Wiesław PIWOWARSKI1), Jan ZYCH2)
1)Akademia Górniczo-Hutnicza, Kraków
Wydział Geodezji Górniczej i Inżynierii Środowiska
2)Politechnika Śląska, Gliwice
Katedra Geomechaniki, Budownictwa Podziemnego i Zarządzania Ochroną Powierzchni
ANALIZA TRAJEKTORII DYNAMIKI PROCESU PRZEMIESZCZEŃ POGÓRNICZYCH
Streszczenie. Artykuł dotyczy analizy trajektorii przemieszczania się punktów ośrodka w rejonie wpływów eksploatacji podziemnej. Oszacowany rozrzut procesu przemieszczeń na podstawie analiz wskazuje, że dokładność opisu deterministycznego jest tu istotnie ograniczona. Stąd w pracy podano równania opisu quasistochastycznego i przedstawiono stosowne odwzorowanie ilościowe konkretnego procesu. Ocena jakości odwzorowania przez odpowiednie miary potwierdza dobre pokrycie realnych wyników (pomiary) odwzorowaniem quasistochastycznym.
THEANALYSISTRAJECTORYOFTHEDYNAMICSOFTHEPOST- MININGDISLOCATIONPROCESS
Summary. The paper concerns the analysis of the dynamics of the points displacement in area of mining influences. The problem of changes of body configuration caused by undregound minig influence has been described in the term of goodnes of fit do resluts of field measurments.
Observations of the real process indicate that the trajectories of points movement are characterized by the irregularity therefore anlysis has benn characterized by randomness of the phenomenon.It follows that in general the description of a deterministic process can not be approximated with any accuracy of measurement results. In this paper the trial of reflection of analyzed process by stochastic formula has been presented.
1. Wprowadzenie
Proces przemieszczeń pogórniczych jest skutkiem obciążeń powierzchniowych i objętościowych, wynikających z oddziaływania dokonanej lub istniejącej eksploatacji co powoduje powstanie wektorowego pola przemieszczeń. Formalny opis procesów fizykalnych stanowią najczęściej równania różniczkowe, zawierające pewne parametry, które charakteryzują właściwości fizyczne zjawisk i otoczenia [4, 8, 10]. Identyfikacja modelu – wyznaczanie parametrów bazuje tu na wynikach pomiaru określonego atrybutu procesu.
Nieuniknione błędy pomiarowe oraz „losowość” rozważanych procesów powodują, że elementy te zazwyczaj nie mogą być określone przez funkcję f(.), lecz wyrażane są jako rodzina funkcji f(.). Stąd też opis większości procesów realnych prowadzi do zamiany funkcji f(.) na losową funkcję f(.) [1, 8, 10]. Przy czym parametr bywa interpretowany jako element przestrzeni probabilistycznej. Podobne przeformułowanie często obejmuje także warunki dodatkowe. Procedura zastępowania w równaniach współczynników elementami losowymi dotyczy ewolucji czasowej dużej liczby cząstek materialnych – równania Hamiltona. Stąd też dla konkretnych rozwiązań z reguły wprowadza się zespół zmiennych dynamicznych do układu równań różniczkowych, określających stan układu w chwili t, gdy określony jest stan układu w chwili t t0.
Przedmiotem rozważań jest problem opisu niestacjonarnego procesu pogórniczych przemieszczeń.
2. Charakterystyka zagadnienia
Przemieszczenia i odkształcenia górotworu w stanie nieustalonym analizuje się z reguły na bazie sprzężenia teorii geometryczno-całkowych z równaniami różniczkowymi. Przy czym teorie geometryczno-całkowe explicite nie uwzględniają własności ośrodka.
Prace w tej dziedzinie sięgają początku XX wieku i były rozpoczęte głównie przez badaczy niemieckich. W Polsce podstawy do badań stworzyło równanie podane przez S. Knothego. Według jego koncepcji, prędkość osiadania punktu nad eksploatacją jest proporcjonalna do różnicy między osiadaniem końcowym, jakiemu podlega punkt, a osiadaniem chwilowym tego punktu:
w w(t)
dt c ) t ( dw
k
, (1)
gdzie:
w(t) – wartość osiadania w chwili t, wk – wartość końcowa osiadania,
c – współczynnik proporcjonalności, zwany współczynnikiem czasu.
Rozwiązaniem równania różniczkowego (1) przy założeniu, że wk jest const. (model dyskretny) dla t – 0, w(t) – 0, jest wzór:
1 exp( ct)
w ) t (
w k , (2)
Podane wyżej wzory dały podstawę wielu polskim badaczom do dalszych badań.
3. Trajektorie procesu przemieszczeń
Zawarte w artykule rozważania dotyczyć będą granicznego przybliżenia wyników opisu nieustalonego pola przemieszczeń na podstawie stosowanych teorii ruchów górotworu, względem wyników pomiaru. Nie zakłada się, by graniczne przybliżenie obydwu odwzorowań stanowiło koherencję, oczekuje się jedynie, by odpowiednia miara przybliżenia nie przekraczała ustalonych wielkości dopuszczalnych. Implikacją złamania dopuszczalnej miary przybliżenia będzie zdefiniowanie innej formuły odwzorowania analizowanego procesu.
Niech proces dynamiczny opisuje układ równań różniczkowych I-go rzędu (1).
x3
przekształcenie
x2
x1
Rys. 1. Ewolucja konfiguracji ośrodka w przestrzeni trójwymiarowej Fig. 1. Evolution of medium configuration in three-dimensional space
Równania przemieszczeń w stanie nieustalonym:
F(x ,x ,x , ) dt
du
1 3 2 1 1
1
F (x ,x ,x , ) dt
du
2 3 2 1 2
2 . (3)
F(x ,x ,x , ) dt
du
3 3 2 1 3
3
Układ równań (3) wymaga zdefiniowania operatorów [F ] oraz identyfikacji parametrów i
3 1
i
i . Identyfikacje przeprowadza się na podstawie pomiarów trajektorii procesu. i Odpowiednikiem – w pewnym sensie – układu równań (3) jest równanie (4).
Przeanalizujmy więc rozwiązanie równania (2):
n
i xi
u t
u
1 2 2
; t >0, x Rn (4) u(0,x) f(x)
Funkcję u:
0,
Rn Rnazywamy klasycznym rozwiązaniem problemu (4) [11], jeśli spełnia następujące warunki:1) u jest ciągła w
0,
Rn,2) u ma ciągłe pochodne, tzn. ut,ux ,uxxj
i
i ; (i, j = 1,..., n), i spełnia równanie (4) w zbiorze (0,)Rn,
3) u.
W teorii równań różniczkowych dowodzi się, że dla f :RRciągłej i ograniczonej, problem (4) ma dokładnie jedno rozwiązanie dla t > 0, x Rn, mamy więc:
u(t,x) (t,x y)f(y)dy
R
n , (5) gdzie:
x ) exp( t
) t ( ) x , t
( n
2
2 4
1 4
1
. (6) Można udowodnić, że rozwiązanie równania (4) w formie (5) istnieje i jest jednoznaczne.
Jeżeli f :Rn Rjest ciągła i ograniczona, to, jak już zaznaczono, rozwiązanie jest klasyczne.
Operator różniczkowy w równaniu (4) zapiszmy jako:
n
i ( xi )
L t
1
2 2
. Po zróżniczkowaniu c Rnzachodzi tożsamość:
L((t,x ))c 0, dla t > 0 x Rn (7) Dalej różniczkując formalnie (5), mamy:
Lu(t,x) L (t,x y))f(y)dy
Rn
, dla t > 0, x Rn (8) Różniczkowanie prowadzi się tu po czasie t i dwukrotnie po zmiennych przestrzennych xi . Po wykonaniu tych operacji wszystkie składniki mają postać:
t
y exp x
t ) y , x ( Q
4
2
, (9)
gdzie:
Q wielomian stopnia co najwyżej II-go,
dodatnia stała,
ponieważ limu(t,x) f(x)
t
0
jest niemal jednostajne względem x. Ponadto, z ciągłości f wynika ciągłość rozwiązania w (0, x), u(t,x) sup f implikuje ciągłość rozwiązania (5).
Ponieważ trajektorie przemieszczeń uzyskane z pomiarów procesu charakteryzują się wahaniami w otoczeniu wartości przeciętnej, sensownie jest więc analizować entropie rozwiązań równania (4).
Rozważmy rodzinę operatorów
t0pt zdefiniowanych następująco:
) x ( f ) x ( f p
dy ) y ( f ) y x , t ( )
x ( f p
Rn
t
0
. (10)
Operatory pt :L1(Rn )L1(Rn ) są podwójnie stochastyczne.
Dla f L1(Rn )zachodzi:
u(t,.) ptf , t 0 . (11) Zauważmy, że jeżeli f :Rn R jest ciągła i f , to funkcja u(t,x) pt f(x)jest półgrupowym rozwiązaniem problemu początkowego (4). Dla równania (4) istnieje silny związek pomiędzy rozwiązaniem klasycznym a półgrupowym, a mianowicie:
klim 1 0
0
k L
t
,.) t ( u ,.) t ( u
sup . (12) Zależność (12) wynika z następującego rozumowania: funkcje ciągłe o nośnikach zwartych tworzą zbiór gęsty w L1(Rn ), jeżeli f L1(Rn). Niech (fk) będzie ciągiem funkcji ciągłych i ograniczonych f w normie L i 1 uk(t,x) ptfn(x), a operatory p są stochastyczne, t zatem:
1
k(t,.)L
u ,.) t (
u = k L1 k L1
t
tf p f f f
p . (13) Dla dalszych rozważań podane zostanie twierdzenie o wzroście entropii.
Entropia charakteryzuje losowość wyników przed doświadczeniem. Entropia rozważanego procesu przemieszczeń, generowanego równaniem (4), jest różna od zera, co oznacza, że proces posiada własności procesu losowego. Ponieważ proces przemieszczeń zależy od czasu i warunków górniczo-geologicznych (a więc od parametrów), może więc być rozważny jako proces stochastyczny. Proces u(t, jest funkcją mierzalną, tzn. ) u(t,):,
przy czym : U ; gdzie przestrzeń zdarzeń, U przestrzeń realizacji ; U
u . Proces u(t, : ) T R.
Jeżeli proces u(t, jest mierzalnym procesem stochastycznym, to na mocy ) tw. Fubiniego [11] jest mierzalny jako funkcja t dla prawie wszystkich , a więc realizacje (trajektorie) są mierzalne.
4. Próba opisu stochastycznego procesu przemieszczeń pogórniczych
Rozpatrzmy proces losowy
t tT opisany następująco:t u(tt;t)
. (14)
Funkcję ( , )
t x
u generuje równanie różniczkowe (15):
) ( ) , 0 (
) ( )
(
0
1 1 1
2
x u x u
x x u x a
x x u t
u n
i n
j i
n
i i j
i ij
, (15) gdzie:
ij(.)
oraz ai(.) parametry.
Odniesienie do fizykalnego procesu przemieszczeń górotworu
Uwzględniając losowy charakter procesu [8], równanie trajektorii przemieszczeń można zapisać w postaci:
0 ) 0 (
) ( )]
( , [ )]
( , ) [ (
t
t t t t
t dt k
t d
. (16)
Pierwszy człon w równaniu (16) stanowi opis deterministyczny, drugi wyraz to stochastyczne ujęcie nieregularności trajektorii procesu.
Część deterministyczną (16), zgodnie [3], przyjmijmy jako rozwiązanie równania różniczkowego liniowego (17):
f(k;)
. (17)
(t=0) = 0
Z teorii równań różniczkowych wiadomo, że problem (17) posiada jednoznaczne rozwiązanie:
(x,t)et f(k(x)), (18)
gdzie:
k(x) – asymptotyczna wartość przemieszczenia w chwili t.
W artykule przyjęto, że k (.) wyznaczana będzie na podstawie teorii S. Knothego [6]
dla x R2, mamy więc:
k( ,tk; t)=D
k
i
ti
f
1
) ,
( exp[ 2((x1)2 (x2)2 )]dx1dx2
xi P[t]
i
, (19)gdzie:
f(ti, ) – funkcja czasu,
D, odpowiednie współczynniki i parametry teorii, P – ślad rzutu pola eksploatacji na płaszczyznę poziomą.
Model (17) dla dyskretnej realizacji możemy zapisać następująco:
n1=
1 1j n n
j
cj n1 , (20) gdzie:
i człon losowy,
cj – parametry wynikające z rozwiązania równania wyjściowego.
Zależność (20) jest tu modelem prognozy niestacjonarnego procesu przemieszczeń pogórniczych, wywołanego eksploatacją podziemną.
5. Weryfikacja odwzorowań procesu
Charakterystyka linii obserwacyjnych i eksploatacji podziemnej
Do analizy wybrano dwie linie obserwacyjne (linia nr 1 i nr 2) znajdujące się na terenie KWK „Bogdanka”. Wymienione linie usytuowane są nad ścianami zawałowymi nr 0, 1, 2, 3, znajdującymi się w centralnej części kopalni (rys. 2), w pokładzie 382/2. Średnia grubość eksploatowanej warstwy wynosi 2,9 m, natomiast średnia głębokość eksploatacji wynosi 690 m. Odległość pomiędzy punktami linii pomiarowych (nr 1 i nr 2) wynosi około 10 m.
W wyniku indentyfikacji parametrów teorii S. Knothego dla linii obserwacyjnych uzyskano następujące wartości optymalnych parametrów tg oraz a:
Linia 1 tg = 1,65 a = 0,94 mW = 38,6 [mm]
Linia 2 tg = 1,89 a = 0,79 mW = 32,6 [mm],
Rys. 2. Schemat rozwoju eksploatacji podziemnej
Fig. 2. Scheme of development of underground exploitation
Weryfikacja obejmuje:
- porównanie odwzorowań według teorii S. Knothego, według modelu z uwzględnieniem zaburzeń stochastycznych, z wynikami pomiaru,
- przeprowadzenie analizy korelacyjnej pomiędzy wyszczególnionymi zmiennymi, - test statystyczny t dla zmiennych zależnych,
- wykresy rozstępu dla parametrów statystycznych,
- histogramy rozkładu odchyłek pomiędzy wynikami pomiaru a odwzorowaniami teoretycznymi.
Czasookres ( 1 do 62 ); Pomiar 5 ( 09.1992 r. )
N
1201 3124
Ściana nr 0 Ściana nr 1
Ściana nr 2
Ściana nr 3 Ściana nr 1N
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 0
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
3041 1741
Rys. 3. Rozkład przemieszczeń poziomych dla optymalnych parametrów teorii przemieszczeń pionowych
Fig. 3. Distribution of horizontal displacement for optimal parameters of horizontal displacement theory
Tabela 1
Linia nr 1
Lp.
pkt Nr pkt.
U teor.
[mm]
U pom.
[mm]
U max.
[mm]
Upom-U teor. [mm]
Lp.
pkt Nr pkt.
U teor.
[mm]
U pom.
[mm]
U max.
[mm]
U pom-U teor. [mm]
1 1210 904 904,0 974 0.0 23 1221 295 473,6 428 178,6
2 3058 900 832,7 973 -67,3 24 3069 253 342,0 392 89,0
3 1211 896 908,3 971 12,3 25 1222 208 396,9 356 188,9
4 3059 887 878,4 964 -8,6 26 3070 163 340,9 323 177,9
5 1212 874 911,8 954 37,8 27 1223 117 288,1 293 171,1
6 3060 859 883,1 942 24,1 28 3071 71 242,3 267 171,3
7 1213 842 903,2 927 61,2 29 1224 24 189,8 247 165,8
8 3061 822 905,3 909 83,3 30 3072 -22 144,0 236 166,0
9 1214 799 893,8 889 94,8 31 1225 -69 99,2 233 168,2
10 3062 775 881,2 867 106,2 32 3118 -117 -20,8 241 96,2 11 1215 747 873,1 842 126,1 33 1226 -163 13,2 257 176,2 12 3063 718 868,1 814 150,1 34 3119 -209 -55,5 281 153,5 13 1216 687 831,8 785 144,8 35 1227 -255 -77,5 310 177,5 14 3064 654 810,6 755 156,6 36 3120 -301 -124,2 343 176,8 15 1217 619 769,4 722 150,4 37 1228 -348 -161,0 379 187,0
5.00 15.00 25.00 35.00 45.00
0 10 20 30 40 50
Nr punktów
-600.00 -200.00 200.00 600.00 1000.00
-800.0 -400.0 0.0 400.0 800.0 1200.0
U [mm]
Przesunięcia poziome punktów LINIA nr 1 (pomiar 09.1992 r.)
U teoretyczne
U obliczone na podstawie wyników pomiarów
U pom.-U teor.
L E G E N D A:
cd. tabeli 1
16 3065 583 487,2 688 -95,8 38 3121 -391 -128,7 416 262,3 17 1218 544 714,8 651 170,8 39 1229 -435 -242,0 454 193,0 18 3066 505 677,4 615 172,4 40 3122 -477 -230,0 492 247,0 19 1219 467 652,8 581 185,8 41 1230 -520 -318,8 530 201,2 20 3067 426 585,0 544 159,0 42 3123 -561 -468,1 568 92,9 21 1220 383 566,0 504 183,0 43 1231 -600 -378,6 605 221,4 22 3068 340 480,5 467 140,5 44 3124 -641 -324,6 645 316,4
Tabela 2 Linia nr 2
Nr pkt. U teor.
[mm]
U pom.
[mm]
U max.
[mm]
U pom- U teor.
[mm]
Nr pkt.
U teor.
[mm]
U pom. [mm]
U max. [mm]
U pom- U teor.
[mm]
3010 888 888 889 0 3029 142 249,8 146 107,8
3011 855 894,6 856 39,6 3030 108 226,6 112 118,6
3012 819 1205,2 820 386,2 3031 76 150,1 82 74,1
3013 780 993 781 213 3032 43 87,4 51 44,4
3014 739 837,8 740 98,8 3033 10 44,8 29 34,8
3015 699 809,6 701 110,6 3034 -23 -163,6 34 -140,6
3016 657 779 658 122 3035 -54 -76,9 59 -22,9
3017 614 774,7 615 160,7 3036 -88 52 91 140
3018 570 774,2 572 204,2 3037 -122 -96,8 124 25,2 3019 528 710,1 530 182,1 3038 -156 -234,9 157 -78,9
3020 484 705 486 221 3039 -191 -304,1 191 -113,1
3021 441 631,8 443 190,8 3040 -226 -350,8 226 -124,8 3022 399 591,6 401 192,6 3103 -263 -367,1 264 -104,1
3023 361 544 363 183 3104 -303 -316,3 303 -13,3
3024 321 467.6 323 146.6 3105 -344 -443.3 344 -99,3 3025 282 395.9 285 113.9 3106 -387 -720.6 387 -333.6 3026 245 393.4 247 148.4 3107 -430 -1148.3 430 -718.3 3027 209 370.3 212 161.3 3108 -475 -1726.3 475 -1251.3 3028 177 277.1 180 100.1 3109 -520 -2033.9 520 -1513.9
Przedstawiony na rysunku 3 rozkład przemieszczeń poziomych teoretycznych ,ui(t cost,x), stanowi odwzorowanie Uteor na podstawie odpowiednich równań teorii [6,7].
Przy czym optymalne parametry równań wyznaczono na podstawie wyników pomiaru przemieszczeń pionowych. Nie przeprowadzono identyfikacji parametrów dla ruchów poziomych, gdyż równania opisujące proces stanowią zamkniętą całość.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
-500 -450 -400 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700
750 U1 [mm]
nr punktów
wyniki pomiaru opis teoret.
odchylki
PRZEMIESZCZENIA POZIOME
Rys. 4. Rozkład przemieszczenia poziomego U(x; t=const): wyniki pomiaru, wyniki modelowania Fig. 4. Distribution of horizontal displacement U(x; t = const): survey results, results for model
Rys. 5. Histogramy odchyłek pomiędzy Upom - Umodel oraz Umodel - Uteoret Fig. 5. Histograms of deviation between Upom - Umodel and Umodel - Uteoret
HISTOGRAM ROZRZUTU Upom - Umod
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
R = Up-Um 0
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
Liczba obs.
HISTOGRAM ROZRZUTU R = Um - Uteoret
-100 -60 -20 20 60 100 140 180
Um - Uteoret 0
2 4 6 8 10 12
Liczba obs.
Wykres ramka-wąsy
Upom _____ Umod
Średnia ±Błąd std ±1.96*Błąd std
Up Um
60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340
Rys. 6. Wykres rozstępu parametrów: średnia, błąd stand. zmiennych Upom. ; Umod Fig. 6. Graph of parameters’ range: average, standard error of variables Upom ; Umod
Tabela 3
Zmienna
MACIERZ KORELACJI
Upom Umodel Uteoret Upom -Umodel Umodel - Uteoret
Upom 1 1 0,99 0,19 -0,23
Umodel 1 0,99 0,12 -0,24
Uteoret 1 0,11 -0,36
Upom -Umodel 1 0,09
Umodel - Uteoret 1
gdzie:
Upom – wyniki pomiaru składowej poziomej przemieszczeń,
Umodel – wyniki modelowania składowej poziomej przemieszczeń z uwzględnieniem losowości,
Uteoret – wyniki modelowania składowej poziomej przemieszczeń według teorii S. Knothego.
Test T dla prób zależnych
Tabela 4 Zmienna Średnia
Odchylenie
stand. N Różnice t P
Upom 203,07 396,36 44
Umodel 202,59 394,50 - 0,48 0,105 0,917
Upom - Uteoret 18,7 410,19 - 15,93 1,658 0,105
Upom -Umodel 1,29 24,36 -
Umodel - Uteoret 15,45 52,86 - -14,16 -1,67 0,102
6. Spostrzeżenia wynikające z dokonanej analizy problemu
W artykule przedstawiono analizę dynamiki niestacjonarnego procesu przemieszczeń poziomych punktów linii pomiarowej w rejonie wpływów eksploatacji górniczej. Wzorzec składowej poziomej górniczych przemieszczeń stanowią tu wyniki pomiaru przemieszczeń punktów w całym przedziale czasu obserwacji {t0, . . ., tk}.
Dokładność opisu niestacjonarnych przemieszczeń na bazie odwzorowania deterministycznego – teoria S. Knothego z uwzględnieniem rozwoju eksploatacji pod- ziemnej z reguły nie stanowi akceptowalnego przybliżenia w sensie miary błędu średniego, tzn. mu mudop. Potwierdzenie relacji, że mu mudop (relacji niepożądanej), stanowią rezultaty oszacowania entropii procesu przemieszczeń. Wynikająca z analizy formalnej zmienność entropii procesu stanowi argumentację odnośnie stochastycznego charakteru procesu przemieszczeń. Z analizy wynika, że istnieją silne ograniczenia w zakresie dokładności opisu deterministycznego, dotyczącego procesu stochastycznego.
Podjęto próbę zbudowania formuły uwzględniającej losową nieregularność procesu.
Przyjęto, że analizowany proces jest złożeniem składowej deterministycznej i wielkości losowej. Wahania wokół wartości przeciętnej estymowano na podstawie chronologicznie uporządkowanego zbioru wyników pomiaru przemieszczeń, przyporządkowanego odpowiedniemu czasowi:
{ui (t0), ui(t1), . . ., ui(tn) } E {ui(tn+1)| ui(t0), ui(t1), . . ., ui(tn) }.
Wyniki numeryczne modelowania dynamiki przemieszczeń poziomych, według zmodyfikowanej formuły w obszarze rozwijającej się eksploatacji podziemnej, przedstawiono w postaci wykresów – charakterystyki jakościowe opisu są tu zadawalające. Również przeprowadzona statystyczna ocena odwzorowania oraz odpowiednie miary oraz test t
stanowią podstawę do wnioskowania, że formuła zmodyfikowana (quasilosowa) opisu w restrykcji do wyników pomiaru stanowi ich lepsze przybliżenie.
Pracę zrealizowano w ramach badań statutowych 11.11.150.007
BIBLIOGRAFIA
1. Bugiel P., Piwowarski W.: Formation of the post mining subsidence as a process described by stochastic Itô’s Equation. Prace WUG, Katowice 2003.
2. Farin G.: Curves and surfaces for Computer Aided Geometric Design. Academic Press, 1993
3. Lasota A.: Matematyczna teoria entropii. Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 2002 (niepublikowana).
4. Litwiniszyn J.: Zastosowanie równań procesów stochastycznych do mechaniki górotworu.
Archiwum Górnictwa i Hutnictwa, t.1, z. 3, Warszawa 1956.
5. Klingenberg W.: A course in differential geometry. Springer, New York 1978.
6. Knothe S.: Równanie profilu ostatecznie wykształconej niecki osiadania. Archiwum Górnictwa i Hutnictwa, t.1, z. 1, Warszawa 1953.
7. Knothe S.: Wpływ czasu na kształtowanie się niecki osiadania. Archiwum Górnictwa i Hutnictwa, t.1, z. 1, Warszawa 1953.
8. Oksendal B.: Stochastic Differential Equations. Springer-Verlag, Berlin New York 1998.
9. Papoulis A.: Prawdopodobieństwo, zmienne losowe i procesy stochastyczne. PWN, Warszawa 1972.
10. Piwowarski W.: Chaotic system as a possible description of the post-mining dislocation process. NARMS-TAC 2002. Printed and bound by University of Toronto Press, Toronto 2002.
11. Rudin W.: Real and Complex Analysis. McGraw-Hill, London New York Toronto 1970.
Recenzent: Dr hab. inż. A. Kowalski, prof. GIG Abstract
The paper is concerned with the analysis of the dynamics of the dislocation process which affects medium points within the area of underground exploitation. The problem of the estimation of the limiting change that concerns the body configuration under the influence of the operation of tensile forces has been presented as the criterion of the destruction of the body (medium) continuity. Moreover, with regard to the fact that the trajectories indicating the dislocations of the medium points are irregular, the author has analysed the perturbation of the process characterising the randomness of the given phenomenon. Hence the determinist description of the process cannot be approximated to the results of the measurement with arbitrary precision. Therefore the attempt at the description of the given process has been presented as a stochastic formula.
