Matematyka A dla Wydziału Chemii, semestr 2., 2020/2021 ćwiczenia 23. – wskazówki i rozwiązania
28 maja 2021
1. Niech W= lin((0, 1, 2, 1), (2, 1, −6, −1)). Znaleźć bazę podprzestrzeni W w przestrzeni R4. Mamy układ równań
[ 0 1 2 1 0
2 1 −6 −1 0 ] →. . .→ [ 1 0 −4 −1 0 0 1 2 1 0 ], Zatem baza W to {(4, −2, 1, 0), (1, −1, 0, 1)}.
2. Niech A= (1, 2, 0), B = (4, 3, 0), C = (1, 1, 1), D = (2, 3, 1) a) Znajdź objętość czworościanu ABCD.
Ponieważ objętość czworościanu to 1/6 objętości równoległoboku, a równoległobok ten jest rozpięty przez wektory ⃗AB= (3, 1, 0), ⃗AC= (0, −1, 1), ⃗AD= (1, 1, 1), to szukana objętość to
1 6
¿Á ÁÁ ÁÀdet⎡⎢
⎢⎢⎢⎢
⎣
10 −1 4
−1 2 0
4 0 3
⎤⎥⎥⎥
⎥⎥⎦
= 1 6
√60− 32 − 3 =
√25 6 =5
6.
b) Znaleźć odległość punktu D od płaszczyzny zawierającej punkty A, B, C oraz odległość punktu A od prostej B, C.
Pole równoległoboku wyznaczonego przez A, B, C to
¿Á
ÁÀdet[ 10 −1−1 2 ] =
√19.
Mamy, że objętość równoległościanu to jest wysokość (szukana odległość) razy pole podstawy, zatem ta odległość to √5
19. Długość odcinka BC to √
9+ 4 + 1 =√
14, a pole trójkąta ABC to ta długość razy wysokość (szukana odległość) przez 2, zatem ta szukana odległość to
2√ 19 2√
14=
√19
√14.
3. Znaleźć wzór i macierz symetrii prostopadłej płaszczyzny względem prostej o równaniu y= 2x.
Niech ϕ to ta symetria. Wiadomo, że(1, 2) jest wektorem z tej prostej, więc ϕ((1, 2)) = (1, 2). Wektor prostopadły to(2, −1) i zatem ϕ((2, −1)) = −(2, −1) = (−2, 1). Znajdujemy wektory, na które przechodzą wektory z bazy standardowej:
[ 1 2 1 2
2 −1 −2 1 ]w2− 2w1
ÐÐÐÐÐ→[ 1 2 1 2
0 −5 −4 −3 ]w2⋅−1
ÐÐÐÐ→5 [ 1 2 1 2
0 1 45 35 ] w1− 2w2
ÐÐÐÐÐ→
[ 1 0 −35 45 0 1 45 35 ] Zatem f((x, y)) = (−35x+45y,45x+35y) oraz
M(f)stst= [ −435 45 5
3 5
] .
1
4. Które wśród następujących przekształceń liniowych są symetriami prostopadłymi względem prostych i jakich prostych?
a) f(x, y) = (−y, x)
Wielomian charakterystyczny tego przekształcenia to λ2+ 1, więc nie ma rzeczywistych wartości wła- snych, a zatem nie jest symetrią. Swoją drogą jest obrotem o π/2.
b) g(x, y) = (x + y, x + 2y)
Wielomian charakterystyczny tego przekształcenia to(1 − λ)(2 − λ) − 1 = λ2− 3λ + 1 i jego pierwiastki to 3±
√5
2 są różne od±1, więc nie jest to symetria.
c) h(x, y) = (y, x).
Wielomian charakterystyczny to λ2− 1, więc λ = ±1, co daje szansę na symetrię. I rzeczywiście wektor własny dla 1 to(1, 1), a dla −1 to (1, −1), i są one do siebie prostopadłe. Jest to więc symetria względem prostej lin((1, 1)), czyli y = x.
5. Podaj przykład macierzy A dwa na dwa takiej, że A12= I, ale An≠ I dla 1 ≤ n < 12.
Taką cechę będzie mieć macierz obrotu o π/6, czyli [
√3/2 −1/2 1/2 √
3/2 ] .
6. Niech ϕ∶ R3→ R3będzie izometrią. Wykazać, że istnieje niezerowy wektor v taki, że ϕ(v) = v lub ϕ(v) = −v.
Czy to samo jest prawdą dla izometrii płaszczyzny.
Wielomian charakterystyczny ϕ jest wielomianem 3-ego stopnia, ma więc rzeczywisty pierwiastek, czyli wartość własną λ. Istnieje zatem niezerowy wektor v będący wektorem własnym dla wartości własnej λ, czyli ϕ(v) = λv. Ale ϕ zachowuje długość wektorów, więc λ = ±1.
Nie jest to prawdą dla płaszczyzny. Przykładem jest ϕ(x, y) = (−y, x), czyli obrót o π/2. Nie ma on żadnej rzeczywistej wartości własnej.
7. Niech O= (0, 0), A = (1, 0), B = (0, 2), C = (−2, 0), D = (0, −1). Znajdź izometrię płaszczyzny przepro- wadzającą trójkąt OAB na trójkąt OCD. Czy istnieje izometria płaszczyzny zachowująca orientację i przeprowadzającą trójkąt OAB na trójkąt OCD.
Wiadomo, że kąt prosty ma przejść na kąt prosty, czyli ϕ(O) = O, inaczej mówiąc mamy do czynienia z izometrią liniową. Ponieważ izometria zachowuje długości odcinków ϕ(B) = C oraz ϕ(A) = D. Zatem jest tylko jedna taka izometria i jest ona zadana wzorem ϕ(x, y) = (−y, −x). Bazę standardową przeprowadza więc naA = {(0, −1), (−1, 0)} oraz
M(id)stA= [ 0 −1
−1 0 ]
ma wyznacznik−1, czyli bazy te mają przeciwną orientację. Nie ma więc takiej izometrii zachowującej orientację.
2
