Szybkie mno»enie wielomianów i macierzy

(1)

Szybkie mno»enie wielomianów i macierzy

ukasz Kowalik

Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski

(2)

Szybka Transformata Fouriera

(3)

Wielomiany

Wielomian reprezentowany jako ci¡g wspóªczynników Niech R b¦dzie pier±cieniem (np. R = C, R, Z, . . .).

Wielomian stopnia n − 1 to funkcja A : C → C postaci

A(x) =

n−1

X

i=0

aixⁱ, gdzie a_i ∈R.

Wielomian A reprezentujemy jako ci¡g (a0, . . . ,an−1). Dodawanie

Dane dwa wielomiany A = (a0, . . . ,an−1)i B = (b0, . . . ,bn−1). Obliczy¢ wielomian C, C(x) = A(x) + B(x).

Rozwi¡zanie: C = (a₀+b₀, . . . ,a_n−1+b_n−1).

Czas: O(n) operacji arytmetycznych (na elementach R).

(4)

Mno»enie wielomianów w O(n

²

)

Problem

Dane dwa wielomiany A = (a₀, . . . ,a_n−1)i B = (b₀, . . . ,b_n−1). Obliczy¢ wielomian C, C(x) = A(x) · B(x).

Rozwi¡zanie

Rozwi¡zanie: C = (c₀, . . . ,c_2n−2), gdzie

c_k =

k

X

i=0

ai·b_k−i.

Czas: O(n²) operacji arytmetycznych (na elementach R).

(5)

Mno»enie wielomianów w O(n)

A gdyby tak...

Wyobra¹my sobie nowy lepszy ±wiat, w którym wielomiany mno»y si¦

równo ªatwo jak dodaje. (Co to za ±wiat?)

Twierdzenie (O Interpolacji)

Dla dowolnego zbioru {(x₀,y₀), . . . , (x_n−1,y_n−1)}takiego, »e x_i s¡ parami ró»ne, istnieje dokªadnie jeden wielomian P stopnia mniejszego ni» n taki,

»e P(x_i) =y_i dla ka»dego i = 0, . . . , n − 1. Reprezentacja przez warto±ci w 2n punktach

n par (xi,yi) jednoznacznie wyznacza wielomian stopnia < n. 2n par tym bardziej.

Niech A i B b¦d¡ stopnia < n, dane jako A = {(x0,y0), . . . , (x2n−1,y2n−1)}oraz B = {(x₀,y₀⁰), . . . , (x_2n−1,y_2n−1⁰ )}.

Wtedy C = A · B jest reprezentowany przez {(x₀,y₀·y₀⁰), . . . , (x_2n−1,y_2n−1·y_2n−1⁰ )} Obliczyli±my C w czasie O(n).

(6)

Mno»enie wielomianów w O(n)

Twierdzenie (O Interpolacji)

Dla dowolnego zbioru {(x0,y0), . . . , (xn−1,yn−1)}takiego, »e xi s¡ parami ró»ne, istnieje dokªadnie jeden wielomian P stopnia mniejszego ni» n taki,

»e P(x_i) =y_i dla ka»dego i = 0, . . . , n − 1.

Reprezentacja przez warto±ci w 2n punktach

n par (xi,yi) jednoznacznie wyznacza wielomian stopnia < n.

2n par tym bardziej.

Niech A i B b¦d¡ stopnia < n, dane jako A = {(x0,y0), . . . , (x2n−1,y2n−1)}oraz B = {(x₀,y₀⁰), . . . , (x_2n−1,y_2n−1⁰ )}.

Wtedy C = A · B jest reprezentowany przez {(x₀,y₀·y₀⁰), . . . , (x_2n−1,y_2n−1·y_2n−1⁰ )}

Obliczyli±my C w czasie O(n).

(7)

(Prawdziwe) mno»enie wielomianów w O(n log n)

(8)

(Prawdziwe) mno»enie wielomianów w O(n log n)

(9)

Liczby zepolone, pierwiastki z 1: przypomnienie

Liczby zespolone przedstawiamy jako:

z = x + yi = r(cos ϕ + i sin ϕ) z = r · e^ϕⁱ

ω_n=e^2πⁿ jest pierwiastkiem stopnia n z 1.

wszystkie pierwiastki stopnia n z 1: ω⁰_n, ω_n¹, . . . ω_nⁿ⁻¹.

(10)

DFT i FFT

Dyskretna Transformata Fouriera, DFT

Dany ci¡g (a0, . . . ,an−1)reprezentuj¡cy wielomian A(x) = Pⁿ⁻¹_i=0 a_ixⁱ. Obliczy¢ warto±ci A(x₀), . . . ,A(x_n−1), gdzie x_j = ω^j_n dla j = 0, . . . , n.

Uwaga

W naszym zastosowaniu do mno»enia wielomianów stopnia < d, n = 2d oraz a_d =a_d+1= . . . =a_2d−1=0.

Poka»emy algorytm, który oblicza DFT u»ywaj¡c O(n log n) operacji arytmetycznych (na liczbach zespolonych).

Ten algorytm to szybka transformata Fouriera (FFT), odkryty przez Cooleya i Tuckeya w 1965 (wªa±ciwie wywa»yli oni drzwi otwarte w 1805 przez Gaussa).

(11)

FFT: dziel i zwyci¦»aj

Zaªó»my, »e n = 2k (wpp. dodajemy a_n=0).

Okre±lmy 2 wielomiany stopnia < n/2:

A^[^0](x) = a₀+a₂x + a₄x²+ . . . +a_n−2x^n/2−1, A^[^1](x) = a₁+a₃x + a₅x²+ . . . +a_n−1x^n/2−1. Wtedy:

A(x) = A^[^0](x²) +xA^[^1](x²),

(tzn. wystarczy obliczy¢ n warto±ci 2 wielomianów stopnia <n/2.) fartownie, (ωn)² = (e^2πⁿⁱ)²=e^n/2^2πⁱ = ω_n/2.

st¡d, dla k = 0, . . . , n/2, mamy:

(ω^k_n)² = ω^k_n/2 oraz (ωn^k+n/2)² = ω^k_n/2· ω^n/2_n/2 = ω^k_n/2.

czyli {(ω⁰_n)², (ω¹_n)², . . . , (ω_nⁿ⁻¹)²} = {ω⁰_n/2, ω_n/2¹ , . . . , ω_n/2^n/2−1}

Rekurencyjnie obliczamyn/2 warto±ci 2 wielomianów stopnia <n/2

(12)

FFT: dziel i zwyci¦»aj

Wniosek

Algorytm FFT dziaªa w czasie O(n log n).

Dowód

Bo T (n) = 2T (n/2) + O(n).

(13)

Mno»enie wielomianów w O(n log n): Czego jeszcze brakuje?

(14)

Odwrotna Dyskretna Transformata Fouriera (IDFT)

Odwrotna Dyskretna Transformata Fouriera, IDFT Dany ci¡g (y₀, . . . ,y_n−1) reprezentuj¡cy warto±ci wielomianu A(x) = Pⁿ⁻¹_i=0 a_ixⁱ odpowiednio w punktach 1, ω¹_n, . . . , ω_nⁿ⁻¹. Wykona¢ interpolacj¦, tzn. obliczy¢ warto±ci a0, . . . ,an−1. Chcemy znale¹¢ a₀, . . . ,a_n−1 takie, »e:

y₀ = a₀ + a₁ + a₂ + . . . + a_n−1, y₁ = a₀ + a₁ω_n + a₂ω²_n + . . . + a_n−1ω_nⁿ⁻¹, y₂ = a₀ + a₁ω²_n + a₂ω⁴_n + . . . + a_n−1ω_n²⁽ⁿ⁻¹⁾,

... ...

y_n−1 = a₀ +a₁ω_nⁿ⁻¹ +a₂ω_n²⁽ⁿ⁻¹⁾ + . . . + a_n−1ω⁽_n^{n−1)(n−1)}.

(15)

Odwrotna Dyskretna Transformata Fouriera (IDFT)

Odwrotna Dyskretna Transformata Fouriera, IDFT Dany ci¡g (y0, . . . ,yn−1) reprezentuj¡cy warto±ci wielomianu A(x) = Pⁿ⁻¹_i=0 a_ixⁱ odpowiednio w punktach 1, ω¹_n, . . . , ω_nⁿ⁻¹. Wykona¢ interpolacj¦, tzn. obliczy¢ warto±ci a₀, . . . ,a_n−1. Chcemy znale¹¢ a₀, . . . ,a_n−1 takie, »e:





 y₀ y₁ y2

y_n−1...







=







1 1 1 1 · · · 1

1 ω_n ω_n² ω³_n · · · ω_nⁿ⁻¹ 1 ω²_n ω_n⁴ ω⁶_n · · · ω²⁽ⁿ⁻¹⁾_n

... ... ... ... ... ...

1 ωⁿ⁻¹_n ω_n²⁽ⁿ⁻¹⁾ ω_n³⁽ⁿ⁻¹⁾ · · · ω⁽_n^{n−1)(n−1)}







·





 a₀ a₁ a2

a_n−1...





 czyli y = Vn·a, gdzie Vn jest macierz¡ Vandermonde'a

det V_n= Y

0≤i<j≤n−1

(ω^j_n− ω_nⁱ) 6=0. St¡d, a = V_n⁻¹y.

(16)

Odwrotna Dyskretna Transformata Fouriera (IDFT), cd

Chcemy obliczy¢ a = V_n⁻¹y,

(V_n jest macierz¡ Vandermonde'a dla warto±ci 1, ω_n, ω_n², . . . , ωⁿ⁻¹_n .) Fakt (dowód: obliczenie V_n⁻¹V_n, V_nV_n⁻¹, nuda.)

(V_n⁻¹)_j,k = ¹_n ω_n⁻^jk Wniosek

a_j =

n−1

X

k=0

1n ω⁻_n^jk·y_k = ¹_n

n−1

X

k=0

y_k(ω⁻_n^j)^k = _n¹Y (ω_n^n−j),

gdzie Y jest wielomianem o wspóªczynnikach (y₀, . . . ,y_n−1). Wniosek z wniosku

a = _n¹(DFT (y0, . . . ,yn−1))^R, gdzie operacja v^R odwraca wektor v, oprócz pierwszej skªadowej.

Czyli IDFT liczymy za pomoc¡ FFT w czasie O(n log n).

(17)

Uwagi

W algorytmie zakªadali±my dokªadn¡ arytmetyk¦ liczb rzeczywistych (zespolonych). W praktyce korzystamy z liczb o ograniczonej precyzji.

Nie prowadzi to do du»ych bªedów (algorytm FFT ma bardzo dobre wªasno±ci numeryczne)

Je±li wspóªczynniki na wej±ciu s¡ caªkowite (wi¦c na wyj±ciu chcemy równie» mie¢ caªkowite) to mo»emy zaokr¡gla¢/obcina¢, ale nale»y przeprowadzi¢ analiz¦ jak dokªadnej arytmetyki liczb rzeczywistych potrzebujemy.

Algorytm FFT bardzo ªatwo si¦ zrównolegla: mo»na go

zaimplementowa¢ jako obwód arytmetyczny o gª¦boko±ci log₂n.

(18)

Zastosowanie 1: Mno»enie

Powiedzmy, »e chcemy pomno»y¢ przez siebie 2 liczby n-bitowe a = Pⁿ⁻¹_i=0 a_i2ⁱ i b = Pⁿ⁻¹_i=0 b_i2ⁱ.

1 a i b reprezentujemy jako wielomiany A(x), B(x):

mo»na po prostu jako A(x) = Pⁿ⁻¹_i=0 a_ixⁱ, gdzie a_i ∈ {0, 1}

ale zwykle bardziej si¦ opªaca pokroi¢ liczby na grubsze bloki, `-bitowe.

Wtedy A(x) = P^d_i=0^n/`e−1a_ix_i, gdzie a_i ∈ {0, . . . , 2^`−1}.

2 za pomoc¡ FFT obliczamy C(x) = A(x)B(x) (wówczas c_j ∈ {0, . . . , n}).

3 wykonujemy przeniesienie za pomoc¡ O(n log n) operacji na bitach Przeniesienie p_i zawsze ma co najwy»ej warto±¢ n:

Na pocz¡tku bc0/2c ≤ n, czyli OK Je±li pi ≤n to pi+1= b(pi+ci)/2c ≤ n.

St¡d, obliczenie i-tej cyfry wyniku wymaga O(log n) operacji bitowych.

(19)

Zastosowanie 1: Mno»enie

(20)

Zastosowanie 1: Mno»enie

(21)

Zastosowanie 1: Mno»enie, cd

Analiza

Powiedzmy, »e n bitów podzielili±my na ≈ 2^k bloków dªugo±ci `.

Wówczas algorytm wykona si¦ w czasie O(n + k · Mn/`), gdzie M to czas mno»enia dwóch liczb zespolonych.

Powiedzmy, »e liczby zespolone reprezentujemy na m bitach.

Jak du»e powinno by¢ m »eby wynik mno»enia byª poprawny?

m ≥ 4k + 2` (patrz Knuth, t. II) Wnioski sytuacja praktyczna

W praktyce dla rozs¡dnych danych (np. n = 10⁹) wystarczy liczby zespolone reprezentowa¢ jako par¦ liczb typu double.

Wówczas mno»enie dwóch liczb m-bitowych dziaªa w czasie O(1).

Bior¡c ` = k dostajemy algorytm w czasie O(n).

(22)

Zastosowanie 1: Mno»enie, cd

Analiza

Powiedzmy, »e n bitów podzielili±my na ≈ 2^k bloków dªugo±ci `.

Wówczas algorytm wykona si¦ w czasie O(n + k · Mn/`), gdzie M to czas mno»enia dwóch liczb zespolonych.

Powiedzmy, »e liczby zespolone reprezentujemy na m bitach.

Jak du»e powinno by¢ m »eby wynik mno»enia byª poprawny?

m ≥ 4k + 2` (patrz Knuth, t. II) Teoria

(Schönhage-Strassen 1971) W powy»szej analizie we¹my ` = k.

Mamy rekurencj¦ T (n) = O(nT (log n)), st¡d T (n) = O(n log n log log n log log log n · · · )

(Schönhage-Strassen 1971) Zamiast ciaªa C bierzemy pier±cie« Z2^e+1

dla pewnego e. Prowadzi to do czasu O(n log n log log n).

log^∗n

(23)

Zastosowanie 2: Dodawanie zbiorów

Problem

Dane dwa zbiory A, B ⊂ {0, . . . , n}, Znale¹¢ C = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}.

Rozwi¡zanie w czasie O(n log n)

We¹my A(x) = P_a∈Ax^a, B(x) = P_b∈Bx^b. Obliczamy C(x) = A(x)B(x).

Je±li C(x) = P²ⁿ_j=0cjx^j to C = {j : cj 6=0}.

(24)

Szybkie mno»enie macierzy

(25)

Mno»enie macierzy (kwadratowych)

Problem

Dane macierze n × n: A i B.

Znale¹¢ macierz C = A · B.

Algorytm naiwny (wg zwykªego wzoru) c_ij =P_n

k=1a_ikb_kj.

Czas: O(n³) operacji arytmetycznych.

(26)

Mno»enie macierzy: Dziel i zwyci¦»aj (1)

Bez straty ogólno±ci n = 2^k.

Podzielmy A, B, C na podmacierze o wymiarach (n/2) × (n/2):

A =

A_1,1 A_1,2 A_2,1 A_2,2

, B =

B_1,1 B_1,2 B_2,1 B_2,2

Wówczas

C =

A_1,1B_1,1+A_1,2B_2,1 A_1,1B_1,2+A_1,2B_2,2 A_2,1B_1,1+A_2,2B_2,1 A_2,1B_1,2+A_2,2B_2,2

Mamy rekurencj¦ T (n) = 8T (n/2) + O(n²) czyli T (n) = O(n³). (Dominuj¡cy jest ostatni poziom, gdzie jest 8^log²ⁿ=n³ w¦zªów.)

(27)

Mno»enie macierzy: Dziel i zwyci¦»aj (2)

A =

A_1,1 A_1,2 A2,1 A2,2

, B =

B_1,1 B_1,2 B2,1 B2,2

Drugie podej±cie (Strassen 1969):

M₁ := (A_1,1+A_2,2)(B_1,1+B_2,2) M₂ := (A_2,1+A_2,2)B_1,1 M₃ :=A_1,1(B_1,2−B_2,2) M₄ :=A_2,2(B_2,1−B_1,1)

M5 := (A1,1+A1,2)B2,2 M6 := (A2,1−A1,1)(B1,1+B1,2) M₇ := (A_1,2−A_2,2)(B_2,1+B_2,2).

Wtedy:

C =

A_1,1B_1,1+A_1,2B_2,1 A_1,1B_1,2+A_1,2B_2,2 A_2,1B_1,1+A_2,2B_2,1 A_2,1B_1,2+A_2,2B_2,2

=

M1+M4−M5+M7 M3+M5

M2+M4 M1−M2+M3+M6

Mamy rekurencj¦ T (n) = 7T (n/2) + O(n²) czyli

T (n) = O(7^log²ⁿ) =O(n^log²⁷) =O(n^2.81).

(28)

Kilka faktów podanych bez dowodu

Najszybszy znany algorytm mno»enia macierzy Coppersmitha i Winograda (1990) dziaªa w czasie O(n^2.38) (jest kompletnie niepraktyczny).

Najlepsze znane dolne ograniczenie to Ω(n²).

Ciekawe wyniki dla macierzy prostok¡tnych, np. je±li r ≤ 0.294 to macierz n × n^r mo»na pomno»y¢ przez macierz n^r ×n w czasie O(n^2+o(1)).

Niech M(n) to czas mno»enia macierzy n × n.

Wiemy, »e M(n) = O(n^ω), gdzie ω < 2.38.

Mo»na znale¹¢ odwrotno±¢ macierzy w czasie O(M(n)).

Mo»na obliczy¢ wyznacznik macierzy w czasie O(M(n)).

Dowody dwóch ostatnich faktów mo»na znale¹¢ w podr¦czniku Cormena.

(29)

Zastosowanie 1: liczba marszrut

Lemat

Niech A b¦dzie macierz¡ s¡siedztwa n-wierzchoªkowego grafu G (skierowanego lub nieskierowanego). Dla k ∈ N>0. Wówczas dla

dowolnego i, j = 1, . . . , n element A^k_i,j zawiera liczb¦ marszrut dªugo±ci k od wierzchoªka i do wierzchoªka j

Dowód

Indukcja. Dla k = 1 OK.

Dla k > 1 mamy:

A^k−1_i,` ·A`,j jest liczb¡ marszrut dªugo±ci k od i do j, w których przedostatni wierzchoªek to `.

St¡d, A^k_i,j =P_n

`=1A^k−1_i,` ·A`,j jest liczb¡ wszystkich marszrut dªugo±ci k od i do j.

Wniosek Liczb¦ marszrut dªugo±ci k mi¦dzy wszystkimi parami wierzchoªków mo»emy policzy¢ w czase O(n^ωlog k).

(30)

Szybkie mno»enie macierzy: zastosowania

Oznaczmy przez O(n^ω) najlepszy znany czas mno»enia macierzy n × n.

1 Rozwi¡zywanie ukªadów równa« w O(n^ω)

2 Wyszukiwanie trójk¡tów w grae w O(n^ω)

3 Domkni¦cie przechodnie w O(n^ωlog n)

4 Sprawdzenie (ew. znajdowanie) czy graf zawiera skojarzenie doskonaªe w czasie (n^ω).

(31)

MAX-SAT (Williams 2004)

Problem MAX-SAT

Dana formuªa φ w postaci 2-CNF, zawieraj¡ca n zmiennych. Znale¹¢

warto±ciowanie zmiennych, które maksymalizuje liczb¦ speªnionych klauzul.

Zªo»ono±¢

Odpowiedni problem decyzyjny jest NP-zupeªny.

Algorytm naiwny ma zªo»ono±¢ O(2ⁿ)

Pytanie: Czy mo»na szybciej? Np. O(1.9ⁿ)?

B¦dziemy si¦ zajmowa¢ równowa»nym (z dokªadno±ci¡ do czynnika log(#klauzul)) problemem:

Problem MAX-SAT, wersja testuj¡ca

Dana formuªa φ w postaci 2-CNF, zawieraj¡ca n zmiennych oraz k ∈ N Czy istnieje warto±ciowanie zmiennych, dla którego jest dokªadnie k speªnionych klauzul.

(32)

MAX-SAT (Williams 2004)

Problem MAX-SAT

Dana formuªa φ w postaci 2-CNF, zawieraj¡ca n zmiennych. Znale¹¢

warto±ciowanie zmiennych, które maksymalizuje liczb¦ speªnionych klauzul.

Zªo»ono±¢

Odpowiedni problem decyzyjny jest NP-zupeªny.

Algorytm naiwny ma zªo»ono±¢ O(2ⁿ)

Pytanie: Czy mo»na szybciej? Np. O(1.9ⁿ)?

B¦dziemy si¦ zajmowa¢ równowa»nym (z dokªadno±ci¡ do czynnika log(#klauzul)) problemem:

Problem MAX-SAT, wersja testuj¡ca

Dana formuªa φ w postaci 2-CNF, zawieraj¡ca n zmiennych oraz k ∈ N Czy istnieje warto±ciowanie zmiennych, dla którego jest dokªadnie k speªnionych klauzul.

(33)

MAX-SAT (Williams 2004)

Zbudujemy pewien graf G o O(2^n/3) wierzchoªkach.

Ustalmy dowolny podziaª V = V0∪V1∪V2 na trzy równe cz¦±ci (tak równe jak si¦ da).

Wierzchoªkami G s¡ wszystkie warto±ciowania v_i :V_i → {0, 1} dla i = 0, 1, 2.

Dla dowolnych v ∈ V_i, w ∈ V(i+1) mod 3 graf G zawiera kraw¦d¹ vw.

2

^V⁰

2

^V¹

2

^V²

(34)

MAX-SAT (Williams 2004)

Idea rozwi¡zania

Dobierzemy tak wagi na kraw¦dziach, »e waga trójk¡ta vwu w G b¦dzie równa liczbie speªnionych klauzul przy warto±ciowaniu (v, w, u).

Wtedy wystarczy sprawdzi¢, czy istnieje trójk¡t o wadze k w G.

2

^V⁰

2

^V¹

2

^V²

(35)

MAX-SAT (Williams 2004)

Idea rozwi¡zania

Problem 1 Jak dobra¢ wagi?

Niech c(v) = wszystkie klauzule, które s¡ speªnione przy warto±ciowaniu v.

Wtedy liczba speªnionych klauzul przy warto±ciowaniu (v, w, u) wynosi:

|c(v) ∪ c(w) ∪ c(u)| = |c(v)| + |c(w)| + |c(u)|

− |c(v) ∩ c(w)| − |c(v) ∩ c(u)| − |c(w) ∩ c(u)|

+ |c(v) ∩ c(w) ∩ c(u)|.

(36)

MAX-SAT (Williams 2004)

Idea rozwi¡zania

|c(v) ∪ c(w) ∪ c(u)| = |c(v)| + |c(w)| + |c(u)|

− |c(v) ∩ c(w)| − |c(v) ∩ c(u)| − |c(w) ∩ c(u)|

+ |c(v) ∩ c(w) ∩ c(u)|

| {z }

0

.

(37)

MAX-SAT (Williams 2004)

Idea rozwi¡zania

|c(v) ∪ c(w) ∪ c(u)| =|c(v)|+|c(w)|+|c(u)|

−|c(v) ∩ c(w)|−|c(w) ∩ c(u)|−|c(u) ∩ c(v)|

+ |c(v) ∩ c(w) ∩ c(u)|

| {z }

0

.

Czyli dajemy waga(xy) = |c(x)| − |c(x) ∩ c(y)|.

(38)

MAX-SAT (Williams 2004)

Pozostaªo sprawdzi¢, czy istnieje trójk¡t o wadze k w G.

Trick

Rozwa»amy wszystkie O(m²) =O(n⁴) podziaªów (m = liczba klauzul) k = k₀+k₁+k₂. Dla ka»dego podziaªu budujemy graf G_k₀,k1,k2 zªo»ony tylko z:

kraw¦dzi o wadze k0 mi¦dzy 2^V⁰ a 2^V¹, kraw¦dzi o wadze k₁ mi¦dzy 2^V¹ a 2^V², kraw¦dzi o wadze k₂ mi¦dzy 2^V² a 2^V⁰. Wtedy wystarczy...

sprawdzi¢, czy istnieje dowolny trójk¡t.

(39)

MAX-SAT (Williams 2004)

Pozostaªo sprawdzi¢, czy istnieje trójk¡t o wadze k w G.

Trick

Rozwa»amy wszystkie O(m²) =O(n⁴) podziaªów (m = liczba klauzul) k = k₀+k₁+k₂. Dla ka»dego podziaªu budujemy graf G_k₀,k1,k2 zªo»ony tylko z:

kraw¦dzi o wadze k0 mi¦dzy 2^V⁰ a 2^V¹, kraw¦dzi o wadze k₁ mi¦dzy 2^V¹ a 2^V², kraw¦dzi o wadze k₂ mi¦dzy 2^V² a 2^V⁰.

Wtedy wystarczy... sprawdzi¢, czy istnieje dowolny trójk¡t.

(40)

Sprawdzanie, czy G

k0,k1,k2

zawiera trój¡t

Wniosek

Graf G_k₀,k1,k2 ma 3 · 2^n/3 wierzchoªków.

Mo»emy sprawdzi¢, czy G_k₀,k1,k2 zawiera trój¡t w czasie O(2^ωn/3) =O(1.732ⁿ)

Czyli mo»emy sprawdzi¢, czy G zawiera trój¡t o wadze k w czasie O(n⁴·2^ω^n/3) =O(n⁴·1.732ⁿ) =O(1.733ⁿ)

(41)

MAX-SAT (Williams 2004): Podsumowanie

Wniosek

Mo»emy rozwi¡za¢ MAX-SAT w czasie i pami¦ci O(1.733ⁿ).

atwo przerobi¢ nasz algorytm (jak?) »eby dosta¢ Wniosek

Mo»emy zliczy¢ wszystkie rozwi¡zania optymalne MAX-SAT w czasie i pami¦ci O(1.733ⁿ).

(42)

MAX-SAT (Williams 2004): Podsumowanie

Wniosek

Mo»emy rozwi¡za¢ MAX-SAT w czasie i pami¦ci O(1.733ⁿ).

atwo przerobi¢ nasz algorytm (jak?) »eby dosta¢

Wniosek

Mo»emy zliczy¢ wszystkie rozwi¡zania optymalne MAX-SAT w czasie i pami¦ci O(1.733ⁿ).