Zadanie 1 (1p.). Podaj algorytm o złożonosci O

APT Algorytmika Problemów Trudnych: Zestaw 4 Semestr letni 2020/2021

Kraków 30 marzec

Programowanie Dynamiczne. Color coding.

Zadanie 1 (1p.). Podaj algorytm o złożonosci O

(2

) który dla zadanego grafu G znajdzie bijekcję π : V (G) → {1, . . . , n} minimalizującą wartość:

X

{u,v}∈E(G)

|π(u) − π(v)|.

Zadanie 2 (2p.). Podaj algorytm o złożonosci O

(2

) który dla zadanego grafu G znajdzie bijekcję π : V (G) → {1, . . . , n} minimalizującą wartość:

max

v∈V (G)

|{{w, x} ∈ E(G) : π(w) ¬ π(v) < π(x)}|.

Zadanie 3 (1p.). Podaj algorytm o złożoności O

(3

) obliczający liczbę chromatyczną grafu.

Wskazówka. ^P

^

^ 2

= 3

.

Zadanie 4 (1p.). Skonstruuj algorytm, który w czasie O

(2

) zdecyduje, czy graf G ma cykl Hamiltona. Zaproponuj dwa rozwiązania, jedno oparte na programowaniu dynamicz- nym drugie korzystające z zasady włączeń i wyłączeń.

Zadanie 5 (1p.). Rozważamy następującą grę rozgrywaną na grafie G pomiędzy graczami A oraz B. Gracze naprzemiennie wybierają wierzchołki grafu zgodnie z zasadą, iż wybra- ne dotychczas (przez obu graczy) wierzchołki stanowią zbiór niezależny. Zakładamy, że gracz A ma pierwszy ruch. Wygrywa gracz, który jako ostatni zaznaczy wierzchołek (lub równoważnie, przegrywa gracz, który nie jest w stanie rozszerzyć dotychczasowego zbioru niezależnego). Skonstruuj algorytm, który w czasie O

(2

) zdecyduje, który z graczy ma strategię wygrywającą w grze na grafie G.

Zadanie 6 (1p.). Zaproponuj randomizowany algorytm FPT dla następującego proble- mu: dla instancji wejściowej (G, k) zdecyduj, czy G zawiera k wierzchołkowo rozłącznych trójkątów.

Zadanie 7 (1p.). Zaproponuj randomizowany algorytm FPT dla następującego problemu:

dla instancji (G, T, k), gdzie G jest grafem a T drzewem na k wierzchołkach zdecyduj, czy G zawiera podgraf izomorficzny do T .

Zadanie 8 (2p.). Zaproponuj randomizowany algorytm FPT dla następującego problemu:

dla instancji (G, k) zdecyduj, czy G posiada cykl zawierający co najmniej k wierzchołków.

Zadanie 9 (1p.). Zaproponuj randomizowany algorytm FPT dla następującego proble- mu: dla instancji wejściowej (U, F , k), gdzie F jest pewną rodziną pdzbiorów zbioru U zdecyduj, czy zbiór U można pokolorowac dwoma kolorami tak, aby przynajmniej k zbio- rów z F zawierało elementy różnych kolorów.

Zadanie 10 (2p.). Rozważmy następujący problem: dla instancji wejściowej (G, q, k) pytamy, czy G zawiera zbiór S składający się z co najwyżej k wierzchołków taki, że G − S ma przynajmniej 2 składowe spójne, z których każda zawiera co najmniej q wierzchołków.

Zaproponuj algorytm randomizowany o złożoności 2

n

rozwiązujący ten problem.

Strona 1/1