Zadanie 2. Zaproponuj algorytm działający w czasie O ∗ (2 n ) obliczający permanent ma- cierzy n × n o elementach w zbiorze {0, 1}.

APT Algorytmika Problemów Trudnych: Egzamin Semestr letni 2019/2020

Kraków 24 czerwiec 2021

Powodzenia!!!

Zadanie 1. Dla danego na wejściu grafu dwudzielnego (U, V, E), podziału A ₁ , . . . , A _k zbioru U na k zbiorów, podziału zbioru V na k zbiorów B ₁ , . . . , B _k oraz parametru k mamy stwierdzić, czy graf (U, V, E) zawiera klikę dwudzielną K _k,k , która zawiera dokładnie jeden wierzchołek w każdym zbiorze A _i oraz dokładnie jeden wierzchołek w każdym zbiorze B _i , dla każdego i ∈ [k]. Zdecyduj, czy powyższy problem należy do klasy FPT?

Zadanie 2. Zaproponuj algorytm działający w czasie O ^∗ (2 ⁿ ) obliczający permanent ma- cierzy n × n o elementach w zbiorze {0, 1}.

Zadanie 3. Zaproponuj algorytm o złożoności 2 ^{O(k log k)} n znajdujący minimalne drzewo Steinera w grafach o szerokości drzewowej ¬ k.

Możesz założyć, że graf G jest podany na wejściu wraz ze swoją ładną dekompozycją drzewową o szerokości ¬ k.

Zadanie 4. W problemie alokacji punktów usługowych dany jest zbiór ich możliwych lokalizacji F oraz zbiór klientów C. Dla każdego punktu f z F dany jest koszt w _f otwarcia punktu f oraz dla każdego punktu f oraz każdego klienta c dany jest koszt połączenia w f c klienta c do punktu f . Naszym celem jest wybranie podzbioru F ⁰ ⊂ F tak, aby zminimalizować wartość

X

f ∈F

w _f + ^X

c∈C

min _{f ∈F}

(w _cf ),

to jest, sumaryczny koszt otwarcia punktów w lokalizacjach F ⁰ oraz koszt połączeń każdego klienta do pewnego otwartego punktu z F ⁰ .

(i) Znajdź algorytm O(log |C|)-aproksymacyjny dla powyższego problemu.

(ii) Wykaż, że dla pewnej stałej c nie istnieje algorytm c log |D| aproksymacyjny dla powyższego problemu korzystając z twierdzenia, ze dla pewnej stałej c nie istnieje algorytm c log |U | aproksymacyjny dla problemu minimalnego pokrycia zbiorami nad uniwersum U .

Zadanie 5. Niech G będzie pełnym grafem ważonym z wagami d _i,j dla i, j ∈ V (G) spełniającymi nierówność trójkąta na V (G).

Rozpatrz następujący algorytm tworzenia trasy komiwojażera w ważonym grafie G:

∗ wybierz wierzchołki i, j, które minimalizują wartość d i,j , i utwórz skierowany cykl C składający się z dwóch zorientowanych krawędzi prowadzacych od i do j oraz od j do i,

∗ powtarzaj n − 2 razy następujący krok:

∗ wybierz element u ∈ V \ C oraz v ∈ C taki, że

d u,v = min{d x,y : x ∈ V \ C oraz y ∈ C},

∗ dołóż element u do cyklu C tak, że w rozszerzonym skierowanym cyklu C mamy krawędź z u do v oraz z v do u ⁰ , gdzie u ⁰ było następnikiem u na cyklu C tuż przed jego rozszerzeniem.

Strona 1/2

APT Algorytmika Problemów Trudnych: Egzamin Semestr letni 2019/2020

Kraków 24 czerwiec 2021

Czy powyższy algorytm jest algorytmem 2-aproksymacyjnym dla problemu komiwojaże- ra? Odpowiedź uzasadnij.

Zadanie 6. W planarnym problemie k-centrum dany jest zbiór punktów P na płaszczyź- nie. Należy wybrać k punktów z P (zwanych centrum) tak, by zminimalizować maksymal- nalną odległość każdego punktu z P do punktu z C. Zaproponuj algorytm 2-aproksymacyjny dla tego problemu.

Strona 2/2