Algebra liniowa, WNE, 2018/2019 ćwiczenia 19.
6 grudnia 2018
Zadania
1. Niech W = lin((0, 1, 2, 1), (2, 1, −6, −1)). Znaleźć bazę podprzestrzeni W⊥ w przestrzeni R4. 2. Niech W będzie podprzestrzenią przestrzeni R4 opisaną układem równań:
(x1+ 2x2− x3+ x4= 0 x1+ 3x2+ x3− x4= 0
oraz niech Wt= lin((2, 5, 0, 0), (t+2, 4+3t, −2+t, (t−2)2)). Dla jakich wartości parametru t ∈ R zachodzi:
• Wt⊆ W⊥?
• Wt= W⊥?
3. W przestrzeni R3 ze standardowym iloczynem skalarnym rozważmy wektory: α = (−1, 2, 2), β = (−1 + 2√
3, 2 + 2√
3, 2 −√
3), γ = (2, 1, t). Obliczyć kąt między wektorami α i β oraz określić dla jakich wartości parametru t ∈ R kąt między wektorami α i γ wynosi 120◦.
4. Obliczyć współrzędne wektora (1, 3, 4) w bazie ortogonalnej (2, 2, −1), (2, −1, 2), (−1, 2, 2).
5. Niech W = lin((1, 1, 2, 1), (2, 3, 1, 3), (3, 5, 0, 5)) oraz V dana jako przestrzeń rozwiązań układu równań:
(x1+ x2− x3+ 2x4= 0
−x1+ x2+ 2x3− x4= 0
będą podprzestrzeniami przestrzeni R4 ze standardowym iloczynem skalarnym. Znaleźć bazy ortogonalną przestrzeni W i ortonormalną przestrzeni V .
Zadania domowe
Grupa 8:00
1. Niech W = lin((1, 1, 2)). Znaleźć bazę podprzestrzeni W⊥ w przestrzeni R3.
2. Niech W = lin((1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 2), (2, −2, 2, −4)) oraz V dana jako przestrzeń rozwiązań równania x1+ 2x2− x3+ x4= 0 będą podprzestrzeniami przestrzeni R4ze standardowym iloczynem skalarnym. Znaleźć bazy ortonormalne przestrzeni W i przestrzeni V .
Grupa 9:45
1. Niech W = lin((1, 1, 3)). Znaleźć bazę podprzestrzeni W⊥ w przestrzeni R3.
2. Niech W = lin((1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 2), (2, 2, −2, −4)) oraz V dana jako przestrzeń rozwiązań równania x1− x2+ 2x3+ x4= 0 będą podprzestrzeniami przestrzeni R4ze standardowym iloczynem skalarnym. Znaleźć bazy ortonormalne przestrzeni W i przestrzeni V .
1
