∑ ∑ ∑ ∑ 4. Dualizm w programowaniu liniowym

4. Dualizm w programowaniu liniowym 4.1. Reguły tworzenia zadania dualnego

Jeżeli zadaniem pierwotnym (prymalnym) jest problem

(

4.1 .1

)

cx →max Ax ≤b

x ≥ 0

∑

j=1 n

c

_j

x

_j

→ max , ∑

j=1 n

a

_ij

x

_j

≤ b

_i

,i=1, … , n , x

_j

≥0, j=1,.. , n

to zadaniem dualnym (ZD) będzie zadanie:

(4.1 .2)

b y →min yA ≥ c

y ≥ 0

∑

i=1 m

b

_i

x

_i

→ min , ∑

i=1 m

y

_i

a

_ij

≥ c

_j

, j=1 , … , n , x

_i

≥0, i=1,. . , n

 W zadaniu dualnym jest tyle zmiennych ile nierówności w zadaniu pierwotnym.

 W zadaniu dualnym jest tyle warunków ile zmiennych w zdaniu pierwotnym.

 Wagi funkcji celu w zadaniu pierwotnym są wyrazami wolnymi w zadaniu dualnym.

 Macierz współczynników zadania dualnego jest transpozycją macierzy współczynników zadania pierwotnego.

 Jeżeli zadanie pierwotne jest na max to dualne na min i odwrotnie.

 Nierówności warunków zmieniają znak na przeciwny.

 Zadanie pierwotne jest zadaniem dualnym do dualnego.

Nierówności „ ≤ ” dla zadania max i „ ≥ ” dla min nazywamy typowymi.

Przykład 4.1.1.

3 x

₁

+ 2 x

₂

+ 4 x

₃

→ max 4 x

1

+5 x

2

+3 x

3

≤ 60 2 x

₁

+ 4 x

₂

+6 x

₃

≤ 24

x

₁

, x

₂

, x

₃

≥ 0

⟹

4 y

₁

+ 2 y

₂

≥ 3 5 y

₁

+ 4 y

₂

≥2 3 y

₁

+6 y

₂

≥ 4

A= [ ^{4 5 3 2 4 6} ]

C= [ 3 2 1 ] b= [ ^{60 24} ]

⟹ A

^T

= [ ^{4 2 5 4 3 6} ]

60 x

₁

+ 24 x

₂

→min

W przypadku ogólnym stosujemy następujące reguły tworzenia ZD:

1. Jeżeli w ZP i – ty warunek jest równością to w ZD i – ta zmienna

y

_i nie ma ograniczenia.

2. Jeżeli w ZP i – ty warunek jest nietypową nierównością to w ZD zmienna

y

_i

≤ 0

. 3. Jeżeli w ZP j – ta zmienna

x

_j nie ma ograniczenia to j – ty warunek ZD jest równością.

4. Jeżeli w ZP

x

_j

≤0

to w ZD j – ty warunek jest nietypową nierównością.

Przykład 4.1.2.

ZP:

6 x

₁

+8 x

₂

→ max

{ ^{x 4 x}

¹

^{2 x − 3 x}

¹

^{dow . , x}

¹

^{+6 x}

¹

^{+2 x + x}

²²

⁼⁴

²

^{≤ 10 ≥2}

²

^{≥ 0}

Wówczas ZD jest postaci:

10 y

₂

+ 4 y

₂

+2 y

₃

→ min

{ ^y

¹

^{4 y ≥ 0, y 6 y}

¹

⁺

¹

^{+ 3 y}

²

^{y −dow , y}

²²

^{+ + 2 y 2 y}

³³

^{≥ 8 =6}

³

^{≤ 0}

4.2. Twierdzenia o dualności

Twierdzenie 4.2.1

Jeżeli x i y są rozwiązaniami odpowiednich symetrycznych problemów dualnych to cx ≤ yb

Dowód

Ax ≤ b ⟹ yAx ≤ yb

yA ≥ c ⟹ yAx ≥ cx | ^{⟹ teza}

∎ Twierdzenie 4.2.2. o istnieniu (Gale’a – Kuhna – Tuckera)

Jeżeli jeden z symetrycznych problemów dualnych ma rozwiązanie optymalne to drugi też ma rozwiązanie optymalne.

Jeżeli oba mają rozwiązania dopuszczalne to wtedy oba mają rozwiązania optymalne.

Dla rozwiązania optymalnych

´ x , ´y

zachodzi

c ´x =´y b

. Twierdzenie 4.2.3. o optymalności

Jeżeli istnieją dwa rozwiązania dopuszczalne symetrycznych problemów dualnych x , ´y´ takie że c ´x =´y b to obydwa rozwiązania są optymalne.

Twierdzenie 4.2.4. o komplementarności (Dantziga – Ordena)

Niech

x

i

y

będą rozwiązaniami dopuszczalnymi symetrycznych problemów dualnych, wówczas:

x i y są optymalne ⟺ y (b− Ax)=0 i( yA−c) x=0

Twierdzenie 4.2.5. o równowadze

Jeśli

x= ( ^x

1

,.. , x

_n

)

jest i rozwiązaniem dopuszczalnym ZP i

y= ( ^y

1

, …, y

_n

)

jest rozwiązaniem dopuszczalnym ZD, to aby były to rozwiązania optymalne potrzeba i wystarcza aby zachodziły następujące warunki:

(4.2 .1) ∑

j=1 n

a

_ij

x

_j

< b

_i

⟹ y

_i

=0

(4.2 .2) ∑

i=1 m

a

_ij

y

_i

>c

_j

⟹ x

_j

= 0

(4.2 .3) y

_i

> 0⟹ ∑

j=1 n

a

_ij

x

_j

=b

_i

(4.2 .4 ) x

_j

>0 ⟹ ∑

i=1 m

a

_ij

y

_i

=c

_j

, dlai , j=1 , … , n

Dowód

Z twierdzenia 4.2.4:

x i y są optymalne⟺ y

(

b− Ax

)

=0 i

(

yA−c

)

x=0 . Ponieważ x , y są dopuszczalne to

y_i≥ 0 i

∑

j=1 n

a

_ij

x

_j

≤b

_i ^dla

i=1 , … ,m

czyli

b

_i

− ∑

j=1 n

a

_ij

x

_j

≥ 0

co daje nierówności

y

_i

( ^b

ⁱ

^{− ∑}

j=1

n

a

_ij

x

_j

) ^{≥ 0}

^{dla dla i=1 , … ,m .}

Zatem

∑

i=1 m

y

_i

( ^b

ⁱ

^{− ∑}

j=1 n

a

_ij

x

_j

) ^{=0 ⇔ y}

ⁱ

( ^b

ⁱ

^{− ∑}

j=1 n

a

_ij

x

_j

) ⁼ 0 dlai=1 , …, m

.

Stąd

(4.2 .1)i (4.2 .3)

wynikają jasno. Analogicznie dowodzimy

(4.2 .2)i (4.2 .4 )

. W drugą stronę twierdzenie jest oczywiste ( na podstawie tw. 4.2.4.).

∎ Przykład 4.2.1.

ZP:

2 x₁+4 x₂+3 x₃→ max

{

^{2 xx1x+4 x11x++1xx, x222+5 x++3 x2, xx33≤20033≥ 0≤300≤ 240}

ZD:

¿

(3)

¿

240 y

₁

+300 y

₂

+200 y

₃

→ min

{ ^{3 y 4 y y}

¹

^y

¹

⁺

¹¹

^{+5 y + , y 2 y y}

²²²

^{, y}

²

^{+ + + y}

³

^{y y ≥ 0}

³³³

^{≥ 4 ≥2 ≥ 3}

Rozwiązanie optymalne ZD:

´ y

₁

= 6

7 , ´y

₂

= 4

7 , ´y

₃

= 0

. Zmienna podpierająca nierówność

(

3

)

:

´ y

₆

> 0

czyli

3 ´y

₁

+5 ´y

₂

+ ´ y

₃

> 3

. Zatem z

(

4.2 .2

)

mamy

´ x

₃

=0

. Pierwszy problem się upraszcza

x

(¿¿ 1+4 x

₂

=240∧ 2 x

₁

+ x

₂

=300)⟹ ( ^x

¹

^{=137 1} 7 , x

₂

=25 5 7 )

¿

Twierdzenie 4.2.6.

1. Jeżeli

cx

w ZP jest nieograniczona z góry to ZD jest sprzeczny.

2. Jeżeli

yb

z ZD jest nieograniczona z dołu to ZP jest sprzeczny.

Dowód (wynika z twierdzenia 4 .2.1) Uwaga

Twierdzenie odwrotne do powyższego nie jest prawdziwe, ponieważ jeżeli jedno z zagadnień jest sprzeczne, to zagadnienie dualne może być sprzeczne lub jego funkcja celu może przyjmować nieograniczone wartości.

4.3. Odczytywanie rozwiązań ZD z tabeli simpleksowej dla ZP

Twierdzenie 4.3.1.

Jeżeli istnieje skończone rozwiązanie optymalne

x

^B ZP względem bazy

A

_B , to wektor u, którego bazowe składowe określa wzór

u

_B^T

=c

_B

A

⁻¹_B , jest rozwiązaniem optymalnym ZD.

Z powyższego twierdzenia oraz z podanego w części 3.2. sposobu obliczania wskaźników optymalności

Δ

_j wynika, że wskaźniki optymalności odpowiadające zmiennym swobodnym wyznaczają optymalne wartości zmiennych dualnych, wskaźniki optymalności odpowiadające zmiennym decyzyjnym wyznaczają wartości zmiennych swobodnych w optymalnym rozwiązaniu ZD.

ZP

zmienne optymalne wartości zmiennych wskaźniki optymalności

decyzyjne

x

₁

…

x

_n

x

₁

…

x

_n

Δ

₁

…

Δ

_n

y

_m+1

…

y

_m+n

swobodn e

x

_n+1

…

x

_n+m

x

_n+1

…

x

_n+m

Δ

_n+1

…

Δ

_n+m

y

₁

…

y

_n

decyzyjne

wskaźniki optymalności optymalne wartości zmiennych zmienne ZD