Algebra liniowa, WNE, 2018/2019 ćwiczenia 20.
11 grudnia 2018
Zadania
1. Rozpatrzmy w przestrzeni R4ze standardowym iloczynem skalarnym podprzestrzenie V = {(x, y, z, t) : x−
y + 4z + 5t = 0} oraz W = lin((1, 0, −1, 2), (1, 1, 1, 1)). Znaleźć bazy ortonormalne przestrzeni V⊥ oraz W⊥.
2. Rozstrzygnąć, czy w R4istnieje taki wektor α, że układ 12(1, 1, 1, 1),12(−1, −1, 1, 1),12(−1, 1, −1, 1), α jest bazą ortonormalną oraz wektor (2, 4, 6, 2) ma w niej czwartą współrzędną równą 3.
3. W przestrzeni R3znaleźć rzut prostopadły wektora α = (1, 1, 1) na płaszczyznę V = {(x, y, z) : x+2y −z = 0} oraz rzut prostopadły tego wektora na prostą L = lin((1, 2, 3)).
4. Znaleźć obraz wektora α z poprzedniego zadania w symetriach prostopadłych względem V oraz L.
5. W R4 znaleźć wzór na przekształcenie liniowe będące rzutem prostopadłym na przestrzeń W = lin((2, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 1)) oraz na przekształcenie będące symetrią prostopadłą względem W .
Zadania domowe
Grupa 8:00
1. W R4znaleźć rzut prostopadły wektora (4, 2, 3, 1) na przestrzeń W = {(x, y, z, t) : x + y − z + 2t = 0} oraz obraz wektora (0, 0, 1, 2) w symetrii względem przestrzeni W .
2. Znaleźć wzór na przekształcenie liniowe ϕ : R3 → R3 będące rzutem prostopadłym na podprzestrzeń W = {(x, y, z) : x − y + 2z = 0} oraz na przekształcenie ψ : R3 → R3 będące symetrią prostopadłą względem W .
Grupa 9:45
1. W R4znaleźć rzut prostopadły wektora (4, 2, 1, 3) na przestrzeń W = {(x, y, z, t) : x + y + 2z − t = 0} oraz obraz wektora (0, 0, 2, 1) w symetrii względem przestrzeni W .
2. Znaleźć wzór na przekształcenie liniowe ϕ : R3 → R3 będące rzutem prostopadłym na podprzestrzeń W = {(x, y, z) : x + 2y − z = 0} oraz na przekształcenie ψ : R3 → R3 będące symetrią prostopadłą względem W .
1
