Problem stacjonarnego przepływu ciepła (Zagadnienie 2D)
ΓT Γq
1. Sformułowanie silne:
∇T(D∇T ) + f = 0,
+ warunki brzegowe
qn = qTn = ˆq na Γq (naturalne w.b.) T = ˆT na ΓT (podstawowe w.b.) gdzie:
D = [kx, ky]T − macierz przewodnictwa cieplnego
qn− g˛esto´s´c strumienia przepływu ciepła (niewiadoma wtórna) q = −D∇T − strumie´n przepływu ciepła
f − ´zródło ciepła
2. Sformułowanie słabe problemu (h− grubo´s´c):
Z
A
(∇w)TDh ∇T dA = −Z
Γ
w qnh dΓ + Z
A
w f h dA,
+ warunek brzegowy T = ˆT na brzegu ΓT.
3. Równania MES KΘ = F + Fb
K = Z
A
BTD B dA, F = Z
A
NTf dA, Fb = −Z
Γ
NTqn dΓ
• Θ− wektor w˛ezłowych warto´sci temperatury,
• N− wektor funkcji kształtu,
• B = ∇N− macierz pochodnych funkcji kształtu,
• T = N Θ− aproksymowana funkcja temperatury,
• ∇T = B Θ− aproksymowana funkcja gradientu temperatury
3. Przykład:
T = 10◦C
2 m
2m
qn = 10 J/m2s
qn= 10 J/m2s qn=0
x y
współczynnik przewodnictwa cieplnego k = 4 J/◦Cms
intensywno´s´c ´zródła ciepła f = 12 J/m3s, grubo´s´c h = 1 m.
• Funkcje kształtu dla elementu trójk ˛atnego
y T (x, y)
x
Ti Tk
Tj i
k
j ye
xe
i k
j e
np. dla
Ni(xe, ye)
Ni(xei, yei) = 1 Ni(xej, yej) = 0 Ni(xek, yke) = 0
ye Ni(xe, ye)
xe 1 i
k
j
ye Nj(xe, ye)
xe 1
i k
j ye
Nk(xe, ye)
xe
1 i
k
j
Ne(x, y) = [Nie(x, y), Nje(x, y), Nke(x, y)]
2
1 2
4 3
1
• Wyznaczenie macierzy przewodno´sci elementów K(e)
3×3K
(e) = k B
3×2
(e)TB(e)
2×3 A(e), B(e)
2×3 =
∂Ni(e)/∂x ∂Nj(e)/∂x ∂Nk(e)/∂x
∂Ni(e)/∂y ∂Nj(e)/∂y ∂Nk(e)/∂y
np. Ni(e)(x, y) = a + b x + c y →
1 xi yi 1 xj yj 1 xk yk
a b c
=
1 0 0
B(e) = 1 2A(e)
yj − yk yk −yi yi − yj
xk − xj xi − xk xj −xi
Element e=1 A = 2, k = 4 (topologia: 1-2-3)
xi = x1 = 0, xj = x2 = 2, xk = x3 = 2, yi = y1 = 0, yj = y2 = 0, yk = y3 = 2
Ni(1)(x, y) = N1(1)(x, y) = 1 − 0.5x, Nj(1)(x, y) = N2(1)(x, y) = 0.5x − 0.5y, Nk(1)(x, y) = N3(1)(x, y) = 0.5y
B(1) = 14
−2 2 0 0 −2 2
K(1) = 4 · 14
−2 0 2 −2
0 2
· 1
4
−2 2 0 0 −2 2
· 2 =
2 −2 0
−2 4 −2 0 −2 2
2
1 2
4 3
1
• Wyznaczenie macierzy przewodno´sci elementów K(e)
3×3K
(e) = k B
3×2
(e)TB(e)
2×3 A(e), B(e)
2×3 =
∂Ni(e)/∂x ∂Nj(e)/∂x ∂Nk(e)/∂x
∂Ni(e)/∂y ∂Nj(e)/∂y ∂Nk(e)/∂y
np. Ni(e)(x, y) = a + b x + c y →
1 xi yi 1 xj yj 1 xk yk
a b c
=
1 0 0
B(e) = 1 2A(e)
yj − yk yk −yi yi − yj
xk − xj xi − xk xj −xi
Element e=2 A = 2, k = 4 (topologia: 1-3-4)
xi = x1 = 0, xj = x3 = 2, xk = x4 = 0 yi = y1 = 0, yj = y3 = 2, yk = y4 = 2
Ni(2)(x, y) = N1(2)(x, y) = 1 − 0.5y, Nj(2)(x, y) = N3(2)(x, y) = 0.5x, Nk(2)(x, y) = N4(2)(x, y) = −0.5x + 0.5y
B(2) = 14
0 2 −2
−2 0 2
K(2) = 2 · 14
0 −2
2 0
−2 2
· 1
4
0 2 −2
−2 0 2
· 2 =
2 0 −2 0 2 −2
−2 −2 4
N
iei
j k
1
q = 0n
q = 10n
q = 10n
T=10 q = ?n
2
1 2
4 3
1
j=2 k=3
1
i=1
• Wyznaczenie wektorów f(e) (Wydajno´s´c ciepła) f(e) = Z
A
NTf dA
fe = f 3A
1 1 1
boZ
A
Ni(x, y)dA to obj˛eto´s´c czworo´scianu
f1 = f2 = 12 3 ·2
1 1 1
=
8 8 8
• Wyznaczenie wektorów fb(e)
qn znane na brzegach: Γ12, Γ34, Γ14 nieznane na Γ23
oraz na kraw˛edzi Γ13, ale redukuje si˛e podczas agregacji Element e=1
N(1) = [ 1 − 0.5x, 0.5x − 0.5y, 0.5y ]
fb(1) = − Z
Γ12
N(1)Tqn dΓ − Z
Γ23
N(1)Tqn dΓ − Z
Γ31
N(1)Tqn dΓ
| {z }
redukcja
= −
Z2 0
N(1)T(x, y = 0) · 10 dx −
Z2 0
N(1)T(x = 2, y) · qn dx
= −
Z2 0
1 − 0.5x 0.5x
0
· 10 dx −
Z2 0
0 1 − 0.5y
0.5y
· qn dy
= −
10 10 0
−
0 fb2 f3
Element e=2
N(2) = [ 1 − 0.5y, 0.5x, −0.5x + 0.5y ]
j=3
2
i=1 k=4
fb(2) = − Z
Γ13
N(2)Tqn dΓ
| {z }
redukcja
− Z
Γ34
N(2)Tqn dΓ − Z
Γ41
N(2)Tqn dΓ
| {z }
w.b. qn=0
= −
Z2 0
N(2)T(x, y = 2) qn dx = −
Z2 0
0 0.5x
−0.5x + 1
· 10 dx = −
0 10 10
• Agregacja
K =
4 −2 0 −2
−2 4 −2 0 0 −2 4 −2
−2 0 −2 4
, F =
16 8 16 8
, Fb = −
10 10 + fb2 10 + fb3 10
• Układ równa ´n
4 −2 0 −2
−2 4 −2 0 0 −2 4 −2
−2 0 −2 4
·
Θ1 10 10 Θ4
=
6
−2 − fb2 6 − fb3
−2
Niewiadome pierwotne -
temperatura w w˛ezłach 1, 4 na brzegu izolowanym
T1 = 112 3
◦C, T4 = 101 3
◦C,
Niewiadome wtórne - strumie´n ciepła na brzegu Γ23 w elemencie 1 fb2 = 11
3 J/m2s, fb3 = 62
3 J/m2s
10.4 10.6 10.8 11 11.2 11.4 11.6
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
• Powrót do elementów -
obliczenie wektorów przepływu ciepła w elementach
q(e) = −k ∇T = −k B(e)Θ(e) (1)
Element e=1
q(1) = −4 · 1 4
−2 2 0 0 −2 2
·
1123 10 10
=
313 0
J/m2s
Element e=2
q(2) = −4 · 1 4
0 2 −2
−2 0 2
·
1123 10 1013
=
2 3
223
J/m2s
• Wyznaczenie temperatury w P (x, y) = P (1, 0.4) T (xe, ye) = N(e)(xe, ye) Θ(e)
N(e=1) = [ 1 − 0.5x, 0.5x − 0.5y, 0.5y ] Θ(e=1) = [ 112
3, 10, 10, ]T
T (1, 0.4) = [1 − 0.5 · 1, 0.5 · 1 − 0.5 · 0.4, 0.5 · 0.4]
1123 10 10
= 105 6
◦C
