STAN NAPRĘŻENIA W CYLINDRZE WZMOCNIONYM NAWOJEM TAŚMY Z UWZGLĘDNIENIEM JEJ ZGINANIA

STAN NAPRĘŻENIA W CYLINDRZE WZMOCNIONYM NAWOJEM TAŚMY Z UWZGLĘDNIENIEM JEJ ZGINANIA

Marcin Bajkowski, Roman Grygoruk, Janusz Kaniewski, Marek Radomski

Instytut Mechaniki i Poligrafii, Politechnika Warszawska granada@pompy.pl, mr@wip.pw.edu.pl,

Streszczenie

W pracy przedstawiono rozwiązanie dla stanu naprężenia w ściance cylindra wzmocnionego nawojem taśmy.

W obszarze nawoju uwzględniono występowanie naprężeń wynikających ze zginania taśmy podczas jej nawijania.

Zamieszczono przykładowe wyniki obliczeń i ich porównanie z wynikami otrzymanymi za pomocą metody elemen- tów skończonych.

Słowa kluczowe: autoklaw, wzmacniania, nawój taśmy

STRESS STATE OF THE CYLINDRICAL SHELL REINFORCED BY MEANS OF A STRIP WOUND TAKING INTO ACCOUNT ITS BENDING

Summary

A solution for stress state of the cylindrical shell reinforced by means of a strip wound is presented. In the area of the wound, occurrence of stresses resulting from bending of the strip during winding was considered. Example computation results are given and confronted with those obtained using the Finite Element Method.

Keywords: autoclave, reinforcement, strip wound

1. WSTĘP

Jednym ze sposobów wzmacniania komór ciśnienio- wych jest owijanie rury rdzeniowej cylindra nawojem taśmy lub drutu, jak to ilustruje rys.1.

Rys. 1. Schemat budowy komory ciśnieniowej wzmocnionej nawojem taśmy; 1 – rura rdzeniowa; 2 – nawój taśmy

Technologia ta jest stosowana od dawna, a różne jej odmiany wykorzystywano w produkcji luf i zbiorników ciśnieniowych [1, 2], jak również matryc do wyciskania na zimno [3]. Prace w tym obszarze były i są prowadzo- ne także w Polsce [4-8].

W literaturze można znaleźć wiele prac poświęconych analizie teoretycznej stanu naprężenia w ściance cylindra wzmocnionego nawojem taśmy lub drutu [9-11]. Więk- szość autorów pomija jednak w swych rozważaniach dwa zjawiska mające wpływ na stan naprężenia w ściance cylindra. Zjawiskami tymi są: zginanie taśmy podczas jej nawijania oraz występowanie naprężeń stykowych w przypadku nawijania na rurę rdzeniową drutu o przekro- ju okrągłym. Drugie z wymienionych zjawisk uwzględnił

w swych rozważaniach Snow [12], wykorzystując w tym celu zmodyfikowane rozwiązanie Herza. Ograniczył je przy tym do jednej warstwy nawiniętego drutu na rurę rdzeniową.

Wpływ zginania taśmy jest z reguły uwzględniany poprzez założenie występowania czystego zginania w taśmie oraz zastosowanie zasady superpozycji [5, 7].

Przyjęcie, że w taśmie występuje czyste zginanie się z dodatkowym założeniem braku występowania sił tarcia na stykających się powierzchniach rury rdzeniowej i taśmy, jak również na przylegających do siebie p wierzchniach poszczególnych zwojów taśmy.

W artykule przedstawiono wyniki pogłębionej anal zy rozkładu naprężeń w nawijanej taśmie, z uwzględni niem jej zginania, w zakresie odkształceń sprężystych. Są to wyniki pierwszego etapu prac nad modelem zastę czym dla obszaru nawoju taśmy, który można będzie zastosować w numerycznych obliczeniach wytrzymał ściowych zbiorników ciśnieniowych wzmocnionych nawojem taśmy, z wykorzystaniem metody elementów skończonych (MES).

2. ROZKŁAD NAPRĘŻEŃ W NAWIJANEJ TAŚMIE

Schemat procesu nawijania taśmy ilustruje rys. 2.

W analizie pominięto wpływ nawijania taśmy wzdłuż linii śrubowej, gdyż przy małym skoku tej linii kąt jej podniesienia jest zbliżony do zera (mały stosunek szer kości taśmy do promienia powierzchni owijanej). Rura rdzeniowa (1), o promieniach wewnętrznym

wnętrznym r1, obraca się ze stałą prędkością kątową Podczas nawijania taśma (2) o grubości

na ze stałą siłą T. Siła T wytwarza w taśmie naprężenia rozciągające σT, których rozkład jest homogeniczny.

Rys. 2. Schemat procesu nawijania taśmy Ponadto na płaszczyźnie styku taśmy z rurą rdz niową pojawi się siła tarcia, której wartość będzie zal żała od nacisku taśmy na tę rurę i współczynnika tarcia µ. Z uwagi na trudności w jednoznacznym określeniu siły tarcia, ze względu na nieznany nacisk taśmy na rurę rdzeniową, rozważone zostaną dwa skrajne przypadki.

W przypadku pierwszym siła tarcia będzie równa zeru, zaś w drugim – jej wartość będzie dążyła do nieskończ

2], wykorzystując w tym celu zmodyfikowane rozwiązanie Herza. Ograniczył je przy tym do jednej warstwy nawiniętego drutu na rurę Wpływ zginania taśmy jest z reguły uwzględniany poprzez założenie występowania czystego zginania sowanie zasady superpozycji [5, 7].

Przyjęcie, że w taśmie występuje czyste zginanie, łączy się z dodatkowym założeniem braku występowania sił tarcia na stykających się powierzchniach rury rdzeniowej i taśmy, jak również na przylegających do siebie po-

chniach poszczególnych zwojów taśmy.

W artykule przedstawiono wyniki pogłębionej anali- zy rozkładu naprężeń w nawijanej taśmie, z uwzględnie- niem jej zginania, w zakresie odkształceń sprężystych. Są to wyniki pierwszego etapu prac nad modelem zastęp-

obszaru nawoju taśmy, który można będzie zastosować w numerycznych obliczeniach wytrzymało- ściowych zbiorników ciśnieniowych wzmocnionych nawojem taśmy, z wykorzystaniem metody elementów

NAWIJANEJ TAŚMIE

u nawijania taśmy ilustruje rys. 2.

analizie pominięto wpływ nawijania taśmy wzdłuż linii śrubowej, gdyż przy małym skoku tej linii kąt jej podniesienia jest zbliżony do zera (mały stosunek szero- kości taśmy do promienia powierzchni owijanej). Rura

owa (1), o promieniach wewnętrznym r0 i ze- , obraca się ze stałą prędkością kątową ω.

taśma (2) o grubości h jest hamowa- wytwarza w taśmie naprężenia , których rozkład jest homogeniczny.

Rys. 2. Schemat procesu nawijania taśmy

Ponadto na płaszczyźnie styku taśmy z rurą rdze- niową pojawi się siła tarcia, której wartość będzie zale- żała od nacisku taśmy na tę rurę i współczynnika tarcia

uwagi na trudności w jednoznacznym określeniu y tarcia, ze względu na nieznany nacisk taśmy na rurę rdzeniową, rozważone zostaną dwa skrajne przypadki.

przypadku pierwszym siła tarcia będzie równa zeru, jej wartość będzie dążyła do nieskończo-

ności. W analizie założono dodatkowo, że ta

wyjściowym jest prostoliniowa. Występujące w podanych przypadkach zmiany naprężeń normalnych wzdłuż grubości taśmy ilustruje rys. 3.

Rys. 3. Zmiany naprężeń normalnych wzdłuż grubości taśmy:

a) gdy siła tarcia jest równa zeru; b) gdy siła ta

nieskończoności; σg – naprężenie będące skutkiem zginania taśmy; σT – naprężenie będące skutkiem rozciągania taśmy;

σ_w – naprężenie wypadkowe

W pierwszym z omawianych przypadków maksymalne odkształcenia zginające będą równe:

( ) (

( ^{/ 2} )

2 2 2

1 1 1

max

r h

h r h

r

g

+

+

−

= +

π π π

ε

zaś w drugim:

( )

1 1

max

2

2

r h r

g

−

= +

π π ε

W analizowanych przypadkach odkształcenia zginające będą zatem liniowymi funkcjami promienia i wynoszą odpowiednio:

(

r r r

g

+

= −

1 1

2 ε 2

1 1

r r r

g

= −

ε

Po zastosowaniu zasady superp

prawa Hooke’a, naprężenia wypadkowe w omawianych przypadkach, będące w istocie naprężeniami obwod wymi w taśmie, będą miały następującą postać:

Br A

t

( r ) = + σ

Stałe współczynniki A oraz B, występujące we wzorze (5) są równe:

E A = σ

T

−

dla przypadku pierwszego:

ności. W analizie założono dodatkowo, że taśma w stanie wyjściowym jest prostoliniowa. Występujące podanych przypadkach zmiany naprężeń normalnych wzdłuż grubości taśmy ilustruje rys. 3.

Rys. 3. Zmiany naprężeń normalnych wzdłuż grubości taśmy:

a) gdy siła tarcia jest równa zeru; b) gdy siła tarcia dąży do naprężenie będące skutkiem zginania naprężenie będące skutkiem rozciągania taśmy;

naprężenie wypadkowe

W pierwszym z omawianych przypadków maksymalne odkształcenia zginające będą równe:

)

2 / 2 / 2

/

1

h

r h h

= +

⁽¹⁾

1

2

1

r r h

=

π

(2)

W analizowanych przypadkach odkształcenia zginające będą zatem liniowymi funkcjami promienia i wynoszą

)

h h +

−

₍₃₎

(4)

Po zastosowaniu zasady superpozycji i uwzględnieniu prawa Hooke’a, naprężenia wypadkowe w omawianych przypadkach, będące w istocie naprężeniami obwodo- wymi w taśmie, będą miały następującą postać:

Br

⁽⁵⁾

, występujące we wzorze

(6)

h r B E

= + 2

1

2

(7)

dla przypadku drugiego:

r

1

B = E

⁽⁸⁾

W celu wyznaczenia naprężeń promieniowych w taśmie można wykorzystać równanie równowagi, wyrażone w naprężeniach:

r r r

dr r

d σ

r

( ) σ

t

( ) − σ

r

( )

=

⁽⁹⁾

Całka ogólna równania (9), po uwzględnieniu (5) ma następującą postać:

r r C A B r

r

= + +

) 2 (

σ

(10)

gdzie C jest stałą dowolną.

Stałą C wyznacza się dla obydwu przypadków z wa- runku brzegowego σr(r2) = 0. Prowadzi to do następują- cych zależności na naprężenia promieniowe:

dla przypadku pierwszego:

( )

r h r h r E r r h r E E

r

T T

r

 +



 



 −

+ + + +

−

=

¹

1 1

1

2

) 2

( σ σ

σ

₍₁₁₎

dla przypadku drugiego:

( ) 1 ; 2

) 2

(

₁

1 2 2 1

1

r

h r r

h E r r r E E

r

T T

r





 



 − − +

+ +

−

= σ σ

σ

₍₁₂₎

Ciśnienie p¹¹, jakie pojawi się na zewnętrznej po- wierzchni rury rdzeniowej, po nawinięciu jednej warstwy taśmy będzie równe modułowi naprężeń promieniowych i wyniesie:

dla przypadku pierwszego:

1 1

1

r

p = σ

_T

h

(13)

dla przypadku drugiego:

2 1 2

1 1

1

2r

E h r

p = σ

_T

h +

(14)

Znając ciśnienie p¹¹ można wyznaczyć naprężenia po- wstające na skutek tarcia na wewnętrznej powierzchni nawijanej taśmy:

1

p1

⋅

τ = µ (15)

gdzie: µ – współczynnik tarcia.

Wartość naprężeń τ dla drugiego z analizowanych przypadków jest największa z możliwych do osiągnięcia.

Jeżeli uwzględni się, że występujące wówczas maksymal- ne naprężenia zginające w taśmie wynoszą:

1 max

max r

Eh E

g

g = ε =

σ (16)

to stosunek maksymalnych naprężeń τ_max, powstających na skutek tarcia, do maksymalnych naprężeń zginają- cych wówczas taśmę będzie równy:











 +

=

2 1

max 1 max max

g T

g r

h σ

σ µ σ

τ (17)

Analiza wzoru (17) pozwala stwierdzić, że w praktyce inżynierskiej maksymalne naprężenia τmax, powstające na skutek tarcia podczas nawijania taśmy są zawsze mniej- sze od maksymalnych naprężeń zginających taśmę σg. Zatem taśma podczas nawijania dostosowuje się do obciążenia polegającego na jej zginaniu i będzie zacho- wywała się tak, jak w przypadku braku tarcia. W tym miejscu warto wspomnieć, że wniosek ten potwierdziły także wyniki obliczeń numerycznych, wykonanych metodą elementów skończonych (MES) za pomocą systemu ADINA^®.

3. MODEL MES NAWIJANIA TAŚMY

W celu porównania wyników otrzymywanych za po- mocą podanych w poprzednim punkcie wzorów z wyni- kami obliczanymi numerycznie opracowano testowy model MES w systemie ADINA^®. Analizowano statycz- nie płaski model 2D, którego geometrię ilustruje rys. 4.

W prawej części rysunku, w powiększeniu, pokazano także podział na elementy 2D. Pięć górnych warstw elementów należy do taśmy. Przyjęto, że prawy wolny koniec taśmy jest obciążony naprężeniami rozciągający- mi

σ

_T (ujemne ciśnienie w kierunku normalnym do powierzchni przekroju taśmy), a dolny punkt narożny końca taśmy przemieszcza się w kierunku osi Oz (w dół na odległość równą zewnętrznemu promieniowi rury rdzeniowej).

Rys. 4. Testowy model MES przeznaczony do symulacji procesu nawijania taśmy

Pomiędzy stykającymi się powierzchniami taśmy i rury rdzeniowej zdefiniowano także kontakt 2D, prze-

noszący oddziaływanie siłowe pomiędzy taśmą i rurą.

Założono przy tym, że siły tarcia są charakteryzowane współczynnikiem tarcia Coulomba, którego wartość była równa 0,1 lub 0,15. Zadanie rozwiązywano z uwzględni niem występowania dużych przemieszczeń dla małych odkształceń. Ponadto założono, że materiały rury rdz niowej i taśmy są sprężyste i mają takie same moduły Younga E i liczby Poissona ν, równe odpowiednio 1,99 GPa; ν = 0,294. Wymiary charakteryzujące model były następujące: r0 = 127,5 mm, r1 = 220,5 mm, 0,5 mm. W celu uzyskania zbieżności rozwiązania czenia wykonywano etapami, zwiększając w kolejnych krokach wartość przemieszczenia punktu narożnego.

Ostateczne wyniki osiągano po wykonaniu ok. 50 kr ków.

4. ROZKŁAD NAPRĘŻEŃ W ŚCIANCE CYLINDRA

W celu wyznaczenia rozkładu naprężeń w nawoju t śmy przyjęto następujące założenia:

1. Naprężenia w ściance cylindra są superpozycją oddziaływania następujących obciążeń:

- naciągu taśmy w procesie nawijania, którego miarą jest naprężenie rozciągające taśmę podczas jej naw jania σT,

- momentu zginającego taśmę podczas jej nawijania, - ciśnienia roboczego p0, jakie panuje we wnętrzu c

lindra.

2. Pomija się:

- oddziaływanie tarcia na powierzchniach styku taśmy z rurą rdzeniową oraz na powierzchniach styku p szczególnych warstw taśmy (wniosek z p

punktu – rys. 3a);

- wpływ nawijania taśmy wzdłuż linii śrubowej, gdyż przy małym skoku kąt podniesienia

zbliżony do zera i cosγ ≅ 1 (mały stosunek szerokości taśmy do promienia powierzchni owijanej);

- taśma w stanie wyjściowym jest prostoliniowa.

3. Zakłada się płaski stan naprężenia w ściance cyli dra.

4. Materiały rury rdzeniowej i taśmy są sprężyste i mają takie same moduły Younga E

ν.

5. Jako kryterium wytrzymałościowe przyjęto hipotezę Hubera-Misesa-Hency’ego (HMH).

Na rys. 5 przedstawiono przekrój ścianki cylindra wzmocnionego nawojem taśmy z przyjętymi w dalszych rozważaniach oznaczeniami.

pomiędzy taśmą i rurą.

Założono przy tym, że siły tarcia są charakteryzowane współczynnikiem tarcia Coulomba, którego wartość była równa 0,1 lub 0,15. Zadanie rozwiązywano z uwzględnie- niem występowania dużych przemieszczeń dla małych

ałożono, że materiały rury rdze- niowej i taśmy są sprężyste i mają takie same moduły

, równe odpowiednio E =

= 0,294. Wymiary charakteryzujące model

= 220,5 mm, h = zyskania zbieżności rozwiązania obli- czenia wykonywano etapami, zwiększając w kolejnych krokach wartość przemieszczenia punktu narożnego.

Ostateczne wyniki osiągano po wykonaniu ok. 50 kro-

ŚCIANCE CYLINDRA

naprężeń w nawoju ta-

Naprężenia w ściance cylindra są superpozycją oddziaływania następujących obciążeń:

naciągu taśmy w procesie nawijania, którego miarą jest naprężenie rozciągające taśmę podczas jej nawi-

momentu zginającego taśmę podczas jej nawijania, , jakie panuje we wnętrzu cy-

oddziaływanie tarcia na powierzchniach styku taśmy z rurą rdzeniową oraz na powierzchniach styku po- szczególnych warstw taśmy (wniosek z poprzedniego

wpływ nawijania taśmy wzdłuż linii śrubowej, gdyż przy małym skoku kąt podniesienia γ tej linii jest 1 (mały stosunek szerokości taśmy do promienia powierzchni owijanej);

st prostoliniowa.

Zakłada się płaski stan naprężenia w ściance cylin-

Materiały rury rdzeniowej i taśmy są sprężyste i i liczby Poissona

Jako kryterium wytrzymałościowe przyjęto hipotezę

Na rys. 5 przedstawiono przekrój ścianki cylindra wzmocnionego nawojem taśmy z przyjętymi w dalszych

Rys. 5. Przekrój ścianki cylindra wzmocnionego nawojem taśmy Dla podanych założeń otrzymuje się następujące wzory dla naprężeń w kierunku promieniowym obwodowym σ_t [5, 7, 8].

Dla obszaru nawoju taśmy obciążonego jedynie n prężeniem rozciągającym taśmę podczas jej nawijania (rys. 5):

∑

=

 



 



 

 −

−

=

ⁿ

i k

T i

i

r

h k

r r r

2 2

0

( )

1 )

( σ

σ

∑

+

=

 



 



 

 +

−

=

ⁿ

i k

T i

T i

t

h k

r i r r

1 2 2

0

(

1 ) ( )

( σ σ

σ

gdzie σ_T(i) – naprężenie rozciągające taśmę podczas nawijania i-tej warstwy.

Dla rury rdzeniowej obciążonej jedynie ciśnieniem wynikającym z oddziaływania nawoju taśmy, wg rozwi zania Lamego [13]:



 −

− −

= ^{2 1}

2 1 1

1

) 1

( r

k r k r p

r

σ

 

 +

− −

=

²

2 1 1

1

) 1

( k

k r p σ

t

gdzie:

k1 – stosunek promienia zewnętrznego wewnętrznego r0 rury (rys. 5);

p1 – ciśnienie wytworzone przez nawój taśmy na z wnętrznej powierzchni rury, które jest równe modułowi naprężeń promieniowych σ_r, obliczonych dla

wzoru (18).

Naprężenia promieniowe i obwodowe dla obszaru r ry i nawoju, które są obciążone jedynie ciśnieniem wewnętrznym p0, dane są następującymi wzorami Lam go:

Rys. 5. Przekrój ścianki cylindra wzmocnionego nawojem taśmy Dla podanych założeń otrzymuje się następujące w kierunku promieniowym σ_{r i}

Dla obszaru nawoju taśmy obciążonego jedynie na- prężeniem rozciągającym taśmę podczas jej nawijania σ_T

 



k

−

k

r r

r

2 0

)

2 (18)

 



k

−

k

r r k r

2 0

)

2 (19) naprężenie rozciągające taśmę podczas

Dla rury rdzeniowej obciążonej jedynie ciśnieniem p1, wynikającym z oddziaływania nawoju taśmy, wg rozwią-





2 2 1

r

r (20)

 



2 2 1

r

r

(21)

stosunek promienia zewnętrznego r1 do promienia

ciśnienie wytworzone przez nawój taśmy na ze- wnętrznej powierzchni rury, które jest równe modułowi

, obliczonych dla r = r1 wg

Naprężenia promieniowe i obwodowe dla obszaru ru- nawoju, które są obciążone jedynie ciśnieniem

dane są następującymi wzorami Lame-

 



 

 −

= −

⁺

2 2

1 2

0

1

) 1

( r

r k

r p

ⁿ

σ

r (22)

 



 

 +

= −

⁺

2 2

1 2

0

1

) 1

( r

r k

r p

ⁿ

σ

t (23)

gdzie:

k – stosunek promienia zewnętrznego rn+1 do promienia wewnętrznego r0 cylindra (rys. 5).

Naprężenia zginające w taśmie wg prawa Hooke’a i (3):

( )

dla 1

2 2

≤ +

+ ≤

−

= − i i

i i

g r r r

h r

h r E r

σ (24)

Zgodnie z zasadą superpozycji wypadkowe naprężenia promieniowe i obwodowe w ściance cylindra, które wynikają z łącznego oddziaływania ciśnienia wewnętrz- nego p0, naprężenia σT podczas nawijania taśmy i naprężeń zginających taśmę, będą równe:

Dla obszaru nawoju taśmy:







 − + −









 −







 −

−

= ⁺

=

∑

_{2 2}^{0 2}₂¹

0 2 2

2

0 1

) 1 ( 1

) (

i n n

i

k k

k T i

i

r r

r k

p r r k r r h

r r σ

σ (25)

h r E h r r k

p r r k r r h

i r r

i i n n

i

k k

k T i T i

t ± +







+ + −









 −







+

−

= ⁺

+

=

∑

1 2

) 1 ( 1

) ( )

( 2

2 1 2

0

1 2

0 2 2

2

0 σ

σ

σ (26)

Znak „+” we wzorze (26) dotyczy zewnętrznej po- wierzchni taśmy w i-tej warstwie, zaś znak „–” we- wnętrznej powierzchni taśmy w i-tej warstwie.

Dla rury rdzeniowej:

 



 

 −

− −

 



 

 −

= −

⁺

2 2 2 1 2 1

1 1 2

2 1 2

0

1 1 ) 1

( r

k r k

p r

r k

r p

ⁿ

σ

r (27)

 



 

 +

− −

 



 

 +

= −

⁺

2 2 2 1 2 1

1 1 2

2 1 2

0

1 1 ) 1

( r

k r k

p r

r k

r p

ⁿ

σ

t ₍₂₈₎

W analizowanym przypadku naprężenia zastępcze wg hipotezy HMH określa następujący wzór:

σ

_e

( r ) = σ

_t²

( r ) + σ

_r²

( r ) − σ

_t

( r ) σ

_r

( r )

⁽²⁹⁾

Analiza jakościowa podanych zależności pozwala stwierdzić, że zarówno w rurze rdzeniowej, jak również w nawoju naprężenia zastępcze są monotoniczną funkcją promienia r. Ponadto w rurze rdzeniowej największe wartości naprężeń zastępczych występują zawsze na powierzchni wewnętrznej dla r = r0, natomiast dla obszaru nawoju największa wartość naprężeń zastęp- czych może odpowiadać promieniowi r = r1, gdy taśma jest nawinięta z niewielką siłą naciągu, lub promieniowi r = rn+1, gdy siła naciągu taśmy podczas nawijania jest większa od pewnej granicznej wartości. Dla granicznej wartości siły naciągu naprężenie zastępcze w obszarze

nawoju w niewielkim stopniu zależy od promienia. Dla przypadku jednoczesnego obciążenia cylindra ciśnieniem roboczym p0 i naciągiem nawijanej taśmy można przyjąć w praktyce, że naprężenia zastępcze w nawoju są wów- czas niezmienne.

5. PRZYKŁADOWE WYNIKI OBLICZEŃ

Na rys. 6 i 7 zamieszczono przebiegi naprężeń obwo- dowych σt(r) i promieniowych σr(r) dla pierwszego zwoju taśmy nawiniętego na rurę rdzeniową, w funkcji promienia. Naprężenia te obliczono za pomocą wzorów analitycznych dla trzech następujących przypadków, gdy: naprężenie zginające w taśmie jest pominięte – σt = σT, tarcie na powierzchni styku taśmy z rurą rdzeniową nie występuje – σr(r) wg (11); siła tarcia dąży do nie- skończoności – σr(r) wg (12).

Rys. 6. Przebiegi naprężeń obwodowych σt(r), dla pierwszego zwoju taśmy nawiniętego na rurę rdzeniową; Bzg – z pominię- ciem naprężeń zginających σt = σT; Zzg1 – gdy siła tarcia dąży

do nieskończoności; Zzg2 – gdy siła tarcia nie występuje

Rys. 7. Przebiegi naprężeń promieniowych σr(r), dla pierwszego zwoju taśmy nawiniętego na rurę rdzeniową; Bzg – z pominię- ciem naprężeń zginających σt = σT; Zzg1 – gdy siła tarcia dąży

do nieskończoności; Zzg2 – gdy siła tarcia nie występuje Kolejny rys. 8 ilustruje rozkład naprężeń zastępczych we fragmencie owiniętej na rurze rdzeniowej taśmy, obliczony numerycznie metodą MES za pomocą systemu ADINA^®. W obliczeniach tych przyjęto, że współczynnik tarcia na stykających się powierzchniach wynosi µ = 0,15. Natomiast na rys. 9 zamieszczono porównanie wartości naprężeń zastępczych σ^e(r), które obliczono za

200 350 500 650 800

220.5 220.6 220.7 220.8 220.9 221.0

r [mm]

[MPa]

Bzg Zzg1 Zzg2

-1.5 -1.0 -0.5 0.0

220.5 220.6 220.7 220.8 220.9 221.0

r [mm]

[MPa]

Bzg Zzg1 Zzg2

pomocą wzorów analitycznych i numerycznie. Względne różnice, odniesione do wartości obliczanych za pomocą wzorów analitycznych, pomiędzy naprężeniami zastęp- czymi obliczanymi wymienionymi metodami nie przekra- czały 1%.

Rys. 8. Rozkład naprężeń zastępczych σe we fragmencie taśmy owiniętej na rurze rdzeniowej

Rys. 9. Porównanie wartości naprężeń zastępczych σe(r), które obliczono za pomocą wzorów analitycznych i numerycznie za

pomocą systemu ADINA^®

Rys. 10 przedstawia przykładowe przebiegi stosunku naprężeń zastępczych σe w rurze rdzeniowej i w obszarze nawoju taśmy do ciśnienia p0, dla przypadku, gdy taśma jest nawijana ze stałą siłą naciągu dla każdej warstwy, z pominięciem naprężeń zginających taśmę, zaś na rys. 11 analogiczne przebiegi, gdy uwzględniono występowanie naprężeń zginających w nawijanej taśmie.

Rys. 10. Przykładowe przebiegi naprężeń zastępczych w ściance cylindra, z pominięciem naprężeń zginających taśmę, dla przypadku, gdy taśma jest nawijana ze stałą siłą naciągu dla

każdej warstwy – opis legendy w tekście

Poszczególne numery przebiegów (legenda) na tych rysunkach oznaczają: 1 – cylinder monolityczny obciążo-

ny ciśnieniem p0; 2 – obszar rury rdzeniowej obciążony jedynie siłą naciągu taśmy podczas jej nawijania (p0 = 0); 3 - obszar nawoju obciążony jedynie siłą nacią- gu taśmy podczas jej nawijania (p0 = 0); 4 - obszar rury rdzeniowej obciążony siłą naciągu taśmy podczas jej nawijania oraz ciśnieniem p0; 5 - obszar nawoju obciążo- ny siłą naciągu taśmy podczas jej nawijania oraz ciśnie- niem p0.

Rys. 11. Przykładowe przebiegi naprężeń zastępczych w ściance cylindra, z uwzględnieniem naprężeń zginających taśmę, dla przypadku, gdy taśma jest nawijana ze stałą siłą naciągu dla

każdej warstwy – opis legendy w tekście

6. PODSUMOWANIE I WNIOSKI

Podsumowując wyniki przedstawionych badań teore- tycznych, można sformułować następujące wnioski:

1. Istnieje konieczność uwzględniania naprężeń zgina- jących taśmę podczas jej nawijania w analizie wy- trzymałościowej zbiornika ciśnieniowego wzmoc- nionego nawojem taśmy. Należy przy tym uwzględnić stan wyjściowy taśmy. Taśma w kręgu, która podlega obróbce cieplnej, może bowiem być trwale odkształcona. Nie będzie prostoliniowa, lecz zakrzywiona. Bardzo niekorzystny wpływ na wiel- kość naprężeń zginających może mieć wówczas na- wijanie taśmy z jej przegięciem w przeciwną stronę.

2. Podczas analizy naprężeń zginających taśmę pod- czas nawijania można pominąć wpływ sił tarcia na powierzchniach styku taśmy i rury rdzeniowej oraz na powierzchniach styku kolejnych warstw taśmy.

Wartości wytwarzanych wówczas naprężeń stycz- nych na tych powierzchniach stanowią ułamek pro- centa maksymalnych wartości naprężeń zginają- cych taśmę.

Jak już wspomniano, prezentowane wyniki są efek- tem pierwszego etapu prac nad modelem zastępczym dla obszaru nawoju, który umożliwi efektywne prowadzenie numerycznych obliczeń wytrzymałościowych metodą elementów skończonych zbiorników ciśnieniowych, wzmocnionych nawojem taśmy. Dzięki takiemu modelo- wi będzie można istotnie ograniczyć liczbę elementów, a co za tym idzie, skrócić czas obliczeń lub zmniejszyć zapotrzebowanie na moc obliczeniową maszyny cyfrowej.

200 350 500 650

220.5 220.6 220.7 220.8 220.9 221.0

r [mm]

[MPa]

Wzory analityczne ADINA

0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0

1 1.4 1.8 2.2 2.6 3 3.4

r/r0

σe/p0

1 2 3 4 5

0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0

1 1.4 1.8 2.2 2.6 3 3.4

r/r0

σe/p0

1 2 3 4 5

Program badawczy finansowany ze środków NCBiR Nr INNOTECH-K2/IN2/27/182101/NCBR/13

Literatura

1. Buchter H.H.: Apparate und Armaturen der chemischen Hochdrucktechnik. Berlin: Springer, 1967.

2. Harvey J. F., Fryer D. M.: High Pressure Vessels. Chapman & Hall, 1998.

3. Groenboek J.: Application of stripwound tools to large reduction coldforging processes. NAMRC-X, Hamilton, Canada, 1982.

4. Klębowski Z., Urbanowski W.: Wytrzymałość płaszczy owijanych zbiorników.” Archiwum Budowy Maszyn”

1958, t. 5, z. 4, s. 431-448.

5. Radomski M.: Zagadnienie konstrukcji autoklawów wysokich ciśnień. Praca niepublikowana wykonana na zamó- wienie ZWC “UNIPRESS” PAN, Warszawa 1987.

6. Radomski M., Roś Z.: Design of HP vessels used in CIP and HIP technologies, high pressure and biotechnology.

Ed. Hayashi R.,Heremans K.,Masson P., “Colloque INSERM” 1992, Vol. 224, p. 541-543.

7. Radomski M.: Cylinder wzmocniony nawojem taśmy o kontrolowanym naciągu obciążony ciśnieniem wewnętrz- nym. W:.XIX sympozjon PKM. Świnoujście 13-17.09.1999, t. 2, s. 277-282.

8. Bajkowski M., Radomski M.: The cylinder of the autoclave charged with the internal pressure, strengthen with a strip wound onto it, with programmable tension realized by a magnethoreological structure, design and modeling of mechanical systems. M. Haddar et all (Eds.), LNME, Berlin: Springer, 2013, p. 605-611..

9. Huang P.S.: Stress analysis of pressure vessel with wound flat steel ribbon. ASME “Journal of Pressure Vessel Technology” 1992, 114, p. 256-259.

10. Hearn E. J.: Mechanics of materials 1: an introduction to the mechanics of elastic and plastic deformation of solids and structural components. 3rd ed. Oxford: Butterworth-Heinemann, 1997.

11. Chuanxiang Z, Lei S.: Stresses controllable analysis and optimal design of unique high pressure vessel applied in hydrogen charge stadion. “International Journal of Hydrogen Energy” 2007, 32, p. 3508 - 3518.

12. Snow C.: Elastic problem of a wire-wound cylinder. Bureau of Standards Journal of Research 1931, Vol. 7, No. 2 , p. 331-356. Research Paper 344 (RP344).

13. Lamé M., G.: Leçons sur la théorie mathématique de l'élasticité des corps solides. Paris: Mallet-Bachelier, 1852, p. 179-192.