1. Niech A = {2k | k ∈ Z} i niech +, · oznaczaja zwykªe dodawanie i mno»enie w zbiorze liczb rzeczywistych

Egzamin

Elementy algebry i geometrii analitycznej 30.01.2017

1. Niech A = {2k | k ∈ Z} i niech +, · oznaczaja zwykªe dodawanie i mno»enie w zbiorze liczb rzeczywistych

T N (A, +) jest grupa;

T N · jest dziaªaniem wewnetrznym w zbiorze A;

T N (A, ·) jest grupa;

T N + jest dziaªaniem wewnetrznym w zbiorze A;

2. Dane sa permutacje σ =  1 2 3 4 5 6 3 4 5 6 1 2



, π =  1 2 3 4 5 6 6 3 2 4 5 1



T N σ = (2, 4, 6)(1, 3, 5) ; T N σ = (1, 3, 5)(2, 4, 6) ;

T N permutacja π jest transpozycja;

T N permutacja σ jest cyklem dªugo±ci 2;

3. W pier±cieniu (Z

, ⊕

, 

, 0, 1)

T N elementem odwrotnym do 7 wzgledem 

jest 5;

T N 3 

4 = 7 ⊕

5 ;

T N ka»dy element posiada element przeciwny wzgledem ⊕

; T N 6 nie posiada elementu odwrotnego wzgledem 

; 4. Niech z = 1 − √

3i T N arg z =

; T N z · ¯ z − 4 = 0 ;

T N Im z = √

3i ;

T N z

jest liczba rzeczywista;

5. Niech A, B ∈ M

(R).

T N Mno»enie A · B jest wykonalne;

T N A

∈ M

(R);

T N Rzad macierzy B mo»e by¢ równy co najwy»ej 5;

1

T N (A + B)

= B

+ A

; 6. Dla dowolnej macierzy A ∈ M

(R),

T N je»eli A jest odwracalna, to det A = det (A

) ; T N det (5A) = 4 · 5 · det A;

T N je»eli A jest odwracalna, to A

jest macierza odwracalna;

T N je»eli A jest odwracalna, to równanie A · X = B ma do- kªadnie jedno rozwiazanie dla dowolnej, ale wymiarowo stosownej macierzy B;

7. W przestrzeni wektorowej R

rozwa»my wektory u = (1, −2, −5), v = (−3, 4, 5), w = (−2, 2, 2)

T N wektory u, v, w sa liniowo niezale»ne;

T N wektory u, v, w generuja R

; T N dim Lin(u, v) = 2;

T N w ∈ Lin (u, v);

8. Niech U = {(x, y, z, t) ∈ R

| x − y + z + 2t = 0} i niech w = (1, 0, 1, 1);

T N U jest podprzestrzenia wektorowa R

; T N (4, −1, −5, 1) ∈ U ;

T N ∀u ∈ U u + w / ∈ U ;

T N ∀λ ∈ R(λ · w ∈ U ⇒ λ = 0);

9. Dane jest odwzorowanie liniowe

f : R

→ R

, f (x, y, z) = (x + y + z, x − y);

T N Ker f = {(t, −t, −2t) | t ∈ R};

T N wektory f(1, 0, 1), f(1, 1, 4) sa liniowo zale»ne;

T N (2, 3) ∈ Im f;

T N Ker f jest podprzestrzenia R

;

2