619¥
Dr. A . K leyer’s
Mathematisch-
techniscli - naturwissenschaftliche Encyklopädie.
♦
Lehrbuch
der
Potenzen und Wurzeln.
Mathem.-techn.- naturwissenschaftliche Encyklopädie
e n th ält die sä m tlic h e n D e fin itio n e n , L e h r s ä tz e , F o r m e ln , Resreln e tc ., sowie die d e n k b a r m a n n ig fa ltig s te n g e lö s te n und analogen u n g e lö s te n B e isp ie le find p ra k tis c h e n A u fg ab en ,
■welche in den säm tlichen Zweigen der
Rechenkunst, der niederen, höheren und angewandten Mathematik,
nämlich in den kaufm ännischen und bürgerlichen R echnungsarten, in d er A lgebra, P la nim etrie, Stereom etrie, synthetischen G eometrie, ebenen und sphärischen Trigonom etrie, analyt. G eom etrie der E bene und des R aum es, D ifferential- und Integralrechnung etc., in d er P h y sik , M ech an ik , G rapliostatik, Chem ie, Geodäsie, N au tik , m atli. G eographie, A stronom ie, in dem M aschinen-, Strassen-, E isenbahn-, W asser-, B rücken- und H ochbau, sowie in den K o n stru k tio n sleh ren , als: darstellende G eom etrie, P olar- u nd P arallel- P erspektive, S chatten k o n stru k tio n en etc.
V o r k o m m e n u n d i s t , infolge d er e i g e n t ü m l i c h e n u n d p r a k t i s c h e n A n o r d n u n g dieser D isciplinen, infolge d er zahlreichen, jedem einzelnen L eh rsatz u n d A bschnitt beigegebenen
mannigfaltigen vollständig gelösten und analogen ungelösten praktischen Aufgaben, sowie infolge der vielen sauberen in d e n T e x t g e d ru c k te n H o lz s c h n itte n und beigefügten 1 ith o g ra jiliis c h e n T a fe ln von zahlreichen fachm ännischen Seiten aus allen Teilen E u ro p as und A m erikas als
d as p r a k tis c h s te L e h rb u c h f ü r S c h ü le r a l l e r S ch u len (indem je d e s H au p tk ap itel als ein fü r sich bestehendes Ganze abgeschlossen ist lind allein bezogen w erden k an n ).
als
d a s b e ste H a u d b iieh f ü r L e h r e r u n d E x a m in a to re n (indem Definitionen etc. meist in F rag en und A ntw orten gegeben sind),
als
d as v o rz ü g lic h ste L eh rb u ch zum S e lb s ts tu d iu m fiir je d e n e in z e ln e n T e il d e r e r w ä h n te n W isse n sc h a fte n
und als
e in v o rtre ff lic h e s N aclisch lag eb n ch f ü r F a c h le u te , M ilitä rs , In g e n ie u re , A rc liite k le n , T e c h n ik e r j e d e r A rt
an erk an n t w orden.
S t u t t g a r t , im N ovember 1883.
Die Verlagshandlung.
Gleichzeitig sind erschienen:
\). Lehrbuch der Logarithmen,
2). Fünfstellige korrekte Logarithmen-Tafeln,
3). Lehrbuch der Körperberechnungen, 1. Buch,
säm tlich besonders b earb eitet fü r den Schulunterricht und das Selbststudium von D r. A. K ley er.
vanau
Lehrbuch
dc-r
Potenzen und Wurzeln
n e b s t oin cr
Sammlung von 3296 gelösten & ungelösten Beispielen
Gebrauch an niederen und höheren Schulen, sowie rationellen Selbststudium
Dr. A. Kleyer
“ *»Ii*genieur un d L elirer, vereid eter K ö n i^ l. preuss. Feldm esser, v ereid eter G rossli. liees.
G eom eter r. K l. in F ra n k fu rt a. M.
V e r l a g v o n J u l i u s M a i e r .
1 8 8 4 .
D ru c k v o n C a r l H a m m e r in S tu ttg a rt.
Vorwort.
D ie Lehren von den Potenzen und Wurzeln bilden das Fundament der ganzen weiteren mathematischen Untersuchungen. — Ohne eine gründliche Kenntnis und ohne gehörige Uebung in der Anwendung derjenigen Lehrsätze, in welchen die Gesetze und Regeln ausgesprochen sind, nach denen mit Potenzen und Wurzeln gearbeitet werden muss, ist ein erfolgreiches und gediegenes Studium der mathematischen Wissenschaften b e d i n g u n g s l o s a u s g e s c h l o s s e n .
Da nun, wie jeder Lehrer, jeder sich selbst prüfende Studierende mir bei
pflichten muss, die in mathematischen Arbeiten vorkommenden Fehler grössten
teils auf die Unkenntnis jener Lehren, bezw. auf eine zu geringe Fertigkeit in der Anwendung derselben zurückzuführen sind, so gieng ich an die Bear
beitung des vorliegenden Buches mit der Absicht ein Lehrbuch zu schaffen, welches sowohl für den Schulunterricht als auch für das Selbststudium ein L e h r b u c h in des Wortes voller Bedeutung sein soll. Infolge dieses mir ge
steckten Ziels nahm ich unter anderem auch keine Rücksicht auf den Umfang, welchen ein solches Lehrbuch annehmen könnte und wenn dadurch das vor
liegende Lehrbuch einen Umfang von 384 Seiten erreichte, einen Umfang, wie ihn kein anderes Lehrbuch über Potenzen und Wurzeln hat, so bitte ich mir deshalb ja nicht den Vorwurf der Weitschweifigkeit machen zu wollen, denn dieser Umfang wurde bedingt durch die v i e l e n g e l ö s t e n B e i s p i e l e , in welchen die Anwendung der Lehrsätze und Regeln gezeigt wird. Diese gelösten Uebungsbeispiele haben nicht allein den Zweck, dass die aufgestellten Lehrsätze und Regeln besser verstanden werden, sondern sie dienen auch dazu, d i e A n w e n d u n g e n der Lehrsätze und Theorien zu erlernen, was bekanntlich der Hauptzweck aller mathematischen Studien sein muss.
Was das Studium des vorliegenden Buches anbelangt, so verweise ich im allgemeinen auf das Vorwort in meinem Lehrbuch der Logarithmen, will hier jedoch nochmals bemerken, dass die Lehrsätze, Regeln etc. n i c h t a u s w e n d i g gelernt, wohl aber an der Hand der gelösten Uebungsbeispiele v e r s t e h e n ge
lernt und an diesen und den ungelösten Beispielen e i n g e ü b t werden sollen, denn die ganzen mathematischen Studien bestehen n i c h t i m A u s w e n d i g l e r n e n , sondern nur im V e r s t e h e n u n d r i c h t i g e n A n w e n d e u der Lehr
sätze, Formeln, Regeln etc.
Den Anfängern und denjenigen Studierenden, welche sich nur zum Zwecke der Ablegung der einjährig-freiwilligen, oder einer anderen dieser gleichstehenden Prüfung, gewissen mathematischen Studien widmen, ebenso den niederen Schulen
und den unteren Klassen der höheren Schulen, empfehle ich: den Anhang im Iten Teil, die Abschnitte 15)., D., E. und den Anhang des 2len Teils zu über
gehen, ferner bei den zu lösenden Beispielen die komplizierteren ausser Acht zu lassen, indem das hiernach Restierende den gedachten Zwecken voll
ständig genügt.
Jeder Studierende, einerlei, ob er in einer s chule oder für sich seine Studien macht, kann sich durch das Studium dieses Buches — bei der geringsten Mühe und dem kleinsten Zeitaufwand — eine gründliche Kenntnis und eine gediegene Anwendung der Lehren von den Potenzen und Wurzeln aneignen und wählt damit zugleich den billigsten Weg, denn — abgesehen von Zeit- und Müheersparnis — wird bei dem Gebrauche dieses Buches jeder k o s t s p i e l i g e N a c h h i l f u n t e r r i e h t , wie ihn heutzutage der grösste Teil der studierenden Jugend gerade in der Mathematik nötig hat, vermieden. Dies ist ja einer der Hauptzwecke meines Werkes.
Die geehrten H erren Fachgenossen bitte ich keineswegs um eine n a c h s i c h t i g e , s o n d e r n um e i n e r e c h t s t r e n g e B e u r t e i l u n g , damit ich bei einem Neudruck auf etwaige Verbesserungen Päicksicht nehmen kann. Druck
fehler, Berichtigungen, besondere Wünsche etc. bitte ich direkt an mich gelangen zu lassen.
F r a n k f u r t a. M., im November 1883.
Dr. A. Kleyer.
Inhaltsverzeichnisse und Berichtigungen. VII
üilialtsverzcidmis
des l tm Teils.
I. Die Potenzen.
S eite
A. U eb er d ie P o te n z e n im a llg e m e in e n ... 1
(E rläuternde F rag en m it Antworten). B. U eb er d a s P o te n z ie re n m i t g a n z e n p o s i t i v e n E x p o n e n te n . 1). Definition des Potenzierens und Folgerungen, welche sich hieraus ergeben in F rag en und A n t w o r t e n ... 5
2). U eber das Potenzieren der Z ahl Eins, Null und d e r negativen Z ahlen . 7 3). U eber das Potenzieren eines P r o d u k t e s ... 9
4). U eber das Potenzieren eines B r u c h e s ... 10
5). I eber die A ddition und Subtraktion von Potenzen . . . . . . . . 12
6). U eber die M ultiplikation von P o t e n z e n ... . . . . . 15
7). U eber die Division von P o t e n z e n ... 22
8). U eber die P otenzen von P o t e n z e n ...41
(W iederholte Potenzierung). 9). U eber die P otenzierung alg ebraischer Summen . ... ... . 46
10). U eber die Differenz zw'eier Q u a d r a t e ... 70
11). U eber die Zerlegung algebraischer Summen (deren G lieder Potenzen sind) in F a k t o r e n ... ...7 3 12). U eber das A nfsuchen des grössten gem einschaftlichen T eilers zweier oder m ehrerer algebraischen S u m m e n ... 102
13). L eb er R eduktionen m ittelst dem Heben \on B rüchen (Quotienten), deren Z äh ler und K enner aus algebraischen Summen b e s t e h e n ... 108
14). U eber das Aufsuchen des kleinsten gem einschaftlichen V ielfachen zweier o d er m ehrerer algebraischen Summen . ... 119
15). U eber R eduktionen m ittelst d er V ereinigung (Addition) von B rüchen . 122 C. U eber d a s P o te n z ie re n m i t d e m E x p o n e n te n N u l l ... 129
D. U eber d a s P o te n z ie re n m i t g a n z e n n e g a t i v e n E x p o n e n te n . . . . 132
II. Anhang. 1). U eber das W achsen und Abnehm en der P o t e n z e n ... ... . 152
2). U eber den unbestim m ten A usdruck: ® ...157
3). U eber das Z eichen: oo und üb er die unbestim m ten A usdrücke: oo— oo, 0-oo, o o : o o ... 160
4). U eber besondere F älle d er Potenzierung ... 162
5). Verwandlung von Quotienten in unendliche R eihen 164 C). B erechnung d er Summen gewisser u n endlicher R eihen . ...168
7). Verwandlnng unendlicher R eihen in unendliche P r o d u k t e ... 170
---
B e r i c h t i g u n g e n
im l ten Teil.
1). Im L eh rsatz 27, Seite 162, soll es s ta tt: endliche positive Z ahl, heissen: endliche ganze Z ahl.
2). In der 5ten R elation des L ehrsatzes 27, Seite 162, soll es heissen:
5). l " = n&mlich unbestim m t o d e r = 1
— -A/yv-<
Inhaltsverzeichnisse und Berichtigungen. IX
Inhaltsverzeichnis
des 2tcn Teils.
I Die Wurzeln.
A. U e b e r die W u rz e ln im a llg e m e in e n . . . . (E rläuternde F rag eu m it A ntw orten).
B. U eber d a s R a d iz ie re n m i t g a n z e n p o s i t i v e n E x p o n e n te n .
1). U eber die Definition des R adizierens etc. und üb er die a b s o l u t e n W urzeln, in F ragen m it A n t w o r t e n ... . . . . 2). U eber die ratio n alen und irra tio n a le n Z ahlen und W urzeln . . . . 3). U eber die a l l g e m e i n e n W urzeln. — A ufstellung d e r L eh rsätze, welche
sieb in B etreff des W ertes einer allgem einen W urzel ergeben . . 4). Sätze über die R echnung mit allgem einen W u r z e l n ...
5). U eber die R adizierung eines P r o d u k t e s ...
6). U eber die R adizierung eines B r u c h e s ...
7). U eber die R adizierung einer Potenz . . . ...
8). U eber die R adiziernng einer W urzel . . . ...
9). U eber die Potenzierung einer W urzel ...
10). U eber das T nverändertbleiben einer u r z e l ...
11). T eb er die A ddition und S ubtrak tio n von W urzeln ...
12). Ueber die M ultiplikation von W u r z e l n ... . . .
13). U eber die Division von W urzeln . . . . . .
(U eber das R ationalm achen der Divisoren).
14). U eber die R adizierung alg eb raisch er Summen und d ekadischer Z ahlen a). Q u a d ra tw u rz e la u s z ie h u n g a lg e b r a is c h e r S u m m e n . . . .
«). A usziehung r a t i o n a l e r Q uadratw urzeln, deren R adikanden algebraische bumm en sind ...
ß). A usziehung i r r a t i o n a l e r Q uadratw urzeln, d eren R adikanden algebraische Summen s i n d ...
b). Q u a d ra tw u rz e la u s z ie h u n g d e k a d is c h e r Z a h l e n ...
«). A usziebung r a t i o n a l e r Q u adratw urzeln, deren R adikanden g a n z e Z ahlen sind ... ...
ß). Auszielmng r a t i o n a l e r Q uadratw urzeln, deren R adikanden D e z i m a l b r ü c h e sind ...
ßß). Ausziehung i r r a t i o n a l e r Q uadratw urzeln, deren R adikanden ganze Z ahlen oder Dezim albrüche s i n d ...
y). A usziehung der Q uadratw urzel ans g e w ö h n l i c h e n B r ü c h e n c). K u b ik w u rz e la u s z ie h u n g a lg e b r a is c h e r S u m m e n ...
«). A usziehung r a t i o n a l e r Kubikw urzeln, deren R adikanden algebraische Summen s i n d ...
ß). A usziehung i r r a t i o n a l e r K ubikw nrzeln. deren R adikanden algebraische Summen s i n d ...
d). K u b ik w u rz e la u s z ie h u n g d e k a d is c h e r Z a h l e n ...
«). Ausziehung r a t i o n a l e r K ubikw urzeln, deren R adikanden g a n z e Zahlen sind ...
S eite
173
180 183 186 101 199 202 206 210 214 215 220 224 239 257 257
258 264 266
267 277 281 288 291
292 297 299
299
S e ite
ß). A usziehung r a t i o n a l e r K nbikw urzeln, deren R ad ik an d en D e z i m a l b r ü c h e s i n d ... 308 ßß). A usziehung i r r a t i o n a l e r Q uadratw urzeln, deren R adikanden
ganze Z ahlen oder D ezim albrüche s i n d ... 312 y). Ausziehung der K ubikw urzel aus g e w ö h n l i c h e n B r ü c h e n 317 e). U eber die Ausziehung h ö h e r e r W urzeln aus algebraischen Summ en 321 f). U eber die Ausziehung h ö h e r e r W urzeln aus dekadischen Zahlen- . 322 15). U eber die R echnung m it im aginären G r ö s s e n ... . . 326 B. U e b e r d a s P o te n z ie re n m i t g e b r o c h e n e n E x p o n e n te n . ... 338 C. U e b e r d a s R a d iz ie re n m i t n e g a t i v e n u n d g e b r o c h e n e n E x p o n e n te n 340 D. U e b e r d ie R a d iz ie ru n g s u r d is c h e r B i n o m e ... 355 E. U eb er die R a d iz ie ru n g k o m p le x e r Z a h le n . . 361
1). U eber besondere F älle d er R adizierung . ...365 2). Gemischte U e b u n g s b e is p ie le ... 367
B e r i c h t i g u n g e n
im 2ten Teil.
1). In dem L eh rsatz 15, Seite 220, m uss es s ta tt: Z usatz 3, Seite 200, heissen:
Z u sa tz 4, S e ite 201.
2). ln dem L eh rsatz 16, Seite 224 muss es ebenfalls s ta tt: Zusatz 3, S eite 200, heissen:
Z u satz 4, S e ite 201.
I I . Anhang.
71 m
3). In d er B ehaupt. 1)., Seite 352, muss es s ta tt: ( \ ^ a ) = r, heissen:
n m
— -
E r s te r T eil.
Die Potenzen.
I. Die Potenzen.
A. Feber <li<‘ Potenzen im allgem einen.
Fraf?e I. Was verstellt, man in der Arithmetik unter einer Potenz?
E r k l . 1. Das W o rt Potenz ist auch in der Geometrie und in d er Mechanik gebräuchlich.
In d e r G e o m e t r i e versteht m an u n ter „ P o t e n z “ das Produkt zweier Strecken, bezw. den Inhalt des Rechtecks, welches man aus diesen Strecken konstruieren kann. In der M e c h a n i k versteht man u n ter „ P o t e n z e n “ die ein
fachen Maschinen (H ebel, schiefe Ebene etc.), aus welchen alle übrigen M aschinen zusam m en
gesetzt gedacht werden können.
A ntw ort. In der Arithmetik versteht man unter „Potenz“ ein Produkt gleicher Faktoren; dementsprechend wild z. B.
jedes der Produkte:
a . a . a . a
o — 5 ■ 5
a h . a h , nh {« — h) . (a —h ) . («- h)
a a a _
h ' i ' h l u s - f-
eine Potenz genannt, (siche auch Erkl. 1).
A iim orkim tr 1. U eber den U r s p r u n g des M? ortes Potenz in der A rithm etik siehe man die E rk l. 14, Seite 5.
Im nachstehenden ist unter „ P o t e n z “ stets eine solche zn verstehen, wie sie in der A n t
w ort d er vorstehenden F rag e 1 definiert wurde.
F ra g e 2. Worin bestellt die ü b l i c h e
Schreibweise einer Potenz?
E r k l . -2. Die Basis einer Potenz (siehe A nt
w ort der Krage 3 und E rk l. 3) muss in Paren
these (Klammer) gesetzt w erden, wenn dieselbe:
a). eine negative Zahl, b). ein Produkt,
<■). ein Quotient,
di. eine zusammengesetzte Grösse (eine a l
gebraische Summe, A ggregat) oder e). wenn sie selbst eine Potenz ist.
l n t n o r t . Die ü b l i c h e Schreibweise
einer Potenz, bezw. eines Produktes gleicher Faktoren besteht darin, dass man einem dieser Faktoren die Zahl
rechts oben klein hinzuschreibt, welche angibt, wie oft jener Faktor in dem in Rede »ehenden Produkt vorkonnnt, so schreibt man z. B .:
n'1 s ta tt tt . u . a . a i
(- 5)« „ - 5 . -5 — 3 — r,. 5. - } J s:
(<’ d ) 1
rr
' n ' (a — h y
c d . c d . c d . c d m
'>) m m
11 11 H (n h ) . ( n h).<a
(in3)- in3, m1 u . S. f. '
analog m üsste man (i1 s ta tt a {— »>)' — in
„ (a-i-h) u. s. f. sch reib en , was doch selir selten geschieht, indem meistens Z ahl Eins w egselassen wird.
dieJP-
D ie Potenzen un<l W u rzeln . 1
F ra g e 3. Welche besondere Namen
fuhren die e i n z e l n e n G l i e d e r einer l ’otenz ?
E r k l . 3 . Die B ezeichnung Dignand (siehe die E rk l. 14, Seite 5j ist veraltet. Die B ezeichnung Wurzel bezieht sich a u f den Begriff der Wurzeln (siehe dieselben). — D er Studierende bedient sich am vorteilhaftesten d er kurzen und besten Bezeichnung: Die Basis.
A n tw o rt. Der in einer Potenz mehr
mals auftretende Faktor, heisst: Grund
faktor, Grundzahl, Dignand (Dignandus).
Basis oder auch Wurzel (siehe Erkl. 3) und die Zahl, welche angibt, w ie o ft dieser Faktor vorhanden ist, heisst Ex
ponent der Potenz oder Potenzexponent.
Zum Beispiel:
i n : o*, heisst a die Basis, 4 der Potenzexponent,
„ ( - 5 ) « , n ~ „ » 6
» c d j) „ 4
” I n ) ’ m
” n ” .. 3
, . ( a - h ) 3, » « h .i r 3
„ O»3)’, ,. 9)13 „ r * u. s. f.
F ra g e 4. Wie wird eine Potenz ge
lesen und welche A b w e i c h u n g e n von der allgemeinen Leseweise finden statt?
E r k l . 4 . D er Inhalt eines Q uadrats, dessen Seitenlangen = o irgend w elchen Längenein
heiten sind, is t = a . a = n~ der entsprechenden F lächeneinheiten. D a h iern ach die zweite P otenz einer Z ahl a den In h a lt eines Q u ad rats darstellt, dessen Seite die M asszahl a en th ält, so nennt m an aus diesem g e o m e t r i s c h e n G runde die 2t<‘ Potenz einer Z ahl (wie a :) das Quadrat der Zahl fl und liest in den m eisten F ällen f iir a- nicht „o in der zw eiten“ , sondern „a Quadrat“ .
E r k l . 5. D er Kubikinhalt eines W ürfels (Kubus), dessen K anteulangen = a Längeneinheiten sind, ist = a . a . n — n'J K ubikeinheiten. D a h ie r
n ach die dritte I’otenz einer Z ahl a den K ubik
in h alt eines W ürfels (Kubus) d a rs te llt, dessen K ante die M asszahl « e n th ä lt, so nennt man aus diesem s t e r e o m e t r i s c h e n G runde die 3t0 Potenz einer Z ahl (wie o 3) den Kubus der Zahl a und liest in den m eisten F ällen fü r « 3 nicht „ti in der d ritten ", sondern ..a Kubus“ .
E r k l . G. Die Bezeichnung einer 4ten P otenz w ie o 1, durch ,.a im Biquadrat" ist. v eraltet und geschieht nur noch sehr selten (so z. B. bei den sogenannten B niuadratischen Gleichungen, auch in der analytischen Geometrie kommen derartige B ezeichnungen noch vor). D as W o rt Biquadrat stam m t aus dem lateinischen und bezeichnet:
das Quadrat des Quadrats, weil m a n , wie sp äter gezeigt w ird, z. B. für fl4 setzen k an n : (ft2)'.
A n tw o rt. Line Potenz, wie z. P>. <r' wird gelesen:
„a hoch 5 “
oder: „a in der fünften“ (Potenz)
„ „die fünfte Potenz von a “ In den Fällen, in welchen der Expo
nent 1, 2. 3 und 4 ist, finden folgende Abweichungen \on der allgemeinen Lese
weise statt:
\). für a ' ( - - a) liest man einfach 2). für a - liesp man: „« im Quadrat“
oder: ..n Quadrat“
,, ..das Quadrat von a c
(siehe die E rk l. 4)
fiir «3 liest man: „a im Kubus1-
oder: „rt Kubus“
„ , der Kubus von ci“
(siehe die E rkl. 5)
4). für a4 liest man, jedoch nur noch sehr selten: „a im Biquadrat“
(siehe die E rk l. 6)
Von den Potenzen1 im allgemeinen. 3
Aufgabe 1. Man schreibe neben
stehende Ausdrücke in der üblichen Form
und spreche dieselben aus: 1). 5 . 5 . 5 = ?
2). 3 ). h n - \ - 3 ). (w —(-3 ). ( w ? 3) = ? 3). (1 — « ) . f l — a) . (1 — o) = ? 4). (a — l ) . (n — b) = ?
5). («-}- b ) ( a - j- 6 ) ( S f f h) — ? 6). 2 . 2 . 2 . S . 3 — ?
3 n 3 a 3 n _ h b ' b ' b ~ ’ 8). a b c . a b c . u b c . a b c = ? 9). m 3 . m 3. m 3 = ?
10). f fi b . a l b . fil b . a l b = \ n - \ - x a - )—sc
(i— :c ii — x 11).
12). x' + 1
13). - 4 - — 4 - — 4 - — 4 = ? 14). 3 . 3 . 3 . — 6 . — 6 . — 6 = 15). s = ?
Frage 5. Wann heisst eine Potenz vom 1ten. 2ten, 3ten . . . i?ten Grade; wann heisst eine Potenz eine gerade oder un
gerade?
E r k l . 7. In Folge der E inteilung der P o tenzen in Grade werden auch die G leichungen’
(siehe dieselben), je nachdem die h ö ch ste P o tenz der U nbekannten den E xponenten 1, 2, 3 . . . n h a t, eingeteilt in : Gleichungen vom 1ten, 2ten, 3 l<" . . . «t™ Grade.
E rk l. 8. Is t n irgend eine beliebige ganze Z ah l, nämlich eine g e r a d e oder eine u n g e r a d e , so ist in allen F ällen 2 n eine gerade Zahl.
E in e gerade Z ahl wird dem entsprechend a l l g e m e i n bezeichnet m it: 2n.
E r k l . 9 . D a nach der E rk l. 8 das allge
meine Zeichen fü r eine g e r a d e Z ahl = 2 « ist, so kann man eine ungerade Z ahl allgemein d u rc h : ( 2 n ± l ) bezeichnen.
Antwort. Eine Potenz heisst vom
1 ten, 2ten. 3ten . . . «ten Grade, wenn der Exponent derselben bezw. = 1, 2, 3 . . . n ist, z. B .:
a heisst eine Totenz vom L‘en Grade,
m l , „ ., 2ten „
(ab)3 „ „ „ „ 3t0D „
allgemein:
(« + &)“ „ „ „ „ » ten „
(s ie h e a u ch d ie E r k l. 7).
Eine Potenz heisst ferner eine gerade
oder ungerade Potenz, je nachdem der Exponent derselben eine g e r a d e oder u n g e r a d e Zahl ist, so sind z. B. die Potenzen:
« 4, m 6, ( a l ) s , ( a - \ - / > ) 2n (sieh e E r k i. s)
gerade, während:
( — l t ) ' \ m ~ ‘, ( a 1 ) 3, ( o - ) - & ) 2" + 1 (s ie h e E r k l. 9
ungerade Potenzen sind.
Frage 6. Was versteht man unter dem Koeffizienten e i n e r P o t e n z ?
E r k l . 1 0 . In der M athem atik v ersteh t man unter Koeffizient (Coefficient, v. lat. cocfficiens, m itwirkend) je d e Grösse, welche in einem A us
druck als Faktor einer än d ern Grösse erscheint, die als die sogenannte H a u p t g r ö s s e b e tra c h te t werden muss. — In den A usdrücken: 4 a,
Antwort. Unter dem Koeffizienten
(siehe Erkl. 10) einer Potenz versteht man j e d e n F a k t o r , der u n a b h ä n g i g von der Basis jener Potenz ist, z. B. :
in : 3 n* ist 3 d er Koeffizient der Potenz o4,
,, fl5 „ 1 „ ,. ;■ ,. tt5
(sieh e E r k l. 11)
•5a 6 . . . sind die G rössen a und n6 die H a u p t g r ö s s e n , m ithin die F a k t o r e n 4 und 5 Ko
effizienten derselben.
E r k l. 11. H a t ein A usdruck (eine Potenz), w ie: «»», (<i-\-iy, (a b c)3, — m 7 u. b. f. s c h e i n b a r keinen F a k to r , w elcher von d er H au p t
grösse u n a b h ä n g i g is t, so kann m an sich stets den von der H auptgrösse unabhängigen F a k to r Eins (und zw ar - ( - 1 oder — 1) denken.
H iernach is t z. B .:
fl" 1 = 1 . a M frt-j-M 7 = l . ( r t - f f c ) 7
(abc)3 = l.( r tf c c ) 3
— m 1 — —1 . m 7 u. s f.
w oraus sich e rg ib t, dass jeder Ausdruck (jede Potenz) einen Koeffizienten h at.
i n : — Dle ist — 1 d e r Koeffizient der Potenz
„ (3 fl)1 ist nicht 3, sondern 1 der Ko
effizient, da (3 a)4 = 1 . (3 a)1 gelesen werden muss, und die Zahl 3 a b h ä n g i g von der Ba
sis der gegebenen Potenz ist.
bezw. zur Basis jener Potenz selbst gehört.
Aufgabe 2. Man beantworte folgende
Fragen: 1). 3 fl7 8). — 5 m •
a). Welche der nebenstehenden Poten 2). c° 9).
- * &
zen sind vom 1 ., 2 , 3. etc. Grade? 3). 20 (ab)2’1
b). Welche derselben sind gerade, welche 4). 5 (a — ob)1 1 0). — 4 {in-j-*32”
ungerade Potenzen? l l l . — fl" - 1
c). Wie heissen die Koeffizienten dieser 1 2) - i h i r 3 « r "
Potenzen ?
cs CO <3 13). - ( p q f n + 1
7). (4ft)« 14) - (c- /)*
F ra g e 7. Wann sind Potenzen gleich;
wann heissen Potenzen gleichbasig und wann gleichnamig?
E r k l. 12. Bei d er U ntersuchung der P o ten zen : re1, 3 ri4, — a*, j «4n .s.f., ob dieselben gleich sind, bleiben die K oeffizienten: 1, 3, — 1
3 u .s . f. u n b e r ü c k s i c h t i g t , da diese Koef-
4
fizienten von der Ila u p tg rö sse , welches hier die Potenz rt4 is t, u n a b h ä n g i g sind (vergl.
E rk l. 10 und 11.
E r k l. 13. K o e f f i z i e n t e n einer Potenz, wie z. B. der Koeffizient 3 der Potenz 3 « ü oder d er Koeffizient — 1 in der P o ten z: — a 7 dürfen n i e m a l s a l s z u r B a s i s g e h ö r i g b e tra c h te t w erden, denn sonst m üssten auch z.B . jen e Potenzen in den Form en (3 « )c und (— a)T u. s. f. geschrieben w erden.
A n tw o rt. Potenzen sind gleich, wenn sie g l e i c h e Basen und auch g l e i c h e Exponenten h aben ; die Potenzen:
sind z. B. gleiche Potenzen (siehe Erld. 12).
Potenzen heissen gleichbasig. wenn sie g l e i c h e B a s e n haben, z. B. wie die Potenzen:
a \ 3 « 6, -- a 7 (siehe Erkl. 13).
Potenzen heissen ferner gleichnamig,
wenn sie g l e i c h e E x p o n e n t e n haben, z. B. wie die Potenzen:
< ( "h ) 3 (Jw + rc)3 u. s. f.
G l e i c h e Potenzen gehören somit unter die g l e i c h b a s i g e n und unter die g l e i c h n a m i g e n .
Das Potenzieren mit ganzen positiven Exponenten.
Aufgabe 3. Man untersuche, welche
<ler nebenstehenden Potenzen a). gleich.
b). gleichbasig und c). gleichnamig sind.
1>- 10 (i* 14). 4i<( — 2Z))J
2). — «* 15). ( a — 2 6 ) 7
3;. — 1 2«» 16;. — Kl — 2b)
4;.
5j.
5 (i3
17). ( s: r
C). — '.Kr' 18). 5 m 6
U O*2 19).
8). — 3 l« 7 2 0 1. i— « V 9). 4m" 2 1j. 4jfcli) :
1 0). 1>' 2 2;. — ix 0)2
1 1).
1 2).
— <v (ab)1
23). / 3 f' —|— 2 6 1
m '
13). 3 (nb)1 24). „ S - T 1
E r k l. 14. In der A r i t h m e t i k soll der Name Potenz (v. lat. p o teu tia, V ermögen, M acht) d a durch eingeführt w orden sein, dass D ia phantu s (geb. im 4. Ja h rli. r . Chr.) und seine N ach
folger das Q uadrat d er U nhekannten, n äm lich : x . x oder x ‘, dura/n^, was im lateinischen po- tentia (potestas) heisst, nannten. -— Im 16. J a h r h u n d ert w urde der Name dignitas (D ignität, W ürde) fü r den m ehrm als au ftreten d en K aktor und d er N am e potestas ein g efü h rt; im 17. J a h r hundert endlich bürgerte sich die je tz t übliche Bezeichnung und Benennung der Potenzen ein, welche besonders durch Herigogne und Car- tesins verbreitet w urden. — Potenzen m it ne
gativen Exponenten (s. den A bschnitt D.) wurden zu erst von dem deutschen M ath em atik er Stiefel angew andt. — Potenzen m it gebrochenen E x p o nenten (siehe die W u r z e l n ) kam en durch N ew to n , geb. 25. Dez. 1642 zu Lincolnshire, in Gebranch.
H. Das Potenzieren mit ganzen positiven Exponenten.
1). Definition des Potenzierens und Folgerungen, welche sich hieraus ersehen.
Frage 8. Was lieisst eine Zahl « mit einer Zahl b potenzieren?
E r k l. 15. Die Potenzierung ist somit n u r eine b e s o n d e r e A rt d er M ultiplikation und ist eine der s i e b e n einfachen arithm etischen Ope
rationen: A ddition, Subtraktion, M ultiplikation, Division, Potenzierung, R adizierung und L oga
rithm ierung.
Antwort. Eine Zahl a mit einer Zahl b p o t e n z i e r e n , oder eine Zahl a in die l te Potenz erheben, heisst: Die Zahl a so oft als Faktor setzen als die Zahl l E i n h e i t e n enthält und die somit ange
deutete Multiplikation (s. Erkl. 15) a u s f ü h r e n ; dementsprechend gibt z. B. die Zahl 3 mit 4 p o t e n z i e r t , in Zeichen 3* = 3 . 3 . 3 . 3 oder = 81.
Frage 9. W i e v i e l e O rossen kommen bei dem Potenzieren in Betracht und welche weitere Operationen ergeben sich aus dem Begriff des Potenzierens?
E r k l . IC . Die unbekannten oder gesuchten G rössen werden in der A rithm etik meistens m it den letzten B u ch stab en : x , y , z . . . des A lphabets bezeichnet.
E r k l. 17. Nach d er A ntw ort der F rag e 8, is t: 2 3 = 2. 2 . 2 odpr = 8.
A ntw ort. Bei dem P o t e n z i e r e n kommen drei Grössen in Betracht, näm
lich: die Basis, der Exponent und die Potenz selbst, d. i. das Piesultat der durch das Potenzieren angedeuteten Mul
tiplikation.
In Bezug auf diese drei Grössen sind
drei Operationen möglich, denn ist z. B.
die Basis = 2, der Exponent = 3, so kann man sich erstens die Frage stellen:
Welche Zahl (siehe die Erkl. 16)
erhält man, wenn 2 in die dritte Potenz erhoben wird, in Zeichen:
2i
Mit dem Aufsuchen dieser Grösse :r (sielie Erkl. 17) beschäftigt sich nach Antwort d. Frage 8, die Potenzierung:
zweitens kann man sich die Frage stellen:
Welche Zahl y muss in die dritte Po
tenz erhoben werden, damit man die Zahl 8 erhält, in Zeichen:
y % = 8
Das Aufsuchen dieser Grösse y bedingt eine weitere Operation, welche unter dem Namen: Die Radizierung (Wurzel- ausziehung) in diesem Bande später vorgeführt w ird;
schliesslich kann man sich drittens die Frage stellen:
Mit welcher Zahl s muss die Zahl 2 potenziert werden, damit man die Zahl
8 erhält, in Zeichen:
2" = 8
Das Aufsuchen dieser Grösse s bedingt eine d r i t t e Operation, welche unter dem Namen die Logarithmierung in dem Kapitel: Die Logarithmen behandelt ist.
Aus der Potenzierung ergeben sich somit zwei weitere Operationen, näm
lich die
Radizierung und die Logarithmierung.
F ra g e 10. Welche Folgerungen er
geben sich aus dem Begriff der Poten
zierung, und zwar:
Ueber das Potenzieren der Zahl Null, Eins und der negativen Zahlen. 7
1). in Bezug auf den Exponenten und 1). in Bezug auf die Stellung der Basis
zu dem Exponenten?
E rk l. 18. S päter w ird gezeigt, dass einer Potenz auch dann e i n e n S in n beiwohnt, wenn der Exponent eine negative od er gebrochene Z ahl ist, da z. B.:
a° = 1
«* V "
t 5
a 7' z - y u. s. f. ist,
was in späteren Teilen bewiesen w ird und was der A nfänger zunächst u n b e r ü c k s i c h t i g t lassen muss.
E r k l . 10. In einigen Ausnahmefällen kann die Basis und d er E xponent einer Potenz ver
tau sch t w erden, so z. B. in der Potenz 2l ; d en n : 2 1 ist = 2 . 2 . 2 . 2 = 16 und
11 „ = 4 . 4 , näm lich auch = 16 (siehe E rk l. 20).
E r k l. 2 0 . Dem A nfänger ist zu empfehlen, niemals — näm lich auch da nicht, wo e s, wie in dem Beispiel der E rk l. 19, a u f den W e rt der Potenz ohne Einfluss bleibt — E xponent und B a
sis zu vertauschen.
Antwort. Nach der in Antwort der Frage 8 gegebenen Definition der Po
tenzierung ergibt sich:
1). in Bezug auf den Exponenten, die Folgerung:
Der Exponent kann nur eine posi
t i v e und g a n z e Zahl sein, l
d en n : h ä tte m an z. B. a ~ o d e r a ’, so w ürde dies heissen:
(( soll (— 3) m al, bezw. m al m it sich selb st m ultipliziert w erden.
welchem zunächst (s. die E rk l. 18) keinen Sinn zugesprochen werden k an n ;
dann ergibt sich:
2). in Bezug auf die Stellung der Basis zu dem Exponenten, die Folgerung:
Die Basis und der Exponent dürfen niemals (siehe Erkl. 19 und 20)
vertauscht werden,
denn: H at m an z. H. die P otenz 2 J, so heisst dies:
2 soll dreim al m it sich selb st m ultipliziert w erden, in Z eichen: 23 = 2 . 2 . 2 = 8; wollte m an nun B asis u nd E xponent v e r
tauschen, also 32 schreiben, so w ürde dies heissen:
$ soll zweimal mit sich selbst m ultipli
ziert w erden, in Z eichen: 32 = 3 . 3 = 9.
Aus den R esultaten (8 u. 9) b eid er S chreib
weisen ist ersich tlich , dass 23 nicht = 32
gesetzt w erden kann.
2) Ueber das Potenzieren der Zahl Eins, Null und der negativen Zahlen.
Behaupt. 1 5 = 1, »der a l l g e m e i n :
1” = 1.
Beweis. Nach Antw. der Frage 8, ist:
1 J = 1 .1 .1 .1 .1 u. dies Produkt ist =- 1;
analog erhält man a l l g e m e i n :
1M = 1.
Lehrsatz 1. Eins in jede Potenz er
hoben gibt Eins.
M an vergleiche hierm it die in dem Lehr satz 27 aulgestellte R elation N r. 5.
Lehrsatz 2. Null in jede Potenz er- Eehaupt. 0 1 = 0, oder a l l g e m e i n :
hoben gibt Null. 0n _ o.
M an vergl. hierm it auch die in dem Lehr- Beweis. Nach Antw. der Frage 8, i s t :
satz 27 au fg estellte R elation N r. 9. 0 l = 0 . 0 . 0 . 0 und dies Produktist = 0;
analog erhält man a l l g e m e i n :
0" = 0.
Lehrsatz 3. Um eine n eg a t i ve Zahl
zu potenzieren, potenziere man die ab so- Behaupt. I l u t e Zahl (nämlich ohne Rücksicht auf
das Vorzeichen derselben) und nehme das Resultat p o s i t i v oder ne g a t i v, je nach
dem der Potenzexponent g e r a d oder un- g e r a d ist.
%2ii--
Behaupt. II.
(-
Beweis I,
(— 3)1 = ( (— a)
( - 3)
Nach Antw. der Frage 8, is t:
- 3 - — 3- - 3 . — 3 und dies
- ( - 3 * od er allgemein:
+
2 i i a— 3 ■’ oder allgemein:
. , 2 n + l
E r k l . 21. W erden zwei G rössen m iteinan
d er m ultipliziert, so e rh ä lt m an ein positives R e su lta t, wenn die V orzeichen g l e i c h ^näm
lich beide = -f- oder beide = —) sind; man e rh ä lt ein negatives R e su lta t, wenn die V o r
zeichen u n g l e i c h (nämlich das eine = -j-, das an d ere = — ist) sind. — H ieraus kann m an die R egel ableiten:
„W ird eine A nzahl n e g a t i v e r Grössen m iteinander m ultipliziert, so is t das R esu ltat dieser M ultiplikation ein p o s i t i v e s oder n e g a t i v e s , je nachdem die A nzahl je n e r negativen G rössen g e r a d o d e r u n g e r a d ist.“
Man vergl. das K apitel: Die vier Species mit allgemeinen und entgegengesetzten Zahlzeichen.
gibt nach den Regeln der Multiplikation e n t g e g e n g e s e t z t e r (jrössen (s.Erkl.21)
= + ( 3 . 3 . 3 . 3) = - f 3 4 a l l g e m e i n hat man hiernach;
( c t f “ = a 2“ (s. E rk l. M.
Beweis II. Nach Antw. der Frage 8, i s t : (— 3)6 = — 3 - — 3 ----3 ---3- — 3 unrl dies gibt nach den Regeln der Multipli
kation e n t g e g e n g e s e t z t e r Grössen
(siehe E rk l. 21)
= - ( 3 . 3 . 3 . 3 . 3 ) = — 3' a l l g e m e i n hat man hiernach:
( — «V2/. + 1 2h -4-1 „ , , ,.
(( (s.Erkl.& ).
Aufgabe 4. Die in nachstehenden U e b u n g s b e i s p i e l e n angedeuteten Potenzierungen. sollen — soweit es die bis jetzt aufgestellten Lehrsätze zu
lassen — ausgeführt werden.
Uebungsbeispiele:
l). 1"+'' = . . . . 2). ()'" + " = . .
3). ( ah) - - 4). ( - l ) • = - =
Resultate:
1 0
. — f a l , y
. — 1
Andeutungen:
m an beachte den Lelirs. 1.
2.
r r r O
die ,. o u. 1.
den .. S.
6). I3 = .
7). l a = . .
8). ()' = . .
9j. 0"‘ — . 1 0) ( - 4V- -
1 1). ( - 3 ) 3 = 12). (- - a f “ = 13). ( - c/2B + 1 = 14). ( - 1 ) * = . 15). ( - 1)-' = 16). (— l)2“ - 1 = 17). ( - 1)-” = .
■»» ( - : ) J =
inan beachte auch diu E rk l. S.
Ueber das Potenzieren eines Produktes.
3) refoer das Potenzieren eines Produktes.
Lehrsatz 4. Ein Produkt wird mit einer Zahl potenziert, indem man jeden einzelnen Faktor mit derselben potenziert und das Produkt der so erhaltenen Potenzen bildet.
E r k l. 22. D as M ultiplikationszeichen (.) wird in der B uchstabenrechnung m e i s t e n s weggelassen. D er A usdruck a b c bedeutet so viel als a . b . c , ebenso ist:
an hn _ an_ cn u g f
Analog ist a u c h : 5 a — 5 . a.
E r k l. 23. Bei einem P ro d u k t von Zahlen (A usdrücken), welche zum T eil E xponenten h aben, bezieht sich der E xp o n en t stets n u r a u f diejenige Z ahl, welche z u n ä c h s t vor ihm steh t (man vergl. auch die E rk l. 2). — H a t man z. B. 2 . 4 3, so ist dies = 2 . 4 .4 .4 = 128 und nicht = ( 2 .4 ) 3, denn dies w ürde 8 3 oder
= 8.8 . 8 = 512 geben.
Zusatz 1. Da j e d e r Koeffizient ein
Faktor ist (s. Erkl. 10), so muss nach vorstehendem Lehrsätze der Koeffizient
der Basis einer Potenz ebenfalls poten
ziert werden. H at man z. B. (5 a ) 3, so gibt dies nach Lehrsatz 4 =
5 3. « 3 = 1 2 5 a 3.
Zusatz 2. Durch T n i k e h r u n g des Lehrsatzes 4 erhält man den für die
Multiplikation von Potenzen (s. Seite 15) wichtigen Satz:
„Gleichnamige Potenzen (d. s. solche, welche gleiche Exponenten haben) wer
den multipliziert, indem man die Basen multipliziert und das so erhaltene Pro
dukt mit dem gemeinschaftlichen Expo
nenten potenziert“,
in Zeichen: . . . a b ncn = (ab c f Aufgabe 5. Die in nachstehenden
T e b u n g s b e i s p i e l e n angedeuteten Potenzierungen, sollen — soweit es die bis jetzt aufgestellten Lehrsätze zulassen
— ausgeführt werden.
Behaupt. (abc) 4 = a 1bl cl oder a l l g e m e i n :
(ab c d . . . ) " = a V c d “. . .
(sieh e E rk l. 22)
Beweis. Nach Antw. der Frage 8, ist:
(abc)1 = abc abc abc abc
Da nun das Resultat einer Multipli
kation von der R e i h e n f o l g e der Fak
toren u n a b h ä n g i g is t, so kann man auch schreiben:
(«Je)4 = a aa a bb b b cccc und hieraus erhält man nach Antwort der Frage 2:
(abc)1 = a i bl cl oder a l l g e m e i n :
{ a b ( d . . . Y = « W . . .
