UZĘBIENIA CZOŁOWE O ŁUKOWO – KOŁOWEJ LINII ZĘBÓW KSZTAŁTOWANE NARZĘDZIEM JEDNOOSTRZOWYM
PIOTR FRĄCKOWIAK
Instytut Technologii Mechanicznej, Politechnika Poznańska e-mai:l piotr.frackowiak@put.poznan.pl
Streszczenie. W artykule przedstawiono modele geometryczne uzębień czołowych o łukowo-kołowej linii zębów. W przedstawionych modelach założono, że linia zęba będzie kształtowana narzędziem jednoostrzowym na obrabiarce sterowanej numerycznie. Na podstawie modelu geometrycznego wyprowadzono równanie kołowej linii zębów w układzie współrzędnych związanym z obrabianym wieńcem o środku osi okręgu linii zęba znajdującym się w dowolnym punkcie układu związanego z kształtowanym uzębieniem.
W przedstawionym modelu położenie śladu ostrza narzędzia opisanego przez krawędzie skrawające jest tak usytuowane w stosunku do kształtowanej powierzchni, aby zapewnić wspólną normalną z kształtowaną linią zęba. Wyprowadzone równanie linii zęba może posłużyć do określenia przylegania powierzchni bocznych zębów w połączenia sprzęgłowego. W pracy przedstawiono model technologiczny kształtowania uzębienia o łukowo-kołowej linii zębów oraz opisano wyniki badań doświadczalnych procesu nacinania ich na frezarce CNC narzędziem jednoostrzowym.
1. WSTĘP
Na uniwersalnych frezarkach sterowanych numerycznie można kształtować uzębienia czołowe o różnych liniach zębów. Znane metody kształtowania uzębień czołowych oparte są na kinematyce obrabiarek konwencjonalnych. W trakcie nacinania linii zębów zespoły robocze obrabiarki wykonują ruchy ze stałą prędkością, po torach prostoliniowych lub obrotowych (stoły obrotowe NC, wrzeciona narzędziowe). Jeden ze sposobów nacinania uzębień czołowych wykorzystuje narzędzie jednoostrzowe o ostrzy w postaci płytki z węglików spiekanych. Metodą tą można kształtować uzębienia o prostej i ewolwentowej linii zębów [1-4]. Wymogi poprawnej współpracy uzębień czołowych o linii prostej, w połączeniach sprzęgłowych, wymagają wprowadzenia modyfikacji linii zębów.
Modyfikację tę uzyskuje się poprzez kształtowanie parabolicznego dna wrębu zębów, dzięki temu uzyskuje się beczkowaty kształt linii zębów o teoretycznym styku w środku uzębień współpracujących połówek sprzęgła. Jednym z czynników decydującym o jakości połączenia sprzęgłowego jest wartość maksymalnych obciążeń, jakie może przenieść.. Model technologiczny nacinania uzębień czołowych o modyfikowanej prostej linii zębów przedstawionym na rys. 1 [4].
Rys. 3. Schemat kształtowania uzębienia czołowego o prostej linii środkowej wrębów metodą Gleason-Curvic, szlifowanie boków:
a) wklęsłych, b) wypukłych Rys. 1. Schemat kształtowania uzębień czołowych
o linii prostej na frezarce sterowanej numerycznie
Rys. 2. Widok poglądowy linii zębów uzębienia czołowego o modyfikowanej prostej linii zębów a) uzębienie bazowe,
b) uzębienie współpracujące
W ten sposób nacięte uzębienia (rys.1) mają wypukłe oba boki zębów (rys.2) [4], a ich styk w połączeniu sprzęgłowym ma mniej korzystny rozkład naprężeń niż w przypadku zazębienia dwóch zębów o liniach wklęsło-wypukłych.
Znanym sposobem kształtowania uzębień czołowych wykorzystywanych w połączeniach sprzęgłowych jest metoda Gleason-Curvic (rys. 3).
W sposobie tym linia zębów kształtowana jest na szlifierkach metodą podziału dyskretnego. Metoda ta umożliwia uzyskanie łukowej linii zębów. W uzębieniu jeden bok kształtowany jest jako wklęsły (rys. 3a), a drugi jako wypukły (rys. 3b), co pozwala na uzyskanie w połączeniu sprzęgłowym skojarzenia wklęsło-wypukłego i tym samym korzystnego rozkładu naprężeń. Do istotnych wad tej metody należy zaliczyć konieczność posiadania dużej liczby ściernic o różnych średnicach, które są dobierane w zależności od wymiarów wieńców i liczby zębów uzębień. Szlifowanie wgłębne wrębów uzębienia realizowane jest na niewielkiej głębokości, co ogranicza czynną powierzchnie współpracy zębów w połączeniu i tym samym obniża jego parametry wytrzymałościowe.
2. MODELOWANIE UZĘBIEŃ CZOŁOWYCH O ŁUKOWEJ LINII ZĘBÓW
Obecnie produkowane systemy sterowań obrabiarek CNC umożliwiają obliczanie toru narzędzia na podstawie równań matematycznych, ta możliwość otwiera nowy kierunek badań nad sposobami kształtowania linii zębów kół zębatych. Tor narzędzia nie musi być sztywno związany z prowadnicami obrabiarki w trakcie cyklu obróbkowego. Narzędzie na obrabiarkach sterowanych numerycznie może się przemieszczać po torze opisanym równaniem matematycznym.
Założenie nowej metody kształtowania linii zębów uzębień czołowych bazuje na warunku poprawnego kształtowania uzębień, tzn. posiadaniu wspólnej normalnej linii zęba uzębienie i śladu narzędzia opisywanego przez krawędzie ostrza skrawającego.
W przedstawionych poniżej modelach geometrycznych kształtowania linii kołowej przyjęto założenia:
· linia zęba będzie kształtowana narzędziem jednoostrzowym,
· nacinana linia zęba jest sztywno związana z obrabianym wieńcem uzębienia,
· początek układu współrzędnych znajduje się w osi symetrii kształtowanego uzębienia,
· położenie okręgu linii zęba ustawia się w stosunku do teoretycznego okręgu tocznego,
· ślad ostrza narzędzia jest usytuowany w stosunku do kształtowanej powierzchni tak, aby mieć wspólną normalną z kształtowaną linią zęba.
W najprostszym modelu uzębienia o kołowej linii zębów oś symetrii okręgu, którego część jest linią zęba, leży na przecięciu teoretycznego okręgu tocznego o promieniu Rb i osi układu współrzędnych związanego z kształtowanym uzębieniem (Z), co przedstawiono na rys. 5.
Rys. 5. Model geometryczny kształtowania uzębienia czołowego o linii będącej częścią okręgu, którego oś symetrii okręgu linii zęba leży na przecięciu osi symetrii uzębienia
czołowego (Z)
Z rys. 5 można wyznaczyć współrzędne punktów początkowego i końcowego styku śladu narzędzia i linii zęba uzębienia, które mają wspólne normalne:
( ) ( )
îí ì
D
× +
=
D
×
=
y r
y r
sin cos
1 1
R z
x ,
(1) oraz
( )
( )
îí ì
D +
×
=
D +
×
=
y y
y y
0 2
2
0
2 sin
ctg x z
R
x v
,
(2) gdzie:
r – promień okręgu będącego linią zęba, Rb – teoretyczny okrąg toczny.
Z modelu przedstawionego na rys. 5 można również wyznaczyć współrzędne punktów w układzie biegunowym:
ïî ïí ì
+
=
÷÷ø çç ö è
= æ
2 1 2 1
1 0 arcsin
z x R
R x
v
v
y .
(3) Podstawiając do równań 2 zależności opisane równaniami 3 otrzymujemy:
ïï ï î ïï ï í ì
÷÷ ø ö çç
è
æ +D
÷÷ ø ö çç
è æ
× +
=
úú û ù êê
ë
é +D
÷÷ ø ö çç
è æ
× + +
=
y y
2 1 2 1 2 1
2
2 1 2 1 2 1
1 2 1 2
arcsin arcsin sin
z x ctg x
x z
z x z x
x x
,
(4) a po podstawieniu wzorów 1 do równań 4:
[ ( ) ] [ ( ) ]
[ ] ( )
( ) ( ( ) )
( ) ( )
( ) ( ( ) )
ïï ïï
î ïï ïï
í ì
úú û ù êê
ë
é ÷÷+D
ø ö çç
è æ
D
× + + D
×
D
× ×
=
úú û ù êê
ë
é ÷÷+D
ø ö çç
è æ
D
× + + D
×
´ D
´ D
× + + D
×
=
y y r
y r
y r
y y r
y r
y r
y r
y r
2 2 2
2
2 2
2 2
2
sin cos
arcsin cos
sin cos
arcsin cos sin
sin cos
b b b
ctg R x z
R R x
. (5)
Równania 5 opisują tor przemieszczania narzędzia w procesie kształtowana uzębienia, w układzie związanym z obrabianym wieńcem. Linią zęba jest część okręgu o promieniu r.
Inne rozwiązanie modelowania uzębienia, którego linia zębów stanowi część okręgu, polega na przesunięciu okręgu linii zęba, aby środek okręgu nie leżał na osi uzębienia czołowego (Z). W przypadku okręgu linii zęba o środku osi symetrii przesuniętej w kierunku dodatnich wartości osi X układu związanego z kształtowanym wieńcem, w uzębieniu uzyskuje się mniejszy promień krzywizny linie zęba. Model geometryczny takiego rozwiązania przedstawiono na rys. 6.
Rys. 6. Model geometryczny kształtowania uzębienia czołowego o linii zęba będącej częścią okręgu i środku symetrii okręgu linii zęba mającego dodatnie wartości w osi X
Z rys. 6 można wyznaczyć współrzędne punktu początkowego styku śladu narzędzia i linii zęba uzębienia o wspólnej normalnej:
( ) ( )
îí ì
D
× +
=
+ D
×
=
y r
y r
sin cos
1
1 1
R z
x
x c
(6)
Wyznaczając na podstawie rysunku 6 współrzędne punktów tak jak w przypadku modelu przedstawionego na rysunku 5 i postępując analogicznie uzyskuje się zależności opisujące linię zęba w układzie związanym z kształtowanym wieńcem:
[ ( ) ] [ ( ) ]
( ) ( )
( ) ( ( ) )
( ) ( )
( ) ( ( ) )
ïï ïï î ïï ïï í ì
úú û ù êê
ë
é ÷÷+D
ø ö çç
è æ
D
× + + +
D
×
+ D
× ×
=
úú û ù êê
ë
é ÷÷+D
ø ö çç
è æ
D
× + + +
D
×
- D
´ ×
´ D
× + + + D
×
=
y y r
y r
y r
y y r
y r
y r
y r
y r
2 2
1 2 1
2
2 2
1
1
2 2
1 2
sin cos
arcsin cos
sin cos
arcsin cos sin
sin cos
b c
c b c
c b c
R x
ctg x x z
R x
x R x
x
.
(7) Położenie środka okręgu linii zębów uzębienia może się znajdować w zakres ujemnych wartości osi X. Takie przesunięcie okręgu linii zęba będzie umożliwiać uzyskanie większego promienia krzywizny linii zęba. Model geometryczny takiego rozwiązania przedstawiono na rys. 7.
Rys. 7. Model geometryczny kształtowania uzębienia czołowego o linii zęba będącej częścią okręgu i środku symetrii okręgu linii zęba mającego dodatnie wartości w osi X
Dla modelu przedstawionego na rys. 7 zależności opisujące linię zęba w układzie związanym z kształtowanym wieńcem przyjmują postać:
[ ( ) ] [ ( ) ]
( ) ( )
( ) ( ( ) )
( ) ( )
( ) ( ( ) )
ïï ïï î ïï ïï í ì
úú û ù êê
ë
é ÷÷+D
ø ö çç
è æ
D
× + + - D
×
- D
× ×
=
úú û ù êê
ë
é ÷÷+D
ø ö çç
è æ
D
× + + - D
×
- D
´ ×
´ D
× + + - D
×
=
y y r
y r
y r
y y r
y r
y r
y r
y r
2 2
1
1 2
2
2 2
1
1
2 2
1 2
sin cos
arcsin cos
sin cos
arcsin cos sin
sin cos
b c
c b c
c b c
R x
ctg x x z
R x
x R x
x
(8)
Na podstawie modeli przedstawionych na rys. 5, 6 i 7 opisanych równaniami 5,7 i 8 uogólniony układ równań linii zęba w układzie związanym z kształtowanym wieńcem przyjmuje postać:
[ ( ) ] [ ( ) ]
( ) ( )
( ) ( ( ) )
( ) ( )
( ) ( ( ) )
ïï ïï î ïï ïï í ì
úú û ù êê
ë
é ÷÷+D
ø ö çç
è æ
D
× + +
± D
×
± D
× ×
=
úú û ù êê
ë
é ÷÷+D
ø ö çç
è æ
D
× + +
± D
×
± D
´ ×
´ D
× + +
± D
×
=
y y r
y r
y r
y y r
y r
y r
y r
y r
2 2
1 2 1
2
2 2
1
1
2 2
1 2
sin cos
arcsin cos
sin cos
arcsin cos sin
sin cos
b c
c b c
c b c
R x
ctg x x z
R x
x R x
x
(9) Wartość xc1 decyduje o położeniu środka okręgu linii zębów i tym samym o wielkości promienia krzywizny linii zębów. W przypadku xc1 = 0 środek okręgu linii zęba leży na osi uzębienia (Z). Dodanie wartości xc1 umożliwia zmniejszenie, a odjęcie zwiększenie promienia krzywizny okręgu.
3. ALGORYTM STEROWANIA I BADANIA DOŚWIADCZALNE KSZTAŁTOWANIA LINII ZĘBÓW
W celu przeprowadzenia prób kształtowania kołowej linii zębów w uzębieniu, opracowano algorytm sterowania obrabiarką (rys.8). Algorytm ten posłużył do opracowania sparametryzowanego programy sterującego obrabiarką podczas nacinania zębów w uzębieniu.
Obliczenia parametrów technologicznych kształtowanej linii uzębienia xs= r ± xc1, zs = Rb, xe = Re,
p=360z , yA = Dy - p
Przemieszczenia narzędzia do punktu początkowego X H0; Z zs; Y xs
Obliczenia kolejnych położeń narzędzia
[ ( ) ] [ ( )]
( ) ( )
( ) ( ( ))
( ) ( )
( ) ( ( ))
ïï ïï î ïï ïï í ì
úú û ù êê
ë
é ÷÷+D
ø ö çç
è æ
D
× + +
± D
×
± D
× ×
=
úú û ù êê
ë
é ÷÷+D
ø ö çç
è æ
D
× + +
± D
×
± D
´ ×
´ D
× + +
± D
×
=
y y r y
r
y r
y y r y
r
y r
y r y
r
2 2
1 2 1
2
2 2
1 1
2 2
1 2
sin cos
arcsin cos
sin cos
arcsin cos sin
sin cos
b c
c b c
c b c
R x ctg x
x z
R x
x R x x
Nacinanie linii zębów C(jc); A(yA); Y x2; Z z2
x2 < xe
Koniec nacinania i odsunięcie narzędzia X(lw)
Dane początkowe Ri,Re, Dy, H0, Rb, r, z, xc1
Nie
Tak
START
Rys. 8. Algorytm sterowania pracą obrabiarki podczas kształtowania linii zęba
Próby kształtowania uzębień czołowych przeprowadzono na frezarce typu FYN – 50Nd, wyposażonej w stół obrotowy sterowany numerycznie. Frezarka posiada układ sterowania typu TNC 407 firmy Heidenhain. Sterownik Heidenhain 407 umożliwia jednoczesną interpolacje w trzech osiach (liniową lub kołową w przestrzeni trójwymiarowej). Nacięte linie zębów przedstawiono na rys. 9.
a) b) c)
Rys. 9. Widok naciętych linii zębów: a, b) metodą dyskretną, c) metodą podziału ciągłego
4. WNIOSKI
Przeprowadzone badania kształtowania linii kołowej w uzębieniu czołowym według zależności opisanej wzorem 9 potwierdziły możliwość jej kształtowania na frezarce CNC.
Układ sterowania mimo dużego obciążenia procesora nie powodował chwilowych zatrzymań sterowanych zespołów obrabiarki. Wyniki badań będą wykorzystane w pracach nad zastosowaniem kołowej linii zębów w połączeniach sprzęgłowych i przekładniach spiroidalnych. Praca naukowa finansowana ze środków na naukę w latach 2009 – 2012 jako projekt badawczy nr N N502 339836.
LITERATURA
1. Frąckowiak P.: Kształtowanie uzębienia stożkowej przekładni spiroidalnej narzędziem jednoostrzowym. ZN Pol. Rzesz. „Mechanika” z.69. Rzeszów: Oficyna Wyd.Pol. Rzesz.
2006, s. 35-43.
2. Frąckowiak P., Zależności geometryczne opisujące uzębienia niejednorodne kształtowane na obrabiarkach CNC, „Archiwum Technologii Maszyn i Automatyzacji” 2006, vol. 26 nr 2, s. 139-147.
3. Grajdek R.: Uzębienia czołowe : podstawy teoretyczne kształtowania i nowe zastosowania.
Poznań: Wyd. Pol. Poznańskiej, 2000.
FACE-GEAR WITH CIRCULAR TEETH LINE SHAPING WITH SINGLE BLADE TOOL
Summary. Different types of geometric models of face-gear with circle line of teeth have been shown in the paper. In the following geometric models of shaping circle line, assumptions are that tooth line of face-gear is shaped with single blade tool on CNC milling machine. On the basic presented of the developed geometrical model describing the equation of tooth line. The beginning of the system of coordinates is located at the intersection of the axis of symmetry shaped toothing. In presented model a trace location of the tool is described by the blade cutting edge is so located in relation to the shaped surface to have a common normal with the shaped line of the tooth. The describing equation of tooth line can be use for bearing contact on the face-gear in coupling. Technology model for forming the face-gear have been shown in the paper, too. The exemplification of experimental result of cutting face- gear with teeth curved on CNC milling machine has been discussed in the paper.
