Dla jakich argumentów funkcja g(x

Sprawdzian - poprawa

1. Niech dana będzie funkcja:

f (x) = x − 3 x³+ 3x²− 18x. Policz:

• lim_x→0f (x),

• limx→∞f (x),

• limx→3f (x),

• f⁰(x).

Wskazówka:_{f (x)}

g(x)

⁰

= ^f

0(x)g(x)−f (x)g⁰(x) (g(x))² .

2. Dla jakich argumentów funkcja g(x) = x +²_x jest rosnąca, a dla jakich malejąca? Gdzie ma ekstrema i czy są to ekstrema lokalne, czy globalne?

Wskazówka: (x^a)⁰= ax^a−1. 3. Narysuj półelipsę y = 2√

1 − 3x² i wyznacz b takie, aby prosta y = −3x + b była styczna do tej półelipsy. Podaj punkt styczności.

4. Napisz wzór Taylora funkcji f (x) =³₈x⁴−⁵₆x³+¹₂x²− 5x + 1 rzędu n = 10 w punkcie x0= 0.

Jak duża może być reszta |rn+1|?

Wskazówka: Wzór Taylora:

f (x₀+h) = f (x₀)+f⁰(x₀)h+f⁽²⁾(x₀)

2! h²+f⁽³⁾(x₀)

3! h³+f⁽⁴⁾(x₀)

4! h⁴+...+f⁽ⁿ⁾(x₀)

n! hⁿ+r_n+1(h).

Reszta r_n+1(h) spełnia oszacowanie

|rn+1(h)| ¬ f⁽ⁿ⁺¹⁾(θ) (n + 1)! hⁿ⁺¹.

Punkt θ jest gdzieś pomiędzy x₀a x₀+ h (ale w tym zadaniu to nieistotne).

5. Policz całki:

Z √ x − 4

x⁵

 dx,

Z 2 1

√ x − 4

x⁵

 dx,

Z

sin(x) cos(cos(x))dx.

Wskazówka:R x^adx = _a+1¹ x^a+1+ C (a 6= −1).

6. Mamy funkcję f (x) = _x¹3 dla x ∈ [1, ∞) i obracamy ją wokół osi oX. Powstaje w ten sposób

"trąbka nieskońcona". Czy trzeba skończenie wiele czy nieskończenie wiele blachy, żeby ją zbudować i ile dokładnie wody można do niej nalać?

Wskazówka: Wzór na pole powierzchni bocznej:Rb

a2πf (x)p1 + (f⁰(x))²dx. Natomiast obję- tość to: πRb

af²(x)dx.

7. (dodatkowe) Wiadomo, że f (0) = 5 oraz f⁰(x) ­ 2 dla x ∈ (0, 100). Udowodnij, że jeśli f (100) ­ 205. Czy może zajść równość?

Wskazówki: Co to znaczy, że pochodna jest ­ 2?

Marcin Preisner preisner@math.uni.wroc.pl

1