ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria I : PRACE MATEMATYCZNE X I I (1968)
ANNALES SOCIETATIS MATHEMATICAE POLONAE Series I : COMMENTATIONES MATHEMATICAE X I I (1968)
J . Bo c h n a k (Kraków)
Wiązki liniowe (I)
I. Wstęp. Celem niniejszej pracy jest przedstawienie podstawowych pojęć i twierdzeń dotyczących teorii wiązek liniowych. Teoria ta prze
żywa w ostatnich latach burzliwy rozwój i jest przedmiotem uwagi wielu matematyków. Jej fundamentalne znaczenie dla topologii różniczkowej polega na możliwości skojarzenia z każdą rozmaitością różniczkowalną pewnej wiązki liniowej, mianowicie tzw. wiązki stycznej. Własności rozmaitości różniczkowalnej mogą być badane poprzez własności jej wiązki stycznej.
Teoria wiązek liniowych użyta jest do konstrukcji ważnego funktora Grothendiecka (A-teoria), przy pomocy którego zostało rozwiązanych szereg zagadnień z pogranicza topologii różniczkowej, topologii algebra
icznej i geometrii różniczkowej (wspomnę tylko o pracach Adamsa do
tyczących klasyfikacji pól wektorów stycznych na sferach i pracach Milnora o nieistnieniu struktur różniczkowalnych na pewnych rozmai
tościach topologicznych; [1], [2], [3], [4], [7], [8] i [9]).
W niniejszej pracy podajemy — między innymi — twierdzenie o wiąz
kach indukowanych przez odwzorowania homotopijne oraz ważne w to
pologii różniczkowej twierdzenie o strukturze wiązek liniowych nad rozmaitościami różniczko walny mi.
Potrzebne w trakcie rozważań wiadomości z zakresu teorii rozmaitości różniczkowalnych znaleźć można w pracy [5] lub [10].
Artykuł ten jest stanowiącym odrębną całość fragmentem obszer
nego cyklu referatów, które autor wygłosił na seminarium z topologii różniczkowej, prowadzonym przez profesora S. Łojasiewicza w latach 1966-1967. Autor pragnie podziękować profesorowi S. Łojasiewiczowi za cenne uwagi i sugestie oraz życzliwą opiekę w trakcie przygotowywania niniejszej pracy.
П. Definicje i oznaczenia. Restrykcję (zacieśnienie) odwzorowania / do zbioru A zawartego w dziedzinie funkcji / będziemy oznaczali symbo
lem / | A. Przez injekcję będziemy rozumieli odwzorowanie różno wartoś
ciowe.
142 J. Bochnak
Definicja 1. Układ £ = (и(£), Б(£), л), złożony z przestrzeni to
pologicznych F(i-) i R(£) (Hausdorffa) oraz odwzorowania ciągłego n: E (£ ) В (i) nazywamy rzeczywistą n-wymiarową wiązką liniową nad bazą B(tj), jeżeli spełnione są następujące warunki:
(a) Dla każdego beB(^) zbiór л~1(Ь) = £6 jest rzeczywistą n-wy
miarową przestrzenią liniową.
(b) (Warunek lokalnej trywialności). Dla każdego ЬеБ(£) istnieje otwarte otoczenie U punktu b i homeomorfizm
<p: U x R n n~x{U) taki, że
<P \ {b '}x R n:{ b ,} x R n
\
jest izomorfizmem liniowym, dla każdego b' e U.
Przestrzeń U(£) nazywamy przestrzenią wiązki £, a zbiór £6 włóknem punktu b. Wiązkę ^-wymiarową £ będziemy oznaczali również przez £w.
Jeżeli w warunku (b) jako otoczenie U można wziąć całą przestrzeń Б(£), wtedy wiązkę £ nazywamy trywialną.
W analogiczny sposób definiuje się zespoloną wiązkę liniową, zastę
pując ciało liczb rzeczywistych R przez ciało liczb zespolonych C.
Przekrojem zerowym wiązki £ nazywamy odwzorowanie przyporząd
kowujące punktowi b eB (i) wektor zerowy przestrzeni £b. Przekrój ze
rowy jest odwzorowaniem ciągłym.
Mech A cz Б(£); wiązkę (лГ^И), A , л | лГ1^ ) ) nazywamy restrykcją wiązki £ do zbioru A i oznaczamy £ | A. Restrykcja wiązki trywialnej jest trywialna.
De f i n i c j a 2. Wiązkę liniową nazywamy różniczkowalną, jeżeli jej przestrzeń i baza są rozmaitościami różniczkowalnymi, a homeomorfizmy występujące w warunku lokalnej trywialności są difeomorfizmami. (Wtedy л : j&(£)-> J3(£) jest odwzorowaniem różniczkowalnym.)
Zakładamy, że wszelkie rozważane rozmaitości różniczkowalne są przestrzeniami Hausdorffa o bazie przeliczalnej. Przez rozmaitość róż
niczkowalną będziemy rozumieli rozmaitość klasy C°°, podobnie odwzo
rowanie różniczkowalne oznacza odwzorowanie klasy C°°. W dalszych rozważaniach założenia te będziemy pomijali.
De f i n i c j a 3. Mech £ i у będą ^-wymiarowymi wiązkami linio
wymi. Odwzorowaniem włóknistym F : £ -> у wiązki £ w wiązkę у nazywamy odwzorowanie ciągłe przestrzeni Е (£) w E(y), przeprowa
dzające każde włókno wiązki £ w pewne włókno wiązki у przez izomor
fizm liniowy.
Odwzorowanie włókniste F wyznacza w naturalny sposób odwzoro
wanie ciągłe f :B ( £ ) - + B ( y ) takie, że następujący diagram jest prze-
Wiązki liniowe I 143 mienny:
E ( i )---->E(p)F
B (£ )— > B (V)
Mówimy przy tym, że odwzorowanie F nakrywa odwzorowanie /.
De f i n i c j a 4. Mech £ i rj będą wiązkami liniowymi nad tą samą bazą B. Homomorfizmem (epimorfizmem, monomorfizmem, izomorfizmem) wiązki £ w wiązkę rj nazywamy ciągłe odwzorowanie przestrzeni E(£j) w E (t}) przeprowadzające — dla każdego pnnktu baB — włókno £b we włókno rjb w sposób homomorficzny (epimorficzny, monomorficzny, izo
morficzny).
Jeżeli H : B x R n - + B x R n jest izomorfizmem wiązek trywialnych, wtedy oczywiście odwzorowanie E ~ l jest ciągłe. W oparciu o tę uwagę oraz warunek lokalnej trywialności łatwo stwierdzić, że izomorfizm wiązek jest homeomorfizmem przestrzeni _£/(£) na przestrzeń E(rj), w związku z czym relacja izomorfizmu jest relacją równoważnościową w zbiorze wiązek nad ustaloną bazą.
W dalszym ciągu będziemy rozważali wiązki z dokładnością do izomor
fizmu. Przyjmujemy oznaczenie £ ^ rj dla izomorficznych wiązek £ i p.
Zauważmy jeszcze, że z definicji izomorfizmu wiązek wynika, że
^-wymiarowa wiązka nad bazą В jest trywialna wtedy i tylko wtedy, gdy jest izomorficzna ze standardową wiązką trywialną ( B x R n, В , л).
Le m a t 1. Niech {f a: Ua X }aeL będzie rodziną infekcji, f a{Ua) =
= X iU ap= f ^ 1\fa(U a) ^ f p(Utl)) dla a ,p e L . aeL
(a) Jeżeli Ua są przestrzeniami topologicznymi, zbiory TJa(s są otwarte i odwzorowania
(*) n lo fa\Vap: UaP-> U Pa
są ciągle, to istnieje dokładnie jedna topologia w X , przy której f a{Ua) są otwarte oraz każde f a jest homeomorfizmem Ua w przestrzeń X .
(b) Jeżeli ( Ua)aeL jest przeliczalną rodziną n-wymiarowych rozmaitości różniczkowalnych, odwzorowania (*) są różniczkowalne, a topologia w X indukowana przez (/a)a6£ jest topologią Hausdorffa, to istnieje dokładnie jedna struktura różniczkowalna na X , przy której każde f a jest difeomorfiz- mem Ua w przestrzeń X.
Dowód, (a) Łatwo stwierdzić, że jedyną topologią o żądanych w tezie własnościach jest topologia, której podbazą jest rodzina zbio
rów U F a, gdzie
UeL
F a — {fa(A ): A przebiega rodzinę zbiorów otwartych w Ua}.
144 J . B o c h n a k
(b) Mech {<ра)р€ва będzie atlasem różniczkowalnym na rozmaitości Ua i niech i f = / , (dziedzina qPa). Wtedy {q%°fa11 M)aeL jest atlasem róż- niczkowalnym na X , przy którym odwzorowania f a są difeomorfizmami w rozmaitość X .
Pr z y k ł a d. Wiązka styczna. Mech p będzie ustalonym punktem
^-wymiarowej rozmaitości różniczkowalnej M, a C°°(p) zbiorem funkcji rzeczywistych, określonych i różniczko walnych w otoczeniu punktu p.
Wektorem stycznym w punkcie p nazywamy każde odwzorowanie X : C°°(p) -* R spełniające następujące warunki:
(a) Jeżeli / , gzC°°{p) i g jest restrykcją funkcji / , to X (g) = X (f).
(b) Dla każdego f,g eC °°(p ) i a , f i e R X (a f+ p g ) = aX (f) + pX(g).
(c) Dla każdego f , g *<?*&) X (fg) = X (f)g (p ) + X (g)f(p).
Łatwo stwierdzić, że dla każdej funkcji stałej c, X (c) = 0. Zbiór wszystkich wektorów stycznych z naturalnie określonymi działaniami jest przestrzenią wektorową. ISTazywamy ją przestrzenią styczną rozmaitości
M w punkcie p i oznaczamy przez TM P.
Mech Ф = (%, . .. , un): U R n będzie lokalnym układem współ
rzędnych w otoczeniu U punktu p. Wektory styczne l
( i l : c °°(p)3} (Ф1р)] eR {i = h • ■■■ ’ n)
tworzą w-wymiarową bazę przestrzeni TM P. Liniowa niezależność wek- , / d \ .
torow —— I jest oczywista. Dla dowodu, że wektory te generują prze-
\ U tli fp
strzeń TM P załóżmy, że Ф(р) = {щ (р ), . .., un(p)) = 0. Z prostych, czysto analitycznych rozważań [5] wynika, że dla każdej funkcji feG°°(p) istnieje n funkcji/1? . . . , / n również należących do C°°(p),fi(p) = (—^-| /
n \ O U i ) p
i takich, że / =f(p)-\- Dla każdego X e T M p mamy zatem nastę-
г=1
pujące równości wynikające z definicji wektora stycznego:
n n
X ( f ) = x ( f ( p ) + 2 « i f i ) = x ( f ( p) ) + у X ( u ,ft) =
i= 1 г = 1
n n n П l d \
= У ' х [ щ ) Ш + 2 х ( Ы щ ( р ) = У х ( Щ) Ш = У х ( щ ) / .
iZi i—\ iZi t=\ \ОЩ] р
^ i () \
Otrzymana równość X (f) = Vw( %) I—— I / kończy dowód. Przypadek
г= 1 \ и Щ / р
gdy Ф(р) = (щ (р), • • •, un{p)) ^ 0 sprowadza się do wyżej opisa
nego. Wystarczy mianowicie przyjąć jako nowy układ współrzędnych
Wiązki liniowe 1 145
(vx, . . . , v n) = (ux—ux(p ), . . . , un—un(p)) i zaobserwować że
дщ Jp
Oznaczmy przez T M sumę (_J TM V wszystkich przestrzeni stycz-
P e M
nych rozmaitości M. Dla X e T M Q niech л(Х ) = q. Istnieje naturalny sposób wprowadzenia topologii w zbiorze T M , tak aby rn = (T M , M , n) było wiązką liniową. W tym celu każdemu lokalnemu układowi współ
rzędnych (U , ux, . . . , un) przyporządkujmy odwzorowanie
<pv : U x R n*(p
П
Posługując się tymi odwzorowaniami określamy w TM topologię według schematu opisanego w lemacie 1 (a). Stwierdzamy bez trudności, że od
wzorowania (pu realizują warunek lokalnej trywialności w zbiorze U.
Skonstruowana wyżej wiązka styczna rM ma podstawowe znaczenie dla topologii różniczkowej. Inne przykłady wiązek liniowych podane będą w rozdziale YI.
III. Wiązki indukowane
Tw i e r d z e n i e 1. Niech rj — [ E ( y ) , B (y), 1) będzie wiązką liniową, B x przestrzenią topologiczną Hausdorffa, a f : B x ->B(r]) odwzorowaniem ciągłym. Wtedy istnieje wiązka liniowa ( Е х, В х, л ) i odwzorowanie włók
niste F : E x -> E ( rj ) nakrywające /. Wiązka o tych własnościach wyznaczona jest jednoznacznie (z dokładnością od izomorfizmu wiązek). Nazywamy ją
wiązką indukowaną przez odwzorowanie f i oznaczamy f*rj.
Dowód. Mech
E x = { ( b ,e ) e B x x E ( r } ) : m = Ц е)}
i niech л : Е хэ(Ь, e) -> b e B x oraz F : E xэ (b, e) - ^ e e E ( r j ) . Ponieważ л ~1(Ъ) ~
— {6} X щщ, więc zbiór ten w naturalny sposób wyposażony jest w struk
turę przestrzeni liniowej. Twierdzimy, że ( E x, B x, л) jest szukaną wiązką liniową, a F odwzorowaniem włóknistym nakrywającym /. Wystarczy sprawdzić tylko warunek lokalnej trywialności w odniesieniu do ( E x, B x, л).
Mech bf e B i niech <p: V x R n -» X *(Р) realizuje warunek lokalnej try
wialności w otwartym otoczeniu V punktu/{&') eB(^). Jeżeli U — f~ 1(V), to odwzorowanie
q>: U x R n* (b, x) -> [b ,(p {f(b ),x ))en- l (V)
realizuje warunek lokalnej trywialności w otoczeniu TJ punktu b'. (Od
wzorowanie (<p)-1 wyraża się formułą (cp)~l (b, e) = [b, po cp~l(e)), gdzie p : V x R n -> R n jest naturalnym rzutowaniem.)
Roczniki PTM — P ra ce M atem atyczne X II 10
146 J. Bochnak
Ponieważ F jest izomorfizmem liniowym na włóknach i AoF = fo n , więc F jest poszukiwanym odwzorowaniem włóknistym.
Przypuśćmy teraz, że istnieje wiązka liniowa (F', B x, л ) i odwzoro
wanie włókniste F ': Ff -> E{rj) nakrywające /. Wtedy odwzorowanie E '*e -> {л {е ).,Е '{е ))е Е х
jest izomorfizmem wiązki ( Е ',В х, л ) w wiązkę (E x, B x, л).
Sprawdzamy natychmiast, że jeśli | ^ rj, to /* £ ^ f * y .
Tw ier d z en ie 2. Niech В i B x będą rozmaitościami różniczkowalnymi.
Jeżeli rj jest wiązJcą różniczkowalną nad В, a f : B x -» В odwzorowaniem różniezkowalnym, to f*rj jest wiązką różniczkowalną.
Dowód. Odwzorowania <p występujące w dowodzie twierdzenia 1 są — w rozważanym przypadku — difeomorfizmami. Wyznaczone przez nie odwzorowania cp są injekcjami określonymi na otwartych podzbiorach rozmaitości różniczkowalnej B x x R n. Zgodnie z lematem 1 (b) teza twier
dzenia będzie udowodniona, jeśli pokażemy, że dla każdych dwu od
wzorowań
щх U iX R n E(f*rj) (* = 1, 2),
zdefiniowanych według schematu podanego w dowodzie twierdzenia 1, odwzorowanie
((Pi) ^ o ( p ( T J x r\ U 2) X R n ( U x U 2) X R j 1
jest różniczkowalne. Fakt ten wynika natychmiast z formuły (^i)_1o^2(&, ж) = = ( ^ р о ^ о ^ Д Ь ) , ® ) ) i założeń twierdzenia 2. Zauważmy, że odwzorowanie F :f* r ]- > r ) nakry
wające / jest różniczkowalne, ponieważ każde z odwzorowań Fop jest różniczkowalne.
Lemat 2 . Jeżeli e jest wiązką trywialną nad В, a f : B x В jest od
wzorowaniem ciągłym, to f* e jest również wiązką trywialną.
Dowód. Przestrzenią wiązki f*e jest zbiór
E (f*e) = {(bx, b ,x ) e B xx B x R n:f ( b x) = л (Ь ,х) = b] =
=
{(b1,f(bI),x)eB1xBxR
n)i odwzorowanie
B xx R n*{bx, x) -> (bx,f ( b x),x )e E (f* e )
ustala izomorfizm między wiązką trywialną nad B x a wiązką f*e, co należało pokazać.
Wprost z definicji odwzorowań włóknistych wynika następujący
Wiązki liniowe 1 X47 Lemat 3. (a) Niech £ będzie wiązką liniową nad bazą B, która jest sumą zbiorów domkniętych Ux i U2. Jeżeli F i :£ \ V i - > r j (i = 1 ,2 ) są odwzorowaniami włóknistymi nakrywającymi fi i pokrywającymi się we wspólnej części dziedziny, to ich sklejenie F — F x w F 2 jest odwzorowaniem włóknistym F : £ -> rj, nakrywającym sklejenie f x w / 2.
(b) Niech F : £ -> y, G: rj ~> £ będą odwzorowaniami włóknistymi na
krywającymi odpowiednio f i g . Wtedy złożenie GoF: jest odwzorowaniem włóknistym nakrywającym gof.
IV. Wiązki liniowe indukowane przez odwzorowania homotopijne
Lemat 4. Jeżeli e jest n-wymiarową wiązką trywialną nad В, А а В i r : В -> A jest ciągłą retrakcją, to istnieje odwzorowanie włókniste JR: E(e) ->
-> E(e\A) nakrywające retrakcję r i będące identycznością na włóknach punktów zbioru A.
D o wód. Odwzorowanie
B : B x R nĄ b , x ) - > { r { b ) , x ) e A x R n spełnia warunki tezy.
Lemat 6. Niech I — [ 0 , 1 ] i a d . Jeżeli £ jest wiązką nad B x l i wiązki £\ B x [0, a], £\B x [a, 1] są trywialne, to wiązka £ jest również trywialna.
Dowód. Mech h: E(£\B x [0, a ] ) -> E(£\B x {a}) będzie odwzoro
waniem włóknistym nakrywającym naturalną retrakcję 5 х [ 0 , л ] - > 5 х X{a}. Sklejając h z identycznościowym odwzorowaniem włóknistym
E ( £ \ B x [ a , l ] ) E ( £ \ B x [ a , l ] ) , otrzymujemy odwzorowanie włókniste
E (£ )----> E ( £ \ B x [ a , l ] )
V Y
B x l----> B x [a, 1]
Z twierdzenia 1 (jednoznaczność) wynika, że wiązka £ jest indukowana przez wiązkę trywialną £ \ B x [ a , l ] . Prawdziwość tezy wynika zatem z lematu 2.
Uwaga. Lemat 5 jest szczególnym przypadkiem następującego twierdzenia: Mech £ będzie wiązką nad X. Jeżeli zbiory domknięte A i В pokrywają przestrzeń X, A r\ В jest retraktem A i restrykcje £\A oraz £\B są wiązkami trywialnymi, to £ jest wiązką trywialną.
Lemat 6. Niech £ będzie wiązką liniową nad B X l. Wtedy każdy punkt beB ma otoczenie V takie, że £\V x l jest wiązką trywialną.
148 J. Bochnak
Dowód. Mech beB. Z definicji wiązki liniowej wynika, że dla każ
dego pnnktu t e ł istnieją otoczenia otwarte Vt i I t — odpowiednio punk
tów b i t — takie, że £| VtXlt jest wiązką trywialną. (Można oczywiście założyć, że I t są przedziałami). Zwartość I implikuje istnienie skończonej ilości zbiorów postaci V t .x l t{ (i = l , . . . , n ) , pokrywających { b } x l .
П
Mech V = Pl V(. będzie otoczeniem b. Istnieje zatem skończony ciąg
i = 1 1
liczb 0 = a0 < ... < an = 1 takich, że £| V X [«*, ai+2] są wiązkami try
wialnymi. Na mocy lematu 5, wiązka £| V X l jest wiązką trywialną.
Lemat 7. Jeżeli В jest przestrzenią, parazwartą, a £ jest wiązką li
niową nad B x l, to istnieje odwzorowanie włókniste R : E ( £ ) - + E ( £ \ B x { l } ) , nakrywające naturalną retrakcję
г: В x l * (b,t) - » ( 6 , l ) e 5 x { l } .
Dowód. Mech {V a)aeK będzie pokryciem przestrzeni В otwartym, lokalnie skończonym i takim, że £ | Va X I są wiązkami trywialnymi.
Mech (Да)аея: będzie rodziną ciągłych funkcji rzeczywistych, nieujem- nych i takich, że suppAa c Va oraz max{Aa(6)} = 1 dla każdego beB.
aeK
(Funkcje o tych własnościach łatwo skonstruować w oparciu o następu
jącą, prostą własność przestrzeni parazwartych: jeżeli (Va)aeK jest po
kryciem otwartym, lokalnie skończonym przestrzeni parazwartej, to istnieje pokrycie otwarte (Wa)aeK tej przestrzeni takie, że Wa c Ya.) Niech
A'a = { ( b , t ) e B x I : t ^ K ( b ) } .
Dla każdego a e K określamy retrakcję ra: B x l -> A'a wzorem ra(b, t) =
= (b, m ax(t, Ла(Ь))).
Skonstruujemy teraz odwzorowanie włókniste Ba: £ -> £, nakrywa
jące retrakcję ra. Przestrzeń B x l jest sumą zbiorów domkniętych A'a i A a = suppAtXl. Ponieważ £|Ma jest wiązką trywialną, więc istnieje — na mocy lematu 4 — odwzorowanie włókniste
(*) ź\Aa -> £|Ma w A'a,
nakrywające retrakcję ra\Aa: A a -> A a Ań i będące identycznością na włóknach punktów z A a A'a.
Odwzorowanie (*) sklejamy z identycznościowym odwzorowaniem włóknistym £|M'->£|M'. Sklejenie to jest szukanym odwzorowaniem włóknistym Ra nakrywającym, zgodnie z lematem 3 (a), retrakcję ra.
Mech teraz (Up)peL będzie pokryciem przestrzeni B, otwartym i ta
kim, że każde TJP ma niepuste przecięcie z co najwyżej skończoną ilością
Wiązki liniowe I 149 zbiorów Va. Ustalony jest dowolny porządek liniowy w zbiorze wskaź
ników K .
Zdefiniujemy obecnie, dla każdego wskaźnika peL, odwzorowanie włókniste
P p : E ( £ \ U p X l ) - > Щ ё )
następująco: jeżeli Up ma niepuste przecięcie tylko ze zbiorami Va , . .., Vajc C«i < <4+1), to
Pp — -Baj0 • • • o B ak \E(£\ Up X I ) .
Odwzorowania Pp pokrywają się na wspólnej części swoich dziedzin.
Mech mianowicie i beUp r\ Uy. Załóżmy, że Up i UY mają niepuste przecięcia tylko ze zbiorami, odpowiednio: V4 , . . . , Vak i Va’v . . . , V a>s {ai < ai+1, a / < a,-+1).
Mech b należy tylko do zbiorów Ун , •••? Уч < ... < сцр). Oczy
wiście b należy do dokładnie p zbiorów spośród Vai, ..., F„s, a mianowicie do V^h , . .. , F e. (ah < ... < o}p), przy czym % = % (v = l , . . . , p ) . Ponieważ B a. 1|(W) oraz B a>. | £lb>t) są identycznościami, gdy tylko щ Ф
Ф ah, . . . , aip oraz aj Ф aj1, . .. , сцр, więc
Pp(e) = B aio ...o B ak(e) = Ba. o . . . o B a.^(e) =
= B a' j0 ...o R a' (e) = Ra’ o . . . o B a,(e) = P y{e),
co należało stwierdzić. Sklejając odwzorowania (Pp)pcD otrzymujemy od
wzorowanie włókniste
b = U pp,
nakrywające retrakcję r. Rzeczywiście, niech bowiem 0e£(b><), gdzie be Up.
Wówczas B(e) = Pp{e) = B aio ... o B ajc(e) należy do bo Pp nakrywa odwzorowanie ra o ... o rak | Up XI, a raio . . . o r ak(b,t) = (b, 1).
Uwaga. W przypadku gdy В jest przestrzenią zwartą, dowód lema
tu 7 znacznie się upraszcza. Odwzorowanie В jest po prostu złożeniem В гo . . .o B n.
Tw ier d zen ie 3. Niech | będzie wiązką liniową nad bazą B '. Jeżeli odwzorowania ciągle /*: В -> В' (i = 0 , 1 ) są homotopijne i przestrzeń В jest parazwarta, to wiązki indukowane | i f* £ są izomorficzne.
Dowód. №ech f : B x I - > B ' będzie odwzorowaniem ciągłym, usta
lającym homotopię między f 0 i f t. Жа mocy lematu 7 istnieje odwzoro
wanie włókniste
160 J. Bochnak
nakrywające naturalną retrakcję B x l - > В X {1}. Korzystając z rów
ności fi(b) — f ( i , b) (i = 0, 1) dla b*B, można zdefiniować odwzorowania włókniste:
P : E ( f U ) H b , e ) - ^ ( b , 0 , e ) e E ( f * i ) oraz
8: E ( ( f ^ ) \ B x { l } ) H b , 1 , e ) - > ( b , e )e E( fU ),
nakrywające odpowiednio odwzorowania: B*b -> (b, 0 ) e B x I oraz B x
X { 1 }*(b, 1 ) -> beB. Odwzorowanie włókniste S o B o P : H ( f U ) ^ E { f U )
nakrywa identyczność В В , a więc jest izomorfizmem między /o £ a /* £.
Wn i o s e k. Jeżeli В jest ściągalną przestrzenią parazwartą, to każda wiązka liniowa nad В jest wiązką trywialną.
V. Wiązki liniowe typu skończonego
De f i n i c j a 5. Wiązka liniowa | nad bazą Б jest typu skończonego, jeżeli przestrzeń В jest normalna i jest sumą skończonej ilości zbiorów otwartych takich, że wszystkie || TJi są wiązkami trywial
nymi.
Le m a t 8 . Jeżeli | — ( E , В , л) jest wiązką skończonego typu, to ist
nieje monomorfizm
H : £ e
wiązki tj w wiązkę trywialną e, odpowiedniego wymiaru.
Dowód. Mech ( będzie pokryciem otwartym B, dla którego istnieją izomorfizmy
F i - . E ^ l U i ) ^ UiXRm
i niech (<yik=i,będzie rozkładem jedności drobniejszym od pokrycia П
(Ui)i=i... № (tzn. supp<^ <= Th oraz ^ ^ = 1). Zdefiniujmy homomor- г= 1
fizmy F i : E(łj) - * B x R m następująco:
\cpi(7i{e))Fi{e), gdy n{e)eUi, Fi(e) =
0, gdy л{е) еБ \slippy-
Łatwo stwierdzić, że odwzorowanie H : E(£) -> B x R mn określone wzorem H(e) — (л(е), p o F x{e), . . . , p o F n{ej) jest monomorfizmem wiązki | w stan
dardową wiązkę trywialną. (Odwzorowanie p : B x Rm ^ R m jeBt rzutowaniem naturalnym.)
W dowodzie dalszych faktów będziemy korzystać z następujących twierdzeń z teorii wymiaru topologicznego ([6] str. 178):
Wiązki liniowe I 161 Każda przestrzeń ośrodkowa o wymiarze nie większym niż n jest sumą nĄ-1 podzbiorów eo najwyżej zerowymiarowych.
Jeżeli zbiory otwarte XI x i TJ% pokrywają zerowymiarowy podzbiór M przestrzeni metrycznej ośrodkowej, to istnieją zbiory Vx i V 2 otwarte, pokrywające M, rozłączne i takie, że 7* c Ui (i = 1, 2).
Le m a t 9. Jeżeli {W^UN jest przeliczalnym, lokalnie skończonym,
otwartym pokryciem przestrzeni metrycznej ośrodkowej B, co najwyżej n- -wymiarowej, to istnieje pokrycie otwarte A — Ax^j ... w A n+1 tej prze
strzeni, wpisane w {Wi)i€N i takie, że zbiory podrodziny Ai (i = 1, . .. , n-\-1) są parami rozłączne.
Dowód. Wobec pierwszego z wyżej zacytowanych twierdzeń, wy
starczy stwierdzić, że jeśli M jest podzbiorem zero wymiarowym prze-
CO
strzeni B, to M c Yi, gdzie Yi c W* (i eN ), oraz 7* otwarte i parami
i = l
rozłączne. W tym celu przypuśćmy, że dla keN skonstruowane są zbiory Yx, . . . , Vk, Yt takie, że
oo
(a) Vi cz Wi (i = l , . . . , k ) oraz Y*k c W*k = \JW i, i=k+1
(Ы » c ( u r () v f j ,
i—1
(c) V i r s V j ^ Q (i, j = 1, . .., fc; i Ф j), (d) V i ^ V * k = 0 (i = l , . . . , k ) .
Ponieważ zerowymiarowy zbiór M r\ Yt pokryty jest zbiorami otwartymi Wk+1 n F j i Wt+1 r\ Y t, więc stosując drugie z wyżej przytoczonych twierdzeń, otrzymujemy rozłączne zbiory Y k+X i 7jj!+i takie, że 7A+1 c
<= T7*+1 лл Yt i Yt+i <= Wt+i ^ Vt oraz M ^ V*k c 7j+j ^ 7 fc+1. Stwier
dzenie, że zbiory Y x, . .. , Y k+X, 7^+1 spełniają warunki (a), (b), (c), (d), jest banalne. Eodzina (Vi)ie]sr jest pokryciem M, ponieważ dla każdej
V oo
liczby naturalnej p, I c ( [ J b ) u 7 p , a zbiór Q 7| jest pusty, ze
i = 1 ś = i
względu na lokalną skończoność (Wi)ieN. Oczywiście 7* c Wi oraz zbiory Vi są parami rozłączne.
Tw ie r d z e n ie 4. Jeżeli В jest przestrzenią (a) zwartą lub (b) me
tryczną, ośrodkową o wymiarze topologicznym skończonym, to każda wiązka liniowa i nad bazą В jest typu skończonego.
Dowód. Przypadek (a) jest banalny. Załóżmy zatem, że
jest otwartym, lokalnie skończonym pokryciem ośrodkowej przestrzeni metrycznej co najwyżej n-wymiarowej, oraz że wiązki £|T7f są trywialne.
Wybieramy pokrycie A ~ A x w ... w A n+1 wpisane w o własnoś
ciach opisanych w lemacie 9. Przyjmując Uj = U 7 (j = 1, ...,n-\-1),
162 J. Bochnak
otrzymujemy pokrycie otwarte В o tej własności, że wiązki £ | Uj są trywialne.
W n i o s e k. Wiązki liniowe nad rozmaitościami różniczkowalnymi są typu skończonego.
VI. Rozmaitości Grass manna i wiązki uniwersalne. Mech Gpn będzie zbiorem u-wymiarowych podprzestrzeni liniowych zawartych w Rn+P. M ( n , m ) oznacza przestrzeń topologiczną macierzy (rzeczywi
stych) o n wierszach i m kolumnach, zaś M(n,m-,r) c= M ( n , m ) pod- przestrzeń utworzoną z macierzy rzędu r (r < min{w, m}). Dla każdej macierzy A e M ( n , n-\~P', n) oznaczmy przez X{A) n-w jmiarową pod- przestrzeń generowaną przez wiersze macierzy A. Łatwo stwierdzić, że X(A) = X(B) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje macierz CeM (n, n' ,n) taka, że A = CB. Za pomocą odwzorowania А: M(n., nĄ-p; n) Gpn można określić w zbiorze GPjV, topologię, mianowicie tzw. topologię obra
zową (najsilniejsza topologia na Gp>n zachowująca ciągłość odwzorowania A;
zbiór jest otwarty w Gp n wtedy* i tylko wtedy, gdy jego przeciwobraz poprzez odwzorowanie A jest otwarty w M(n,, п-\-рш, w); przy tej topo
logii odwzorowanie <p określone na Gp>n o wartościach w przestrzeni topologicznej jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy cp о X jest ciągłe).
Macierz jednostkową oznaczamy przez I.
Tw i e r d z e n i e 5. Przestrzeń Gp>n jest pn-wymiarową, zwartą rozmai
tością różniczkowalną.
D o wód. (a) Konstrukcja atlasu różniczkowalnego. Mech
Q = { ( i ł , •••, j n ): 1 < i i < ••• < j n < n + p }.
Jeżeli [P ,Q ]e M (n , n-\-p) i P e M ( n , n), to przez [P ,Q]a (dla a = (jx, ...
. . . , j n)eQ) będziemy oznaczali macierz z M(n, nj-p), której j -ta ko
lumna jest i-tą kolumną macierzy P, zaś pozostałe p kolumn są utwo
rzone ze wszystkich kolumn macierzy Q z zachowaniem ich porządku.
Dla każdego aeQ zbiór
Ua = {A eM(n, n-j-p; n): A = [P, Q]a, gdzie P e M ( n , w; n)}
jest podzbiorem otwartym M {n , n-\-p) n). Ponieważ A_1(A(Z7a)) = Ua, więc zbiór Va = X(Ua) jest podzbiorem otwartym w Gp>n. Oczywiście, U Va = GPtn. Zdefiniujmy odwzorowania różniczkowalne
a e i i
W М (п ,р )э Q [I, ^]aeP«,
<PA TJa3 [ P , Q \ - > P ~ lQeM{n,p)
i przyjmijmy y>a = Хогра. Zauważmy ponadto, że jeśli X([P,Q]a) =
= A([P, ^]a), to (pa([P , Q]a) = 9?a([P , #]a). Rzeczywiście, ponieważ [P ,# ]e =
Wiązki liniowe I 153
= G[R, $ ]a = [CR, C8]a (gdzie CeM(n, n; n)), więc P 1Q — (CR) XC S —
= R~1S. Pozwala to zdefiniować odwzorowanie
Й,: Va> H [ P , Q U + < P a ( [ P , Q ] a ) = P - 1Q cM(n,p),
które jest ciągłe, ponieważ paoX — cpa i, jak łatwo sprawdzić, odwrotne względem odwzorowania ya. Tak więc odwzorowanie ya przekształca homeomorficznie zbiór otwarty Va <= Gp>n na przestrzeń M { n , p ) = R np.
Ponieważ dla dowolnych a, odwzorowanie = (paoy)p (określone na odpowiednim podzbiorze dziedziny jest różniczko walne, więc atlas
(<Pa)ae£3 jest różniczkowalny.
(b) GP;n jest przestrzenią Hausdorffa. Stwierdzimy nawet, że Gp>n jest przestrzenią regularną. W tym celu wystarczy wykazać, że obraz dowol
nego zbioru zwartego К cz M ( n , p ) poprzez odwzorowanie yja, dla każ
dego aeQ, jest zbiorem domkniętym w Gp>n. Zbiór ipa(K) jest domknięty w GPtn wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór X~l{%pa{K)) — cp~l {K) jest dom
knięty w M(n, n-\-p’, n).
Mech {[Pi, Qi]a)ieN będzie ciągiem elementów zbioru
<p~'{K) = { A e M (n , nĄ-p', n): A = [S, T]a, Se M (n , n-,n) i S~lrP eK } zbieżnym do [P, Q]aeM{n, n + p\ n). Ponieważ <pa([Pi,Qi]a) = P i lQieK, więc można założyć, że ciąg P i 1Qi jest zbieżny do macierzy R e K . Impli
kuje to z kolei, że Qi -> PR, z czego wynika równość (*) = [ P ,P P ] e = P [ I , R ] a.
Ponieważ macierz [P, Q~]a jest rzędu n, więc ze związku (*) wynika, że P jest macierzą kwadratową nieosobliwą. Oznacza to jednak, wobec rów
ności P~1Q = R, że [P, Q]ae(p~l (K). Zbiór (р~г{К) jest więc domknięty.
(c) GP,n jest przestrzenią zwartą. Mech L będzie zbiorem tych macierzy z M(n , nĄ-p', n), których wiersze tworzą układ wektorów ortonormal- nych. Ponieważ L jest podzbiorem zwartym M(n, n-\-pm, n) i X{L) — Gp>n, więc GPjn jest zwarta.
Reasumując, Gp>n jest zwartą rozmaitością różniczkowalną pn-wj- miarową.
Konstrukcja wiązki uniwersalnej. Ustalmy liczby naturalne n ,p i niech
K {yl) = {{H , x)eGPtnx R n+p: OCeH}
oraz
E(Yp)* ( H ,oc) -^H eG p>n.
Twierdzimy, że K{yp) jest podrozmaitością różniczkowalną rozmaitości GPinx R n+p, a yp = (E(yp), GPtn, л) różniczkowalną, u-wymiarową wiązką
154 J. Bochnak
liniową nad Gp>n. Dowiedziemy kolejno prawdziwości obn hipotez. Mech Г będzie wykresem odwzorowania, różniczkowalnego
Г: M(n, p) х Н пэ (Q, u) -* uQeRp.
Г jest podrozmaitością różniczkowalną w M(n, p) x R n+p, difeomorficzną z M { n , p ) x R n. Zachowując oznaczenia stosowane w dowodzie twier
dzenia 5, wybieramy na rozmaitości GP}nx R n+p atlas różniczkowalny (Фа)аев, gdzie Фа = yaX eRn+1. Przyjmijmy dla a = (1, . .., n) Фа — Ф, (pa — <p i Va = V. Stwierdzimy, że Ф(Е{ур) ^ (F x R n+p)) = Г. Elementy przestrzeni R n+P będziemy zapisywali jako pary (u,v), gdzie u e R n, a veR p. Wtedy
Ф(Е{у%) ^ ( V x R n+p)) =
= {($, (U, v))eM(n, p) x R n+p: Qe(p{V), oraz (u,v)eX([I,Q])) =
= [ ( Q , ( u , v ) ) € M ( n , p ) x R n+p:v = «0} = Г . ' Ogólnie, dla aeD
(*) Ф«И(УЙ - ( Vax R n+p)) = / а(Г),
gdzie / а: Ж (w, p) x R n+p -* Hf (w, p) х й и+р jest difeomorfizmem określo
nym formułą / а(Q, , . .. , ж№+;р) = {Q, xh , . .., xin, , ..., ockp), przy czym (iu = a> < R + p i Z^a. Równości (*) implikują, że E (yp) jest podrozmaitością różniczkowalną w Gp>n x R n+P.
Dla udowodnienia, że yp jest różniczkowalną wiązką liniową nad Gp<n wystarczy sprawdzić warunek lokalnej trywialności. Dla dowolnego a — (ji, . . . , j n)eQ zdefiniujemy odwzorowanie ha realizujące warunek lokalnej trywialności w zbiorze Va, Przyjmijmy mianowicie
К : V a x R n * ( H , ( x 1} . . . , x n)) -> ( E , [ a j j ,
gdzie Q = p a(H). Iloczyn macierzy [a?l7 . .. , [Z, Q]a jest rzeczywiście elementem przestrzeni ZZ, ponieważ [Z, Q~]a jest — z definicji — macierzą, której wiersze generują ZZ. Odwzorowanie ha jest izomorfizmem linio
wym na włóknach i jest difeomorfizmem, ponieważ zarówno ha jak i h~l, dane formułą К г(Н, (уг, . .., yn+p)) = (H, (yh , . . . , yjn)), s ą oczywiście różniczkowalne.
Ważny związek między wiązkami typu skończonego a wiązkami uniwersalnymi ustala
Tw i e r d z e n i e 6 . Niech | będzie n-wymiarową wiązką liniową nad bazą normalną. Wtedy następujące dwa warunki są równoważne:
(a) | jest wiązką typu skończonego.
(b) Istnieje odwzorowanie włókniste T : t j - ^ y p dla odpowiedniego peN.
Dowód, (a) => (b). Mech F : E(£) -> B(tj) x R n+p będzie mono- morfizmem wiązek, istniejącym na mocy lematu 8. Obraz P(|6) włókna
Wiązki liniowe 1 155 punktu b przez monomorfizm F jest iloczynem kartezjańskim { b } x H , gdzie H <=. R n+P jest w-wymiarową podprzestrzenią liniową, czyli ele
mentem z GPiU. Dla e e i b przyjmijmy
T(e) = { K , y ) * E { y np),
gdzie F ( e )= ^ (b , y ). (Odwzorowanie T jest izomorfizmem liniowym na włóknach. Stwierdzając, że T jest ciągłe, zakończymy dowód. Mech rp: U x R n 7T_I( U) realizuje warunek lokalnej trywialności w zbiorze otwartym U bazy wiązki |. Oczywiście odwzorowanie T jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy każde z odwzorowań
T' = To<p: U x R n -*G p>nx R n+p jest ciągłe.
Ponieważ T ' ( b , x) = (Я , y), gdzie F[cp{b, x)) — {b, y) i { b } x H —
= F[(p ({Ъ} X Rn)), więc
1 l g(b, ег) \ \ Г [ Ь , х ) = I A I \,g(ł>,x)
\ ' g(b, en) ! /
gdzie g = poFocp,p: В (£) x R n+P -> R n+P oraz e1, . . . , e n jest bazą prze
strzeni wektorowej R n; z formuły tej wynika ciągłość T'.
(b) => (a). Ponieważ Gp>n jest przestrzenią zwartą, więc istnieje pokrycie otwarte, skończone U1, . .. , TJS rozmaitości GPin takie, że yp \ U i są wiązkami trywialnymi. Jeżeli f : B { ^ ) ^ G Ptn jest nakryte przez od
wzorowanie włókniste F : £ -> yp, to zbiory Vi = f ~ 1{Ui) (i — 1, . .., s) tworzą pokrycie otwarte В (i). Z twierdzenia 1 wynika, że wiązka £| F*
jest izomorficzna z wiązką (/| Vi)*{y^ \ Uf) — trywialną na mocy lematu 4.
Wn i o s e k. Wiązka n-wymiarowa nad bazą normalną В jest typu skończonego wtedy i tylko wtedy, gdy jest izomorficzna z wiązką postaci f*yp przy pewnym p e N i f : В -> G7Kn ciągłym.
VII. Aproksymacja odwzorowań ciągłych przez odwzorowania różnicz- kowalne
Le m a t 1 0 . Niech А , V , U będą podzbiorami R m. Zakładamy, że zbiory V i U są otwarte, a zbiory A i V zwarte oraz że А <= V с V <= U. Jeżeli U U -> R n jest odwzorowaniem ciągłym, to dla każdego ó > 0 istnieje od
wzorowanie f l : U -> R n o następujących własnościach:
(a) /i jest różniczko walne w otoczeniu zbioru A.
(b) / г(х) = f 0(x) dla x $ Y . (c) |/0(® )-/i(*)l < » dla xeU.
(d) Jeżeli f 0 jest różniczkowalne w podzbiorze otwartym zawartym w U, to f i jest również w tym podzbiorze różniczkowalne.
156 J. Bochnak
(e) Istnieje ciągłe odwzorowanie q>: U x l -> R n, ustalające homotopię między odwzorowaniami /„ a f x talie, że (p(x,t) = f 0{x) dla x e V i teł, oraz
\(p{x, t)— fo(x)\ < <5 dla X e U i teł.
' Dowód. Kiech W będzie otwartym otoczeniem A zawartym wraz z domknięciem w V i niech ip: R m -> I będzie funkcją różniczkowalną, równą 1 w otoczeniu zbioru A, o suporcie zawartym w W.
Zdefiniujemy teraz odwzorowania g: R m Rn, (pe: R m R i he: R m ->
-> R n następująco:
g(x) =
(ps{x) =
V>Wo(v), gdy Же Z7,
0, gdy xi~W,
/ £2 cexp I---
F \x2- «■)’ gdy \x\ < £ o, gdy |ж| > £.
K{v) = j<pAy)g{x + y)dy = f (p£(z-x)g(z)dz.
n m R m
Kiech ł7\F) i niech e2 będzie taką liczbą dodatnią, że |у(ж) —
— #(y)| < 6, jeżeli \x—y\ < £2 i x , y e R m. Łatwo stwierdzić, że Jie jest funkcją różniczkowalną (jako splot funkcji ciągłej i różniczkowalnej) i, jeżeli przyjmiemy e = min(e1, s2), o suporcie zawartym w V.
Definiujemy odwzorowanie f x formułą
Л И = f 0( x ){ l- y { x ) ) + h( a) ,
skąd, wobec różniczkowalności гр i łis, wynika warunek (d). Spełnienie warunku (a) wynika z własności funkcji ip. Ponieważ suporty ip i hs są zawarte w V, więc f x(x) = f 0(x) dla x j V . Dla x e V , z równości
АО»)— /о(®) = ^е(ж) — g{x) = f <pe(z — x)g{z)dz— f <pe{z — x)g(x)dz =
R m R m
=
J
<pe{z-oc)(g{z) — g{x))dz\ X - Z \ < E
wynika, że
1 Л И — /о(®)1 < / < P e ( z - ^ ) | # ( 2 O - 0 ( # ) | d 2 < <5.
|Ж— Z \ < e
Homotopia cp spełniająca warunki tezy (e) dana jest formułą:
<p{x,t) = tfx{x) + { l - t ) f Q{x).
T w i e e d z e n i e 7 . Niech M i N będą rozmaitościami różniczkowalnymi odpowiednio m- i n-wy miarowy mi, q — metrylcą w N. Dla każdego odwzoro
wania ciągłego f : M -> N i funkcji ciągłej, dodatniej д: M -> R + , istnieje
Wiązki liniowe I 167 odwzorowanie różniczJcowalne h:M -> N takie, że
(a) Ti jest (5-aproksymacją, f, tzn. Q(h(x),f(x)) < ó(x) dla xeM.
(b) Odwzorowania f i h są homotopijne.
Dowód. Mech (Ui,hi)ieN oraz (Pi, ki)ieN będą atlasami różniczko- walnymi odpowiednio na rozmaitościach M i N takimi, że f(TJi) a Pi.
Załóżmy, że (Ui)itN jest otwartym, lokalnie skończonym pokryciem M oraz że zbiory Ui są zwarte. Mech (Wi)i£]sr oraz będą otwartymi pokryciami M takimi, że
W i ^ W i C z V i ^ V i C Z Ui.
Możemy założyć ponadto, że jeśli / jest ciągłą ó-aproksymacją /, to I(Ui) c Pi.
Skonstruujemy teraz ciąg odwzorowań (f f )^ , którego granicą będzie szukane odwzorowanie h. Mech f 0 —f i załóżmy, że fi_x: M -> N jest
<5 . „ .
"Siiproksyni9iCj j i_2 у rożiiiczkowSilii^i na zbiorze Жj w ... u Жг-1*
2
Warunki nałożone na fi_x implikują w szczególności, że /*_i( Ui) <= Pi.
Stosując do odwzorowania
ffi—i = kiOfi_l o h i 1: hi(TJi) -> ЩРг) lemat 10, otrzymujemy odwzorowanie ciągłe
g ' i _ i: h ( U i) - > R n,
równe Qi_i poza zbiorem 7^(7*), różniczkowalne na Jii(Wi), przeprowa
dzające zbiór Jii(Vi) w ki(Pi) i różniczkowalne w każdym zbiorze otwar
tym, w którym gi_x jest różniczkowalne. Definiujemy fo: M -> N formułą , , 4 \fi-1(®) dla x i V i ,
fi(x) = ,
[ki o gi^ohiix) dla хе Щ.
Z konstrukcji fi wynika, że odwzorowanie to jest różniczkowalne na
<5
zbiorze Wx w ... w W i oraz że fi jest --aproksym acją / 4-1, jeżeli tylko
\g'i-\ — gi~i\ jest funkcją dostatecznie bliską zera, co zawsze można za
gwarantować. Funkcja д\_х jest jednocześnie tak dobrana, aby odwzo
rowanie щ _ х\ ki(Ui) X l -» R n, ustalające homotopię między gi-x a g\_x i takie, że <pi_x(y,t) = gi_x(y) dla y4hi(Vi) i teł, nie wyprowadzało poza ki(Pi). Jest to możliwe na mocy lematu 10 (e). Wtedy odwzorowa
nie ciągłe Fii M x l -> N, określone wzorem
F i ( x , t) fi-i(oo) dla ocjVi, teł,
k l l o <Pi-i(hi(x), i) dla xeUi, teł, ustala homotopię między fi_x a fi.
158 J. Bochnak
Z lokalnej skończoności pokrycia ( Ui)i€N oraz definicji odwzo
rowań f i i F i wynika, że dla każdego punktu x e M istnieje otoczenie В tego punktu i liczba k e N taka, że fi(y) = fi+i(y) = ... = Fi(y, t) =
= F i + i ( y , t) = ... dla i ^ к, у e B oraz t e ł . Opisana wyżej własność ciągu (fi)ux implikuje istnienie granicy
oraz różniczkowalność funkcji h. Ponieważ dla każdego ieN odwzoro-
Zauważmy ponadto, że odwzorowanie ciągłe F : M x [0, oo) -> N, zdefiniowane formułą
ma tę własność, że F ( y , t ) = Ti(y) dla ye B i t ^ Tc. Obserwacja ta pozwala stwierdzić, że odwzorowanie y. M x l -> N dane wzorem
jest ciągłe i ustala homotopię między odwzorowaniami / a Ti.
Warto zauważyć, że teza (b) jest konsekwencją (a) ze względów natury czysto topologicznej. Prawdziwe jest bowiem twierdzenie nastę
pujące:
Jeżeli / : X -> Y jest odwzorowaniem ciągłym, a Y retraktem oto- czeniowym w pewnej przestrzeni euklidesowej, to istnieje dodatnia funk
cja ciągła д: X -> R + taka, że każda ciągła ó-aproksymacja odwzorowa
nia f jest homotopijna z /. Wiadomo zaś, że rozmaitość różniczkowalna w-wymiarowa jest retraktem otoczeniowym w R 2n+1.
V III. Wiązki liniowe nad rozmaitościami różniczko walnymi. Sto
sując wyłożoną wcześniej teorię, uzyskujemy ważne dla topologii róż
niczkowej
Tw i e r d z e n i e 8 . Każda wiązka liniowa i nad rozmaitością różnicz- kowalną M jest wiązką różniczkowalną (tj. F(^) dopuszcza strukturę róż
niczkową, przy której £ jest wiązką różniczkowalną).
Dowód. Niech n będzie wymiarem wiązki £. Zgodnie z wnioskiem z twierdzenia 6, istnieje odwzorowanie ciągłe f : M Gv>n takie, że /* yp = £. Mech odwzorowanie g : M Gp>n będzie odwzorowaniem róż- niczkowalnym homotopijnym z / (twierdzenie 7). Ponieważ na podstawie twierdzenia 3 wiązki g*yp i f* у p są izomorficzne, zaś wiązka g* у p jest
łi (x) = lim fi(x) dla xeM
wanie fi było —j -aproksymacją /*_15 więc h jest ó-aproksymacją / 0 = /.
2
F ( x , t) = F i+1(x, t — i) dla i ^ t ^ i f -1,
h(x) dla t = 1, xeM
