Ćwiczenia nr 1, AM I, 4.10.2019
Inauguracja - podstawowe własności działań z zbiorze liczb rzeczywistych
Informacje ogólne
1. (Obecność na ćwiczeniach.) Można opuścić maksymalnie 5 zajęć bez formalnego usprawiedliwienia. W pozostałych przypadkach dostarczamy zwolnienie lekarskie lub (w bardzo wyjątkowych przypadkach) inne usprawiedliwienie.
2. (Kartkówki.) W każdy wtorek zajęcia będziemy zaczynać około 20-minutową kartkówką, na której będą zadane dwa zadania.
3. (Serie zadań domowych.) Zostaną zadane trzy serie zadaniowe domowe. Rozwiązania należy pisać abso- lutnie samodzielnie, należy umieć objaśnić rozwiązanie przy tablicy. Proszę założyć cienki zeszyt i tam wpisywać rozwiązania.
4. (Punkty.) Za ćwiczenia można otrzymać 30 punktów, za każde z kolokwiów – 35 punktów. Ocena z ćwiczeń bedzię (głównie) uzależniona od wyników z kartkówek i serii zadań domowych.
5. (Konsultacje.) Serdecznie zapraszam na konsultacje. Termin ustalimy wspólnie.
6. (Moje dane.) Mikołaj Rotkiewicz, pokój 5190, www.mimuw.edu.pl/~mrotkiew Tutaj będę zamieszczał zadania, które przerabiamy na ćwiczeniach.
7. (Polecane publikacje.)
• M. Krych, Analiza matematyczna, część pierwsza (i druga). Dostępne również na stronie: https:
//www.mimuw.edu.pl/~krych/staszic/
• M. Krych, https://www.mimuw.edu.pl/~krych/matematyka/ szczególnie zakładka "analiza I skrypt".
Znajdą Państwo tutaj dużo ciekawych zadań różnej trudności jak i wiele zestawów zadań z kolokwiów przeprowadzanych w latach minionych.
• B. P. Demidowicz, Zbiór zadań i ćwiczeń z analizy matematycznej
• K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy – funkcje jednej zmiennej
• P. Strzelecki, Analiza matematyczna I, skrypt https://www.mimuw.edu.pl/~pawelst/analiza/
Analiza_Matematyczna_1/Notatki_itp./Archiwum_files/skryptAM1-2010-11-ver01.010c.pdf
• Pula jawna: https://www.mimuw.edu.pl/~pawelst/analiza/Analiza_Matematyczna_1/Notatki_
itp./Archiwum_files/JawnaPula2012-13-ver01a.pdf
• P. Mormul, notatki: https://www.mimuw.edu.pl/~mormul/AMII.html
Aksjomaty liczb rzeczywistych.
Zadanie 1. Jak uzasadnisz, że (a) 3 · 5 = 5 · 3,
(b) 13 · 15 = 15 · 13?
Zadanie 2. Uzasadnij, że dla dowolnej liczby rzeczywistej (a2)3= (a3)2. Zadanie 3. Ustaw 245, 336, 247 i 518 w porządku rosnącym.
D1 ∀a,b∈Ra + b = b + a, D2 ∀a,b,c∈R(a + b) + c = a + (b + c), D3 ∃0∈R∀a∈Ra + 0 = a, D4 ∀a∈R∃b∈Ra + b = 0;
M1 ∀a,b∈Ra · b = b · a, M2 ∀a,b,c∈R(a · b) · c = a · (b · c), M3 ∃1∈R∀a∈Ra · 1 = a, M4 ∀06=a∈R∃b∈Ra · b = 1;
MD ∀a,b,c∈R(a + b) · c = a · c + b · c, ZJ 0 6= 1.
N1 ∀a,b,c∈Rb < c =⇒ a + b < a + c, N2 ∀a,b,c∈R(a > 0 ∧ b < c) =⇒ a · b < a · c, N3 ∀a,b,c∈R(a < b ∧ b < c) =⇒ a < c, N4 ∀a,b∈R
zachodzi dokładnie jedna z możliwości a < b albo a = b albo a > b;
C Dla dowolnego ograniczonego z góry podzbioru A ⊂ R wśród wszystkich ograniczeń górnych zbioru A istnieje liczba najmniejsza.
Udowodnij korzystając wyłącznie z aksjomatów:
Zadanie 4. Element zerowy z D3 jest wyznaczony jednoznacznie. Podobnie, jedynka w M3 jest wyznaczona jednoznacznie.
Zadanie 5. ∀a∈Ra · 0 = 0,
Zadanie 6. ∀a,b∈R istnieje dokładnie jedna liczba c ∈ R taka, że a + c = b. W szczególności, element b taki, że a + b = 0 jest jedyny i oznaczamy go przez −a. Podobnie, dla dowolnej liczby a 6= 0 istnieje dokładnie jedna liczba b ∈ R taka, że a · b = 1. Oznaczamy ją przez 1a (odwrotność liczby a).
Zadanie 7. −a = (−1) · a, −(−a) = a.
Zadanie 8. Dla dowolnych a, b, c, d ∈ R, jeśli a < b i c < d, to a + c < b + d,
Zadanie 9. Dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a, b, c, d, jeśli a < b i c < d, to a · c < b · d, Zadanie 10. Jeśli x > 0, to −x < 0.
Zadanie 11. a2 0.
Zadanie 12. 1 > 0.
Zadanie 13. (a + b)2= a2+ 2 · a · b + b2. Zadanie 14. Jeśli ab = 0, to a = 0 lub b = 0.
Zadanie 15. Udowodnij, że 7 <√ 56 < 8.
Zadanie 16. Uzasadnij, że 23−35 =151.
Zadanie 17. Uzasadnij, że zbiór liczb wymiernych spełnia wszystkie (powyższe) aksjomaty liczb rzeczywistych poza aksjomatem ciągłości.
Zadanie 18. Znajdź kresy
(a) zbioru {a/b + b/a : a, b ∈ R, a, b > 0}, (b) zbioru liczb postaci x+11
y+ 1z
, przy czym 1 ¬ x, y, z ¬ 5 i liczby x, y, z są parami różnymi liczbami i. naturalnymi, ii. rzeczywistymi;
(c) zbioru liczb postaci xy2z3, przy czym x, y, z są dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że x+y+z = 1.
2
