Elektrony w kryształach – funkcja Blocha, pasma.

Uniwersytet Warszawski 2010 Jacek.Szczytko@fuw.edu.pl

http://www.fuw.edu.pl/~szczytko/NT

S. Harris

Elektrony w kryształach – funkcja Blocha, pasma.

Uniwersytet Warszawski 2010

Jacek.Szczytko@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~szczytko/NT

S. Harris

Elektrony w kryształach – funkcja Blocha, pasma.

Kowalencyjne

Rodzaje wiązań

Be B C N O Mg Al Si P S Zn Ga Ge As Se

Cd In Sn Sb Te

II III IV V VI

Grupa IV: diament, Si, Ge Grupy III-V: GaAs, AlAs, InSb, InAs...

Grupy II-VI: ZnSe, CdTe, ZnO, SdS...

Półprzewodniki

Jonowość Jonowość

Nośniki: Domieszki:

dziury elektrony

+ -

Akceptory (typ p) Donory (typ n)

Półprzewodniki

Rodzaje wiązań

Be B C N O Mg Al Si P S Zn Ga Ge As Se

Cd In Sn Sb Te

II III IV V VI

Grupa IV: diament, Si, Ge Grupy III-V: GaAs, AlAs, InSb, InAs...

Grupy II-VI: ZnSe, CdTe, ZnO, SdS...

Struktura krystaliczna

Sieci Bravais

Istnieje 14 możliwych sieci wypełniających przestrzeń. Sieci te noszą nazwę sieci Bravais.

Tworzą one 7 układów krystalograficznych

Regularna

Tetragonalna

Heksagonalna Rombowa

Jednoskośna Romboedryczna

Trójskośna

°

≠

°

<

=

=

=

= 90 γ 120 β α

c b a

°

=

=

=

≠

= γ 90 β α

c b

a = °

°

=

=

≠

= 120

90 γ

β α

c b a

°

=

=

=

≠

≠ γ 90 β α

c b a

°

≠

°

=

=

≠

≠ 90

90 β γ α

c b

a α≠β≠γ

≠

≠b c a

°

=

=

=

=

= γ 90 β α

c b a

Krystalografia

Geometryczny czynnik strukturalny

Fala rozproszona na jednym atomie:

Fala rozproszona na wszystkich atomach:

( ) f Ae

^ikr−ωt

=

Ψ

^r'r

∑∑

^{− −∆}

= Ψ

n j

R k t i r k i j

e

nj

e f A

rr rr

) '

( ω

∑

^−∆

j R k i j

e

j

f

⁰

r r

Baza

R

_nj

R

_j

T

r r r =

0

+

R0j

r

Krystalografia

Geometryczny czynnik strukturalny

Fala rozproszona na jednym atomie:

Fala rozproszona na wszystkich atomach:

( ) f Ae

^ikr−ωt

= Ψ

^r'r

∑∑

^{− −∆}

= Ψ

n j

R k t i r k i j

e

nj

e f A

r r r r

) '

( ω

Atomy w bazie

∑

^−∆

j R k i j

e

j

f

⁰

r r

Baza

R r

_nj

R r

_j

T r +

=

0 R0j

r

Krystalografia

Geometryczny czynnik strukturalny

Fala rozproszona na jednym atomie:

Fala rozproszona na wszystkich atomach:

∑∑

^{− −∆}

= Ψ

n j

R k t i r k i j

e

nj

e f A

r r r r

) '

( ω

Atomy w bazie

Period sieci

∑

^−∆

j R k i j

e

j

f

⁰

r r

Baza

R r

_nj

R r

_j

T r +

=

0 R0j

r

( ) f Ae

^ikr−ωt

= Ψ

^r'r

Krystalografia

Geometryczny czynnik strukturalny

Fala rozproszona na jednym atomie:

Fala rozproszona na wszystkich atomach:

 

 



 



 



 



 



 



 





 =



 



 



 





=

= Ψ

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑∑

∆

−

∆

−

∆

∆ −

− −

+ +

∆

∆ −

− −

∆

− −

3 3 3

2 2 2

1 1 0 1

3 2 2 1 0 1

) ' (

) ( )

' (

) ' (

n t n k i n

t n k i n

t n k i j

R k i j t r k i

n

t n t n t n k i j

R k i j t r k i

n j

R k t i r k i j

e e

e e

f Ae

e e

f Ae

e e f A

j j

nj

r r r r

rr r

r r r

r r r r r

r r r

rr rr

ω ω

ω

( ) f Ae

^ikr−ωt

= Ψ

^r'r

Krystalografia

Geometryczny czynnik strukturalny

 



 



 



 



 



 

 ∑

^−∆

∑

^−∆

∑

^−∆

3 3 3

2 2 2

1 1 1

n t n k i n

t n k i n

t n k

i

e e

e

r r r r

r r

Czynnik ten osiąga maksymalną wartość gdy:

Są to warunki Lauego, równoważne warunkowi Bragga

= 1

∆

−iktj

e

rr

l t k

k t k

h t k

π π π 2 2 2

3 2 1

=

∆

=

∆

=

∆ r r r r r r

Krystalografia

Geometryczny czynnik strukturalny

l t k

k t k

h t k

π π π 2 2 2

3 2 1

=

∆

=

∆

=

∆ r r r r r r

Wygodnie jest wprowadzić 3 wektory niewspółpłaszczyznowe

i i

ij i j

g a

t t t

t g t

t g

π π

πδ

| 2

|

) 2 (

2

3 2 1

3 2 1

=

×

= ×

=

r r r

r r r

r r

Dowolny wektor:

spełnia warunki Lauego, Zatem, refleksy występują gdy:

G k r r

=

∆

3 2

1

k g l g

g h

G r r r r

+ +

=

Krystalografia

Geometryczny czynnik strukturalny

Wygodnie jest wprowadzić 3 wektory niewspółpłaszczyznowe

) 2 (

2

3 2 1

3 2

1

t t t

t g t

t g

_{ji ij}

r r r

r r r r

×

= ×

= π

πδ

3 2

1

k g l g

g h

G r r r r

+ +

=

j

j iGt

t k

i

e

e

rr rr

−

∆

−

=

( h g

1

k g

2

l g

3

) ( n

1

t

1

n

2

t

2

n

3

t

3

)

t

G r r r r r r r r

+ + + +

=

( ^{n h n k n l} )

t

G ^{r r} = 2 π

₁

+

₂

+

₃

( ) ^{hkl f} ( ⁱ ( ^{n h n k n l} ) )

F

j

j

exp − 2

1

+

1

+

1

= ∑ π

Geometryczny czynnik strukturalny

Krystalografia

Geometryczny czynnik strukturalny

Przykład: Dla kryształu Li i kryształu TlBr (sieci typu bcc – regularna przestrzennie centrowana) znaleźć możliwe wartości geometrycznego czynnika strukturalnego.

( ) ( ( ) ) 





 

 



 



 + +

− + + +

−

= f i f i h k l

hkl

F

_{Li Li Li}

2 1 2 1 2 2 1 exp 0 0 0 2

exp π π

 

 



= 

= 2 , 1 2 , 1 2 1

) 0 , 0 , 0 (

2 1

r r

( ) ^{hkl f} ( ⁱ ( ^{n h n k n l} ) )

F

j

j

exp − 2

1

+

1

+

1

= ∑ π

( ) ( ( ) ) 



 



 



 



 + +

− + + +

−

= f i f i h k l

hkl

F

_{TlBr Tl Br}

2 1 2 1 2 2 1 exp 0 0 0 2

exp π π

Krystalografia

Geometryczny czynnik strukturalny

Przykład: Dla kryształu Li i kryształu TlBr (sieci typu bcc – regularna przestrzennie centrowana) znaleźć możliwe wartości geometrycznego czynnika strukturalnego.

( ) ( ( ) ) 





 

 



 



 + +

− + + +

−

= f i f i h k l

hkl

F

_{Li Li Li}

2 1 2 1 2 2 1 exp 0 0 0 2

exp π π

 

 



= 

= 2 , 1 2 , 1 2 1

) 0 , 0 , 0 (

2 1

r r

( ) ^{hkl f} ( ⁱ ( ^{n h n k n l} ) )

F

j

j

exp − 2

1

+

1

+

1

= ∑ π

( ) ^{hkl f} ( ⁱ ( ^{h k l} ) )

F

_Li

=

_Li

¹ + ^exp π + +

nieparzyste

parzyste

Krystalografia

Geometryczny czynnik strukturalny

Przykład: Dla kryształu Li i kryształu TlBr (sieci typu bcc – regularna przestrzennie centrowana) znaleźć możliwe wartości geometrycznego czynnika strukturalnego.

 

 



= 

= 2 , 1 2 , 1 2 1

) 0 , 0 , 0 (

2 1

r r

( ) ^{hkl f} ( ⁱ ( ^{n h n k n l} ) )

F

j

j

exp − 2

1

+

1

+

1

= ∑ π

( ) ( ( ) ) 



 



 



 



 + +

− + + +

−

= f i f i h k l

hkl

F

_{TlBr Tl Br}

2 1 2 1 2 2 1 exp 0 0 0 2

exp π π

( ) ^{hkl f f i} ( ^{h k l} )

F

_Li

=

_Tl

+

_Br

^exp π + +

Krystalografia

Neutrony

Neutrony – generowane w reaktorze są spowalniane w wyniku zderzeń z moderatorem (grafitem) do V = 4 km/s, co odpowiada energii E=0.08 eV a energia ta odpowiada λ = 1 Å

Neutrony oddziaływają z :

jądrami (można wyznaczyć gęstość prawdopodobieństwa znalezienia jąder), wyznaczyć krzywe dyspersyjne fononów momentami magnetycznymi jąder.

J. Ginter 2

2

2 M λ

E h

=

M=1,675×10^-24 g

) eV ( 28 , ) 0 (

o

= E λ Α

1 Å dla E=0,08 eV

Krystalografia

Elektrony

Elektrony mają ładunek elektryczny i oddziaływają silnie z materią, wnikają bardzo płytko.

Zjawisko ugięcia elektronów pozwala na badania strukturalne powierzchni oraz bardzo cienkich warstw

T. Stacewicz & A. Witowski 2

2

2 M λ

E h

=

M=0,911×10^-27 g

) eV ( ) 12 (

o

= E λ Α

1 Å dla E=144 eV

Krystalografia

Elektrony

Elektrony mają ładunek elektryczny i oddziaływają silnie z materią, wnikają bardzo płytko.

Krystalografia

Elektrony

http://www.rafaldb.com/pictures-micrographs/index.html Rafał Dunin-Borkowski

Magnetic domains in a thin cobalt film The colors in the image show the different directions of the magnetic field in a layer of polycrystalline cobalt that has a thickness of only 20 nm. The field of view is approximately 200 microns

Krystalografia

Elektrony

http://www.rafaldb.com/pictures-micrographs/index.html Rafał Dunin-Borkowski

Magnetic nanotubes.The nanotubes were fabricated in the University of Cambridge Engineering department by Yasuhiko Hayashi, who grew them using a Cobalt-Palladium catalyst. This alloy remains present in the ends of the nanotubes, and is magnetic. The nanotubes you see here have a 70- 100 nm diameter.

Krystalografia

Elektrony

http://www.rafaldb.com/pictures-micrographs/index.html Rafał Dunin-Borkowski

This image won First Prize in the

"Science Close-Up" category in the Daily Telegraph Visions of Science competition. The image shows a multi-walled carbon nanotube, approximately 190 nm in diameter, containing a 35-nm-diameter iron crystal encapsulated inside it.

Electron holography has been used to obtain a map of the magnetic field surrounding the iron particle, at a spatial resolution of approximately 5 nm.

Krystalografia

Elektrony

http://www.rafaldb.com/pictures-micrographs/index.html Rafał Dunin-Borkowski

The image shows the magnetic field lines in a single magnetosome chains in a bacterial cell. The fine white lines are the magnetic field lines in the cell, which were measured using off- axis electron holography.

Wiązanie metaliczne

Rodzaje wiązań

Wiązanie chemiczne w metalach, utworzone w wyniku elektrodynamicznego oddziaływania między dodatnio naładowanymi rdzeniami atomowymi, które znajdują się w węzłach sieci krystalicznej, a ujemnie naładowaną plazmą elektronową (elektronami zdelokalizowanymi, gazem elektronowym). Podobne do wiązania kowalencyjnego, ale elektrony tworzące wiązanie są wspólne dla wielkiej liczby atomów.

Na⁺ e^–

Na⁺ e^–

Na⁺ e^–

Na⁺ e^– Na⁺

e^–

Na⁺ e^–

Na⁺ e^–

Na⁺ e^–

Na⁺ e^–

Na⁺ e^–

Na⁺ Na⁺ Na⁺ Na⁺

Na⁺ Na⁺ Na⁺ Na⁺ Na⁺

Na⁺ Na⁺ Na⁺ Na⁺ Na⁺

Na⁺ Na⁺ Na⁺ Na⁺ Na⁺

e^– e^– e^–

e^– e^–

e^– e^– e^– e^–

e^– e^–

e^– e^– e^– e^–

e^–

e^–

Gaz elektronowy

Opis teoretyczny

Elektrony w krysztale

Opis ścisły niemożliwy – są to układy zbyt skomplikowane, 1 cm³→ 2,2×10²²atomów (GaAs).

•Jądra + elektrony powłok zamkniętych → nierozdzielne jony – rdzenie atomowe

•Elektrony walencyjne – stosunkowo słabo związane.

•W wyniku oddziaływań odrywają się od macierzystych rdzeni i poruszają się niemal swobodnie w całej objętości kryształu.

Na⁺ e^–

Na⁺ Na⁺ Na⁺ Na⁺

Na⁺ Na⁺ Na⁺ Na⁺ Na⁺

Na⁺ Na⁺ Na⁺ Na⁺ Na⁺

Na⁺ Na⁺ Na⁺ Na⁺ Na⁺

e^– e^– e^–

e^– e^–

e^– e^– e^– e^–

e^– e^–

e^– e^– e^– e^–

e^–

e^–

Gaz elektronowy

•Kryształ związany dzięki elektrostatycznym oddziaływaniom pomiędzy ujemną chmurą elektronową a dodatnimi jonami.

Własności:

a) duże przewodnictwo elektryczne b) kowalność. Ponieważ jony metalu nie są ze sobą ściśle związane i mogą się względem siebie stosunkowo łatwo przesuwać, niewielkimi siłami

Klasyczny model współczynnika załamania

t

e i

x x r r ₀

^ω

=

Rozwiązanie dla stanu ustalonego:

Fala w plazmie:

t

e

i

m E q dt

x

d

_ω

r r

= + + 0 0

2 2

•zjonizowane gazy, (np. w lampach gazowych, w atmosferach gwiazd i jonosferach planet),

•plazma,

•plazma w ciele stałym - czyli gaz swobodnych nośników znajdujący się w metalach lub półprzewodnikach,

•ciecze - jak elektrolity czy roztopione przewodniki.

E

j = σ

swobodne ładunki

Klasyczny model współczynnika załamania

Fala w plazmie:

m Nq

L

p

ε ε

ω

0 2 2

=

Fala podłużna:

k r || E r

₀

( )

0

⁰

2

0

+ =

− k E k k E r r r r

Fala poprzeczna:

k E

₀

r r ⊥

( ) ω ε ε ( ) ω ω

ε ω ω

L p

L

c

E c k k E

k

₂

2 2 2 2

2 0 2

0

1   =





 



 −

= +

− r r r r

2 2

1 1 1

1 









 +

= −



 



 +

= −

ε ε n R n

Klasyczny model współczynnika załamania

Fala w plazmie:

2 2

1 1 1 1











 +

= −



 



 +

= −

ε ε n R n

Klasyczny model współczynnika załamania

Fala w plazmie:

2 2

1 1 1 1











 +

= −



 



 +

= −

ε ε n R n

Klasyczny model przewodnictwa prądu

Przewodnictwo elektryczne plazmy:

Model Drudego. Opis przewodnictwa metali zaproponowany przez Drudego ok. 1900 r. zaraz po odkryciu elektronu.

eE m v dt m dv

+ _D=−

τ Paul Karl Ludwig Drude

1863-1906

Po wyłączeniu pola v wraca do prędkości termicznej (wykładniczo, stąd τ)

v

D

en

j r

r = −

Gęstość prądu:

t t v S S ne t enV S t Q

j S ^D

∆

− ∆

∆ =

−

= ∆

∆

= ∆

r 1 1 ( ) r

t vr_D∆

S

m E v e dt dv

D

− τ

=

=0⇒ Dla przypadku stacjonarnego:

m

µ =

eτ

Ruchliwość:

v

term

v v

_D= − Prędkość unoszenia

Klasyczny model przewodnictwa prądu

Przewodnictwo elektryczne plazmy:

Paul Karl Ludwig Drude 1863-1906

v

term

v v

_D= − Prędkość unoszenia Gęstość prądu:

t t v S S ne t enV S t Q

j S ^D

∆

− ∆

∆ =

−

= ∆

∆

= ∆

r 1 1 ( ) r

t vr_D∆

S

E E ne v en

j

_D

r r r

r = − = µ = σ

v l m ne m ne ne

2 2

≈

=

= µ τ

σ

T k v

m

_B

2 3 2

1

2

=

Średnia prędkość elektronów

Dla czystych metali w T = 300 K l ≈5 × 10-6 m, w T = 4 K l ≈1cm

m

µ =

eτ

Ruchliwość:

Klasyczny model przewodnictwa prądu

Przewodnictwo elektryczne plazmy:

Paul Karl Ludwig Drude 1863-1906

v

term

v v

_D= − Prędkość unoszenia Gęstość prądu:

t t v S S ne t enV S t Q

j S ^D

∆

− ∆

∆ =

−

= ∆

∆

= ∆

r 1 1 ( ) r

t vrD∆

S

v l m ne m ne ne

2 2

≈

=

= µ τ

σ

T k v

m

_B

2 3 2

1

2

=

Średnia prędkość elektronów

Dla czystych metali w T = 300 K l ≈5 × 10-6 m, w T = 4 K l ≈1cm

m

µ =

eτ

Ruchliwość:

E E ne v en

j

_D

r r r

r = − = µ = σ

Podstawy modelu jednoelektronowego

Potencjał periodyczny

) ( ) ( ) 2

₀

(

2

n n n n n n

n

V r r E r

m

p r r r

r

Ψ

=

 Ψ





 

 +

) ( )...

( ) ( ) ,...., ,

( r r

₁

r r

₂

r r

_n

= Ψ

₁

r r

₁

Ψ

₂

r r

₂

Ψ

_n

r r

_n

Ψ

Przybliżenia:

Rdzenie nieruchome, ustawione w sieć przestrzenną.

Przybliżenie jednoelektronowe (przybliżenie Hartree’ego)

„Jednoelektronowe” równanie Schrödingera

Potencjał efektywny, periodyczny z okresem sieci, jednakowy dla wszystkich elektronów.

) ( )

( r V r R

V

n n

r r

r = +

Metoda pola samouzgodnionego - sprowadzamy zagadnienie wieloelektronowe do rozważania jednego elektronu znajdującego się w potencjale pochodzącym od jonów w węzłach i pozostałych elektronów.

lub przybliżenie Hartree-Focka (wyznacznik Slatera).

Podstawy modelu jednoelektronowego

Twierdzenie Blocha

) ( ) ( ) 2

₀

(

2

r E r r m V

p r r r

r

Ψ

=

 Ψ





 

 +

( ) ^{r e u}

nk

( ) ^r

r k i k n

r r

r rr r

,

,

=

Ψ

Jeśli potencjał jest periodyczny

gdzie tzw. f. Blocha:

) ( )

( r V r R

V

r r

r = +

to rozwiązania równania Schrodingera

Wektory sieci Bravais

( ) ^{r u} ( ) ^{r R}

u

_{nk nk}

r r r

r

r

=

_,

+

, mają postać:

Podstawy modelu jednoelektronowego

Twierdzenie Blocha

Dowód:

Operator tranlsacji

) ( )

( r f r R

f T

_R

r r ) r

r = +

T

)R^r

) ( ) ( )

( r V r R V r

V

T

)_R r r r r

r = + =

Potencjał periodyczny z okresem sieci

Taki hamiltonian z potencjałem periodycznym:

( H ( r ) ) H ( r R ) ( r R ) H ( r ) ( r R ) H ( r ) T ( r )

T

)_R r r r r r r r r r )_R r

r

r

ψ

= +

ψ

+ =

ψ

+ =

ψ

) ' ( ) ( )

(

_'

'

r T T r r R R

T

T

_{RR R R}

r r r ) r r ) ) )

r r r

r

ψ

=

ψ

=

ψ

+ + operatory translacji są przemienne

) ( ) ( ) ( )

( r C R r e

⁽⁾

r

T

)_R r r r ^ifRr r

r

ψ

=

ψ

=

ψ

Funkcje własne operatora translacji:

Gdzie:

0 ) 0 (

) ' ( ) ( ) ' (

=

+

= +

f

R f R f R R f

r r r r

czyli

f R k R

r r r

)

=

(

Pewien wektor

1

| ) (

| C R

²= r

Podstawy modelu jednoelektronowego

Twierdzenie Blocha

Dowód:

Operator tranlsacji

T

)_R^r

=

) (

n,k R

u T

)^{r r}

Oznaczmy naszą funkcję gdzie n odróżnia różne funkcje o tym samym k.

Zdefiniujmy:

Stany własne elektronu w potencjale periodycznym opisują dwie liczby kwantowe n i k, gdzie:

Zatem:

funkcja periodyczna

) ( ) ( ) ( ) ( )

( r C R r e

⁽⁾

r e r

T

)_R r r r ^ifRr r ^ikr^Rr r

r

ψ

=

ψ

=

ψ

=

ψ

)

,_k

( r

n

r ψ r

r k i k n k

n

r r e

u

^r

r r

r r r ₋

=

( ) )

(

_,

,

ψ

r k i k n k

n

r u r e

^r

r r

rr r

) ( )

(

,

, =

ψ

k – wektor falowy

n – opisuje pasma energetyczne (za chwilę!)

Do domu!

=

u

n_,k^r

Podstawy modelu jednoelektronowego

Twierdzenie Blocha

Funkcją Blocha nazywamy rozwiązanie w postaci:

funkcja periodyczna, tzw. czynnik Blocha

m V H

=− ∆+

2

h2

r k i k

n

r e

rr r r

=

)

,

( ψ

r k i k n k

n

r u r e

rr r

r r r

) ( )

(

_,

, =

ψ

m V E

=

k

+

2

2

h2 w ogólności funkcja

nieperiodyczna

Przykład: Ruch elektronu w stałym potencjale

podstawiamy Rozwiązaniem jest Operator pędu

Dla stałego potencjału rozwiązania równania Schrödingera są funkcjami własnymi operatora pędu. Pęd jest dobrze określony, wartość własna operatora pędu (sens fizyczny wektora falowego ).

p k

r

=h

ˆ k

r

)

( ) (

ˆ r k r

p

r

r h ψ

ψ =

dostajemy

∇

−

=

i

h

pˆ

Podstawy modelu jednoelektronowego

Twierdzenie Blocha

Przykład:

Ruch elektronu w potencjale periodycznym.

r k i k n k

n

r u r e

rr r

r r r

) ( )

(

_,

, =

ψ

∑

= +

=

G r G i G

e V R r V r

V

r

rr r

r r

r

) ( )

(

Łatwo można pokazać (np. Kittel, Ibach), że:

r G i

G k

n

r C k G e

u

^r

r

r r

r

r r ₋

∑

−

=

( )

)

,

(

Rozwiązaniem jest oczywiście:

3 2 1 kg lg g h

Gr r r r

+ +

=

Tym razem

ˆ ( ) ( ) ( )

,

e k r

u k i i r

p

^ikr

k n

h r r

r h ^rr

r

ψ

ψ

=− +∇ ≠

dostajemy

∇

−

=

i

h

pˆ

Zaraz do tego wrócimy!

Podstawy modelu jednoelektronowego

Twierdzenie Blocha

Przykład:

Ruch elektronu w potencjale periodycznym.

Jeśli nasz kryształ ma skończone rozmiary zbiór wektorów k jest skończony (choć olbrzymi!), np.

możemy przyjąć periodyczne warunki brzegowe i wtedy:

r k i k n k

n

r u r e

rr r

r r r

) ( )

(

_,

, =

ψ

∑

= +

=

G r G i G

e V R r V r

V

r

rr r

r r

r

) ( )

(

3 2 1 kg lg g h

Gr r r r

+ +

=

i i i i

i

L

n L k ^r _{= 0 , ±} ² L π _{, ±} ⁴ π _{,..., ±} ² π

Lx

Ly

Lz

Łatwo można pokazać (np. Kittel, Ibach), że:

r G i

G k

n

r C k G e

u

^r

r

r r

r

r r ₋

∑

−

=

( )

)

,

(

Rozwiązaniem jest oczywiście:

Podstawy modelu jednoelektronowego

Twierdzenie Blocha

Funkcje Blocha, których wektory falowe różnią się o wektor sieci odwrotnej, są jednakowe!

) ( )

(

_,

,_kG

r

_nk

r

n

r r

r r

r

ψ

ψ

₊ = Gr hgr₁ kgr₂ lgr₃

+ +

=

=

− +

=

= ₊ ^{+ − +}

+

∑

^{iGr ikGr}

G r G k i G k n G k

n

r u r e C k G G e e

^r

r r r r

r rr r r r r r

r r r r

r _{' ( )}

' ) ( ,

,

( ) ( ) ( ' )

ψ

Dowód:

) ( )

'' ( )

'

(

^{( '') ()} _,

'' ) ( ) ' ( '

r e

e G k C e e G G k

C

^{iG r ikr} _nk

G r k i r G G i

G

r r r r

r r

r rr r r

r rr r r r

r + − = − =

ψ

=

∑

⁻

∑

⁻

A co z ich energiami?

) ( ) , ( ) ( )

2

₀

(

^{, ,}

2

r G k n E r r m V p

G k n G

k n

r r r r

r r

r r r r

+

+ = + Ψ

Ψ







 +

) ( ) , ( ) ( )

2

₀

(

^{, ,}

2

r k n E r r m V p

k n k

n

r r r r r

r

r = Ψ

Ψ







 +

Podstawy modelu jednoelektronowego

Twierdzenie Blocha

Funkcje Blocha, których wektory falowe różnią się o wektor sieci odwrotnej, są jednakowe!

) ( )

(

_,

,_kG

r

_nk

r

n

r r

r r

r

ψ

ψ

₊ = Gr hgr₁ kgr₂ lgr₃

+ +

=

=

− +

=

= ₊ ^{+ − +}

+

∑

^{iGr ikGr}

G r G k i G k n G k

n

r u r e C k G G e e

^r

r r rr

r rr r r r r r

r r r r

r _{' ( )}

' ) ( ,

,

( ) ( ) ( ' )

ψ

Dowód:

) ( )

'' ( )

'

(

^{( '') ()} _,

'' ) ( ) ' ( '

r e

e G k C e e G G k

C

^{iG r ikr} _nk

G r k i r G G i

G

r r r r

r r

r rr r r

r rr r r r

r + − = − =

ψ

=

∑

⁻

∑

⁻

A co z ich energiami?

) ( ) , ( ) ( )

2

₀

(

^{, ,}

2

r G k n E r r m V p

G k n G

k n

r r r r

r r

r r r

r+ = + Ψ +

Ψ







 +

) ( ) , ( ) ( )

2

₀

(

^{, ,}

2

r k n E r r m V p

k n k

n

r r r r r

r

r = Ψ

Ψ







 +

) , ( ) ,

( n k E n k G E

r r

r = +

⇒

Wartości własne energii są periodyczną funkcją liczby kwantowej k (wektorów falowych funkcji Blocha).

Podstawy modelu jednoelektronowego

Twierdzenie Blocha

3 2

1

k g l g

g h

G r r r r

+ +

=

Model prawie swobodnych elektronów – dla fali płaskiej w pustej przestrzeni energia od wektora falowego wyraża się wzorem:

) , ( ) ,

( n k E n k G E

r r

r = +

Wartości własne energii są periodyczną funkcją liczby kwantowej k.

i

i

a

g ₌ ² π

m k k n E ( 1 , ) 2

2

h

2

r =

=

ai

π 2

ai

π 4

ai

π 6

ai

π 8 ai

π

−2 ai

π

−4 ai

π

−6 ai

π

−8

Podstawy modelu jednoelektronowego

Twierdzenie Blocha

3 2

1

k g l g

g h

G r r r r

+ +

=

Model prawie swobodnych elektronów – dla fali płaskiej w pustej przestrzeni energia od wektora falowego wyraża się wzorem:

) , ( ) ,

( n k E n k G E

r r

r = +

Wartości własne energii są periodyczną funkcją liczby kwantowej k.

i

i

a

g ₌ ² π

m k k n

E ( 1 , ) 2

2

h

2

r =

=

ai

π 2

ai

π 4

ai

π 6

ai

π 8 ai

π

−2 ai

π

−4 ai

π

−6 ai

π

−8

m G G k

k

E 2

) ) (

(

2

2

r r

r h

r + = +

=