Wykład 4
Realizacja logicznych bramek za pomocą tranzystorów
W konwencjonalnych komputerach, jako klucze wykorzystują się tranzystory.
Tranzystory są zbudowany na podstawie półprzewodników, zwykle to jest krzem, z małą ilością domieszek. Jeżeli domieszka dodaje elektrony (półprzewodnik typu), mamy dodatkowe swobodne elektrony w paśmie przewodnictwa (obszar dozwolonych energii dla elektronów, w którym możliwy jest strumień prądu). Jeżeli wprowadza deficyt elektronów (półprzewodnik typu p), mamy dodatkowe „dziury” w paśmie walencyjnym, które zachowują się jak dodatkowe ładunki. Po złączeniu półprzewodników typu n i p, elektrony mogą przeciekać tylko z półprzewodnika n do półprzewodnika p. A zatem przez złącze dwóch półprzewodników będzie płynął prąd tylko wtedy, kiedy ujemny kontakt baterii będzie podłączony do półprzewodnika typu n (rys.4.1).
Rys.4.1. Złącze dwóch półprzewodników typu n i p
Krzem jest klasycznym przykładem półprzewodnika. On ma cztery elektrony walencyjne. Załóżmy, dodajemy do krzemu małą ilość fosforu, który ma pięć elektronów walencyjnych. W sieci krystalicznej krzemu z tych elektronów, cztery elektrony utrzymują atom w sieci krystalicznej: każdy atom domieszki i cztery atomy krzemu są związane między sobą. Piąty elektron fosforu jest swobodny dla ruchu. A zatem mamy nadmiar swobodnych elektronów. To jest półprzewodnik typu n .
Jeżeli dodajemy bor, który ma trzy elektrony walencyjne, to on „chwyta” dodatkowy elektron. Taki atom domieszkowy związuje cztery atomy krzemu, jednak teraz mamy deficyt elektronów. To jest półprzewodnik typu p. W samoistnym krzemie, gęstość elektronów w paśmie przewodnictwa, ne, jest równa gęstości dziur w paśmie walencyjnym, np. Obie gęstości zależą od temperatury. Jednak iloczyn nenp pozostaje stały nawet wtedy, kiedy domieszkujemy półprzewodnik.
Załóżmy, że mamy półprzewodnik typu p i warstwę przewodzącą, która jest odseparowana od p - półprzewodnika cienką warstwą dielektryka. Na rys.4.2 „p” oznacza krem typu p, „c” – przewodnik. „n” oznacza półprzewodniki typu n .
Jeżeli przyłożymy dodatni potencjał do warstwy przewodzącej „c”, elektrony z półprzewodników typu n zaczną przyciągać się ku dnu dielektryka i stworzą około dna dielektryka cienką warstwę elektronową.
Jeżeli przyłożymy teraz napięcie między półprzewodnikami typu n , otrzymujemy prąd, który płynie przez tą warstwę elektronową. A zatem, mamy klucz, który jest sterowany potencjałem +V zamiast pola magnetycznego, działającego w związanej cewce. Półprzewodniki typu n w tym tranzystorze noszą nazwę „źródła” i „drenu”
Rys.4.2. Metal-oxide-semiconductor-field- effect-transistor (MOSFET); p jest półprzewodnikiem typu p, n – półprzewodnikiem typu n , c – przewodnikiem. Symbol ⊥ oznacza połączenie z ziemią.
(zlewu), a przewodnik nazywa się „bramką”. Cały układ nosi nazwę MOSFET (metal-oxide- semiconductor-field-effect-transistor). Prąd będzie płynął od źródła do drenu, jeżeli różnica potencjałów między źródłem i bramką przewyższy krytyczną wielkość. Umowny symbol MOSFETu jest pokazany na rys.4.3. Różnica potencjałów między drenem i źródłem jest dodatnia (Vd >Vs).
Rys.4.3. Symbol MOSFETa Rys.4.4. Tranzystorowa NOT-bramka Różnica potencjałów między bramką i źródłem, Vg Vs, jaki było powiedziane wyżej musi przewyższać wartość krytyczną, dla tego żeby otworzyć bramkę. Zwykle, Vd Vs ~5V,
Prosty schemat tranzystorowej NOT-bramki jest pokazany na rys.4.4. Tutaj +Vds - napięcie między drenem i źródłem, R - rezystor. Zakładamy, że opór tranzystora jest znacznie mniejszy od oporu rezystora. Jeżeli napięcie między bramką i źródłem, Vgs, przewyższa wartość krytyczną, (ai =1), prąd płynie przez tranzystor, a napięcie na wyjściu (tj. różnica potencjałów między punktem „output” i ziemią) jest w przybliżeniu równe zeru (bf =0). W przeciwnym przypadku (ai =0), tranzystor nie przewodzi prąd i różnica potencjałów między output i ziemia jest równa w przybliżeniu Vds (bf =1).
Tabela.4.1. Tabela prawdy dla NAND-bramki Tabela4.2. Tabela prawdy dla NOR-bramki Zamiast AND i OR-bramek, można łatwo skonstruować tranzystorowe NOT AND (NAND) i NOT OR (NOR) bramki. Tablica prawdy dla bramki NAND jest przedstawiona w tabele 4.1. Realizacja tranzystorowa bramki NAND jest pokazana na rys.4.5. Jak było wyżej,
1
i =
a oznacza, że potencjał bramki (Vgs) przewyższa wartość krytyczną i tranzystor przewodzi prąd.
Rys.4.5. Tranzystorowa NAND-bramka Rys.4.6. Tranzystorowa NOR-bramka
Jeżeli ai =1 i bi =1 obaj tranzystory są otwarte, a zatem cf =0 (różnica potencjałów między punktami cf i ziemią jest bardzo mały). Dla pozostałych przypadków, albo obaj tranzystory są zamknięty, albo jeden z nich jest zamknięty, a więc cf =1.
Tablica prawdy dla NOR-bramki jest przedstawiona w tabeli 4.2. Realizacja tranzystorowa NOR-bramki jest pokazana na rys.4.6. Jeżeli ai =bi =0 na rys.4.6, tj. różnica potencjałów między punktami ai i bi jest mniejsza od krytycznej wartości, wtedy obaj tranzystory są zamknięte i cf =1, tj. różnica potencjałów między punktem cf i źródłem (ziemią) jest równa w przybliżeniu Vds. W innych przypadkach, albo obaj tranzystory albo jeden z nich są otwarte i cf =0.
Dotychczas rozważaliśmy realizację logicznych bramek, które stosują różne bity dla początkowych i końcowych wartości. Na przykład, gdy rozważaliśmy N-bramku (rys.3.1), mieliśmy dwa bity, „a” i „b”. N-bramka transformuje wartość „a” (którą nazwaliśmy początkową wartością ai) w wartość bitu „b” (którą nazwaliśmy końcową wartością bf). Na rys.3.1 jeden obwód elektryczny odpowiada bitowi „a”, a drugi – bitowi „b”. Dalej rozważmy logiczne bramki dla których ten sam obwód odpowiada „a” i „b”, a „b” transformuje się w
„a”. Te bramki są szeroko stosowane i są ważne w teorii obliczeń kwantowych. Na przykład, N-bramka może operować tylko z jednym bitem „a”. A zatem końcowa wartość tego bitu,
af , jest równa dopełnieniu do początkowej wartości af =ai. Rewersyjne logiczne bramki
Bramki logiczne nazywają rewersyjnymi (odwracalnymi), jeżeli wejście i wyjście mogą być zamienione miejscami. Na przykład, N-bramka jest odwracalna. Istotnie, jeżeli mamy na wyjściu af =0 , to wiemy, że na wejściu af =1 i odwrotnie. AND – bramka jest oczywiście nieodwracalną. Istotnie, jeżeli mamy na wyjściu af =0 nie możemy powiedzieć, czy para (ai,bi) jest równa (0,0), (0,1) albo (1,0). To same jest słuszne dla OR, XOR i NOR bramek. W formalizmie Hamiltona mechanika klasyczna i kwantowa opisują tylko procesy odwracalne. A zatem komputer zbudowany na logice kwantowo-mechanicznej musi zawierać tylko odwracalne logiczne bramki. W tabeli 4.3 jest pokazana tablica prawdy dwukubitowej CONTROL-NOT (CN) odwracalnej bramki. Pierwszy bit a nazywa się bitem kontrolnym.
Drugi bit b nosi nazwę bitu celowego (target bit). CN-bramka zmienia wartość celowego
,
= , ,
=
i i f i
f b
b b a
a =1,
, 0
=
i i
a gdy
a
gdy (4.1)
albo
i
f a
b = bi . (4.2)
Tablica.4.3. Tablica prawdy dla rewersyjnej CN-bramki
Ry s.4.7. Konwencjonalny graf CN-bramki Oczywiście, że informacja nie zostaje stracona po zastosowaniu CN-bramki: jeżeli wiemy wyjściowe af i bf, to możemy znaleźć wejściowe ai i bi. Konwencjonalny graf bramki CN jest przedstawiony na rys.4.7. Strzałka z kółkiem na rys.4.7 wskazuje na to, że wartość bf
zależy od ai =af . W tabeli 4.4 jest pokazana tablica prawdy dla trzechbitowej odwracalnej bramki – CONTROL-CONTROL-NOT (CCN) –bramki.
Tablica 4.4. Tablica prawdy dla CCN-bramki Rys.4.8. Graf CCN-bramki
CCN-bramka zawiera dwa kontrolne bity a i b, które nie zmieniają swoich wartości i celowy bit c, który zmienia swoją wartość tylko, jeżeli ai =bi =1. Graf dla CCN-bramki jest przedstawiony na rys.4.8. CCN-bramka jest uniwersalną bramką. Jeżeli załóżmy, że
1
=
= i
i b
a , to cf =ci i mamy N-bramkę. Jeżeli załóżmy, że ai =1, to otrzymujemy tablicę prawdy przedstawioną w tabeli 4.5.
Tablica 4.5. Tablica prawdy dla CCN- bramki, jeżeli ai =1
Tablica 4.6. Tablica prawdy dla CCN-bramki, jeżeli ci =0
Można widzieć, że bf =bi i cf =bici. A zatem mamy CN-bramkę. Jeżeli ci =0, otrzymujemy tablicę prawdy 4.6. Z tablicy 4.6 widzimy, że
i i
f ab
c = , (4.3) a zatem otrzymaliśmy AND-bramkę.
Korzystając z dwóch CCN-bramek i dwóch CN-bramek można stworzyć sumator.
Istotnie, że a i b są bitami do sumowania, a c - przenoszenie (carry-over). Wykorzystując dodatkowy bit d, możemy stosując cztery operacji do stworzenia sumatora
) ( ),
( ),
( ),
( ,
0
= CCN abd CN ab CCN bcd CN bc
d . (4.4)
Tabela. 4.7. Kolejne wartości bitów dla sekwencji (4.4)
Na pierwszym etapie, ustawiamy wartość 0
=
d . Na drugim, stosujemy CCN-bramkę do bitów a, i d ( a i b - kontrolne bity, d b - wynikowa (target) jednostka). Zatem, stosujemy CN-bramkę do bitów a i b ( a - kontrolna jednostka, b - wynikowa (target) jednostka). Dalej, stosujemy CCN-bramkę do
b, i d . c
Ostatecznie, stosujemy CN-bramkę do b i c . Jako wynik, wartość bitu c jest równa sumie bitów, a wartość bitu d jest nowym przenośnikiem (carry-over).
Sprawdzimy sekwencję bramek (4.4) jako sumatora na przykładzie początkowych wartości: a=b=c=1. Kolejne wartości bitów są przedstawione w tabeli 4.7. W tabeli 4.7 druga linia przedstawia początkowe wartości bitów. Po działaniu CCN(abd) –bramki, wartość wyjściowa bitu d zmieni się, ponieważ a= b=1. CN-bramka CN(ab) zmieni wartość b , ponieważ a=1. CCN(bcd) – bramka nie zmieni wartości bitów, ponieważ jeden z kontrolnych bitów b=0. CN(bc) – bramka nie wpływa na wartości bitów, ponieważ wartość bitu kontrolnego b=0. A zatem mamy prawidłową wartość sumy i przełącznik: c= d1, =1. Można przedstawić działanie sekwencji (4.4) stosując graf przedstawiony na rys. 4.9. Cztery strzałki na rysunku oznaczają działanie CN i CCN – bramek.
Rys.4.9. Graf sekwencji operacji (4.9) Rys.4.10. Graf F-bramki
Ostatecznie w tabeli 4.8 i rys.4.10 są przedstawione tabela i graf dla dobrze wiadomej trójbitowej odwracalnej FREDKIN (F) – bramki. F-bramka może być nazwana CONTROL- EXCHANGE – bramką.
Tabela 4.8. Tablica prawdy F-bramki Tabela 4.9. Tablica prawdy dla F-bramki, w przypadku ci =0
Kontrolny bit ai nie zmienia jej wartości a celowe bity bi i ci wymieniają swoje wartości jeżeli ai =1. F-bramka też jest uniwersalną bramką i może być zastosowana do wykonania
dowolnej operacji logicznej. Na przykład, zakładając ci =0, otrzymujemy tablicę prawdy pokazana w tabeli 4.8. Z tej tabeli widać, że wartość cf jest równa
i i
f ab
c = , (4.5) a zatem mamy AND-bramkę.
