Algebra liniowa, WNE, 2018/2019
ćwiczenia 20. – rozwiązania zadań domowych
11 grudnia 2018
Grupa 8:00
1. W R4znaleźć rzut prostopadły wektora (4, 2, 3, 1) na przestrzeń W = {(x, y, z, t) : x + y − z + 2t = 0} oraz obraz wektora (0, 0, 1, 2) w symetrii względem przestrzeni W .
Rzut na W to oryginalny wektor minus rzut na wektor prostopadły do W , czyli (1, 1, −1, 2), a więc:
(4, 2, 3, 1) − h(4, 2, 3, 1), (1, 1, −1, 2)i
h(1, 1, −1, 2), (1, 1, −1, 2)i(1, 1, −1, 2) = (4, 2, 3, 1) −5
7(1, 1, −1, 2) = 1
7(23, 9, 26, −3).
Analogicznie rzut wektora (0, 0, 1, 2) to:
(0, 0, 1, 2) − h(0, 0, 1, 2), (1, 1, −1, 2)i
h(1, 1, −1, 2), (1, 1, −1, 2)i(1, 1, −1, 2) = (0, 0, 1, 2) −3
7(1, 1, −1, 2) = 1
7(−3, −3, 10, 8).
Z zatem symetria:
1
7(−6, −6, 20, 16) − (0, 0, 1, 2) = 1
7(−6, −6, 13, 2).
2. Znaleźć wzór na przekształcenie liniowe ϕ : R3 → R3 będące rzutem prostopadłym na podprzestrzeń W = {(x, y, z) : x − y + 2z = 0} oraz na przekształcenie ψ : R3 → R3 będące symetrią prostopadłą względem W .
Baza W to na przykład {(1, 1, 0), (−2, 0, 1)}, natomiast baza W⊥ to {(1, −1, 2)}. Niech ϕ będzie rzutem, a ψ symetrią. A = {(1, 1, 0), (−2, 0, 1), (1, −1, 2)} jest bazą własną zarówno dla ϕ, jak i ψ, odpowiednio z wartościami 1, 1, 0 i 1, 1, −1, więc:
M (ϕ)AA=
1 0 0 0 1 0 0 0 0
, M (ψ)AA=
1 0 0
0 1 0
0 0 −1
.
Tymczasem M (id)stA=
1 −2 1
1 0 −1
0 1 2
, więc łatwo obliczyć, że:
M (id)Ast= (M (id)stA)−1 =1 6
1 5 1
−2 2 2
1 −1 2
.
Zatem:
M (ϕ)stst= M (id)stA· M (ϕ)AA· M (id)Ast= 1 6
5 1 −2
1 5 2
−2 2 2
M (ψ)stst= M (id)stA· M (ψ)AA· M (id)Ast =1 3
2 1 −2
1 2 2
−2 2 1
a zatem ϕ((x, y, z)) = 16(5x + y − 2z, x + 5y + 2z, −2x + 2y + 2z), ψ((x, y, z)) = 13(2x + y − 2z, x + 2y + 2z, −2x + 2y + z).
1
Grupa 9:45
1. W R4znaleźć rzut prostopadły wektora (4, 2, 1, 3) na przestrzeń W = {(x, y, z, t) : x + y + 2z − t = 0} oraz obraz wektora (0, 0, 2, 1) w symetrii względem przestrzeni W .
Rzut na W to oryginalny wektor minus rzut na wektor prostopadły do W , czyli (1, 1, 2, −1), a więc:
(4, 2, 1, 3) − h(4, 2, 1, 3), (1, 1, 2, −1)i
h(1, 1, 2, −1), (1, 1, 2, −1)i(1, 1, 2, −1) = (4, 2, 1, 3) −5
7(1, 1, 2, −1) = 1
7(23, 9, −3, 26).
Analogicznie rzut wektora (0, 0, 2, 1) to:
(0, 0, 2, 1) − h(0, 0, 2, 1), (1, 1, 2, −1)i
h(1, 1, 2, −1), (1, 1, 2, −1)i(1, 1, 2, −1) = (0, 0, 2, 1) −3
7(1, 1, 2, −1) = 1
7(−3, −3, 8, 10).
Z zatem symetria:
1
7(−6, −6, 16, 20) − (0, 0, 2, 1) = 1
7(−6, −6, 2, 13).
2. Znaleźć wzór na przekształcenie liniowe ϕ : R3 → R3 będące rzutem prostopadłym na podprzestrzeń W = {(x, y, z) : x + 2y − z = 0} oraz na przekształcenie ψ : R3 → R3 będące symetrią prostopadłą względem W .
Baza W to na przykład {(−2, 1, 0), (1, 0, 1)}, natomiast baza W⊥ to {(1, 2, −1)}. Niech ϕ będzie rzutem, a ψ symetrią. A = {(−2, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 2, −1)} jest bazą własną zarówno dla ϕ, jak i ψ, odpowiednio z wartościami 1, 1, 0 i 1, 1, −1, więc:
M (ϕ)AA=
1 0 0 0 1 0 0 0 0
, M (ψ)AA=
1 0 0
0 1 0
0 0 −1
.
Tymczasem M (id)stA=
−2 1 1
1 0 2
0 1 −1
, więc łatwo obliczyć, że:
M (id)Ast= (M (id)stA)−1 =1 6
−2 2 2
1 2 5
1 2 −1
.
Zatem:
M (ϕ)stst= M (id)stA· M (ϕ)AA· M (id)Ast= 1 6
5 −2 1
−2 2 2
1 2 5
M (ψ)stst= M (id)stA· M (ψ)AA· M (id)Ast =1 3
2 −2 1
−2 −1 2
1 2 2
a zatem ϕ((x, y, z)) = 16(5x − 2y + z, −2x + 2y + 2z, x + 2y + 5z), ψ((x, y, z)) = 13(2x − 2y + z, −2x − y + 2z, x + 2y + 2z).
2
