Z E S Z Y T Y N A U K O W E P O L I T E C H N I K I Ś L I S K I E J Seria: E L E K T R Y K A z. 68
_________ 1 9 8 0 N r kol. 6 4 3
K r y s t y n a S T E C
L e s ł a w T O P Ć R - K A M I Ń S K I
Instytut P o d s t a w o w y c h P r o b l e m ó w E l e k t r o t e c h n i k i i E n e r g d e l e k t r o n i k i P o l i t e c h n i k i ślę s k i e j
M O C W R E Z Y S T A N C Y 3 N Y C H A K T Y W N Y C H O B W O D A C H P A R A M E T R Y C Z N Y C H (RAOP)
S t r e s z c z e n i e . W p r a c y p r z e d s t a w i o n o p r o b l e m m o c y w r e z y s t a n c y j nych a k t y w n y c h u k ł a d a c h p a r a m e t r y c z n y c h (RAOP) s t e r o w a n y c h s y g n a ł e m x(t).
W y k a z a n o , że u k ł a d y t a k i e m o g ę p o b i e r a ć z a r ó w n o m o c c z y n n ę , Ja k i b i e r n e . P o d a n o p r z y k ł a d y .
D w ó j n i k p r z e d s t a w i o n y na rys. 1 s k ł a d a s i ę z r e z y s t a n c j i , l i n i o w y c h s t e r o w a n y c h r e z y s t a n c j i o r a z l i n i o w y c h s t e r o w a n y c h k o n d u k t a n c j i .
K o n d u k t a n c j a w e j ś c i o w a u k ł a d u p a r a m e t r y c z n e g o s t e r o w a n e g o s y g n a ł e m x ( t ) Jest f u n k c j ę w y m i e r n ę [2J , [4] m a j ę c ę p o s t a ć :
W ( x ) a xn+a , * n‘ 1ł . . . + a , * + a
* \ 1 n n - 1_____________1 o
VV X ^ b (|x " + b n _ 1 x " “ 1 + . . . + b 1 x + b o (1)
Z t w i e r d z e n i a w e l e r s t r a s s a [3] w i a domo, że dla k a ż d e j f u n k c j i f(x) cięg- łej w [a. b] i k a ż d e g o 6 > 0 i s t n i e j e w i e l o m i a n M n (x) taki, że:
|f(x) - M n (x)| < e
dla każdego x c (a, bj x(t) Jest
f u n k c j ę r z e c z y w i s t e z m i e n n e j r z e c z y w i stej t.
Niech x0 , xfc bgdę rzeczywistymi biegunami
f u n k c j ig(x).
O e ż e l i|x0j<|xk|
i |x(t)| < | * 0 || funkcja g(x) Jest cięgła w przedziale [-(«J . | «jj.
Mamy wifc
Mn (x) ** g(x)
116 K. Stec, L. Topór-Kami.ński
gdzie:
^ ) = £ v k (3)
o
J e ż e l i na p r z y k ł a d funk c j a g(x) jest c i ę g ł a w p r z e d z i a l e £ -1 , lj , m o ż na z a s t o s o w a ć w i e l o m i a n y L e g e n d r e ' a *-n ^x ^ i w ć w c z a s
M n (x) C k L k (x)
g d z i e :
1
f
g ( x ) L k (x)dx T ---□ e ź e l i x(t) jest fu n k c j ę o k r e s o w ę , z e s p o l o n y s z e r e g F o u r i e r a funkcji
[*(«)]'^^ ma p ost ać:
[ . o ] '
* - oo
Z (2), (3) i (4) o t r z y m a m y
(4)
■ < « ) - 2
9h
j hu)o t
e (5)
gdzie:
h - 0, ±1,
-Z,...
P r ę d p o b i e r a n y p r z e z u k ł a d p a r a m e t r y c z n y p o k a z a n y na r y s . l w y r a ż a się w z o r e m
i ( t ) = u ( t ) g(x) (6)
N i e c h u(t) b ę d z i e fu n k c j ę o k r e s o w ę
( \ J k W o f (7 )
u (t ) u k e ('>
< ,.. 1 - 00
*
gdzie :
k = 0, !l,
-2
Moc w r e z y s t a n c y j n y c h a k t y w n y c h o bw o d a c h . 117
Z (5 ), C6 1 i (7) o t r z y m a m y
^ J k w o t'STS ' ^ " o * ^ J n<V ,d n
i(t) = ] T j u k e g h e in e (s)
g d z i e :
n = k + h .
in - u k 9 h
k = 0, i i . - Z ___
h = 0,
-1, -Z,...U d o w o d n i m y , w y k o r z y s t u j ą c u o g ó l n i o n a t e o r i ę m o c y [ l ] , że r e z y s t a n c y j n y u k ł a d p a r a m e t r y c z n y m o ż e p o b i e r a ć z a r ó w n o moc c z y n n ę , jak i bierna.
F u n k c j a k o r e l a c j i
dt
X,
.
•ff(Z) = lim I u(t) [i(t-t)]’
T— «0 J_T
1 / ' S T . * J k* V - J n W o (t
^ / T f T n Uklne 6
-%) dt
dla n / k (a )
* j t o t
u k i k e dla n » k (B )
R o z p a t r z m y p r z y p a d e k (B)
tao
0(fc)) = u k i k 8 (ca-k<Jn )
— OO Oo
" - k
/e
' 0 («*>)doo sgn 0 (uj)du>(9)
(1 0)
(1 1)
Z (9) i (10) o t r z y m a m y
118 K. S tec, L. T o p ó r - K a m i ń s k i
P -k
OO
y J “ . k ^ k 2* a ( « + k w 0 )d.A» « u _ k i * k = u * i k
M o c c z y n n a k-tej h a r m o n i c z n e j w y r a ż a 3 ię w z o r e m
P k + P _ k - u k i* + u _ k i * k 2 Re-ju^i* [ (12)
7. t.9) i (ll) o t r z y m a m y
Q k
OC
m * J
s g n w Z J t iiu - k o ^ iU k i^ d W »c»o
Q-k *
ękf
sgnu23tJ(w + k«0 )u_ki,_ kd w » + ju_k i*k - +Ju*ik M o c b i e r n a k-tej h a r m o n i c z n e j w y r a ż a s i ę wzoreV Q - k ' 2 1
D e ż e l i tylko
•j^V k } - « - k ^ - k ^ ^ k 1*} * °
(15>
(14)
mamy
i m o ż l i w e jest
J e ż e l i t ylko
P k + P -k ' 0
• { v k j
mamy
i m o ż l i w e jest
Q k ♦ Q.k *
0
Q /* O
Z {14-1 i (15) o t r z y m u j e m y w a r u n e k na n i e z e r o w ę m o c c z y n n e
Moc w r a z y e t a n c y j n y c h a k t y w n y c h obwo d a c h . 1 1 9
i na n l e z e r o w ę m oc b i e r n ę
Im| uk+huk^hJ (l5e)
Jest o c z y w i s t e . Ze p r z y u„l* / 0 n i e m o że być r ó w n o c z e ś n i e
u n * n } ‘ 0 n n
R e
511 R 8 { V n } = °
V n } * 0
J e ż e l i Rei u i* 1 = 0, u k ł a d p o b i e r a w y ł ą c z n i e m o c b i e r n ę n-tej h a r m o nicznej ,
U k ł a d p o b i e r a m oc b i e r n ę k + h-tej h a r m o n i c z n e j , n i e p o b i e r a j ę c n o cy czynnej , g d y :
R S | U k-KhU
R o z p a t r u j ę c p r z y p a d e k (a), m amys
gle
i
P « 0 0 - 0
|u| t o
lx| 0
U k ł a d p o b i e r a w y ł ę c z n i e m o c m o d u ł o w ę P ^ - |u||l|.
■ * Przykłady
1 . W u k ł a d z i e p o k a z a n y m na rys. 2
i(t)
9 (*)
u(t) - |UB | elncęt - - e ’ 3“ *]
1
g ( x ) « G x g d z i e x(t )-slnwt » ^ j j e 3“** - e _3wtJ
O t r z y m a n y
i(,) . [ z - e 32“* - a " 3 2 “* ]
P k ■ 0
Q k - O d l a k a ż d e g o k
120 K. Stec, L. Topól— Kamiński
stęd
lecz
w ięc
Uml l UJ Gf ^ I UJ
2g V ^
2
P jt O
m r
2. W u k ł a d z i e p o k a z a n y m na rys. 2
u(t ) = | U J sine>t = " e ^W t ]
g ( x ) = G x gdzie
o t r z y m a m y
dla n = 3
i ( t ) = [ e^ + e - ^ ‘ - eJ
P 2 = O o r a z Q j = O
dla k = - 1 i h = +2
więc
Re| U - 1 + 2 U- 1 92
P-1 ■ Pl “ 0
Q = 2 Imj-JUji*
- I u mi IUml G „ - ! Um |2G
2 4 * “ 4
P o d s u m o w a n i e
S t w i e r d z o n o , że c z y s t o r e z y s t a n c y j n e l i n i o w e u k ł a d y a k t y w n e ( R A O P ) za w i e r a j ę c e r e z y s t a n c j e i k o n d u k t a n c j e s t e r o w a n e s y g n a ł e m o k r e s o w y m o częst tli w o ś c i w s p ó ł m i e r n e j z s y g n a ł e m w e j ś c i o w y m mogę p o b i e r a ć moc biernę.
s
Hoc w r e z y s t a n c v j n y c h a k t y w n y c h obw o d a c h . 121
_utem dla p e w n y c h p r z y p a d k ó w s p e ł n i o n a jest r e l a c j a
n
A n a l o g i c z n i e do r e l a c j i M a n l e y a - R o w e 'a [5] dla m o c y czynnej m o ż n a s f o r mułować n a s t ę p u j ę c ę r e l a c j ę dla m o c y bier n ej w u k ł a d a c h R A O P
przy czym zn ak "+" w y s t ę p u j e dla tych h a r m o n i c z n y c h , dla k t ó r y c h s p e ł n i o n a jest r e l a c j a (l5a). Dla p e w n y c h w a r u n k ó w p r a c y u k ł a d R A O P może, p r z y nie- zerowym p r ę d z i e i n a p i ę c i u , n i e p o b i e r a ć a ni m o c y czynnej ani m o c y biernej.
S t w i e r d z o n e powyżej w ł a s n o ś c i u k ł a d ó w R A O P m o g ę być w y k o r z y s t a n e dla celów k o m p e n s a c j i m ocy biernej o r a z m o c y o d k s z t a ł c e n i a .
LITER A T URA
[ll N o w o m i e j s k i Z.: T e o r i a m o c y u k ł a d ó w e l e k t r y c z n y c h . Z e s z y t y N a u k o w e Pol.
śl. E l e k t r y k a z. 49, 1977.
[2] T o p ó r - K a m i ń s k i L. : E l e m e n t y s k ł a d o w e r e z y s t a n c y j n y c h a k t y w n y c h o b w o d ó w p a r a m e t r y c z n y c h . III i n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e on the F u n d a m e n t a l s of E l e c t r o t e c h n i c s a n d C i r c u i t T h e o r y .
[3] N i k o l s k y S.M. : A C o u r s e of M a t h e m a t i c a l A n a l y s i s . M i r P u b l i s h e r s , M o s c o w 1977.
M M a l i k N.R. , O a c k s o n G . L . , Y o n g S o o k i m : T h e o r y a n d A p l i c a t i o n s of R e s i s t or, L i n e a r C o n t r o l l e d R e s i s t o r , L i n e ar C o n t r o l l e d C o n d u c t o r N e t wo rks. IEEE T ra ns, on CTS. A p r i l 1976.
[5] L o u i s e l l
VI.
H. ! C o u p l e d M o d e a nd P a r a m e t r i c E l e c t r o n i c s , C o h n W i l l e y a n d S o n s Inc. 1960.P r z y j ę t o do d r u k u w m a j u 1 9 7 9 r.
MOlĄHOCTb B IIAPAMBTPH'IECKHX UEIIHX AKTHBHOrO COnPOTHBJIEHHS
p e 3 10 i t e
B c T a T b e p a c c M o i p e H a n p o d j t e u a u o i u h o c t h b n a p a u e i p H a e c K H X u e n u x a K T H B H o r o l o n p o i H B J i e H H a , y n p a B J i a e u H X c a r H a n o M x ( t ) . f l o a a s a H O , h t o s t k i t e i u i M o r y T n o - p e O jI H T L H e T O J IbK O a K T H B H y jO f HO H p e a K T H B H y B M O m H O C T b . n p e f lC T a B J i e H b l n p H M e p a .
122 K. Stec. L. Top6r-Kamlnskl
P OWER IN A C T I V E R E S I S T I V E T I M E - V A R Y I N G N E T W O R K S
S u m m a r y
T h e p r o b l e m of the p o w er d e l i v e r e d i nt o the a c t i v e n e t w o r k c o m po s e d of t i m e - v a r y i n g c o n d u c t a n c e s w as c o n c e r n e d . T h e t h e s i s that not o n l y real po
wer but a l s o r e a c t i v e p o w e r can be d e l i v e r e d into such n e t w o r k s w a s pro
ved. S o m a e x a m p l e s w e r e shown.
i
