ZASTOSOWANIE ANALOGII CIEPLNO-ELEKTRYCZNEJ
DO WYZNACZENIA WŁASNOŚCI CIEPLNYCH KRĘGU BLACHY
Rafał Wyczółkowski
1aŁukasz Piechowicz
2bAgnieszka Benduch
1c1
Zakład Pieców Przemysłowych i Ochrony Środowiska, Politechnika Częstochowska e-mail:
arwyczolkowski@mim.pcz.czest.pl,
cabenduch@wip.pcz.pl
2
SECO/WARWICK ThermAL S.A., Świebodzin
b
L.Piechowicz@secowarwick.com.pl
Streszczenie
W artykule przedstawiono metodykę obliczania promieniowej efektywnej przewodności cieplnej λr kręgu stalowej blachy. Wielkość ta stanowi jeden z warunków jednoznaczności przy analitycznym rozwiązywaniu problemu nagrzewania stalowej taśmy w postaci kręgów. Otrzymane wyniki pokazują, iż wartość współczynnika λr zmienia się w szerokich granicach i uzależniona jest od szeregu różnych parametrów. Brak dokładnej wiedzy na temat kształtowania się wartości tego współczynnika może być przyczyną istotnych błędów przy modelowaniu procesów nagrzewania i chłodzenia kręgów stalowej blachy.
APPLICATION OF THE THERMO-ELECTRICAL ANALOGY TO MODELLING OF THE THERMAL PROPERTIES
OF A STEEL COIL
Summary
The article presents a methodology for computation of the radial effective thermal conductivity λr of a coil of steel sheet. This quantity constitutes one of the conditions of uniqueness in analytical solving of the problem of heating steel strip in the form of coils. The obtained results indicate that the value of the coefficient λr varies within a wide range and is dependent on a number of various parameters. The lack of detailed knowledge on the variation of the value of this coefficient may be the cause of significant errors in modelling steel sheet coil heating and cooling processes.
1. WSTĘP
Blachy stalowe walcowane na zimno o grubości 0,15 ÷ 3 mm są bardzo popularnym materiałem konstrukcyjnym [1]. Jednak walcowanie na zimno sprawia, że blacha w wyniku powstawania w materiale naprężeń traci swoje naturalne własności plastyczne, przez co staje się mniej podatna na kształtowanie.
W celu przywrócenia pierwotnych własności plastycznych blachę poddaje się wyżarzaniu. Jedną z
technologii stosowanych w tym zakresie jest wyżarzanie w piecach kołpakowych, w których obrabiany cieplnie wsad ma postaci kręgów.
Aby stalowa taśma po wyżarzaniu posiadała wszędzie jednakowe i jednocześnie pożądane własności, krąg w całej objętości należy podgrzać powyżej tzw. temperatury rekrystalizacji (około 700°C). Z uwagi na znaczną jego masę (15 do 30 ton)
wyżarzanie jest procesem długotrwałym i energochłonnym [2, 3]. W związku z tym prowadzi się liczne prace nad optymalizacją tych procesów.
Jednym z kierunków tych prac jest modelowanie matematyczne. Wśród trudności napotykanych przy wykonywaniu tego typu analiz należy wymienić problemy z określeniem własności cieplnych kręgu taśmy. Z uwagi na specyficzną strukturę tego wsadu jego własności cieplne w kierunku promieniowym znacznie odbiegają od własności cieplnych samej blachy. Do ich opisu ilościowego wprowadza się tzw.
promieniową efektywną przewodność cieplną λr. Artykuł prezentuje metodykę obliczania współczynnika λr dla kręgu stalowej blachy.
W prezentowanym podejściu zastosowano model wykorzystujący analogię między zjawiskami przepływu ciepła i prądu elektrycznego.
2. MODEL WYMIANY CIEPŁA W KRĘGU BLACHY
Efektywną przewodność cieplną kręgu blachy w kierunku promieniowym można określić na podstawie odpowiedniego modelu wymiany ciepła. Do tego celu wykorzystuje się pojęcie komórki
elementarnej, którą jest wyodrębniony obszar ośrodka przedstawiający jego strukturę na poziomie niejednorodności. Dla kręgu blachy komórka taka składa się z dwóch warstw blachy i występującej między nimi szczeliny. Jest to charakterystyczna struktura tego wsadu, powtarzająca się w nim periodycznie. Z uwagi na znaczny promień krzywizny
kręgu w porównaniu z grubością taśmy omawiany element traktuje się jako układ płaskich, równoległych warstw. Na skutek chropowatości powierzchni blach kolejne zwoje przylegają do siebie jedynie na niewielkiej powierzchni, tworząc lokalne miejsca kontaktu. Rzeczywista powierzchnia kontaktu Ar
stanowi niewielki procent całkowitej powierzchni przylegających blach, którą określa się mianem nominalnej powierzchni kontaktu An. Widok tak zdefiniowanej komórki przedstawia rys. 1.
W rozważaniach przyjmuje się, że temperatury przyległych zwojów blachy wynoszą T1 oraz T2 (przy czym T1 > T2) i wartości te są niezmienne w czasie.
Wobec takiego założenia w układzie dochodzi do przepływu ciepła, który wyraża wektor gęstości strumienia q:
k k
2 1
R ΔT R
T
q T − =
= (1)
Wielkość Rk oznacza opór cieplny analizowanej komórki. Dla płaskiej jednorodnej warstwy o grubości x i przewodności cieplnej λ, opór cieplny oblicza się według zależność [4]:
x/λ
R= (2)
Z równania (2) wynika, że wyznaczenie przewodności cieplnej kręgu w kierunku promieniowym sprowadza się do analizy oporu cieplnego przyjętej komórki elementarnej. W komórce tej ciepło przepływa kolejno przez pierwszą warstwę blachy, następnie przez szczelinę i na końcu przez drugą warstwę blachy. Wykorzystując analogię q
T
1 T2q pr
q pk
q pg
b g/2
g/2
s
A r
A n
Rys.1. Komórka elementarna z zaznaczeniem poszczególnych strumieni ciepła:
q – całkowity strumień ciepła, qpr – strumień ciepła promieniowania, qpk – strumień przewodzenia kontaktowego, qpg – strumień przewodzenia w gazie, g
– grubość blachy, s – szerokość rozpatrywanej komórki, b – szerokość szczeliny, T – temperatura
między zjawiskami cieplnymi i elektrycznymi, opór cieplny komórki Rk, można zapisać jako połączenie szeregowe oporów kolejnych warstw – oporu cieplnego warstwy blachy Rb oraz szczeliny Rs:
s b b s b
k R R R 2R R
R = + + = + (3)
Opór cieplny blachy zgodnie z równaniem (2) wynosi:
b b 0,5g/λ
R = (4)
gdzie:
λ
b oznacza przewodność cieplną blachy.Wyznaczenie oporu cieplnego szczeliny wymaga identyfikacji występujących w jej obszarze mechanizmów przepływu ciepła. W miejscach styku blach ciepło przekazywane jest na drodze przewodzenia kontaktowego, które wyraża strumień qpk. Natomiast w pozostałych, swobodnych obszarach szczeliny ciepło przekazywane jest w wyniku przewodzenia w warstwie gazu oraz promieniowania między powierzchniami blach. Mechanizmom tym odpowiadają strumienie qpg i qpr. Z kolei wymienionym strumieniom przyporządkować można stosowne opory.
Całkowity opór cieplny szczeliny stanowi połączenie równoległe poszczególnych oporów, co można zapisać w postaci:
1
pg pr pk
s R
1 R
1 R R 1
−
+ +
= (5)
Wykorzystując zależności (2), (3) oraz (5), można sformułować wzór na promieniową efektywną przewodność cieplną λr kręgu. Przybiera on postać:
1
pg pr pk b r
R 1 R
1 R 2R 1
b λ g
−
+ + +
= + (6)
Zgodnie z równaniem (6) wyznaczenie wartości współczynnika λr wymaga wiedzy na temat szerokości szczeliny b. Jak podają dane literaturowe, wartość tego parametru w rzeczywistych kręgach stalowej taśmy mieści się w zakresie 10 ÷ 100 µm i jest uzależniona od naprężenia dociskającego P użytego przy nawijaniu. Badania doświadczalne wykazały, że między tymi dwiema wielkościami zachodzi następująca zależność [5]:
(
5 10 P)
exp 10 42,7
b= ⋅ −6 − ⋅ −2 (7)
gdzie naprężenie P wyrażone jest w MPa.
Wartości parametru b w zależności od naprężenia dociskającego zestawiono w tabeli 1.
Opór przewodzenia kontaktowego dla przyległych powierzchni wyraża zależność [6]:
0,94 s
pk 1,13 λ tanθ A
R σ
⋅
⋅
= ⋅ (8)
gdzie:
σ
- odchylenie standardowe wysokości profilu chropowatości powierzchni blachy,tan θ
- średnia bezwzględnego pochylenia profilu, A - współczynnik kontaktu:H P A A A
n r =
= (9)
gdzie H oznacza mikrotwardość taśmy – w obliczeniach przyjęto H = 1130 MPa [5]. Wartości współczynnika A obliczone dla rozpatrywanego zakresu naprężenia P zestawiono w tabeli 1.
Tabela 1. Wartości parametrów b oraz A w zależności od naprężenia dociskającego P Naprężenie dociskające P, MPa 2 6 10 14 18
Szerokość szczeliny b, µm 38,6 31,6 25,9 21,2 17,4 Współczynnik kontaktu A, % 0,17 0,53 0,87 1,22 1,56
Opór cieplny promieniowania Rpr można określić, rozpatrując radiacyjną wymianę ciepła między dwiema równoległymi powierzchniami [7]:
(
24)
4 1 c w
2 1
pr ε σ T T
T R T
−
⋅
= − (10)
gdzie:
σ
c - stała Stefana–Boltzmana,ε
w - emisyjność wzajemna.Jeśli emisyjność powierzchni przyległych blach ɛ jest jednakowa (ε1=ε2), to emisyjność wzajemna dla analizowanego układu wynosi: εw =ε/
(
2−ε)
.W sytuacji gdy
T
2→ T
1, można dokonać następującego przekształcenia:( )
( )
s33 2 1 4
2 4 1
2
1 4 T
2 T 4 T T T
T
T = ⋅
+
⋅
− ≅
− (11)
gdzie Ts jest wartością średnią temperatur T1 i T2. Powierzchnia swobodna blach w szczelinie, na której występuje emisja promieniowania, wynosi
− A
1
. Zatem opór Rpr można ostatecznie zapisać w postaci:( )
s3c
pr ε σ 1 A 4 T
ε R 2
⋅
⋅
−
⋅
= − (12)
Ostatni z oporów cieplnych występujących w szczelinie, dotyczący przewodzenia ciepła w gazie, wyrazić można równaniem:
( )
gpg 1 A λ
R b
⋅
= − (13)
gdzie λg oznacza przewodność cieplną gazu.
3. WYNIKI OBLICZEŃ
Wartość współczynnika λr kręgu uzależniona jest od przewodności cieplnej taśmy. Aby otrzymane wyniki uniezależnić od tego parametru, przedstawione zostaną w postaci zredukowanej. Zredukowana
efektywna przewodność cieplna danego ośrodka porowatego stanowi iloraz jego przewodności efektywnej i przewodności cieplnej jego fazy stałej.
W przypadku analizowanego wsadu fazą stałą jest stal, zatem przewodność zredukowana wyrażona jest tu zależnością:
s r
z λ
λ =λ (14)
Wyniki prezentowane w takiej postaci mają charakter bardziej uniwersalny, ponieważ dotyczą dowolnego kręgu, bez względu na przewodność cieplną taśmy. Dysponując tymi danymi, można łatwo obliczyć przewodność promieniową dla kręgu taśmy ze stali o dowolnym gatunku. W tym celu wystarczy jedynie pomnożyć przewodność zredukowaną przez przewodność cieplną danej stali. Ponadto współczynnik λz pokazuje, w jakim stopniu przewodność promieniowa danego kręgu jest mniejsza od przewodności cieplnej samej stali.
Przedstawione poniżej wyniki uzyskano przy założeniu, że atmosferą w piecu jest wodór. Przy wyżarzaniu taśm w postaci kręgów gaz ten stosuje się z dwóch powodów. Po pierwsze, wysoka przewodność cieplna wodoru znacznie intensyfikuje wymianę ciepła w obszarze wsadu, co przyczynia się do skrócenia czasu całego procesu obróbki cieplnej. Ponadto wodór wykazuje właściwości redukujące, co w praktyce powoduje oczyszczanie powierzchni wyżarzanej blachy z pozostałości smarów pochodzących z przeróbki
plastycznej na zimno, przyczyniając się do znacznej poprawy jakości gotowego produktu [1].
W obliczeniach przyjęto, że przewodność cieplna wodoru w funkcji temperatury zmienia się liniowo według zależności:
0,1847 t
0,0004
λg = ⋅ + (15)
Zależność tę ustalono na podstawie danych literaturowych [8]. Pozostałe parametry, występujące w przedstawionym modelu obliczeniowym, przyjęto jako stałe w funkcji temperatury.
Wykresy z rys. 2 przedstawiają przebiegi przewodności zredukowanej kręgów taśmy o grubości 0,5 mm (rys. 2a) i 2 mm (rys 2b). W obydwu prezentowanych przypadkach, współczynnik λz rośnie niemal liniowo w funkcji temperatury. Jest to spowodowane intensyfikacją przewodzenia w gazie wskutek znacznego wzrostu z temperaturą przewodności cieplnej wodoru. Dla zwoju taśmy 0,5 mm linie dla wszystkich naprężeń dociskających przebiegają praktycznie równolegle, podczas gdy dla taśmy 2 mm zwiększenie naprężenia przyczynia się do spadku pochylenia linii.
W sposób bezpośredni zmiany przewodności zredukowanej w funkcji naprężenia dociskającego pokazują wykresy z rys. 3. Dla zwoju taśmy 0,5 mm (rys. 3a), wzrost promieniowej przewodności zredukowanej w funkcji naprężenia dociskającego jest praktycznie liniowy. Im wyższa temperatura kręgu, tym większa wartość współczynnika λz, co spowodowane jest wspomnianym wcześniej temperaturowym wzrostem przewodności cieplnej wodoru. Zaobserwowane tendencje pokazują, że intensywność przewodzenia ciepła przez gaz w obszarze szczeliny ma kluczowy wpływ na własności cieplne kręgu.
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
0 300 600 900
temperatura, °C
przewodność zredukowana
4 MPa 8 MPa
12 MPa 16 MPa
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
0 300 600 900
temperatura, °C
przewodność zredukowana
4 MPa 8 MPa
12 MPa 16 MPa
a) b)
Rys. 2. Przebieg zmian promieniowej przewodności zredukowanej kręgu taśmy o grubości: a) 0,5 mm, b) 2 mm, dla różnych wartości parametru P.
Dla taśmy 2 mm (rys. 3b) linie wykresowe nie posiadają już przebiegu prostoliniowego. Linie na tym wykresie swoim kształtem przypominają przebieg funkcji logarytmicznych. Zwiększenie parametru P
przyczynia się do stopniowego spadku dynamiki wzrostu współczynnika λz. Tendencja taka wynika stąd, iż wraz ze wzrostem grubości taśmy w kręgu maleje wpływ przewodzenia w gazie na całkowity przepływ ciepła w kręgu.
Na rys. 4 przedstawiono przebiegi zmian przewodności zredukowanej w funkcji grubości taśmy.
Jak można zauważyć, wraz ze zwiększeniem grubości taśmy dynamika wzrostu współczynnika λz ulega stopniowemu zmniejszeniu. Linie dotyczące poszczególnych temperatur, niezależnie od wartości naprężenia, przebiegają niemal równolegle.
Uzyskane wyniki pokazują, że promieniowa przewodność cieplna kręgu taśmy w zależności od temperatury, naprężenia dociskającego lub grubości taśmy znacznie się zmienia. W rozpatrywanym
zakresie wartości wymienionych parametrów przewodność zredukowana mieści się w przedziale od około 0,15 do przeszło 0,80. Największy wpływ na wzrost przewodności zredukowanej ma grubość taśmy.
Jednak podczas obróbki cieplnej parametr ten nie może być regulowany, ponieważ jest z góry zdeterminowany potrzebami produkcyjnymi. Chcąc zwiększyć przewodność cieplną kręgu taśmy o danej grubości, należy zatem nawijać go z jak największym naprężeniem. W taśmach o grubości do 1 mm zwiększenie naprężenia dociskającego z 4 do 16 MPa podnosi wartość przewodności zredukowanej blisko
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
0 4 8 12 16 20
naprężenie dociskające, MPa
przewodność zredukowana
200°C 400°C
600°C 800°C
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
0 4 8 12 16 20
naprężenie dociskające, MPa
przewodność zredukowana
200°C 400°C
600°C 800°C
a) b)
Rys. 3. Przebieg wartości współczynnika λz w funkcji naprężenia dociskającego dla kręgu taśmy o grubości: a) 0,5 mm, b) 2 mm
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
0 1 2 3 4
grubość taśmy, mm
przewodność zredukowana
200°C 400°C
600°C 800°C
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
0 1 2 3 4
grubość taśmy, mm
przewodność zredukowana
200°C 400°C
600°C 800°C
a) b)
Rys. 4. Zależności przewodności zredukowanej od grubości taśmy dla wybranych wartości temperatury:
a) dla P = 4 MPa, b) dla P = 16 MPa
dwukrotnie. W taśmie o maksymalnej grubości (3 mm) przyrost ten wynosi około 25%.
Najczęściej obróbce cieplnej poddaje się taśmy ze stali niskowęglowej. Przewodność cieplna tego materiału maleje liniowo w funkcji temperatury, z 57,3 W/(m⋅K) w temperaturze 0°C do wartości 31,3 W/(m⋅K) dla 800°C [9]. Dla kręgu taśmy z takiej stali przy jednoczesnym założeniu, że atmosferę pieca stanowi wodór, przedział wartości, jakie przyjmuje promieniowa efektywna przewodność cieplna λr wynosi od 7 do 36 W/(m⋅K). Pokazuje to, że poprawne modelowanie matematyczne procesu nagrzewania kręgów taśmy stalowej wymaga precyzyjnej wiedzy na temat wszystkich parametrów, które wpływają na wartość współczynnika λr. Wielkościami tymi są:
grubość i przewodność cieplna taśmy, przewodność cieplna gazu będącego atmosferą pieca, temperatura oraz naprężenie dociskające.
4. PODSUMOWANIE
Na podstawie przedstawionych wyników obliczeń można sformułować następujące wnioski:
• promieniowa efektywna przewodność cieplna λr
kręgu stalowej taśmy znacznie odbiega wartością od przewodności cieplnej samej taśmy; jest to spowodowane niejednorodną strukturą tego wsadu, na skutek czego podczas nagrzewania lub chłodzenia przepływ ciepła w kierunku promieniowym ma złożony charakter;
• wartość współczynnika λr zależy od szeregu parametrów, do których należą: grubość i przewodność cieplna taśmy, przewodność cieplna gazu (atmosfery pieca), naprężenie dociskające oraz temperatura;
• miarą odstępstwa współczynnika λr kręgu od przewodności cieplnej samej taśmy jest przewodność zredukowana λz;
• w zależności od wartości wymienionych powyżej parametrów wartość zredukowanej przewodności cieplnej kręgu mieści się w zakresie 0,15 ÷ 0,8;
• poprawne modelowanie matematyczne procesów nagrzewania i chłodzenia zwojów taśmy, z uwagi na zróżnicowanie wartości współczynnika, wymaga dokładnej wiedzy na temat zmian tego parametru.
Literatura
1. Blacharski M.: Inżynieria materiałowa: stal. Warszawa: WNT, 2004.
2. Saboonchi A., Hassanpour S., Abbasi S.: New heating schedule in hydrogen annealing furnace based on process simulation for less energy consumption. “Energy Conservation and Management” 2008, 49, p. 3211 - 3216.
3. Pal D., Datta A., Sahay S. S.: An efficient model for batch annealing using a neural network. “Materials and Manufacturing Processes” 2006, 21, p. 556 – 561.
4. Wiśniewski S.: Wymiana ciepła. WarszawA: PWN, 1979.
5. Zhang X., Yu F., Wu W., Zuo Y.: Application of radial effective thermal conductivity for heat transfer model of steel coils in HPH furnace. “International Journal of Thermophysics” 2003, Vol. 24, No. 5, p.1395 – 1405.
6. Furmański P., Wiśniewski T. S., Banaszek J.: Thermal contact resistances and other thermal phenomena al.
solid-solid interface. Institute of Heat Engineering – Warsaw University of Technology. Warsaw 2008.
7. Kostowski E.: Przepływ ciepła. Gliwice: Wyd. Pol. Śl., 2000.
8. Raźnjević K.: Tablice cieplne z wykresami. Warszawa: WNT, 1966.
9. Rao T. R., Barth G. J., Miller J. R.: Computer model prediction of heating, soaking and cooking times in batch coil annealing. “Iron and Steel Engineer” 1983, 60 (9), p. 22 – 33
.
Proszę cytować ten artykuł jako:
