ow, niezale˙znie od stopnia trudno´sci.

Zadanie 1. Przedstaw liczb e zespolon

_,

a

_,

z = ( √

3 + 3i)

⁴⁰

( √

3 + i)

²⁰

w postaci a + bi, gdzie a, b ∈ IR oraz i = √

−1.

Zadanie 2. Niech W

1

i W

2

b ed

_,

a podprzestrzeniami pewnej przestrzeni liniowej V . Wyka˙z,

_,

˙ze zbi´or W

1

∪ W

²

jest podprzestrzeni a przestrzeni V wtedy i tylko wtedy gdy W

_, 1

⊂ W

²

lub W

2

⊂ W

1

.

Zadanie 3. Niech

A =

"

2 3 3 7 −4

1 5 −2 7 −9

#

b edzie macierz

_,

a rzeczywist

_,

a. Znajd´z rank(A) oraz dowolne bazy przestrzeni im(A) i ker(A).

_,

Zadanie 4. Znajd´z macierz przekszta lcenia liniowego φ : IR

²

→ IR

⁴

danego wzorem φ((x

₁

, x

₂

)) = (3x

₁

+ x

₂

, x

₁

+ 5x

₂

, −x

1

+ 4x

₂

, 2x

₁

+ x

₂

)

w bazach

B

1

= { (3, 1), (4, 2) }

B

2

= { (1, 0, 1, 0), (0, 1, 1, 1), (0, 1, 2, 3), (0, 0, 0, 1) }.

Zadanie 5. Niech V b edzie przestrzeni

_,

a liniow

_,

a wielomian´ow rzeczywistych stopnia co

_,

najwy˙zej 2. Niech φ

j

∈ V

^∗

, j = 1, 2, 3, b ed

_,

a okre´slone wzorami:

_,

φ

₁

(w) = w(0), φ

₂

(w) = w

⁰

(0), φ

₃

(w) = w(1).

Wyka˙z, ˙ze powy˙zsze trzy funkcjona ly tworz a baz

_,

e V

_, ^∗

. Znajd´z baz e do niej dualn

_,

a.

_,